精品解析：贵州省毕节市民族中学东校区2024-2025学年上学期九年级期中考试数学试题

贵州省2024-2025学年度第一学期期中考试 九年级数学（北师大版） （满分：150分） 注意事项： 1．答题时，务必将自己的学校、班级、姓名、准考证号填写在答题卡规定的位置上． 2．答选择题时，必须使用2B铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦擦干净后，再选涂其他答案标号． 3．答非选择题时，必须使用黑色墨水笔或黑色签字笔，将答案书写在答题卡规定的位置上． 4．所有题目必须在答题卡上作答，在试题卷上答题无效． 一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分．在每小题所给的四个选项中，有且只有一项是符合题目要求的） 1. 一元二次方程的一次项系数是（ ） A. 3 B. 2 C. D. 2. 正方形具有而矩形不一定具有的性质是（ ） A. 对角线互相垂直 B. 对角互补 C. 对角线互相平分 D. 对角线相等 3. 如图，在菱形中，已知，则的度数为（ ） A. B. C. D. 4. 若关于的一元二次方程的一个根是，则的值是（ ） A. 6 B. 5 C. 4 D. 3 5. 若某随机事件发生的概率为，则下列说法正确的是（ ） A. 在2次试验中，该事件至少发生1次 B. 在1000次试验中，该事件发生的次数一定为500次 C. 随着试验次数的增加，该事件发生的频率会逐渐稳定在 D. 当试验次数特别多时，该事件发生的频率为 6. 如图，在三角形部件中，，为边的中点，则的长为（ ） A. B. C. D. 7. 若关于的一元二次方程有两个不等的实数根，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. 且 D. 且 8. 如图，在正方形中，为上的一点，连接．若，将绕点按顺时针方向旋转得到，连接，则的度数为（ ） A. B. C. D. 9. 某地足球联赛中，参赛的每两个队之间都需要进行一场比赛，共比赛了45场．设共有个队参加比赛，则下列方程符合题意的是（ ） A. B. C. D. 10. 如图，用两个可自由转动的转盘做“配紫色”游戏（其中一个转出红色，另一个转出蓝色即可配成紫色），其中转盘一被分成不等的两个扇形，转盘二被分成相等的四个扇形．如果同时转动这两个转盘，那么两个转盘停止时指针所指的颜色可配成紫色的概率是（ ） A. B. C. D. 11. 对于实数，，，，定义运算，我们把它叫做二阶行列式，例如：．若，则的值为（ ） A. 或4 B. 2或 C. 2或4 D. 或 12. 如图，四边形是菱形，，，于点，则的长是（ ） A. B. C. D. 二、填空题（本大题共4小题，每小题4分，共16分） 13. 已知在菱形中，，则菱形的周长为______． 14. 一个等腰三角形的其中两边长分别是方程的两个根，则该等腰三角形的周长为______． 15. 如图，在平面直角坐标系中，矩形的顶点A，C的坐标分别是，，点B在x轴上，则点B的坐标是 _____． 16. 已知实数，满足，，则的值为______． 三、解答题（本大题共9小题，共98分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 17. 按要求解下列方程： （1）；（公式法） （2）．（配方法） 18. 在一个不透明的口袋里装有黑、白两种颜色的球共8个，这些球除颜色外其他均相同．某学习小组做摸球试验，将球搅拌均匀后，从中随机摸出一个球，记下颜色后再放回口袋中，不断重复这一过程，下表是试验中的统计数据． 摸球的次数 100 150 300 500 800 1100 摸到白球的次数 48 78 153 251 401 550 摸到白球的频率 （1）估计摸到白球的概率为______（精确到）； （2）试估计口袋中白球的个数． 19. 李叔叔家有一块空地，他打算搭建一个如图所示的矩形鸡舍，该鸡舍的一条长边靠墙（足够长），另外三边用钢丝网搭建．该鸡舍的面积为，且长比宽多．该鸡舍的长和宽分别是多少米？ 20. 如图，在菱形中，于点，于点． （1）求证：； （2）若，，求的长． 21. 阳阳一家准备寒假到贵州旅游，通过网上查阅．初步打算在下面的几个景点中选择性游玩：镇远古镇（A），荔波小七孔（B），黄果树瀑布（C），威宁草海（D），梵净山（E）． （1）若他们随机选择1个景点，则他们去荔波小七孔的概率是______； （2）若他们随机选择两个景点，请用列表或画树状图的方法，求他们去威宁草海的概率． 22. 某商场销售一批名牌衬衫，其进价为每件160元，每件以200元售出，平均每天可售出20件，经过市场调查发现，这种衬衫的单价每降价一元，商场平均每天可多售出2件．