第14章勾股定理单元复习卷 2024-2025学年华东师大版数学八年级上册

华东师大版第14章《勾股定理》单元复习卷 一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分） 1．（3分）下列各组数中，以它们为边长的线段能构成直角三角形的是（　　） A．3，4，7 B．8，10，15 C．6，8，10 D．7，24，26 2．（3分）下面图形能够验证勾股定理的有（　　） A．0 B．1 C．2 D．3 3．（3分）如图：4×1网格中每个正方形边长为1，表示长的线段是（　　） A．OA B．OB C．OC D．OD 4．（3分）在平面直角坐标系中，点P（3，2）到原点的距离是（　　） A．1 B． C． D． 5．（3分）如图的数轴上，点A，C对应的实数分别为1，3，线段AB⊥AC于点A，且AB长为1个单位长度，若以点C为圆心，BC长为半径的弧交数轴于0和1之间的点P，则点P表示的实数为（　　） A． B． C． D． 6．（3分）一棵大树在一次强台风中折断倒下，大树折断前高度估计为18m，倒下后树顶落在距树根部大约12m处．这棵大树离地面约（　　）米处折断． A．3m B．4m C．5m D．6m 7．（3分）如图，长为16cm的橡皮筋放置在x轴上，固定两端A和B，然后把中点C向上拉升6cm至D点，则橡皮筋被拉长了（　　） A．6cm B．5cm C．4cm D．2cm 8．（3分）如图，在Rt△ABC中，分别以这个三角形的三边为边长向外侧作正方形、面积分别记为S1，S2，S3．若S3+S2﹣S1＝18．则图中阴影部分的面积为（　　） A．6 B． C．5 D． 9．（3分）如图，高速公路上有A、B两点相距10km，C、D为两村庄，已知DA＝4km，CB＝6km．DA⊥AB于A，CB⊥AB于B，现要在AB上建一个服务站E，使得C、D两村庄到E站的距离相等，则EA的长是（　　）km． A．4 B．5 C．6 D． 10．（3分）如图，在四边形ABCD中，对角线分别为AC，BD，且AC⊥BD交于点O，若AD＝2，BC＝6，则AB2+CD2的值为（　　） A．40 B．38 C．36 D．32 二．填空题（共6小题，满分24分，每小题4分） 11．（4分）已知直角三角形的两直角边a，b满足，则第三边的长为 　 　． 12．（4分）如图，所有阴影部分四边形都是正方形，所有三角形都是直角三角形，若正方形A、C、D的面积依次为4、6、18，则正方形B的面积为 　 　． 13．（4分）如图，在6×6正方形网格中，点A、B、C都在网格线上，且都是小正方形边的中点．将△ABC的三边a、b、c按照从小到大排列为 　 　（用“＜”连接）． 14．（4分）如图，一架秋千静止时，踏板离地的垂直高度DE＝0.5m，将它往前推送1.5m（水平距离BC＝1.5m）时，秋千的踏板离地的垂直高度BF＝1m，秋千的绳索始终拉直，则绳索AD的长是 　 　m． 15．（4分）在△ABC中，∠ACB＝30°，AC＝8，，则BC的长为 　 　． 16．（4分）如图，四边形ABCD中，已知AC⊥BC，AD⊥BD，垂足分别为C，D．若BC＝2，CD＝3，∠ACD＝45°，则AB＝　 　． 三．解答题（共8小题，满分66分） 17．（6分）如图，方格纸中小正方形的边长为1个单位长度，△ABC为格点三角形． （1）建立平面直角坐标系，使点A的坐标为（﹣5，4），点B的坐标为（﹣2，0）．此时，点C的坐标为 　 　； （2）判断△ABC的形状，并说明理由． 18．（8分）如图，已知等腰△ABC中，AB＝AC，BC＝20cm，D是边AB上一点，且CD＝16cm，BD＝12cm． （1）求AD的长； （2）求△ABC中BC边上的高． 19．（8分）如图，把一块Rt△ABC（∠ACB＝90°）土地划出一个△ADC后，测得CD＝3m，AD＝4m，BC＝12m，AB＝13m． （1）试判断△ADC的形状，并说明理由； （2）求图中阴影部分土地的面积． 