安徽省江南十校2024-2025学年高二上学期12月联考数学试题

数学试卷 第 1 页（共 4 页） 姓名 座位号 （在此卷上答题无效） 绝密 ★ 启用前 2024 年“江南十校”高二年级 12月份阶段联考 数 学 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号框涂黑。如 需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号框。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写 在本试卷上无效。 3．考试结束后，将答题卡交回。 第 I 卷（选择题） 一、单项选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分，在每小题给出的四个选项中，只有一 项是符合要求的. 1．已知集合    ( 1,2,1) (1,2,3), , (1, 2, 1) (1,2,3),M a a R N b b R                 ， 则M N  （ ） A．   2,0, 2  B． 0,4,4 C．   0,4,4 D． 2．条件 : 0, 0p m n  ，条件 :q 方程 2 2 1mx ny  表示的曲线是椭圆，则 p 是 q的（ ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 3．若点 (3 4, )P  是直线 1 1 2 0a x b y   和 2 2 2 0a x b y   的公共点，则相异两点  1 1,A a b 和  2 2,B a b 所确定的直线 AB 方程是（ ） A．3 4 2 0x y   B．4 3 2 0x y   C．3 4 2 0x y   D．4 3 2 0x y   4．六氟化硫，化学式为 6SF ，在常压下是一种无色、无臭、无毒、不燃的稳定气体，有良好的 绝缘性，在电器工业方面具有广泛用途．六氟化硫分子结构为正八面体结构（正八面体每个 面都是正三角形，可以看作是两个棱长均相等的正四棱锥将底面重合的几何体）．如图所示， 在正八面体 P ABCD Q  中，G是 BCQ 的重心，记 , , ,PA a PB b PC c         ，则 PG  等 于（ ） A． 1 1 2 3 3 3 a b c     B． 1 1 2 3 3 3 a b c    C． 1 1 2 3 3 3 a b c    D． 1 1 2 3 3 3 a b c    数学试卷 第 2 页（共 4 页） 5．已知  2,1,1m   是直线 l 的方向向量，直线 l 经过点  1,0,1P  ，则点  2,4,6Q 到直线 l 的 距离为（ ） A. 5 2 B. 5 2 2 C. 5 6 2 D. 3 6 2 6．已知圆C的方程为 2 2 2 1 0x y y    ，  ,P a b 为圆C上任意一点，则 2 5 2 a b a    的取值 范围为（ ） A.  1,2 B.    , 1 2,   C.  1,3 D.    ,1 3,  7．焦点为  1,0F 的抛物线  2 2 0y px p  上有一点 P（不与原点重合），它在准线 l 上的投 影为Q。设直线 FQ与抛物线交于 ,M N 两点（ FM FN ），若 2MN MQ ，则 PMN 的面积为（ ） A. 8 3 B. 16 3 3 C. 4 3 D. 8 3 3 8．若圆 2 2 2:C x y a  为双曲线 : 2 2 2 2 1( 0, 0) x y a b a b     的“伴随圆”，过 的左焦点F与右 支上一点Q，作直线 l交“伴随圆”C于 ,A B，若 : : 1: 2 :1FA AB BQ  ，则的离心率 为（ ） A．3 2 B． 3 7 5 C． 73 5 D． 97 5 二、多项选择题：本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分，在每小题给出的四个选项中，有多项 符合题目的要求，全部选对的得 6 分，部分选对的得部分分，有选错的得 0 分. 9．给出下列命题，其中真命题为（ ） A．过点  3,2P 与坐标轴围成三角形的面积为 16的直线有且仅有 3条 B．已知点    2, 1 , 1,3A B  ，则满足到点 A距离为2，到点B距离为 3的直线有且仅有 3条 C．过点  2,3Q 与抛物线 2 4y x 仅有 1个公共点的直线有 3条 D．过双曲线 2 2 1 4 5 x y   的右焦点被截得线段长为 5的直线有且仅有 3条 10．已知正方体 1 1 1 1ABCD ABC D 的棱长为 2，动点 P满足 1AP xAB yAD zAA       ， （ , ,x y z R 且 0, 0, 0x y z   ），下列说法正确的是（ ） A．当  0, 0, 0,1x y z   时， 1| | | |B P PD 的最小值为2 5 B．当 1 , 1, 1 2 x y z   时，三棱锥 1P ABD 的体积为3 C．当  1, 1, 0,1x y z   时，经过 1, ,A B P三点截正方体所得截面面积的取值范围是 2 3,4 3   D．当 1x y z   ，且 2 6| | 3 AP  时，则P的轨迹总长度为 3 3  数学试卷 第 3 页（共 4 页） 11．过抛物线 2: 2x py  上一点  2,1M 作斜率分别为 1 2,k k 的两条直线，与分别交于 ,A B 两点（异于点M ），则（ ） A．过点M 与相切的直线方程为 1y x  B．若点 ,A B关于 y轴对称，则 1 2k k 为定值 C．若 1 2 1k k  ，则直线 AB 经过定点  3, 2  D．分别以 , ,A B M 为切点作抛物线 的三条切线 , ,AP BQ PQ，若 ,P B两点的横坐标相 等，则 / /AM BQ 三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5分，共 15 分. 12．抛物线 23 5 0x y  的焦点坐标是 . 13．蓄有水的圆柱体茶杯，适当倾斜能得到椭圆形水面，当椭圆形水面与圆柱底面所成的二面角 为 300时，则水面椭圆的离心率为 . 14．如图，在正方体 1 1 1 1ABCD ABC D 中， ,M N 分别为棱 1AA 和 1BB 上的点，则CM 与 1D N 所成角的余弦值范围为 . 四、解答题:本题共 5 小题，共 77 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15．（13分）已知圆C的圆心在直线 2y x 上，且经过    6,2 , 4,6A B 两点.过定点  4,1D 的 动直线 l与圆C交于 ,P Q两点，O为坐标原点. （1）求圆C的标准方程； （2）求 OP OQ   的最大值. 16．（15分）已知双曲线   2 2 2 2: 1 0, 0 x yC a b a b     的离心率 2 3 3 e  ，左、右焦点分别为 1 2,F F ， A为双曲线C右支上一点， 1AF 与 y轴交于点 B，且 2AB F B ， 6 3 OB  . （1）求双曲线C的方程； （2）过右焦点 2F 且倾斜角为 5 6 6         的直线交双曲线C于 ,P Q两点，若 PQ的中点为 N ，O为坐标原点，直线ON交直线 3 2 2 x  于点M ，求 2 PQ MF 的最小值. 数学试卷 第 4 页（共 4 页） 17．如图，在四棱锥 P ABCD 中，底面 ABCD为正方形，平面 PAD  底面 ABCD， PAD 是边长为 6的正三角形， ,E F 分别是线段 AB 和 PD上的点， 4AE  ． （1）试确定点F的位置，使得 / /AF 平面 PEC，并证明； （2）若直线CF 与平面 PAD所成角的正切值为 3 2 ，求平面 ABC与平面 AFC夹角的余弦值． 18．（17分）如图，已知椭圆 2 2 1 2 2: 1( 0) x yE a b a b     与椭圆 2 2 2 : 116 12 x yE   有相同的离心率， 3(1, ) 2 P 在 1E 上，过点 P的两条不重合的直线 1 2,l l 与椭圆 1E 相交于 ,Q H 两点，与椭圆 2E 相 交于 ,A B和 ,C D四点. （1）求椭圆 1E 的标准方程； （2）求证： | | | |AP BQ ； （3）设直线 1 2,l l 的倾斜角互补，求证： AP AQ CP CH   . 19．（17分）设 A和 B是空间中的两个不同点，则 , ,A B C 三点共线的充要条件是存在实数 t R ， 使得 AC t AB   ，并且每个实数 t唯一对应直线 AB上的点C .仿照上面定义，设 , ,A B C 是 共线的三个不同点，定义点C关于点 ,A B的分比为  , ; ACA B C CB    . （1）设    , ; 1A B C     ，O为空间中任意取定的一点， 求证： 1 1 1 OC OA OB          ； （2）若 , , ,A B C D是共线的四个不同点，满足    , ; , ; ,A B C A B D  求    , ; , ;B C A B A D 的值； （3）如图，设 ,D E F和 分别是 ABC 的边 ,AB BC CA和 上 的点，若三条直线 ,AE BF CD和 交于一点M ，求证：      , ; , ; , ; 1A B D B C E C A F   . 2024年“江南十校”高二年级12月份阶段联考 数学答题卡 ( 选择题 （用2B铅笔填涂） 正确填涂样例： ) ( 缺考考生由监考员贴条形码，用 2B铅笔填涂左边的缺考标记， 并在姓名栏填写 “ 缺考 ” 字样。 ) ( 1．答题前务必认真核准条形码上的姓名、考号，并将本人姓名、考号填写在相应位置，在答题卡背面左上角填写姓名和座位号后两位。 2．答选择题时，须使用2B铅笔填涂，如需改动，务必擦净。答非选择题时，须使用0.5毫米的黑色墨水签字笔书写，字体工整、笔迹清晰。严格按题号所指示的答题区域作答，超出答题区域书写的答案无效；在试题卷、草稿纸上答题无效。保持卡面清洁，不折叠、不破损。 3．考生未按上述要求填写、答题，影响评分质量，后果自负。 ) ( 注意事项 ) ( 贴 条 形 码 区 ) ( 姓名： 考号： 贴条形码区 姓名： 考 号： 此栏考生禁填 缺考标记 ) 一、选择题 (1)[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] (2)[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] (3)[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] (4)[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] (5)[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] (6)[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] (7)[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] (8)[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 二、选择题 (9)[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] (10)[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] (11)[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] ( 非选择题 （用0.5毫米的黑色墨水签字笔书写） ) ( 三、 填空题 ( 12 ) ( 13 ) ( 14 ) ) ( 四、解答题 ( 15 ) ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超 出答题区域的答案无效 ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超 出答题区域的答案无效 ) ( 续 ( 15 ) ) ( (16) ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超 出答题区域的答案无效 ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超 出答题区域的答案无效 ) ( ( 1 7) ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超 出答题区域的答案无效 ) ( 座位号 后两位 ) ( 姓名 ) ( 考生务必将姓名、座位号后两位用 0.5毫米的黑色墨水签字笔认真填写在书写框内，座位号后两位的每个书写框只能填写一个阿位伯数字。 ) ( 考生 必填 ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超 出答题区域的答案无效 ) ( ( 18 ) ) ( 200 ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超 出答题区域的答案无效 ) ( 续 ( 18 ) ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超 出答题区域的答案无效 ) ( ( 19 ) ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超 出答题区域的答案无效 ) ( 续 ( 1 9) ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超 出答题区域的答案无效 ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超 出答题区域的答案无效 ) ( 数学答题卡 第 1 页 共 2 页 ) 学科网（北京）股份有限公司 $$2024-2025 高二数学试题 参考答案及评分细则 一、选择题：本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目 要求的. 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 C B A D B C B C 1．【答案】C 【解析】由题意a b ，得 1    ，即  0,4,4a b  ，故选 C. 2．【答案】B 【解析】 0, 0m n  且m n 时方程 2 2 1mx ny  表示的曲线是椭圆，故选 B 3．【答案】A 【分析】根据点与直线的位置关系即可求解. 【详解】因为 (3 4, )P  是直线 1 1 2 0a x b y   和 2 2 2 0a x b y   的公共点， 所以 1 13 4 2 0a b   ，且 2 23 4 2 0a b   ，所以两点  1 1,A a b 和  2 2,B a b 都在同一条直线3 4 2 0x y   上， 故直线 AB 方程是3 4 2 0x y   ，故选 A. 4．【答案】D 【解析】易知PD BQ a c b    ，设CQ 中点为E ，则       2 1 1 1 2 2 3 3 3 3 BG BE BQ BC BQ PC PB a b c         ， 所以   1 1 1 2 2 2 3 3 3 3 PG PB BG b a b c a b c         ，故选 D 5．【答案】B 【解析】由题意直线 l 的方向向量  2,1,1m  ,  3,4,5PQ  ，则 2 2 2 23 4 5 50PQ     ， 6 4 5 15PQ m     ， 6m  ，所以点  2,4,6Q 到直线 l 的距离为 2 2 2 15 5 2 50 26 PQ m d PQ m                  ，故选 B. 6．【答案】C 【解析】圆 C 的方程为，   22 1 2x y   ，圆心为  0,1 ，半径为 2 ，过点  2,1 作圆 C 的切线，设其 x y A F1F2 O B Q H 方程为  1 2y k x   ，即 2 1 0kx y k    ，则 2 0 1 2 1 2 1 k k k       ，解得 1k   ，则结合图像 知 2 5 1 2 2 2 a b b a a        的取值范围为 1,3 ， 故选 C. 7．【答案】B 【详解】过点 M 作MA l 于 A 点，过点 N 作 NB l 于 B 点，设 l 与 x 轴交于点 D，如图 由抛物线定义结合三角形相似可得： 1 3 AM FM QM BN FN QN    ，令 FM m ，则 3 , 2FN m QM m  ，所以 FQ FN ，即 F 为QN 的中点， 由 QAM QDF  得 2 3 AM QM DF QF   ，又 2DF p  ，得 4 3 AM  ，则点 1 2 3 , 3 3 M       ，同理可得 4BN  ，即  3, 2 3N  ，所以  1,2 3Q  ，  3,2 3P 于是所求三角形的面积 1 1 1 16 3 4 3 3 2 2 3 3 PMN P MS PN x x             ，故选 B 或 8．【答案】C 【详解】设双曲线的右焦点为 1F ，连接 1QF ， 过O作OH AB 与 H ，则 OB a ， 因为 OA OB ，OH AB ，所以 AH BH ， 因为 FA BQ ，所以 FH HQ ，即H 为线段FQ的中点， 因为O为 1FF 的中点，所以 1/ /OH QF ，所以 1FQ QF ， 1 2QF OH ， 设 1 2 FA AB BQ m   ，则 4QF m ， BH m ， 1 2 4 2QF QF a m a    ，所以 2OH m a  ， 在 BHO△ 中，由勾股定理可得 2 2 2 OH BH OB  ，即   2 2 22m a m a   ，解得 4 5 m a ， 所以 3 2 5 OH m a a   ， 8 2 5 FH m a  ，在 FHO△ 中，由勾股定理得 2 2 2 OH FH OF  ， 即 2 2 23 8 5 5 a a c              ，解得 73 5 c a ，所以 73 5 c e a   . 故选：C. 二、多项选择题：本大题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求. 全部选对的得 6 分，部分选对的得部分分，有选错的得 0 分. 题号 9 10 11 答案 BCD AD ABD 9．【答案】BCD 【详解】对于 A：设过点  3,2P 与坐标轴的正半轴相交的直线 l 方程为： 1 x y a b   ，则 3 2 3 2 1 2 24ab a b a b       ，即直线 l 与坐标轴围成三角形的面积的最小值为 1 12 2 S ab  ， 所以与坐标轴的正半轴围成三角形面积为 16 的直线有 2 条，另外过点  3,2P 与 x 轴正（负）半轴，与 y 轴负（正）半轴围成三角形面积  0,S  ，即面积为 16 的直线各有 1 条，故共有 4 条；A 错误 对于 B：因为 5AB  ，以 A，B 为圆心，分别以 2,3 为半径作圆，则圆 A 与圆 B 相外切，它们的 3 条公 切线即为满足条件的直线，所以 B 正确； 对于 C：因为 2 4y x ，当 2x  时， 2 2 3y   ，所以点 Q 在抛物线的外部，所以 C 正确， 对于 D：过双曲线 2 2 1 4 5 x y   的右焦点作垂直实轴的直线 l ，被双曲线右支截得的弦（通径）长为 22 5 b a  ， 又双曲线的实轴长2 4 5a   ，所以结合对称性可知，被双曲线左右两支截得的线段长为 5 的直线有 2 条， 共有 3 条，所以 D 正确； 故选 BCD 10．【答案】AD 【详解】对于 A，因为 ，即 1AP zAA ，故 P 点在 1AA 上， 将平面 1 1B BAA 与平面 1 1D DAA 沿着 1AA 展开到同一平面内，如图： 连接 交 1AA 于 P，此时 1B 三点共线， 取到最小值即 的长， 即 2 2 1 4 2 2 5B D    ，A 正确； 对于 B，由于 时，则 P 为 1 1C D 的中点， 法一：如图 1 1BD ACC A平面 ，所以 1 1ABD OAG平面 平面 ，又 1 3 2 2 OG AG  ，作 1GH OA ， 则 1GH A BD平面 ，即GH 是点G 到平面 1A BD 的距离，且 2 2 1 1 3 4 GH OQ OA   ， 又 1/ /PE A BD平面 ，所以  1 1 1 21 1 3 3 2 2 2 3 3 4 P A BD G A BD A BDV V GH S          ，B 错误 法二：以 D 为空间直角坐标原点，以 DA，DC， 1DD 分别为 x，y，z 轴建系，如图 易知  1 2,2,2AC   是 1A BD平面 的一个法向量，  0,1,2DP  ，则点 P 到 1A BD平面 的距离为 P A BD D1 A1 B1 C1 B C D A D1 B1A1 O1 H O G E PD1 A1 B1 C1 B CD A x y z PD1 A1 B1 C1 B C D A 1 1 2 4 3 2 3 P AC DP d AC      ，所以   1 1 21 1 3 3 2 2 2 3 3 4 P A BD p A BDV d S        ，B 错误 对于 C，当 1, 1, 0x y z   时，点 P与 C点重合，此时经过 1, ,A B P三点截正方体所得截面是矩形 1 1A BCD ， 其面积 1 1 4 2A BCDS  ；当 1, 1, 1x y z   时，点 P与 1C 点重合，经过 1, ,A B P三点截正方体所得截面是 三角形 1 1A BC ，其面积  1 1 23 2 2 2 3 4 A BCS    ，当  1, 1, 0,1x y z   时，经过 1, ,A B P 三点截 正方体所得截面是梯形 1A BPQ ，面积随 z的增大而减小，故截面面积的取值范围是 2 3,4 2   ，C错误 对于 D，当 1x y z   时，可得点P 的轨迹在 1A BD 内（包括边界）， 易知 1AC 平面 1A BD ,点 A到平面 1A BD 的距离 1 1 2 3 3 3 AO AC  ，若 2 6 3 AP  ，则 2 2 2 3 3 OP AP AO   ，即P 点落在以O 为圆心， 2 3 3 为半径的圆上（如上右图）， O点到 1A BD 三边的距离为 1 3 6 2 3 2 2 3 2 3 3     ，此时 2 POQ    ， P 点轨迹是以O 为圆心， 2 3 3 为半径的圆的一部分，其轨迹长度为 1 2 3 3 2 4 3 3     ，即 D 正确；故选：AD 11．答案 ABD 【详解】对于 A，联立 2 4 1 x y y x      ，消元得 2 4 4 0x x   ， 则   2 Δ 4 16 0    ，故直线 1y x  与抛物线相切，又点  2,1M 在直线上， 则过点 M与相切的直线方程为 1y x  ，故 A 正确； QD1 A1 B1 C1 B C D A P P Q D O A1 B 对于 B，由题意，设 0 0 0 0( , ), ( , )A x y B x y ，则    0 0 0 0 2 0 0 0 0 0 1 1 1 1 4 1 1 2 2 2 2 4 MA MB y y k k y y x x x x x                     ， 注意到 2 0 04 ,x y ，于是    0 02 0 0 4 4 1 1 1 4 4 4 MA MBk k y y x y           为定值，B 选项正确. 对于 C，依题知，直线 AB 的斜率存在且不为零，设直线 AB 的方程为    2 1 1m x n y    ， 联立           22 4 2 4 2 4 1 2 1 1 x y x x y m x n y              ，得          2 2 4 1 4 4 2 1 1 4 2 0n y m n x y m x         ， 即     2 1 1 4 4 4 1 4 0 2 2 y y n m n m x x                   ，设    1 1 2 2, , ,A x y B x y ，则 1 2 2 1 2 1 1 1 , 2 2 k k y y x x       是方程    24 4 4 1 4 0nk m n k m     的两个根，由韦达定理知 1 2 1 4 1 4 m k k n     解得 1 4 n m   ，此时直线 AB 的方程为     1 2 1 1 4 m x m y           即   3 1 0 4 4 y m x y     ，恒过定点  2, 3  ，故 C 错误； 对于 D， 设 2 2 1 2 1 2( , ), ( , ) 4 4 x x A x B x ，以 A 为切点的切线 PAl 方程为   2 1 1 4 x y k x x   ， 则   2 1 2 21 1 1 2 4 4 04 4 x y k x x x kx kx x x y            ，令     22 2 1 1 116 4 4 4 2 0k kx x k x       得 1 2 x k  ，所以切线 PAl 方程为 2 1 1 2 4 x x y x  ，同理可得以 M 为切点的切线 PQl 方程为： 1y x  ，以 B 为 切 点 的 切 线 BQl 方 程 为 2 2 2 2 4 x x y x  ， 联 立 PQl 与 PAl 的 方 程 可 得 2 21 1 1 1 11 12 4 2 4 2 1 x x y x x x x x x x y x              ，即点 P 的横坐标为 1 1 2 x  ，由题意 12 1 2 x x   ，则 切线 BQ 的斜率 2 1 2 2 4 BQ x x k    ，又直线 AM 的斜率 2 1 1 1 1 24 2 4 AM x x k x      ，即 AM BQk k ， 所以 / /AM BQ，即 D 正确，故选 ABD 三、填空题：本大题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分。把答案填在题中的横线上。 12. （0， 5 12  ） 13. 1 2 14. 1 0, 3       详解 1：如图，放置等大的正方体，P 为棱 B’B2 上的点，⦟MCP 即为所求。 详解 2：以 1D 为空间直角坐标原点，分别以 1 1 1 1 1, ,D A DC D D为 x，y，z 轴建系如图， 设      1 1 1, 1,1, 0 1 , 1,0, 0 1AD N z z M h h     ，    11, 1, 1 , 1,1,CM h D N z    ，设 1CM D N  ， ，则     1 2 2 1 1 cos 1 2 2 CM D N z h CM D N h z         ， ①当 0z  或 1h  时， cos 0;  ②当 0z  且 1h  时，令  1 0 1n h n    ，    2 2 2 2 2 2 2 2 22 2 cos 2 2 42 2 z n z n y z n z nz n         2 2 2 2 2 2 1 1 14 4 4 4 1 z n z n zn z n zn      （当且仅当n z 取等号），令 1 , 1t t zn   ，函数 24 4 1t t    x y z NM A1 D1 C1 B1 C BA D 在 1, 为增函数，故 9  .故 2 1 cos 9   ，所以 1 0 cos 3   . 综上： 1 0 cos 3   . 四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15.解：（1）易求 ,A B中点坐标为  5,4T ， 6 2 2 4 6 ABk      ，故 AB 中垂线为   1 4 5 2 y x   ， 即 1 3 2 2 y x  ，与 2y x 联立解得圆心C 点坐标为  1,2 ， 圆的半径     2 2 1 6 2 2 5r      ，故圆     2 2 : 1 2 25C x y    …………………5 分 (2)设 ,P Q中点坐标为 N ， CN PQ ，故 N 点在CD为直径的圆上，设CD中点M ，以CD为 直 径 的 圆 M 的 方 程 ：      4 1 1 2 0x x y y      ， 即 2 2 5 3 5 2 2 2 x y                ， 故 2 3 4 1 0O P O Q O N    ， 当 且 仅 当 , ,O M N 三 点 共 线 时 取 等 号 ， 故 max 34 10OP OQ   ..………………………………13 分 另解：①当直线 PQ的斜率不存在时， PQ中点坐标  4,2T ， 2 4 5OP OQ OT   ； ②当直线 PQ的斜率存在时，设直线 PQ：  1 4y k x   代入     2 2 1 2 25x y    整理得：    2 2 2 21 8 2 2 4 8 23 0k x k k x k k        设    1 1 2 2, , ,P x y Q x y ，则 2 1 2 2 8 2 2 1 k k x x k      ， 2 1 2 2 4 6 2 1 k k y y k                2 2 2 2 4 3 2 2 2 2 2 2 8 2 2 4 6 2 8 10 2 11 2 1 1 1 k k k k k k k k OP OQ k k                    2 2 2 2 8 1 10 2 1 1 k k k k      2 2 9 8 10 1 k k        ，因为求 OP OQ 的最大值，可令 2 9 0t k    ， 9 2 t k    代入上式可得： 2 2 2 4 4 8 10 8 10 8 10 8518 859 181 2 t t OP OQ t tt t t                                   24 8 10 44 4 85 34 10 2 85 18            ，当且仅当 85t  ，即 85 9 2 k    时取等号. 易求4 5 34 10  ，故 max 34 10OP OQ   . 16.解：（1）由题意结合双曲线的对称性可知 1 2BF BF AB ，得 2 1 90AF F ,即 2AF x轴，把 代入方程 2 2 2 2 1 x y a b   ，可得 2 2 A b AF y a   ， 又 2 6 2 , 3 AF OB OB ， 即 2 2 6 3 b a  ，又 2 3 3 c e a 解得 2 24a ， 2 8b , 双曲线C 的方程为： 2 2 1 24 8 x y . .………………………………7 分 （2）设直线PQ的方程为： 2 2x my ,联立方程 2 2 4 2 1 24 8 x my x y , 化简得 2 2( 3) 8 2 8 0m y my .………………………………9 分 设 1 1( , )P x y ， 2 2( , )Q x y 则 1 2 2 8 2 3 m y y m ， 1 2 2 8 3 y y m ,结合直线PQ的方程得 1 2 2 24 2 3 x x m , 即 PQ 中点 N 坐标为 2 2 12 2 4 2 , 3 3 m m m .………11 分 于是 2 2 2 1 2 1 2 2 1 ( ) ( ) 4 6 | 3 | m PQ x x y y m （ 倾斜角 5 6 6 ， 3 3m ） 当 3 3m 时， 3 ON m k ，直线ON 方程为： 3 m y x ， 令 3 2 2 x 得 3 2 2 , 2 2 M m ，此时 x c 22 2 2 3 2 2 25 4 2 2 2 2 2 m MF m , 于是 2 2 2 2 8 3( 1) (3 ) 25 PQ m MF m m ，令 2 25 5,2 7t m ，则 2 2 2 2 8 3( 24) 8 3 8 3 4428 1 2424 PQ t MF t t tt t t t ， 因为 2 4 t t 在 5,2 7t 上单调增，即 4 24 t t t 在 5,2 7t 上单调减，亦即 8 3 4 24 t t t 在 5,2 7t 上单调增，所以当 5t  即 0m  时， 2 PQ MF 取得最小值 8 3 15 综上： 2 PQ MF 的最小值为 8 3 15 . .……………15 分 17．【解析】（1）取 F 为PD 三等分点，且 3PD DF ，过 F 作FK CD∥ ， 则 2 3 FK CD AE  ，所以 AEKF 为平行四边形，所以 AF EK∥ ， 又 AF PEC面 ，EK PEC面 ， 所以 / /AF 平面PEC ，证毕； …………………………………………………………6 分 （2）由题意平面PAD 底面 ABCD ,平面 PAD 底面 ABCD AD CD AD ，所以CD PAD面 ， 所以直线CF 与平面PAD所成角的平面角为 CFD ， 在 Rt CDF 中，由 3 tan 2 CD CFD FD    ，得 4DF  ． ……………………………………………8 分 设 AD中点为O，设BC中点为Q ，分别以 , ,OA OQ OP为 x，y，z轴建立空间直角坐标系， 则        3,0,0 , 3,6,0 3,6,0 , 1,0,2 3A B C F  ，    4,0,2 3 , 2, 6,2 3AF CF    ，……10分 设平面 AFC 的一个法向量为  , ,m x y z ， 由 4 2 3 0 2 6 2 3 0 m AF x z m CF x y z             ，取 3x  ，可得  3, 3,2m  ， …………………12分 易求平面 ABC 法向量  0,0,1n  ，设平面 ABC 与平面 AFC 夹角为 0, 2         ，则 2 10 cos cos , 53 3 4 m n m n m n         ， …………………14 分 故平面 ABC 与平面 AFC 夹角的余弦值为 10 5 ． …………………15分 （其他做法，请参照给分） 18.解：（1）依题意可得： 2 2 2 2 2 1 2 9 1 4 1 c e a a b c a b              ，解得： 2, 1, 3a c b   故椭圆 2 2 1 : 1 4 3 x y E   ………………………………………………………4 分 （2）若 AB斜率不存在或为 0，有对称性知： AP BQ 若 AB斜率存在且不为 0，设 AB 中点为  0 0,T x y ，    1 1 2 2, , ,A x y B x y ，则 2 2 1 1 1 16 12 x y   ① 2 2 2 2 1 16 12 x y   ②①②得： P A E B C D F K x y z O D C BEA P F      1 2 1 2 1 2 1 2 0 16 12 x x x x y y y y      ， 01 2 1 2 0 3 4 yy y x x x      即 3 4 AB OTk k   ，…………6 分 设 PQ中点为 'T ，同理可得： ' 3 4 PQ OT k k   ，即 ' 3 4 AB OT k k   ，故T 与 'T 重合. ,PT QT AT BT  ， BQAP AT PT BT QT      ，得证.…………10 分 （3）由（2）知： BQAP  ，同理 DHPC  ， AP+PQ=BQ+PQ=PBAQ  ，同理 DPCH  ， 即证： PA PB PC PD   ，设直线   3 : 1 2 AB y k x   代入 2 2 1 16 12 x y   整理得：   2 2 2 3 33 4 8 4 48 0 2 2 k x k k x k                   …………12 分 设    3 3 4 4, , ,A x y B x y ，则 2 3 4 2 12 8 3 4 k k x x k      ， 2 3 4 2 3 4 48 2 3 4 k x x k          2 2 3 41 1 1 1PA PB k x k x      =      2 23 4 3 4 2 36 1 1 1 3 4 k x x x x k k         ………15 分 因为直线 1 2,l l 的倾斜角互补，则 2l 的斜率为 k ，同理可得      2 2 36 1 3 4 PC PD k k       = PA PB ，得证. ………17 分 另解：设直线 1 cos : 3 sin 2 x t AB y t          代入 2 2 1 16 12 x y   整理得：    2 21 4sin 24cos 48sin 132 0t t       …………12 分 1 2 2 132 1 4sin t t      ， 1 2 2 132 1 4sin PA PB t t       ， 用  代 得：  2 2 132 132 1 4sin 1 4sin PD PC          ，…………15 分 所以 PA PB PC PD   ，得证. . ………17 分 19.解：（1） AC CB ，  A COC O OB O    ，  1 AOC O OB     ，故 1 A 1 1 OC O OB        . ………4 分  , ; , AC A B C CB   （2）设 即 ，因为 , ,A B C 是共线的三个不同点，故 0.  所以  AC AB AC  ，  1 AC AB BA      ，   1 1 1 , : 1 . BA B C A AC        ，即   1 , ;B A D   同理 ，    , ; ,A; 1.B C A B D  所以 . ………9 分 （3）设      , ; , , ; , , ;A B D B C E C A F     ，因为 ,A B和D三点共线，  , ;A B D  ，参照 （1）证明可得： 1 A 1 1 MD M MB        ① 又因为 ,M C,D三点共线，所以存在 x R ，使得 C 1 x MD M     ，代入①式可得： 0MA MB xMC   ② 同理，利用    , ; , , ;B C E C A F   ，可以找到实数 y 和 z ，使得 0yMA MB MC   ③ 0MA zMB MC    ④ 联立②③消去MB ，联立②④消去MA，可得：    1 0y MA x MC     ，    1 0z MB x MC     ，又因为MA，MB 和MC 中任意两个向量互不共线，故有 1 y x    1 0z x      ，由此推出 1 1 1 , ,x y z       ， 1  ，即      , ; , ; , ; 1A B D B C E C A F   .得证. . ………17 分 数学答题卡 第 1 页 共 2 页 三、填空题 (12) (13) (14) 2024 年“江南十校”高二年级 12 月份阶段联考 数学答题卡 姓名： 考号： 贴条形码区 姓名： 考号： 此栏考生禁填 缺考标记 一、选择题 ( 1 ) [ A ] [ B ] [ C ] [ D ] ( 2 ) [ A ] [ B ] [ C ] [ D ] ( 3 ) [ A ] [ B ] [ C ] [ D ] ( 4 ) [ A ] [ B ] [ C ] [ D ] ( 5 ) [ A ] [ B ] [ C ] [ D ] ( 6 ) [ A ] [ B ] [ C ] [ D ] ( 7 ) [ A ] [ B ] [ C ] [ D ] ( 8 ) [ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 二、选择题 ( 9 ) [ A ] [ B ] [ C ] [ D ] (10)[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] (11)[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] (17) 四、解答题 (15) 续(15) 缺考考生由监考员贴条形码，用 2B 铅笔填涂左边的缺考标记， 并在姓名栏填写“缺考”字样。 选择题 （用 2B铅笔填涂） 正确填涂样例： 贴 条 形 码 区 注 意 事 项 1．答题前务必认真核准条形码上的姓名、考号，并将本人姓名、考号填写在相应位置，在答题卡 背面左上角填写姓名和座位号后两位。 2．答选择题时，须使用 2B 铅笔填涂，如需改动，务必擦净。答非选择题时，须使用 0.5 毫米的 黑色墨水签字笔书写，字体工整、笔迹清晰。严格按题号所指示的答题区域作答，超出答题区 域书写的答案无效；在试题卷、草稿纸上答题无效。保持卡面清洁，不折叠、不破损。 3．考生未按上述要求填写、答题，影响评分质量，后果自负。 非选择题 （用 0.5毫米的黑色墨水签字笔书写） 请在各题目的答题区域内作答，超出答题区域的答案无效 请在各题目的答题区域内作答，超出答题区域的答案无效 请在各题目的答题区域内作答，超出答题区域的答案无效 请在各题目的答题区域内作答，超出答题区域的答案无效请在各题目的答题区域内作答，超出答题区域的答案无效 (16) 数学答题卡 第 2 页 共 2 页 200 (18 ) 续(18) (19) 考生 必填 姓名 座位号 后两位 考生务必将姓名、座位号后两位用 0.5 毫米的黑 色墨水签字笔认真填写在书写框内，座位号后两位的 每个书写框只能填写一个阿位伯数字。 请在各题目的答题区域内作答，超出答题区域的答案无效 请在各题目的答题区域内作答，超出答题区域的答案无效 请在各题目的答题区域内作答，超出答题区域的答案无效 请在各题目的答题区域内作答，超出答题区域的答案无效 续(19) 请在各题目的答题区域内作答，超出答题区域的答案无效 请在各题目的答题区域内作答，超出答题区域的答案无效 姓名 座位号 （在此卷上答题无效） 绝密 ★ 启用前 2024年“江南十校”高二年级12月份阶段联考 数 学 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号框涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号框。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将答题卡交回。 第I卷（选择题） 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的. 1．已知集合，则（ ） A． B． C． D． 2．条件，条件方程表示的曲线是椭圆，则是的（ ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 3．若点是直线和的公共点，则相异两点和所确定的直线方程是（　　） A． B． C． D． 4．六氟化硫，化学式为，在常压下是一种无色、无臭、无毒、不燃的稳定气体，有良好的绝缘性，在电器工业方面具有广泛用途．六氟化硫分子结构为正八面体结构（正八面体每个面都是正三角形，可以看作是两个棱长均相等的正四棱锥将底面重合的几何体）．如图所示，在正八面体中，是的重心，记，则等于（ ） A． B． C． D． 5．已知是直线的方向向量，直线经过点，则点到直线的距离为（ ） A. B. C. D. 6．已知圆的方程为，为圆上任意一点，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 7．焦点为的抛物线上有一点（不与原点重合），它在准线上的投影为。设直线与抛物线交于两点（），若，则的面积为（ ） A. B. C. D. 8．若圆为双曲线:的“伴随圆”，过的左焦点与右支上一点，作直线交“伴随圆”于，若，则的离心率为（    ） A． B． C． D． 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目的要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9．给出下列命题，其中真命题为（ ） A．过点与坐标轴围成三角形的面积为16的直线有且仅有3条 B．已知点，则满足到点距离为，到点距离为3的直线有且仅有3条 C．过点与抛物线仅有1个公共点的直线有3条 D．过双曲线的右焦点被截得线段长为5的直线有且仅有3条 10．已知正方体的棱长为，动点满足，（且），下列说法正确的是（  ） A．当时，的最小值为 B．当时，三棱锥的体积为 C．当时，经过三点截正方体所得截面面积的取值范围是 D．当，且时，则的轨迹总长度为 11．过抛物线上一点作斜率分别为的两条直线，与分别交于两点（异于点），则（    ） A．过点与相切的直线方程为 B．若点关于轴对称，则为定值 C．若，则直线经过定点 D．分别以为切点作抛物线的三条切线，若两点的横坐标相等，则 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12．抛物线的焦点坐标是 . 13．蓄有水的圆柱体茶杯，适当倾斜能得到椭圆形水面，当椭圆形水面与圆柱底面所成的二面角为3时，则水面椭圆的离心率为 . 14．如图，在正方体中，分别为棱和上的点，则与所成角的余弦值范围为 . 四、解答题:本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15．（13分）已知圆的圆心在直线上，且经过两点.过定点的动直线与圆交于两点，为坐标原点. （1）求圆的标准方程； （2）求的最大值. 16．（15分）已知双曲线的离心率，左、右焦点分别为，为双曲线右支上一点，与轴交于点，且，. （1）求双曲线的方程； （2）过右焦点且倾斜角为的直线交双曲线于两点，若的中点为，为坐标原点，直线交直线于点，求的最小值. 17．如图，在四棱锥中，底面为正方形，平面底面，是边长为的正三角形，分别是线段和上的点，． （1）试确定点的位置，使得平面，并证明； （2）若直线与平面所成角的正切值为，求平面与平面夹角的余弦值． 18．（17分）如图，已知椭圆与椭圆有相同的离心率，在上，过点的两条不重合的直线与椭圆相交于两点，与椭圆相交于和四点. （1）求椭圆的标准方程； （2）求证：； （3）设直线的倾斜角互补，求证：. 19．（17分）设和是空间中的两个不同点，则三点共线的充要条件是存在实数，使得，并且每个实数唯一对应直线上的点.仿照上面定义，设是共线的三个不同点，定义点关于点的分比为. （1）设，为空间中任意取定的一点，求证：； （2）若是共线的四个不同点，满足求的值； （3）如图，设分别是的边上的点，若三条直线交于一点，求证：. 数学试卷 第 1 页（共 4 页） 学科网（北京）股份有限公司 $$