若商场销售这种名牌衬衫要想平均每天赢利1200元，请回答： （1）每件衬衫应降价多少元？ （2）在平均每天获利不变的情况下，为尽可能让利于顾客，赢得市场，该名牌衬衫应按原售价的几折出售？ 23. 如图，在中，延长到点，使得，连接，，，交于点，已知． （1）求证：四边形是矩形； （2）若，，求的长． 24. 定义：若两个一元二次方程有且只有一个相同的实数根，我们就称这两个方程为“同伴方程”．例如：和有且只有一个相同的实数根，所以这两个方程为“同伴方程”． （1）根据定义，判断一元二次方程与是否属于“同伴方程”； （2）关于x的一元二次方程与为“同伴方程”，求m的值． 25. 【问题提出】（1）如图1，在中，对角线平分．求证：四边形是菱形． 【问题探究】（2）如图2，点E在正方形内，点F在正方形外，连接，且．若，求的长． 【问题解决】（3）如图3，某公园内有一块平行四边形草坪，其中平分，，点E，P分别在上，且，连接．现要沿修建步行景观道，为了节省成本，要使所修的步行景观道最短，试求的最小值．（路面宽度忽略不计） 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 贵州省2024-2025学年度第一学期期中考试 九年级数学（北师大版） （满分：150分） 注意事项： 1．答题时，务必将自己的学校、班级、姓名、准考证号填写在答题卡规定的位置上． 2．答选择题时，必须使用2B铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦擦干净后，再选涂其他答案标号． 3．答非选择题时，必须使用黑色墨水笔或黑色签字笔，将答案书写在答题卡规定的位置上． 4．所有题目必须在答题卡上作答，在试题卷上答题无效． 一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分．在每小题所给的四个选项中，有且只有一项是符合题目要求的） 1. 一元二次方程的一次项系数是（ ） A. 3 B. 2 C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】此题主要考查了一元二次方程的一般形式，解题关键是要理解和掌握一元二次方程的一般形式．一元二次方程的一般形式是（a、b、c是常数，且），其中a、b、c分别叫二次项系数、一次项系数、常数项． 【详解】解：一元二次方程，其一次项系数是． 故选：D． 2. 正方形具有而矩形不一定具有的性质是（ ） A. 对角线互相垂直 B. 对角互补 C. 对角线互相平分 D. 对角线相等 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了矩形、正方形的性质，根据正方形和矩形的性质逐项分析可得结论． 【详解】解：A、正方形的对角线相等且互相垂直，矩形的对角线只相等但不垂直，正方形具有而矩形不一定具有的性质是对角线互相垂直，故A选项符合题意； B、正方形和矩形的对角都互补，故B选项不符合题意； C、正方形和矩形的对角线都互相平分，故C选项不符合题意； D、正方形和矩形的对角线都相等，故D选项不符合题意； 故选：A． 3. 如图，在菱形中，已知，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了菱形的定义，根据菱形的定义得，进而得，再根据三角形的内角和定理即可得到答案． 【详解】解：∵四边形是菱形， ∴, ∴， ∴， 故选：B． 4. 若关于的一元二次方程的一个根是，则的值是（ ） A. 6 B. 5 C. 4 D. 3 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的根，把代入，解出，即可作答． 【详解】解：∵关于的一元二次方程的一个根是， ∴把代入， 得把， 解得， 故选：A． 5. 若某随机事件发生的概率为，则下列说法正确的是（ ） A. 在2次试验中，该事件至少发生1次 B. 在1000次试验中，该事件发生的次数一定为500次 C. 随着试验次数的增加，该事件发生的频率会逐渐稳定在 D. 当试验次数特别多时，该事件发生的频率为 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了概率的意义，概率是反映事件发生机会的大小的概念，只是表示发生的机会的大小，可能发生也可能不发生，据此根据题意得出答案即可． 【详解】解：∵某个事件发生的概率是， ∴根据概率的意义可知：该事件在一次试验中可能发生也可能不发生，且每次试验中事件发生的可能性是，且随着试验次数的增加，该事件发生的频率会逐渐稳定在， 故选：C． 6. 如图，在三角形部件中，，为边的中点，则的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了斜边上的中线等于斜边的一半，根据，为边的中点，得出，即可作答． 【详解】解：依题意，，为边的中点， ∴是的中线， ∴ 故选：C 7. 若关于的一元二次方程有两个不等的实数根，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. 且 D. 且 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式以及一元二次方程的定义，因为关于的一元二次方程有两个不等的实数根，所以，，代入数值化简即可作答． 【详解】解：∵关于的一元二次方程有两个不等的实数根， ∴，， ∴且， 故选：D 8. 如图，在正方形中，为上的一点，连接．若，将绕点按顺时针方向旋转得到，连接，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了正方形的性质，旋转的性质，等边对等角，三角形内角和定理等等，先由正方形的性质和三角形内角和定理得到，，再由旋转的性质得到，则，据此根据角的和差关系求解即可． 【详解】解：∵四边形是正方形， ∴， ∵， ∴， 由旋转的性质得到， ∴， ∴， 故选：B． 9. 某地足球联赛中，参赛的每两个队之间都需要进行一场比赛，共比赛了45场．设共有个队参加比赛，则下列方程符合题意的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，根据参赛的每两个队之间都需要进行一场比赛，共比赛了45场．设共有个队参加比赛，则列式，即可作答． 【详解】解：∵根据参赛的每两个队之间都需要进行一场比赛，共比赛了45场，设共有个队参加比赛， ∴， 故选：D 10. 如图，用两个可自由转动的转盘做“配紫色”游戏（其中一个转出红色，另一个转出蓝色即可配成紫色），其中转盘一被分成不等的两个扇形，转盘二被分成相等的四个扇形．如果同时转动这两个转盘，那么两个转盘停止时指针所指的颜色可配成紫色的概率是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查列表法与树状图法，熟练掌握列表法与树状图法以及概率公式是解答本题的关键． 画树状图得出所有等可能的结果数以及一个转出红色，另一个转出蓝色的结果数，再利用概率公式可得出答案． 【详解】解：∵转盘一红色区域的扇形圆心角度数为， ∴转盘一蓝色区域是红色区域的2倍， 画树状图如下： 共有12种等可能的结果，其中一个转出红色，另一个转出蓝色的结果有：（红，蓝），（蓝，红），（蓝，红），（蓝，红），（蓝，红），共5种， ∴可配成紫色的概率是 故选：B． 11. 对于实数，，，，定义运算，我们把它叫做二阶行列式，例如：．若，则的值为（ ） A. 或4 B. 2或 C. 2或4 D. 或 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了解一元二次方程，根据题意列出一元二次方程，解方程，即可求解． 【详解】解：∵ ∴ ∴ ∴ 解得：， 故选：A． 12. 如图，四边形是菱形，，，于点，则的长是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理，菱形的性质，根据勾股定理求得，进而得出，进而根据等面积法，即可求解． 【详解】解：∵四边形是菱形，，， ∴，，， 在中，， ∴， ∵菱形的面积为， ∴， 故选：A． 二、填空题（本大题共4小题，每小题4分，共16分） 13. 已知在菱形中，，则菱形的周长为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查菱形的性质．根据菱形的性质“菱形的四条边相等”可直接进行求解． 【详解】解：∵四边形是菱形， ∴， ∴菱形的周长为， 故答案为：． 14. 一个等腰三角形的其中两边长分别是方程的两个根，则该等腰三角形的周长为______． 【答案】15 【解析】 【分析】本题考查了解一元二次方程，三角形三边的关系，等腰三角形的定义，掌握因式分解法解一元二次方程是解题的关键．先利用因式分解法解方程得到，，再利用等腰三角形的定义与三角形三边的关系可得到答案． 【详解】解：， 或， ，， 等腰三角形的腰为3，底边为6时，，不符合题意； 等腰三角形的腰为6，底边为3，， 等腰三角形的周长为． 故答案为： 15． 15. 如图，在平面直角坐标系中，矩形的顶点A，C的坐标分别是，，点B在x轴上，则点B的坐标是 _____． 【答案】 【解析】 【分析】先根据两点距离公式可求AC的长，再根据矩形的性质求得，再根据点B在x轴上，即可求解． 【详解】解：连接， ∵点A，，点C， ∴ ∵四边形是矩形， ∴， ∵点B在x轴上， ∴点B的坐标为 故答案为：． 【点睛】本题考查了矩形的性质，坐标与图形的性质，掌握矩形的对角线相等是解题的关键． 16. 已知实数，满足，，则的值为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程根与系数的应用．根据题意得到可以把a，b看作是方程的两根，由根与系数的关系，得． 【详解】解：∵实数，满足，， ∴可以把a，b看作是方程的两根． 由根与系数的关系，得． 故答案为：． 三、解答题（本大题共9小题，共98分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 17. 按要求解下列方程： （1）；（公式法） （2）．（配方法） 【答案】（1），; （2），. 【解析】 【分析】此题考查一元二次方程，解题的关键是根据题目要求按照步骤进行计算求解． （1）根据公式法的求解步骤进行求解即可； （2）按照配方步骤即可解得． 【小问1详解】 解： ， ∴， ∴， ∴，； 【小问2详解】 解：， ， ， ∴， ∴或， ∴，． 18. 在一个不透明的口袋里装有黑、白两种颜色的球共8个，这些球除颜色外其他均相同．某学习小组做摸球试验，将球搅拌均匀后，从中随机摸出一个球，记下颜色后再放回口袋中，不断重复这一过程，下表是试验中的统计数据． 摸球的次数 100 150 300 500 800 1100 摸到白球的次数 48 78 153 251 401 550 摸到白球的频率 （1）估计摸到白球的概率为______（精确到）； （2）试估计口袋中白球的个数． 【答案】（1） （2）4 【解析】 【分析】（1）根据统计数据，当很大时，摸到白球的频率接近； （2）根据利用频率估计概率，可估计摸到白球的概率为，然后利用概率公式计算白球的个数； 本题考查了利用频率估计概率：大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率． 【小问1详解】 解：依题意，当很大时，摸到白球的频率将会接近； 故答案为：； 【小问2详解】 解：∵在一个不透明的口袋里装有黑、白两种颜色的球共8个，且由（1）摸到白球的概率为， ∴可估计口袋中白球的个数（个）． 19. 李叔叔家有一块空地，他打算搭建一个如图所示的矩形鸡舍，该鸡舍的一条长边靠墙（足够长），另外三边用钢丝网搭建．该鸡舍的面积为，且长比宽多．该鸡舍的长和宽分别是多少米？ 【答案】鸡舍的宽为，则长为 【解析】 【分析】此题考查了一元二次方程的应用，解题的关键是正确列出一元二次方程．设鸡舍的宽为，则长为，根据题意列出一元二次方程求解即可。 【详解】解：设鸡舍的宽为，则长为， 根据题意得 解得，（舍去） ∴（） ∴鸡舍的宽为，则长为 20. 如图，在菱形中，于点，于点． （1）求证：； （2）若，，求的长． 【答案】（1） 证明：，， ， 又四边形是菱形， ，， ． （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了菱形的性质，全等三角形的判定以及性质，勾股定理． （1）利用菱形的性质结合已知条件用即可证明． （2）利用全等三角形的性质得出，再利用勾股定理即可求出． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 ， ， ，， ． 21. 阳阳一家准备寒假到贵州旅游，通过网上查阅．初步打算在下面的几个景点中选择性游玩：镇远古镇（A），荔波小七孔（B），黄果树瀑布（C），威宁草海（D），梵净山（E）． （1）若他们随机选择1个景点，则他们去荔波小七孔的概率是______； （2）若他们随机选择两个景点，请用列表或画树状图的方法，求他们去威宁草海的概率． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查的是用列表法或树状图法求概率．列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件；解题时要注意此题是放回实验还是不放回实验．用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比． （1）直接利用概率公式求解可得； （2）列表得出所有等可能结果，从中找到符合条件的结果数，再利用概率公式求解可得． 【小问1详解】 解：若他们随机选择1个景点，则他们去荔波小七孔的概率是， 故答案为：； 【小问2详解】 解：列表如下： A B C D E A B C D E 由表可知，共有20种等可能的结果，其中他们去威宁草海的结果有8种， ∴“他们去威宁草海的概率为． 22. 某商场销售一批名牌衬衫，其进价为每件160元，每件以200元售出，平均每天可售出20件，经过市场调查发现，这种衬衫的单价每降价一元，商场平均每天可多售出2件．