20．（8分）如图，一只小猫沿着斜靠在墙角的木板AB往上爬，木板底端距离墙角0.7m，当小猫从木板底部爬到顶端A时，木板底端向墙外滑动了1.3m，木板顶端向下滑动了0.9m．求出A1C和这块木板的长度． 21．（8分）中菲黄岩岛争端持续，我海监船加大黄岩岛附近海域的巡航维权力度．如图，OA⊥OB，OA＝36海里，OB＝12海里，黄岩岛位于O点，我国海监船在点B处发现有一不明国籍的渔船，自A点出发沿着AO方向匀速驶向黄岩岛所在地点O，我国海监船立即从B处出发以相同的速度沿某直线去拦截这艘渔船，结果在点C处截住了渔船． （1）请用直尺和圆规作出C处的位置； （2）求我国海监船行驶的航程BC的长． 22．（9分）先阅读下列一段文字，再回答问题． 已知平面内两点P1（x1，y1），P2（x2，y2），这两点间的距离．同时，当两点所在的直线在坐标轴上或平行于坐标轴或垂直于坐标轴时，两点间的距离公式可简化为|x2﹣x1|或|y2﹣y1|． （1）已知点A（2，4），B（﹣3，﹣8），试求A，B两点间的距离； （2）已知点A，B所在的直线平行于y轴，点B的纵坐标为2，A，B两点间的距离为4，求点A的纵坐标； （3）已知△ABC各顶点的坐标分别为A（﹣2，1），B（1，﹣1），C（3，2），你能判断△ABC的形状吗？说明理由． 23．（9分）规律探索题：细心观察如图，认真分析各式，然后解答问题.；（S1是△OA1A2的面积）； ；（S2是△OA2A3的面积）； ；（S3是△OA3A4的面积）； … （1）请用含有n（n为正整数）的等式Sn＝　 　； （2）推算出OA10＝　 　； （3）求出的值． 24．（10分）【材料阅读】我国古人对勾股定理的研究非常深邃．如图1，已知直角三角形三边长为a，b，c（c为斜边），由勾股定理：c2＝a2+b2，得b2＝c2﹣a2＝（c+a）（c﹣a），则，得到：． 从而得到了勾股定理的推论：已知直角三角形三边长为a，b，c（c为斜边），则 【问题解决】如图2，已知△ABC的三边长分别为，如何计算△ABC的面积？据记载，古人是这样计算的：作BC边上的高AH．以BH，CH的长为斜边和直角边作Rt△DEF（如图3），其中DE＝BH，EF＝CH． （1）用古人的方法计算DF2的值，完成下面的填空： DF2＝DE2﹣EF2 ＝BH2﹣CH2 ＝[（ 　 　）2﹣（ 　 　）2]﹣[（ 　 　）2﹣（ 　 　）2] ＝　 　． （2）试直接利用阅读材料中勾股定理的推论继续完成△ABC面积的计算过程； （3）你还有其他计算△ABC的面积的方法吗？写出解答过程． 参考答案与试题解析 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 C D B B A C C B C A 一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分） 1．（3分）下列各组数中，以它们为边长的线段能构成直角三角形的是（　　） A．3，4，7 B．8，10，15 C．6，8，10 D．7，24，26 【分析】根据勾股定理的逆定理可以判断各个选项中的三条线段的长能否构成直角三角形． 【解答】解：∵3+4＝7，故线段长为3，4，5的三条线段不能构成三角形，故选项A不符合题意； ∵82+102≠152，故选项B不符合题意； ∵62+82＝102，故选项C符合题意； ∵72+242≠262，故选项D不符合题意； 故选：C． 【点评】本题考查勾股定理的逆定理，解答本题的关键是明确题意，利用勾股定理的逆定理解答． 2．（3分）下面图形能够验证勾股定理的有（　　） A．0 B．1 C．2 D．3 【分析】利用面积法证明勾股定理即可解决问题． 【解答】解：第一个图形：中间小正方形的面积c2＝（a+b）2﹣4ab；化简得c2＝a2+b2，可以证明勾股定理． 第二个图形：中间小正方形的面积（b﹣a）2＝c2﹣4ab；化简得a2+b2＝c2，可以证明勾股定理． 第三个图形：梯形的面积（a+b）（a+b）＝2abc2，化简得a2+b2＝c2；可以证明勾股定理． 故能够验证勾股定理的有3个． 故选：D． 【点评】本题考查了勾股定理的证明、正方形的性质、直角三角形面积的计算；熟练掌握正方形的性质，运用面积法得出等式是解决问题的关键． 3．（3分）如图：4×1网格中每个正方形边长为1，表示长的线段是（　　） A．OA B．OB C．OC D．OD 【分析】利用勾股定理求出每条线段的长，再进行判断即可． 【解答】解：由勾股定理得， ， ， ， ∴表示应为线段OB． 故选：B． 【点评】本题考查的是勾股定理，掌握利用勾股定理求线段的长是解题关键． 4．（3分）在平面直角坐标系中，点P（3，2）到原点的距离是（　　） A．1 B． C． D． 【分析】根据勾股定理求解即可． 【解答】解：在平面直角坐标系中，点P（3，2）到原点的距离， 故选：B． 【点评】本题考查了勾股定理，熟记勾股定理是解题的关键． 5．（3分）如图的数轴上，点A，C对应的实数分别为1，3，线段AB⊥AC于点A，且AB长为1个单位长度，若以点C为圆心，BC长为半径的弧交数轴于0和1之间的点P，则点P表示的实数为（　　） A． B． C． D． 【分析】利用勾股定理即可求得CB的长度，然后根据实数与数轴的关系即可求得答案． 【解答】解：由题意可得∠BAC＝90°，AB＝1，AC＝3﹣1＝2， 则CB， 那么点P表示的实数为3， 故选：A． 【点评】本题考查勾股定理及实数与数轴的关系，结合已知条件求得CB的长度是解题的关键． 6．（3分）一棵大树在一次强台风中折断倒下，大树折断前高度估计为18m，倒下后树顶落在距树根部大约12m处．这棵大树离地面约（　　）米处折断． A．3m B．4m C．5m D．6m 【分析】设这棵大树离地面约x米处折断，G根据勾股定理列方程即可得到结论． 【解答】解：设这棵大树离地面约x米处折断， 根据题意得，x2+122＝（18﹣x）2， 解得x＝5， 答：这棵大树离地面约5米处折断， 故选：C． 【点评】本题考查了勾股定理的应用，从实际问题中抽象出勾股定理是解题的关键． 7．（3分）如图，长为16cm的橡皮筋放置在x轴上，固定两端A和B，然后把中点C向上拉升6cm至D点，则橡皮筋被拉长了（　　） A．6cm B．5cm C．4cm D．2cm 【分析】根据题意可知：AB＝16cm，DC垂直平分AB，DC＝6cm，从而得到：AC＝8cm，AD＝BD，利用勾股定理即可求出AD的长，从而求出橡皮筋被拉长了的长度． 【解答】解：由题意可知：AB＝16cm，DC垂直平分AB，DC＝6cm， ∴ACAB＝8cm，AD＝BD， 根据勾股定理可得：AD（cm）， ∴橡皮筋被拉长了：AD+BD﹣AB＝10+10﹣16＝4（cm）， 故选：C． 【点评】此题考查的是垂直平分线的性质和勾股定理，掌握线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等和用勾股定理解直角三角形是解决此题的关键． 8．（3分）如图，在Rt△ABC中，分别以这个三角形的三边为边长向外侧作正方形、面积分别记为S1，S2，S3．若S3+S2﹣S1＝18．则图中阴影部分的面积为（　　） A．6 B． C．5 D． 【分析】由勾股定理得S1+S2＝S3，再由S3+S2﹣S1＝18求出S2＝9，即可解决问题． 【解答】解：在Rt△ABC中，由勾股定理得：AC2+AB2＝BC2， 即S1+S2＝S3， ∵S3+S2﹣S1＝18， ∴S2＝9， 由图形可知，阴影部分的面积S2， ∴阴影部分的面积， 故选：B． 【点评】本题考查了勾股定理以及正方形的面积，由勾股定理得出S1+S2＝S3是解题的关键． 9．（3分）如图，高速公路上有A、B两点相距10km，C、D为两村庄，已知DA＝4km，CB＝6km．DA⊥AB于A，CB⊥AB于B，现要在AB上建一个服务站E，使得C、D两村庄到E站的距离相等，则EA的长是（　　）km． A．4 B．5 C．6 D． 【分析】根据题意设出BE的长为xkm，再由勾股定理列出方程求解即可． 【解答】解：设BE＝x，则AE＝（10﹣x）km， 由勾股定理得： 在Rt△ADE中， DE2＝AD2+AE2＝42+（10﹣x）2， 在Rt△BCE中， CE2＝BC2+BE2＝62+x2， 由题意可知：DE＝CE， 所以：62+x2＝42+（10﹣x）2， 解得：x＝4km． 所以，EB的长是4km． 所以，EA＝10﹣4＝6（km）． 故选：C． 【点评】本题考查了勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理是本题的关键． 10．（3分）如图，在四边形ABCD中，对角线分别为AC，BD，且AC⊥BD交于点O，若AD＝2，BC＝6，则AB2+CD2的值为（　　） A．40 B．38 C．36 D．32 【分析】由勾股定理得AB2＝OA2+OB2，CD2＝OD2+OC2，AD2＝OA2+OD2＝4，BC2＝OC2+OB2＝36，即可解决问题． 【解答】解：∵AC⊥BD， ∴∠AOB＝∠AOD＝∠COD＝∠BOC＝90°， ∴AB2＝OA2+OB2，CD2＝OD2+OC2，AD2＝OA2+OD2＝22＝4，BC2＝OC2+OB2＝62＝36， ∴AB2+CD2＝OA2+OB2+OD2+OC2＝AD2+BC2＝4+36＝40， 故选：A． 【点评】本题考查了勾股定理，熟练掌握勾股定理是解题的关键． 二．填空题（共6小题，满分24分，每小题4分） 11．（4分）已知直角三角形的两直角边a，b满足，则第三边的长为 　5　． 【分析】根据非负数的性质得出a、b的值，再根据勾股定理即可求解． 【解答】解：∵直角三角形的两直角边a，b满足， ∴0，|4﹣b|＝0， ∴a＝3，b＝4， ∴斜边长为， 故答案为：5． 【点评】本题考查了勾股定理，非负数的性质，熟记勾股定理，非负数的性质是解题的关键． 12．（4分）如图，所有阴影部分四边形都是正方形，所有三角形都是直角三角形，若正方形A、C、D的面积依次为4、6、18，则正方形B的面积为 　8　． 【分析】根据勾股定理的几何意义：S正方形A+S正方形B＝S正方形E，S正方形D﹣S正方形C＝S正方形E解得即可． 【解答】解：由题意：S正方形A+S正方形B＝S正方形E，S正方形D﹣S正方形C＝S正方形E， ∴S正方形A+S正方形B＝S正方形D﹣S正方形C ∵正方形A、C、D的面积依次为4、6、18， ∴S正方形B+4＝18﹣6， ∴S正方形B＝8． 故答案为：8． 【点评】本题考查了勾股定理，要熟悉勾股定理的几何意义，知道直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方． 13．（4分）如图，在6×6正方形网格中，点A、B、C都在网格线上，且都是小正方形边的中点．将△ABC的三边a、b、c按照从小到大排列为 　c＜a＜b　（用“＜”连接）． 【分析】设小正方形的边长为1个单位长度，将△ABC向右平移半个单位长度如图所示，根据勾股定理求出a、b、c的长即可得出结论． 【解答】解：设小正方形的边长为1个单位长度， 将△ABC向右平移半个单位长度如图所示， 由勾股定理可知，b，c＝4，a， ∵4， ∴c＜a＜b， 故答案为：c＜a＜b． 【点评】本题考查了勾股定理，熟记勾股定理是解题的关键． 14．（4分）如图，一架秋千静止时，踏板离地的垂直高度DE＝0.5m，将它往前推送1.5m（水平距离BC＝1.5m）时，秋千的踏板离地的垂直高度BF＝1m，秋千的绳索始终拉直，则绳索AD的长是 　2.5　m． 【分析】设绳索AD的长为x m，则AB＝AD＝x m，AC＝AD﹣CD＝（x﹣0.5）m，再由勾股定理得出方程，解方程即可． 【解答】解：∵BF⊥EF，AE⊥EF，BC⊥AE， ∴四边形BCEF是矩形，△ACB是直角三角形， ∴CE＝BF＝1m， ∴CD＝CE﹣DE＝1﹣0.5＝0.5（m）， 设绳索AD的长为x m， 则AB＝AD＝x m，AC＝AD﹣CD＝（x﹣0.5）m， 在Rt△ABC中，由勾股定理得：AC2+BC2＝AB2， 即（x﹣0.5）2+1.52＝x2， 解得：x＝2.5（m）， 即绳索AD的长是2.5m， 故答案为：2.5． 【点评】此题主要考查了勾股定理的应用，正确理解题意，由勾股定理得出方程是解题的关键． 15．（4分）在△ABC中，∠ACB＝30°，AC＝8，，则BC的长为 　5或3　． 【分析】过点A作AD⊥BC于点D，先求出AD的长，再根据勾股定理分别求出BD与CD的长即可求解． 【解答】解：如图，过点A作AD⊥BC于点D， ∴∠ADC＝∠ADB＝90°， ∵∠ACB＝30°，AC＝8， ∴AD， ∴CD， ∵AB，AD＝4， ∴BD， ①当点B在CD外时， BC＝BD+CD＝5； ②当点B'在CD上时， B'C＝CD﹣B'D＝43， 故答案为：5或3． 【点评】本题考查了勾股定理，正确作出辅助线求出AD的长是解题的关键． 16．（4分）如图，四边形ABCD中，已知AC⊥BC，AD⊥BD，垂足分别为C，D．若BC＝2，CD＝3，∠ACD＝45°，则AB＝　2　． 【分析】过点D作DE垂直BC的延长线于点E，根据AC⊥BC可知∠ACE＝90°，再由∠ACD＝45°可知∠DCE＝45°，故△CDE是等腰直角三角形，由勾股定理求出DE的长，故可得出BE的长，再求出BD的长，再由AC⊥BC，AD⊥BD可知四边形ABCD在以AB为直径的圆上，故可得出∠ABD＝45°，由勾股定理即可求出AB的长． 【解答】解：过点D作DE垂直BC的延长线于点E， ∵AC⊥BC， ∴∠ACE＝90°， ∵∠ACD＝45°， ∴∠DCE＝45°， ∴△CDE是等腰直角三角形， ∴CE＝DE， ∵CD＝3， ∴2DE2＝CD2，即2DE2＝（3）2， 解得DE＝3， ∴CE＝DE＝3， ∵BC＝2， ∴BE＝BC+CE＝2+3＝5， ∴BD， ∵AC⊥BC，AD⊥BD， ∴点A、B、C、D在以AB为直径的圆上， ∴∠ABD＝∠ACD＝45°， ∴△ABD是等腰直角三角形， ∴AD＝BD， ∴AB2． 【点评】本题考查的是勾股定理及等腰直角三角形，根据题意得出点A、B、C、D在以AB为直径的圆上是解题的关键． 三．解答题（共8小题，满分66分） 17．（6分）如图，方格纸中小正方形的边长为1个单位长度，△ABC为格点三角形． （1）建立平面直角坐标系，使点A的坐标为（﹣5，4），点B的坐标为（﹣2，0）．此时，点C的坐标为 　（﹣1，2）　； （2）判断△ABC的形状，并说明理由． 【分析】（1）根据题意建立直角坐标系求解即可； （2）根据勾股定理逆定理求解即可． 【解答】解：（1）如图， 点C的坐标为（﹣1，2）， 故答案为：（﹣1，2）； （2）△ABC是直角三角形，理由如下： ∵AB2＝32+42＝52，BC2＝12+22＝5，AC2＝22+42＝20， ∴AB2＝BC2+AC2， ∴△ABC是直角三角形． 【点评】此题考查了勾股定理逆定理、坐标图形与性质、勾股定理，根据勾股定理求出△ABC的三边长是解题的关键． 18．（8分）如图，已知等腰△ABC中，AB＝AC，BC＝20cm，D是边AB上一点，且CD＝16cm，BD＝12cm． （1）求AD的长； （2）求△ABC中BC边上的高． 【分析】（1）根据勾股定理的逆定理求出∠BDC＝90°，求出∠ADC＝90°，再根据勾股定理求出即可； （2）根据等腰三角形的性质得出BE＝CE＝10cm，根据勾股定理求出AE即可． 【解答】解：（1）∵BC＝20cm，且CD＝16cm，BD＝12cm， ∴BD2+CD2＝BC2， ∴∠BDC＝90°， ∴∠ADC＝90°， 设AD＝x cm，则AC＝AB＝（x+12）cm， 在Rt△ADC中，由勾股定理得：AD2+CD2＝AC2， 即x2+162＝（x+12）2， 解得：x， 即ADcm； （2）AB＝AC12（cm）， 过A作AE⊥BC于E，则AE是△ABC的高， ∵AB＝AC，BC＝20cm， ∴BE＝CE＝10（cm）， 在Rt△AEB中，由勾股定理得：AE（cm）， 即△ABC中BC边上的高是cm． 【点评】本题考查了勾股定理，等腰三角形的性质和勾股定理的逆定理等知识点，能根据勾股定理的逆定理得出∠BDC＝90°是解此题的关键． 19．（8分）如图，把一块Rt△ABC（∠ACB＝90°）土地划出一个△ADC后，测得CD＝3m，AD＝4m，BC＝12m，AB＝13m． （1）试判断△ADC的形状，并说明理由； （2）求图中阴影部分土地的面积． 【分析】（1）先由勾股定理求出AC＝5m，再由勾股定理的逆定理证出∠ADC＝90°即可； （2）由三角形面积公式求解即可． 【解答】解：（1）△ADC是直角三角形， 理由：∵∠ACB＝90°BC＝12m，AB＝13m， ∴ACm， ∵在△ADC中，AD＝4m，CD＝3m， ∴32+42＝52， 即：CD2+AD2＝AC2， ∴∠ADC＝90°， 即：△ADC是直角三角形； （2）S阴影＝S△ACB﹣S△ADC AC•BCAD•CD ＝30﹣6 ＝24（m2）． 答：阴影部分土地的面积为24m2． 【点评】本题考查了勾股定理的应用以及勾股定理的逆定理．熟练掌握勾股定理和勾股定理的逆定理是解题的关键． 20．（8分）如图，一只小猫沿着斜靠在墙角的木板AB往上爬，木板底端距离墙角0.7m，当小猫从木板底部爬到顶端A时，木板底端向墙外滑动了1.3m，木板顶端向下滑动了0.9m．求出A1C和这块木板的长度． 【分析】设A1C的长度是x m，在Rt△ABC和Rt△A1B1C中，根据勾股定理列出方程，解方程，即可解决问题． 【解答】解：根据题意得：BC＝0.7m，BB1＝1.3m，AA1＝0.9m， 设A1C的长度是x m， 在Rt△ABC和Rt△A1B1C中，∠ACB＝90°，AB＝A1B1， ∴AB2＝AC2+BC2，A1A1C2+B1C2， ∴AC2+BC2＝A1C2+B1C2， 即（0.9+x）2+0.72＝x2+（1.3+0.7）2， 解得：x＝1.5， ∴A1C＝1.5m，AC＝0.9+1.5＝2.4（m）， ∴AB2.5（m）， 答：A1C的长度是1.5m，木板的长度是2.5m． 【点评】本题考查了勾股定理的应用，根据勾股定理列出方程是解题的关键． 21．（8分）中菲黄岩岛争端持续，我海监船加大黄岩岛附近海域的巡航维权力度．如图，OA⊥OB，OA＝36海里，OB＝12海里，黄岩岛位于O点，我国海监船在点B处发现有一不明国籍的渔船，自A点出发沿着AO方向匀速驶向黄岩岛所在地点O，我国海监船立即从B处出发以相同的速度沿某直线去拦截这艘渔船，结果在点C处截住了渔船． （1）请用直尺和圆规作出C处的位置； （2）求我国海监船行驶的航程BC的长． 【分析】（1）由题意得，我海监船与不明渔船行驶距离相等，即在OA上找到一点，使其到A点与B点的距离相等，所以连接AB，作AB的垂直平分线即可． （2）连接BC，利用第（1）题中作图，可得BC＝AC．在直角三角形BOC中，利用勾股定理列出方程122+（36﹣BC）2＝BC2，解方程即可． 【解答】解：（1）作AB的垂直平分线与OA交于点C； （2）连接BC， 由作图可得：CD为AB的中垂线，则CB＝CA． 由题意可得：OC＝36﹣CA＝36﹣CB． ∵OA⊥OB， ∴在Rt△BOC中，BO2+OC2＝BC2， 即：122+（36﹣BC）2＝BC2， 解得BC＝20． 答：我国海监船行驶的航程BC的长为20海里． 【点评】本题考查了勾股定理的应用以及线段垂直平分线的性质，利用勾股定理不仅仅能求直角三角形的边长，而且它也是直角三角形中一个重要的等量关系． 22．（9分）先阅读下列一段文字，再回答问题． 已知平面内两点P1（x1，y1），P2（x2，y2），这两点间的距离．同时，当两点所在的直线在坐标轴上或平行于坐标轴或垂直于坐标轴时，两点间的距离公式可简化为|x2﹣x1|或|y2﹣y1|． （1）已知点A（2，4），B（﹣3，﹣8），试求A，B两点间的距离； （2）已知点A，B所在的直线平行于y轴，点B的纵坐标为2，A，B两点间的距离为4，求点A的纵坐标； （3）已知△ABC各顶点的坐标分别为A（﹣2，1），B（1，﹣1），C（3，2），你能判断△ABC的形状吗？说明理由． 【分析】（1）直接利用两点间的距离公式计算； （2）由于横坐标相同，所以A、B两点间的距离等于纵坐标差的绝对值； （3）先根据两点间的距离公式计算出AB、AC、BC，然后根据勾股定理的逆定理进行判断． 【解答】解：（1）， 即A，B两点间的距离为13． （2）∵点A，B所在的直线平行于y轴，点B的纵坐标为2，A，B两点间的距离为4， ∴A的纵坐标为2+4＝6或者2﹣4＝﹣2．即点A的纵坐标为6或﹣2． （3）△ABC为等腰直角三角形．理由如下： ∵， ， ， ∴AB＝BC，且AB2+BC2＝AC2， ∴△ABC为等腰直角三角形． 【点评】本题考查两点间的距离公式及勾股定理，熟记以上知识是解题的关键． 23．（9分）规律探索题：细心观察如图，认真分析各式，然后解答问题.；（S1是△OA1A2的面积）； ；（S2是△OA2A3的面积）； ；（S3是△OA3A4的面积）； … （1）请用含有n（n为正整数）的等式Sn＝　　； （2）推算出OA10＝　　； （3）求出的值． 【分析】（1）利用S1，S2，S3的值和变化规律直接得出答案即可； （2）结合（1）中规律即可求出OA102的值即可求出； （3）根据（1）得出的规律直接代入数据，然后利用分母有理化计算即可得解． 【解答】解：（1）结合已知数据，可得：Sn； 故答案为：； （2）∵； ； ； …… ∴OA10210； ∴OA10． 故答案为：． （3） ＝2×（） ＝2 ＝22． 【点评】本题主要考查勾股定理以及作图的知识点，解答本题的关键是熟练掌握勾股定理的知识． 24．（10分）【材料阅读】我国古人对勾股定理的研究非常深邃．如图1，已知直角三角形三边长为a，b，c（c为斜边），由勾股定理：c2＝a2+b2，得b2＝c2﹣a2＝（c+a）（c﹣a），则，得到：． 从而得到了勾股定理的推论：已知直角三角形三边长为a，b，c（c为斜边），则 【问题解决】如图2，已知△ABC的三边长分别为，如何计算△ABC的面积？据记载，古人是这样计算的：作BC边上的高AH．以BH，CH的长为斜边和直角边作Rt△DEF（如图3），其中DE＝BH，EF＝CH． （1）用古人的方法计算DF2的值，完成下面的填空： DF2＝DE2﹣EF2 ＝BH2﹣CH2 ＝[（ 　AB　）2﹣（ 　AH　）2]﹣[（ 　AC　）2﹣（ 　AH　）2] ＝　16　． （2）试直接利用阅读材料中勾股定理的推论继续完成△ABC面积的计算过程； （3）你还有其他计算△ABC的面积的方法吗？写出解答过程． 【分析】（1）由题中勾股定理的推论将空格补充完整即可； （2）根据材料中勾股定理的推论，完成△ABC面积的计算过程即可； （3）设CH＝x，BH＝8﹣x，根据勾股定理列出方程求出x的值，最后用三角形面积公式求解即可． 【解答】解：（1）DF2＝DE2﹣EF2 ＝BH2﹣CH2 ＝（AB﹣AH）2﹣（AC﹣AH）2 ＝16， 故答案为：AB，AH，AC，AH，16； （2）在Rt△DEF中， 由勾股定理的推论，可知：． ∵DE+EF＝BH+CH＝BC＝8，DF2＝16， ∴， ∴CH＝3， 在Rt△ACH中，AH2＝AC2﹣CH2＝52﹣32＝16， ∴AH＝4， ∴S△ABCBC•AH＝16； （3）如图2，设CH＝x，BH＝8﹣x， 由勾股定理，得AH2＝AB2﹣BH2＝AC2﹣CH2， ， 解得x＝3， ∴CH＝3， ∴， ∴S△ABCBC•AH＝16； 【点评】本题考查了勾股定理、三角形的面积等知识，解题的关键是理解题意，学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题． 学科网（北京）股份有限公司 $$