四川省雅安市等8市2024-2025学年高三上学期（12月）第一次诊断性考试数学试题

数学试题参考答案及评分标准 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项符 合题目要求。 1.B2.C 3.C4.D5.D 6.A7.C8.C 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.9、10题选对1个得2分，选对2个得4分，全部 选对的得6分，有选错的得0分；11题选对1个得3分，全部选对的得6分，有选错的得0分. 9.ABD 10.ACD 11.AD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分 12.4 13.82 14.第一空为(-1)k(2分)，第二空为2+号[1+(-1)]3分) 四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 15.【详细过程】 (1)证明：因为CE=DE,O为CD的中点， 所以CD⊥OE, 又SO⊥CD,且OE∩SO=O. 所以CD⊥平面SAB. 又ABC平面SAB,所以AB⊥CD.………(5分) (2)由题意，在△CDE中，CD=CE+DE,所以CELDE,所以OE=号CD, 又OE=号SB,所以SB=CD 设AB=4,建立如图所示空间直角坐标系O-xy,则O(0,0,0),A(0,一2,0)，C(2,0,0), E(0,1,W3),所以OC=(2,0,0),OE=(0,13),AC=(2,2,0),AE=(0,33),…(7分) B v 数学答案第1页（共5页） 设平面ACE的一个法向量为m=(x1y,之)，则 m·AC=0x1十y=0 ,即 ,取y1=-1,则m=(1,-1w3) m.AE=03y十名1=0 设平面CED的一个法向量为n=(x,y2,2),则 n·O心=0x2=0 ,即 取2=一1，则n=(0,W3,一1).………(11分) n.Oi=0y2+3x=0 因此cos(m,n)=m:”=- m n 5 由图可知.二面角A-CE-D为悦角，所以二面角A一CE-D的余弦值为5。“(13分) 16.【详细过程】 (1)证明：记角A,B,C的对边分别为a,b,c, 由题意，alsinC-号， 由正弦定理得，号sin Asin BsinC=- (3分) 51nC… 因为sinC≠0， 所以snC=。号sinAsinB.（6分） (2)在△ABD中，由余弦定理得，2=AD++2 4 ADO 同理，在△ACD中.后=AD+号-号aAD@ ①-②得，c2-b=√2aAD.… (11分) 在△ACD中，由正弦定理得.AD-n四DCAC=inC, 所以c2-=2 absinC--青2，即号=5， (15分) 17.【详细过程】 (1)证明：f(x)的定义域为（一1，十∞）. 当a>0时ar2≥0，要证f(x)≥1，只需证1a+1)+>≥1…（2分） 令g()=lnx+1+则g'()=千D令g(x)=0,得r=0, 数学答案第2页（共5页） 所以当-1<x<0时，g'(x)<0,g(x)在（一1,0）上单调递减： 当x>0时，g(x)>0,g(x)在(0，十o∞)上单调递增. 所以g(x)≥g0)=1,即1h(x+1D十≥1.证毕 (5分) 2 (2)f)+f-x)=ln1-)+22+2ar2, 令1=1-2，由题意.n+2-2a+2a-220在1(0,1门时恒成立…（7分) 设n)=ln1+2-2at+2a-2.t∈(0.1]. 则M0=}-是-2a=二20r+12,令g0=-2ar+1-2, 当a≥-号时，9()≤r+1-2≤0，所以M()<0,h()在0,1上单调递减，所以h)≥h(1 =0,符合题意 (11分) 当a<-号时g)在0.1上单调递增，又p0)=一2<0.g1)=-2a-1>0.所以存在6∈ (0,1),使得g(t)=0,且<t<1时，p(t)>0,即h'(t)>0,所以h(t)在(1o,1]上单调递增，所 以h(t)≤h(们)=0，不符合题意…………………… (14分) 综上所述，a的取值范围为[二)，十o∞)… (15分) 18.【详细过程】 (1)由题意，a=1,c=2,所以=√-a-3,所以C的方程为y2-号=1.…(3分) 3 (2)(i)由题意，直线BD的斜率存在，设直线BD方程为：y=kx一2，B(x1,y1),D(x2,y2). y-g=1 由 3消去y整理得，(3k-1)x2-12kx+9=0 y=kx-2 12k x1十x2= 3k2-1 所以3k2-1>0,即k2> 3 (6分) 9 = 3k2-1 y2- 所以=2（十) 6k 3 3k21,由 6k 解得y=士张号 x=3k2-1 6k3k2+1 所以E(3一3k-1) (8分) 数学答案第3页（共5页） 1+3k2+1 所以直线AE方程为：y= 3k2-1 6k x十1，即y=一kx十1， 3k2-1 y=kx-2 由 得y=一 y=-kx+1 所以直线AE与直线BD的交点在一条定直线y=一名上.… (10分) (ⅱ)过B,D,E三点的圆经过定点，理由如下： 由弦长公式BD1=V1+及V田十)-4红=1+R√(3) 12k 36 3k2-1 6k2+6 3k2-1 (12分) 2 设线段BD的中点为G(,),则=1一2=3-' 所以EG= 2 +3k2+1_3k2+3 3k2-13k2-13k2-1 所以|BD=2EG引，即点E在以线段BD为直径的圆上.… (14分) 又|AG= 6k 3k2-1 +(=即AG=1BG, 3k2+3 所以A在以线段BD为直径的圆上， 所以过B,D,E三点的圆经过定点A(0,1).…… (17分) 19.【详细过程】 1因为a=()广， 所以a1+a2=(-2）+(-)=2(-2）广=2a,=2a,-2+2) 所以数列{an}是P(2,一2)数列. (2分) (2)证明：因为{am}是公差为2的等差数列 所以aw-1十aw-2十…十amk=(am一2)十(am一4)十…十(am一2k) =a,-(2+4+…十2k)=ka.6C22)=ka,-k-k=k(a,-k-1D 2 所以，对任意k∈N上，公差为2的等差数列{an}都是P(k,1)数列.……(5分) (3)证明：由题意，am-1十am-2十aw-3=3a。一3λ-9(n≥4)① am-1十a:-g十a-8十a-1十a。-5十am-6=6am-6入-36(n≥7)② ②一①得，an-1十aw-s十aw-日=3an一3入-27(1≥7) 所以a.-1十aw-2十am-3=3ae+3-3入-27(n>≥4)③ 数学答案第4页（共5页） 由①，③得，3a+a-3A-27=3a.-3入-9 所以a+a一an=6(n≥4).… …(8分) 由①得，am+aw-1十aw-2=3am+1一3λ-9(n≥3)④ ④-①得，an-aw-a=3a+1-3an(n>4) 即3am+1=4am-a。-3(n≥4) 所以3au+4=4a+3-an=3au+3十an+s一a.=3aw+8+6(n≥4) 所以a.+4一a+8=2(n≥4) 所以以n+1一aw=2(n≥7)…………(11分) 在③中，分别令n=4,5,6,7,得 a1+a2十aa=3a7-3入-27⑤ a2十a3+a4=3a8-3λ-27⑥ a+a1+as=3ag-3入-27⑦ a1十a5+a6=3a1a-3入-27⑧ 则⑥一⑤得，a4一a1=3(a8-a,)=6 ⑦-⑥得，a5-a2=3(ag-a8)=6 ⑧-⑦得，a6-a:=3(a1o-am)=6 所以am+3一am=6(n≥1) 所以an+1-an=2(n>≥4)……………(14分) 另一方面，由⑧-⑦得，a1-aa=3(ao-a)-(a6-a:)-(a6-as)=2 ⑦-⑥得，ag-a2=3(ag-ag)-(a1-a3)-(as-a4)=2 ⑥-⑤得，a2-a1=3(ag-a:)-(aa-a2)-(a,-aa)=-2 所以a.+t一an=2(n≥1) 所以数列{an}是公差为2的等差数列. 由⑤得，3x=3a,-(a1十a2十a3)-27=3a1-3a2-27=3 所以入=1.…(17分) 数学答案第5页（共5页）经密★扁用有 品已知代x)是定义在服上的奇函数，且)国静，若是x)的极小值点，则下列说法铺误 的是 雅安市高2022级第一次诊断性考试 九一是函数y=代x)的极大值点 B工，是函数了”一的轻小围京 化一是函数)=的极小值点 D.是函数)=代一)的极小值有 数学试题 6将面散/(x)=m景图象上的乐有点经过平移和伸留变领得到函数《【) 本或喜合法择则中年选招题雨每分，高分150舟，青线时城120会钟， =(合+]<号的周象：若点A货侣)门被变换成了点N3,具n 住数事项： 则：的茂有可需维之阳为 1,等是前，寿必精自己的址着，瘦丝号和准青证子鳞写在答理十规文的性重上 之器选择班时，汤须徒月用船艺法答趋十上对凉则目的答常静号学黑。知需代动，明橡定 小音 我 c n经 解平净后，再这隆其地等龙特于， 《x-s-2x, 急，多垂递滑题时，必函优用05毫来夏虑幕字笔，将多景书写在多周卡昆爱竹生互上， 7口知生ER,函数(x)= ,周Ce”是”八x》存在量小首“的 上，所有连目必领在答周十上作等，在成建息上答题无就。 a+j-z. 5.青试格来意，尺得答超十文回 九充分不最要条件 县免要不充分条什 C,龙要条件 D,概不定分也不多夏条件 一，造题：本组共4小难，每小题3分，其的分.在需小最世出的国个露填中，只有一个储项杆 合范目要求 寿0<a登，进2=2一君）十=(o+）-0,则m一是)- 1已知复敢：词足市2中则一 A. 血号 c. D A1 B.2 C.I D. 二、选择题：本避共1小亚，小题日分，共1指分，在每小量地出的网个选项中，有多预符合亚日 么已知受集一，集合A■({z1》,Bm《yy一√金一1》，购图中阴影都分表示的鬼合为 要求。拿部透对的得分，部分透对的得笔分分，有选量的得0分 4,某直整帮督公可族计了个年1月0至5月鲁的某种产品的月销量，（单位：千件）如下表所示 月价12345 月销绿y之431《55 A.(1,+o B.[-1,十) C.(-m,一1) D.[-1,01 已如变量，与？之属具有线性相关关暴，通过是小二乘法球得的经铃国目直领方程为)一 1E知商侧后片-1的高6率为号侧后 :十L,7,侧下列说然正确的是 A2 围 C4或号 D.农 参考公式，相关系数，一 一：皮定累数形=1一 4某项臀力测这共有A.H,C,D,B五通试超，测试着酒依次答完五道试超开至少答对其中三遗 试想才算通这算比小明答对A,,C三道试亚的啊率物为号，着对DB两通试圈的复率均为 A.b=a.针 多且每适试道答对与方图耳致立洲小明在答饰试题A的条件下通过到达的瓶半为 B.20 C,x每增加t,y一定增短0,81 B号 c品 n D,P=形 教学这围第1翼（共4宽） 数学试园第多离<共4围 L如图，直三被桂A,BC一AC中，成D,E,F分别是授LB,A:A,BB的中点，直线CDL 17.(15分1 平百C,直线AB与半真B,BCC斯成角为甘，若AB一，AC-民C,期下列银法正确的是 已知4E黑，福数e)-n十》+ta A.AA- (1)当a6时，来正，x≥1i L.点G到半离EC的即离为号 2)若x》+f《一)2，求■的原值范围. C直商体4EF岳CC的体积为学 D.三酸能A:B:C,一AC的外H接球的表向积为G= 18.417命) 11.若函数代a)=2十w十1有三个不同零点.则 A.so B.a50 巴知A0.,,一分程是双线C学言一1>>0的上现点下事点 C.1a中一36可我等于一1 D,ld'-30可以等于1 (门D求C的标准疗程： )过F的靠线与C的上，下支分明交于B,D雨点(B异手A),直线上=平什线段DC日 三，精受题：表用共3小腊，每小5分，共1巧分， 12.在△AC中，D是C边上靠近8的一个三等分直.春心与2D十mD平付则实数m 的下支交于点E ()求正：直线AE与直线D的交点在一表定直线上， 3,已知口为坐标胞点，F是抛物线C,y了■仁的焦点，A,B是C上位于x翰钟侧的两点，且 (1)这日，D,E三点的而是雨经过定点，请说明理内 1AF1一3，F一号则△OA的重积为 14设EN,,0为常数，=4十1，若对任章1E1单，8，n,十1，都有4十-4-件'，则4,1 1917分) 41十十十41=+（第一堂2分，第二堂4分） 如果数列a(mEN,)满尾，存在kEN,AE民，使得任意>b:4十a-:十=十-4 司、解容理：本蓝共百小理，共7分.解落应写出文字以射，签明过程或演牌步像 (,一★一》都试克，州阵数举（色是P表人数列 1513分1 1设a,-(广，判新数到仙秀是P江，-2》数列，请他明环由 幻图，S是里的所点，O是圆维帐雀属心，AB,C0是居新蓝0的 (铅王明：月任童毛N,.公表为2的等箱数到a都是P(,)数州： 两条直径，点E雀5B上，ABm2CE2DE ()若数列4，)医是P(3,A)数列，又是P(6)数列，证明：数列41是等差数列，并求出A 1》求证，ABLCD: 们氢。 (着E为S8的中点，求二面角A一E一D的余验值 16.(15分) 已知△AC的育积5-号AB 求证：nC-是inB. 设D为BC的中点，且∠AC-45,求授的直 数学以题第】真（共4真） 数学过题影车（共4置