若商场销售这种名牌衬衫要想平均每天赢利1200元，请回答： （1）每件衬衫应降价多少元？ （2）在平均每天获利不变的情况下，为尽可能让利于顾客，赢得市场，该名牌衬衫应按原售价的几折出售？ 【答案】（1）每件衬衫应降价10元或20元 （2）每件衬衫应降价20元，该名牌衬衫应按原售价的九折出售 【解析】 【分析】题目主要考查一元二次方程的应用，打折销售问题，理解题意，列出方程求解是解题关键． （1）设每件衬衫应降价元，根据题意列出方程求解即可； （2）根据题意得出每件衬衫应降价20元，然后计算打折数即可． 【小问1详解】 解：设每件衬衫应降价元， 则依题意，得：， 整理，得， 解得：， ∴每件衬衫应降价20元或10元； 【小问2详解】 解：由（1）可知每件衬衫可降价10元或20元． ∵要尽可能让利于顾客， ∴每件衬衫应降价20元，  此时，售价为：（元）， ， 答：每件衬衫应降价20元，该名牌衬衫应按原售价的九折出售． 23. 如图，在中，延长到点，使得，连接，，，交于点，已知． （1）求证：四边形是矩形； （2）若，，求的长． 【答案】（1） 证明：∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴． 又∵，， ∴，点为线段的中点， ∴四边形为平行四边形． ∵， ∴，即， ∴平行四边形为矩形． （2）． 【解析】 【分析】（1）先证明四边形为平行四边形，再根据得到，即可求证； （2）由得到为等边三角形，求得、，再根据勾股定理即可求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵，， ∴为等边三角形． ∴， 由（）得， ∴． 在中，， ∴． 【点睛】此题考查了平行四边形的性质，矩形的判定，等边三角形的判定与性质，勾股定理，熟练掌握相关性质是解题的关键． 24. 定义：若两个一元二次方程有且只有一个相同的实数根，我们就称这两个方程为“同伴方程”．例如：和有且只有一个相同的实数根，所以这两个方程为“同伴方程”． （1）根据定义，判断一元二次方程与是否属于“同伴方程”； （2）关于x的一元二次方程与为“同伴方程”，求m的值． 【答案】（1）属于 （2）或． 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的知识；解题的关键是熟练掌握一元二次方程的解法，从而完成求解． （1）结合题意，通过求解一元二次方程，即可得到答案； （2）首先求解，得，；结合题意，将，分别代入，从而计算得m的值；再经检验符合m的值是否符合题意，从而完成求解． 【小问1详解】 解：解方程，得，， 解方程，得，， ∴一元二次方程与有且只有一个相同的实数根， ∴一元二次方程与属于“同伴方程”； 【小问2详解】 解：解，得，， 当相同的实数根是时，则， 解得， 把代入，得， 解得，， ∴两个方程有且仅有一个相同的实数根，符合题意； 当相同的实数根是时，则， 解得， 把代入，得， 解得，， ∴两个方程有且仅有一个相同的实数根，符合题意； ∴m的值为或． 25. 【问题提出】（1）如图1，在中，对角线平分．求证：四边形是菱形． 【问题探究】（2）如图2，点E在正方形内，点F在正方形外，连接，且．若，求的长． 【问题解决】（3）如图3，某公园内有一块平行四边形草坪，其中平分，，点E，P分别在上，且，连接．现要沿修建步行景观道，为了节省成本，要使所修的步行景观道最短，试求的最小值．（路面宽度忽略不计） 【答案】 （1）证明：四边形是平行四边形， ， ． 平分， ， ， ， ∴四边形是菱形． （2）；（3） 【解析】 【分析】（1）由平行四边形的性质得，从而有；由平分，得，即有，由菱形的判定即可证明； （2）由证，从而可得，由勾股定理即可求解； （3）首先由（1）可得，四边形为菱形，从而得；过点A作，取，连接，由证明，则有，从而得．连接、，当G、E、C三点共线时，取得最小值，最小值为．由，可得，由勾股定理即可求得，从而求得最小值． 【详解】（1）略 （2）解：∵四边形是正方形， ． 在和中，， ， ． ， ， ， ． （3）解：∵四边形为平行四边形，平分， ∴由（1）可知，四边形为菱形， ， ． 如图，过点A作，取，连接． 在和中，， ， ， ． 连接，当G，E，C三点共线时，取得最小值，最小值为． 在菱形中，， 是等边三角形， ， ， ， 故的最小值为． 【点睛】本题考查了平行四边形的性质，菱形的判定与性质，正方形的性质，全等三角形的判定与性质，等边三角形的判定与性质，勾股定理等知识，有一定的综合性，证明全等三角形是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $