精品解析：广东省五校2024-2025学年高二上学期第二次联考数学试题

2024—2025学年第一学期珠海市实验中学、河源高级中学、中山市实验中学、惠州市博罗中学、珠海市鸿鹤中学联考（二）试卷 高二数学 命题学校：惑州市博罗中学 命题人：黄亚国 审题人：张小梅 满分：150分考试时间：120分钟说明：本试卷共4页，19小题，满分150分，考试用时120分钟. 注意事项： 1.答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名和考生号、试室号、座位号填写在答题卡上.用2B铅笔将试卷类型（A）填涂在答题卡相应位置上. 2.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上. 第I卷（选择题，共58分） 一、选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求.） 1. 已知，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用空间向量的坐标运算求模即可. 【详解】由， 故选：C. 2. 椭圆的焦点为为椭圆上一点，若，则（ ） A. 4 B. 3 C. 5 D. 7 【答案】D 【解析】 【分析】根据给定条件，利用椭圆的定义求出结果. 【详解】椭圆的长半轴长，依题意，，而， 所以. 故选：D 3. 已知三个顶点的坐标分别为，，，则边上的中线所在直线的方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先求得中点的坐标，然后根据两点式求得边上的中线所在直线的方程. 【详解】的中点坐标为， 所以边上的中线所在直线的方程为， 整理得. 故选：B 4. 若圆C的圆心为，且被y轴截得的弦长为8，则圆C的一般方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】运用弦长结合垂径定理求出圆的半径即可. 【详解】如图，过点 C 作CD⊥AB 于D，依题意， 因为故|CD|=3， 从而，圆的半径为 故所求圆的方程为 即 故选：C 5. 圆与圆的公切条数为（ ） A. 1条 B. 2条 C. 3条 D. 4条 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意，判断出两圆的位置关系，即可得到结果. 【详解】的圆心是，半径 圆即，圆心为，半径， ，所以两圆相交，公切线有2条． 故选：B 6. 如图是某抛物线形拱桥的示意图，当水面处于位置时，拱顶离水面的高度为2.5m，水面宽度为8m，当水面上涨0.9m后，水面的宽度为（ ） A. 6.4m B. 6m C. 3.2m D. 3m 【答案】A 【解析】 【分析】建立平面直角坐标系，求得抛物线的方程，进而求得正确答案. 【详解】以拱顶为坐标原点，建立如图所示平面直角坐标系， 设抛物线的方程为， 依题意可知，抛物线过点， 所以， 所以抛物线方程为， 所以当时，， 解得，所以当水面上涨0.9m后，水面的宽度为. 故选：A 7. 空间直角坐标系中，经过点且法向量为的平面方程为，经过点且一个方向向量为的直线的方程为，阅读上面的材料并解决下列问题：现给出平面的方程为，经过点的直线的方程为，则直线与平面所成角的正弦值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据题设确定平面的法向量、直线的方向向量，应用向量法求线面角的正弦值即可. 【详解】由题设知：平面的法向量，直线的方向向量， 且平面与直线相交于， 所以直线与平面所成角的正弦值为. 故选：A 8. 已知点为椭圆上任意一点，直线过的圆心且与交于，两点，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据圆心为的中点，利用向量运算将用来表示，转化为椭圆上一点到焦点的距离范围求解即可. 【详解】，即的圆心，半径为， 椭圆方程中，，， 则圆心为椭圆的右焦点，线段为的直径，连接， 因此 ，点为椭圆上任意一点， 则，，即， 所以. 故选：A 二、多选题（本题共3小题，题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对得6分，部分送对的得部分分，有选错的得0分.） 9. 已知直线，（ ） A. 当时，直线的倾斜角为 B. 当时， C. 若，则或 D. 直线始终过定点 【答案】BD 【解析】 【分析】根据直线的斜率即可判断A，根据平行和垂直在直线一般式满足的系数关系即可判断BC，将变形为：，即可求解定点判断D. 【详解】对于A，当时，直线：， 故斜率，则倾斜角为120°，故A错误， 对于B，等价于，解得，故B正确， 对于C，若，且，故，故C错误， 对于D，：变形为：， 令且，解得，故恒过，故D正确， 故选：BD. 10. 已知直线l：与圆C：，下列说法正确的是（ ） A. 点在圆C外 B. 直线l与圆C相离 C. 点P为圆C上的动点，点Q为直线l上的动点，则的取值范围是 D. 将直线l下移4个单位后得到直线l＇，则圆C上有且仅有3个点到直线l＇的距离为 【答案】BCD 【解析】 【分析】通过计算圆心到点的距离、圆心到直线的距离等，数形结合，即可判断. 【详解】因为圆C：，所以圆心，半径 对于A：点A与圆心的距离为，所以点在圆C内，故A错； 对于B：圆心到直线l的距离为，所以直线l与圆C相离，故B对； 对于C：有B选项知，圆心到直线l的距离为，则的最小值是，无最大值，则的取值范围是，故C对； 对于D：直线圆心到直线的距离为是半径的一半， 如图所示 则圆C有且仅有3个点到直线的距离为，故D对； 故选：BCD. 11. 在直三棱柱中，，，，分别为棱和的中点，为棱上的动点，则（ ） A. B. 该三棱柱的体积为4 C. 过，，三点截该三棱柱的截面面积为 D. 直线与平面所成角的正切值的最大值为 【答案】ABD 【解析】 【分析】利用题设建系，对于A，通过空间向量证明平面即得；对于B，利用直棱柱体积公式计算即得；对于C，先利用线面平行的性质作出截面，再计算其面积即可排除C；对于D，设点，利用空间向量的夹角公式计算得出关于的函数式，通过求函数的最大值得到所成角正切值的最大值. 【详解】 如图建立空间直角坐标系，则. 对于A，， 因， ， 可得， 因，且两直线在平面内，则有平面， 又为棱上的动点，故，即A正确； 对于B，由题意，该三棱柱的体积为，故B正确； 对于C，如图，设经过，，三点的截面交于点，连接， 因，平面，平面，则平面， 又平面，故得，即截面为梯形. 因，， 设梯形的高为，则，解得. 则故C错误； 对于D，如图，因平面，平面，则， 又，，且两直线在平面内，故得平面， 故可取平面的法向量为， 又为棱上的动点，可设，则， 设直线与平面所成角为，则， 因，故当且仅当时，取得最小值为5，此时取得最大值为， 因，而正弦函数和正切函数在上均为增函数， 故此时取得最大值为，故D正确. 故选：ABD. 【点睛】思路点睛：本题主要考查空间向量在立体几何中的应用，属于难题. 解题思路在于，化“动”为“静”，将线线垂直的判断转化成线面垂直的证明；利用线面平行的性质作出截面求解；通过建系，将线面所成角的问题进行量化，借助于函数的最值求解. 第II卷（非选择题，共92分） 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分.） 12. 三条直线与相交于一点，则的值为______. 【答案】3 【解析】 【分析】联立直线方程求交点坐标，再将点坐标代入含参直线方程求参数. 【详解】由，即三条直线交于， 代入，有. 故答案为：3 13. 已知空间中的三点，则点到直线的距离为______． 【答案】## 【解析】 【分析】求出直线的单位方向向量为，利用点到直线的空间向量距离公式求出答案. 【详解】设直线的单位方向向量为． 则， ， ，， 点到直线的距离 故答案为： 14. 已知双曲线的左焦点为为坐标原点，若在的右支上存在关于轴对称的两点，使得为正三角形，且，则的离心率为__________. 【答案】 【解析】 【分析】根据题意可以得到，求出，再由余弦定理求出的值，最后根据双曲线定义即可求解. 【详解】由题意知，为正三角形，且，关于轴对称， 所以，且， 所以，， 由余弦定理得， 由双曲线定义得，即， 所以. 故答案为：. 四、解答题（本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.） 15. 已知，动点满足，设动点的轨迹为曲线. （1）求曲线的标准方程； （2）求过点且与曲线相切的直线的方程. 【答案】（1） （2）或 【解析】 【分析】（1）设，根据得到方程，整理得到曲线的标准方程； （2）曲线是以为圆心，1为半径的圆，当斜率不存在时，满足要求，当斜率存在时，设出直线方程，利用圆心到直线距离等于半径得到方程，求出答案. 【小问1详解】 设，则， 故， 化简整理得， 故曲线的标准方程为； 【小问2详解】 曲线是以为圆心，1为半径的圆， 当过点的直线斜率不存在时，直线方程为， 此时到的距离为1，故与圆相切，满足要求， 当过点的直线斜率存在时，设切线方程为，即， 圆心到的距离， 解得，故切线方程为，即， 综上，过点且与曲线相切的直线方程为或. 16. 如图，在四棱锥中，平面，为棱的中点. （1）证明：平面； （2）若，求平面和平面夹角的余弦值. 【答案】（1） 取的中点，连接， 因为为棱的中点， 所以，且， 又，且， 所以，且， 所以四边形是平行四边形， 所以， 又平面，平面， 所以平面； （2） 【解析】 【分析】（1）取的中点，连接，证明四边形是平行四边形，则，再根据线面平行的判定定理即可得证； （2）以点为原点建立空间直角坐标系，利用向量法求解即可. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 如图，以点为原点建立空间直角坐标系， 则， 故， 设平面的法向量为， 则有，可取， 因为轴垂直平面， 则可取平面的法向量为， 则， 所以平面和平面夹角的余弦值为. 17. 已知双曲线的离心率为，虚轴长为4. （1）求的方程； （2）直线与双曲线相交于两点，为坐标原点，的面积是，求直线的方程. 【答案】（1） （2）或 【解析】 【分析】（1）运用双曲线的离心率公式和，，的关系，列出方程组后解出即可得到，，的值，即可得的方程； （2）联立直线与曲线方程，借助韦达定理和弦长公式可表示出的面积，借助该面积计算即可得的值，即可得直线的方程. 【小问1详解】 由题意可得，解得， 故； 【小问2详解】 设，， 由，可得， 则有，解得且， ，， ， 化简得，即， 解得或， 故直线的方程为或. 18. 在中，，，，分别是上的点，满足且经过的重心，将沿折起到的位置，使，是的中点，如图所示. （1）求证：平面； （2）求与平面所成角的大小； （3）在线段上是否存在点，使平面与平面成角余弦值为？若存在，求出的长度；若不存在，请说明理由. 【答案】（1）因为在中，，，且， 所以，，则折叠后，， 又平面， 所以平面，平面，所以， 又已知，且都在面内，所以平面； （2） （3）存在，或 【解析】 【分析】（1）应用线面垂直的判定定理证明线面垂直关系，再由性质定理得到线线垂直关系，进而再利用判定定理证明所求证的线面垂直关系； （2）以为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系.用向量法求与平面所成角的大小； （3）假设存在点，使平面与平面成角余弦值为，设，分别求解两平面的法向量，用表示余弦值解方程可得. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由（1），以为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系. 因为，故， 由几何关系可知，，，， 故，，，，，， ，，， 设平面的法向量为，则，即， 不妨令，则，，. 设与平面所成角的大小为， 则有， 设为与平面所成角，故， 即与平面所成角的大小为； 【小问3详解】 假设在线段上存在点，使平面与平面成角余弦值为. 在空间直角坐标系中，，，， 设，则，， 设平面的法向量为，则有，即， 不妨令，则，，所以， 设平面的法向量为，则有，即， 不妨令，则，，所以， 若平面与平面成角余弦值为. 则满足， 化简得，解得或，即或， 故在线段上存在这样的点，使平面与平面成角余弦值为. 此时的长度为或. 19. 已知圆，点在圆上，过作轴的垂线，垂足为，动点P满足，设动点的轨迹为曲线. （1）求曲线的方程； （2）斜率存在且不过的直线l与曲线C相交于M、N两点，BM与BN的斜率之积为. ①证明：直线l过定点； ②求面积的最大值. 【答案】（1） （2）①；② 【解析】 【分析】（1）利用相关点法，结合向量的坐标运算即可得解； （2）①联立直线与椭圆方程，利用韦达定理与已知条件得到关于的方程，解之即可得解；②利用三角形面积公式，结合韦达定理与基本不等式即可得解. 【小问1详解】 依题意，设，则， 因为，所以， 则，解得， 因为圆上， 所以，则，即， 所以曲线的方程为. 【小问2详解】 ①依题意，设直线的方程为，， 联立，消去，得， 则，即， 所以， 则 ， 则， 则， 整理得，解得或（此时直线过点，舍去）， 所以直线过定点； ②由①得，， 则， 所以， 令，则， 则， 当且仅当，即，时，等号成立，满足， 所以面积的最大值为. 【点睛】方法点睛：利用韦达定理法解决直线与圆锥曲线相交问题的基本步骤如下： （1）设直线方程，设交点坐标为； （2）联立直线与圆锥曲线的方程，得到关于（或）的一元二次方程，注意的判断； （3）列出韦达定理； （4）将所求问题或题中的关系转化为、（或、）的形式； （5）代入韦达定理求解. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024—2025学年第一学期珠海市实验中学、河源高级中学、中山市实验中学、惠州市博罗中学、珠海市鸿鹤中学联考（二）试卷 高二数学 命题学校：惑州市博罗中学 命题人：黄亚国 审题人：张小梅 满分：150分考试时间：120分钟说明：本试卷共4页，19小题，满分150分，考试用时120分钟. 注意事项： 1.答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名和考生号、试室号、座位号填写在答题卡上.用2B铅笔将试卷类型（A）填涂在答题卡相应位置上. 2.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上. 第I卷（选择题，共58分） 一、选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求.） 1. 已知，则（ ） A. B. C. D. 2. 椭圆的焦点为为椭圆上一点，若，则（ ） A. 4 B. 3 C. 5 D. 7 3. 已知三个顶点的坐标分别为，，，则边上的中线所在直线的方程为（ ） A. B. C. D. 4. 若圆C的圆心为，且被y轴截得的弦长为8，则圆C的一般方程为（ ） A. B. C. D. 5. 圆与圆的公切条数为（ ） A. 1条 B. 2条 C. 3条 D. 4条 6. 如图是某抛物线形拱桥的示意图，当水面处于位置时，拱顶离水面的高度为2.5m，水面宽度为8m，当水面上涨0.9m后，水面的宽度为（ ） A. 6.4m B. 6m C. 3.2m D. 3m 7. 空间直角坐标系中，经过点且法向量为的平面方程为，经过点且一个方向向量为的直线的方程为，阅读上面的材料并解决下列问题：现给出平面的方程为，经过点的直线的方程为，则直线与平面所成角的正弦值为（ ） A. B. C. D. 8. 已知点为椭圆上任意一点，直线过的圆心且与交于，两点，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、多选题（本题共3小题，题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对得6分，部分送对的得部分分，有选错的得0分.） 9. 已知直线，（ ） A. 当时，直线的倾斜角为 B. 当时， C. 若，则或 D. 直线始终过定点 10. 已知直线l：与圆C：，下列说法正确的是（ ） A. 点在圆C外 B. 直线l与圆C相离 C. 点P为圆C上的动点，点Q为直线l上的动点，则的取值范围是 D. 将直线l下移4个单位后得到直线l＇，则圆C上有且仅有3个点到直线l＇的距离为 11. 在直三棱柱中，，，，分别为棱和的中点，为棱上的动点，则（ ） A. B. 该三棱柱的体积为4 C. 过，，三点截该三棱柱的截面面积为 D. 直线与平面所成角的正切值的最大值为 第II卷（非选择题，共92分） 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分.） 12. 三条直线与相交于一点，则的值为______. 13. 已知空间中的三点，则点到直线的距离为______． 14. 已知双曲线的左焦点为为坐标原点，若在的右支上存在关于轴对称的两点，使得为正三角形，且，则的离心率为__________. 四、解答题（本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.） 15. 已知，动点满足，设动点的轨迹为曲线. （1）求曲线的标准方程； （2）求过点且与曲线相切的直线的方程. 16. 如图，在四棱锥中，平面，为棱的中点. （1）证明：平面； （2）若，求平面和平面夹角的余弦值. 17. 已知双曲线的离心率为，虚轴长为4. （1）求的方程； （2）直线与双曲线相交于两点，为坐标原点，的面积是，求直线的方程. 18. 在中，，，，分别是上的点，满足且经过的重心，将沿折起到的位置，使，是的中点，如图所示. （1）求证：平面； （2）求与平面所成角的大小； （3）在线段上是否存在点，使平面与平面成角余弦值为？若存在，求出的长度；若不存在，请说明理由. 19. 已知圆，点在圆上，过作轴的垂线，垂足为，动点P满足，设动点的轨迹为曲线. （1）求曲线的方程； （2）斜率存在且不过的直线l与曲线C相交于M、N两点，BM与BN的斜率之积为. ①证明：直线l过定点； ②求面积的最大值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $