期末重点12：排水法求不规则物体体积的三种问题-2024-2025学年六年级数学上册典型例题系列（原卷版+解析版）苏教版

1 / 6 2024-2025 学年六年级数学上册典型例题系列 期末重点 12：排水法求不规则物体体积的三种问题 【问题一】不规则物体体积问题 1．一个长方体玻璃缸，从里面量长是 20厘米，宽是 12厘米，水深 14厘米。将 一个小石块放入水中，水面上升到 16.5厘米。这个小石块的体积是多少立方厘 米？ 2．根据“乌鸦喝水”故事的原理，小亮测量了一些石子的体积。他先往一个正方 体容器中装了 0.32升水（如图），然后放入一些石子（全部浸没），水面上升 到 7.5厘米处，这些石子的体积是多少立方厘米？ 3．如图所示，长方体容器中原本有水 600毫升，放入土豆后水面上升。土豆的 体积是多少？ 2 / 6 4．乐乐在一个长 8厘米、宽 8厘米、高 12厘米的长方体容器中加满水后，把一 块石头放入容器中，水往外溢出，再把石头取出后，这时水位高度 10厘米，这 块石头的体积是多少立方厘米？ 5．一个正方体的容器，从里面量棱长为 3分米，水深 2.8分米，将一块石头完 全浸没在水中，这时溢出水 1.8升。这块石头的体积是多少立方分米？ 6．一个长方体水缸，底面长 6分米、宽 3分米，高 2.5分米，倒入 2分米深的 水，放入一个石头后水面升高到 2.2分米，求这个石块的体积是多少？ 3 / 6 【问题二】溢水问题 7．在一个长 8米、宽 8米、高 6米的水池中注水，水深 5米，然后把一条长 5 米，宽 4米，高 4米的石柱放入池中（完全浸没入水中），水池溢出的水的体积 是多少？ 8．一个长方体水缸从里面长 8分米，宽 5分米，高 4分米，缸内有 3.5分米深 的水。放入一个棱长 4分米的正方体铁块后，水会溢出多少升？如果再将铁块取 出，那么缸内的水深将变成多少？ 9．在一个长 20米，宽 10米，高 2米的水池中注满水，然后将两条长 5米，宽 2米和高 4米的石柱立着放入池中，此时水池溢出水的体积是多少升？ 10．李叔叔打算做一个无盖的长方体玻璃缸（如图）。 （1）至少需要多大的玻璃？ （2）如果在做成的玻璃缸中先放入高3.6dm的水，接着又投入一块棱长4dm的正 方体并完全浸没，水会溢出吗？请计算说明。 4 / 6 11．有一个长方体容器（如图），里面的水深 7dm。把一块形状不规则的矿石放 入该容器，矿石全部浸没后，从容器里溢出 4L水。这块矿石的体积是多少？ 12．一个长方体的玻璃缸，长6dm、宽5dm、高3dm，里面的水深2.8dm。如果投 入一块棱长为3dm的正方体铁块，缸里的水将溢出多少L？ 5 / 6 【问题三】水深问题 13．如图，在水深 8dm，棱长 10dm的正方体水箱中，把一块长 45cm、宽 36cm、 高 5dm的长方体铁块完全浸没水中后，水深多少 dm？ 14．在一个棱长为 5dm的正方体容器中，放入一个长 4dm、宽 2dm、高 2.5dm 的长方体铁块（完全浸没），此时水深 3.3dm。如果将铁块从容器中取出，水面 会下降多少分米？ 15．一个长方体水缸长8dm，宽5dm，高3dm，缸内有 2.5dm深的水。放入一个棱 长 4dm的正方体铁块后，水会溢出多少升？如果再将铁块取出，那么缸内的水深 将变成多少？ 16．一个长方体玻璃缸，长 12分米，宽 9分米，高 8分米，水深 3分米。如果 投入一块棱长为 6分米的正方体实心铁块，这时水深多少分米？ 6 / 6 17．长方体水缸长 50厘米，宽 40厘米，里面水深 20厘米，再往水中放入一个 棱长为 10厘米的正方体石块，这时水缸中水上升到多少厘米？ 18．一个长方体的玻璃缸，长 5dm、宽 4dm、高 4dm，水深 3dm。如果投入一 块棱长为 2dm的正方体铁块，缸里的水上升多少 dm？ 19．一个长方体水箱从里面量长 25厘米，宽 16厘米，高 18厘米。将一个棱长 为 10厘米的小正方体铁块放入水箱，然后将水箱注满水（如图）。把水箱里的 小正方体取出后，水面下降多少厘米？ 2024-2025学年六年级数学上册典型例题系列 期末重点12：排水法求不规则物体体积的三种问题 【问题一】不规则物体体积问题 1．一个长方体玻璃缸，从里面量长是20厘米，宽是12厘米，水深14厘米。将一个小石块放入水中，水面上升到16.5厘米。这个小石块的体积是多少立方厘米？ 2．根据“乌鸦喝水”故事的原理，小亮测量了一些石子的体积。他先往一个正方体容器中装了0.32升水（如图），然后放入一些石子（全部浸没），水面上升到7.5厘米处，这些石子的体积是多少立方厘米？ 3．如图所示，长方体容器中原本有水600毫升，放入土豆后水面上升。土豆的体积是多少？ 4．乐乐在一个长8厘米、宽8厘米、高12厘米的长方体容器中加满水后，把一块石头放入容器中，水往外溢出，再把石头取出后，这时水位高度10厘米，这块石头的体积是多少立方厘米？ 5．一个正方体的容器，从里面量棱长为3分米，水深2.8分米，将一块石头完全浸没在水中，这时溢出水1.8升。这块石头的体积是多少立方分米？ 6．一个长方体水缸，底面长6分米、宽3分米，高2.5分米，倒入2分米深的水，放入一个石头后水面升高到2.2分米，求这个石块的体积是多少？ 【问题二】溢水问题 7．在一个长8米、宽8米、高6米的水池中注水，水深5米，然后把一条长5米，宽4米，高4米的石柱放入池中（完全浸没入水中），水池溢出的水的体积是多少？ 8．一个长方体水缸从里面长8分米，宽5分米，高4分米，缸内有3.5分米深的水。放入一个棱长4分米的正方体铁块后，水会溢出多少升？如果再将铁块取出，那么缸内的水深将变成多少？ 9．在一个长20米，宽10米，高2米的水池中注满水，然后将两条长5米，宽2米和高4米的石柱立着放入池中，此时水池溢出水的体积是多少升？ 10．李叔叔打算做一个无盖的长方体玻璃缸（如图）。 （1）至少需要多大的玻璃？ （2）如果在做成的玻璃缸中先放入高的水，接着又投入一块棱长的正方体并完全浸没，水会溢出吗？请计算说明。 11．有一个长方体容器（如图），里面的水深7dm。把一块形状不规则的矿石放入该容器，矿石全部浸没后，从容器里溢出4L水。这块矿石的体积是多少？ 12．一个长方体的玻璃缸，长、宽、高，里面的水深。如果投入一块棱长为的正方体铁块，缸里的水将溢出多少？ 【问题三】水深问题 13．如图，在水深8dm，棱长10dm的正方体水箱中，把一块长45cm、宽36cm、高5dm的长方体铁块完全浸没水中后，水深多少dm？ 14．在一个棱长为5dm的正方体容器中，放入一个长4dm、宽2dm、高2.5dm的长方体铁块（完全浸没），此时水深3.3dm。如果将铁块从容器中取出，水面会下降多少分米？ 15．一个长方体水缸长，宽，高，缸内有深的水。放入一个棱长的正方体铁块后，水会溢出多少升？如果再将铁块取出，那么缸内的水深将变成多少？ 16．一个长方体玻璃缸，长12分米，宽9分米，高8分米，水深3分米。如果投入一块棱长为6分米的正方体实心铁块，这时水深多少分米？ 17．长方体水缸长50厘米，宽40厘米，里面水深20厘米，再往水中放入一个棱长为10厘米的正方体石块，这时水缸中水上升到多少厘米？ 18．一个长方体的玻璃缸，长5dm、宽4dm、高4dm，水深3dm。如果投入一块棱长为2dm的正方体铁块，缸里的水上升多少dm？ 19．一个长方体水箱从里面量长25厘米，宽16厘米，高18厘米。将一个棱长为10厘米的小正方体铁块放入水箱，然后将水箱注满水（如图）。把水箱里的小正方体取出后，水面下降多少厘米？ 1 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024-2025学年六年级数学上册典型例题系列 期末重点12：排水法求不规则物体体积的三种问题 【问题一】不规则物体体积问题 1．一个长方体玻璃缸，从里面量长是20厘米，宽是12厘米，水深14厘米。将一个小石块放入水中，水面上升到16.5厘米。这个小石块的体积是多少立方厘米？ 【答案】600立方厘米 【分析】已知往一个水深14厘米的长方体玻璃缸里放入一个小石块，水面上升到16.5厘米，即水面上升了（16.5－14）厘米，那么水面上升部分的体积就是这个小石块的体积；根据长方体的体积公式V＝abh，代入数据计算即可求出这个小石块的体积。 【详解】20×12×（16.5－14） ＝20×12×2.5 ＝600（立方厘米） 答：这个小石块的体积是600立方厘米。 2．根据“乌鸦喝水”故事的原理，小亮测量了一些石子的体积。他先往一个正方体容器中装了0.32升水（如图），然后放入一些石子（全部浸没），水面上升到7.5厘米处，这些石子的体积是多少立方厘米？ 【答案】160立方厘米 【分析】本题考查了用排水法求物体体积的方法。根据题意，石子的体积等于水上升的体积，结合长方体的体积公式V＝abh解答即可。 【详解】0.32升＝320立方厘米 8×8×7.5－320 ＝480－320 ＝160（立方厘米） 答：这些石子的体积是160立方厘米。 3．如图所示，长方体容器中原本有水600毫升，放入土豆后水面上升。土豆的体积是多少？ 【答案】300立方厘米 【分析】水面上升的体积就是土豆的体积，观察第一幅图，水的体积÷水的高度＝容器底面积，观察第二幅图，水面上升了（12－8）厘米，容器底面积×水面上升的高度＝土豆的体积，据此列式解答。 【详解】600毫升＝600立方厘米 600÷8×（12－8） ＝75×4 ＝300（立方厘米） 答：土豆的体积是300立方厘米。 4．乐乐在一个长8厘米、宽8厘米、高12厘米的长方体容器中加满水后，把一块石头放入容器中，水往外溢出，再把石头取出后，这时水位高度10厘米，这块石头的体积是多少立方厘米？ 【答案】128立方厘米 【分析】在装满水的状态下，放入石头后溢出水的体积就是石头的体积。由取出石头，水位高度是10厘米可知，溢出水的高度为12－10＝2（厘米）。可将这部分水看作是长为8厘米，宽为8厘米，高为2厘米的长方体，根据长方体体积公式求出这部分水的体积，即石头的体积。据此解答。 【详解】8×8×（12－10） ＝64×2 ＝128（立方厘米） 答：这块石头的体积是128立方厘米。 5．一个正方体的容器，从里面量棱长为3分米，水深2.8分米，将一块石头完全浸没在水中，这时溢出水1.8升。这块石头的体积是多少立方分米？ 【答案】3.6立方分米 【分析】正方体体积＝棱长×棱长×棱长，长方体体积＝长×宽×高，由此求出正方体容器的体积以及水的体积。将正方体的体积减去水的体积，再将差加上溢出水的体积，即可求出石头的体积。 【详解】1.8升＝1.8立方分米 3×3×3－3×3×2.8＋1.8 ＝27－25.2＋1.8 ＝3.6（立方分米） 答：这块石头的体积是3.6立方分米。 6．一个长方体水缸，底面长6分米、宽3分米，高2.5分米，倒入2分米深的水，放入一个石头后水面升高到2.2分米，求这个石块的体积是多少？ 【答案】3.6立方分米 【分析】根据题意，往一个水深为2分米的长方体水缸中放入一个石头后，水面上升到2.2分米，那么水面上升部分的体积就是这个石块的体积； 水面上升部分是一个长6分米、宽3分米，高（2.2－2）分米的长方体，根据长方体的体积＝长×宽×高，代入数据计算，即可求出这个石块的体积。 【详解】6×3×（2.2－2） ＝18×0.2 ＝3.6（立方分米） 答：这个石块的体积是3.6立方分米。 【问题二】溢水问题 7．在一个长8米、宽8米、高6米的水池中注水，水深5米，然后把一条长5米，宽4米，高4米的石柱放入池中（完全浸没入水中），水池溢出的水的体积是多少？ 【答案】16立方米 【分析】根据题意可知，溢出水的体积等于长方体石柱的体积减去水池中无水部分的体积，根据长方体的体积公式：V＝abh，据此把数值代入进行计算即可。 【详解】6－5＝1（米） 5×4×4－8×8×1 ＝80－64 ＝16（立方米） 答：水池溢出的水的体积是16立方米。 8．一个长方体水缸从里面长8分米，宽5分米，高4分米，缸内有3.5分米深的水。放入一个棱长4分米的正方体铁块后，水会溢出多少升？如果再将铁块取出，那么缸内的水深将变成多少？ 【答案】44升；2.4分米 【分析】先根据长方体的体积V＝abh和正方体的体积V＝a3，计算出水缸的体积、水的体积和正方体铁块的体积。因为正方体的棱长大于水缸的高，所以把正方体铁块放入水缸中，铁块被水浸湿的高是4分米，溢出的水的体积＝水的体积＋正方体铁块的体积―水缸的体积，再用溢出水的体积除以容器的底面积就是水面下降的高，然后用原来的水的高减去水下降的高就是现在的水深。 【详解】4×4×4 ＝16×4 ＝64（立方分米） 8×5×3.5 ＝40×3.5 ＝140（立方分米） 8×5×4 ＝40×4 ＝160（立方分米） 64＋140－160 ＝204－160 ＝44（立方分米） 44立方分米＝44升 3.5－44÷（8×5） ＝3.5－44÷40 ＝3.5－1.1 ＝2.4（分米） 答：水会溢出44升。如果再将铁块取出，那么缸内的水深将变成2.4分米。 9．在一个长20米，宽10米，高2米的水池中注满水，然后将两条长5米，宽2米和高4米的石柱立着放入池中，此时水池溢出水的体积是多少升？ 【答案】40000升 【分析】两条石柱的高长于长于水池的高度，说明两条石柱在水池中的体积是长5米、宽2米、高2米的部分，则水池中溢出水的体积水的体积等于浸入水中石柱的体积，据此解答即可。 【详解】5×2×2×2＝40（立方米） 40立方米＝40000立方分米＝40000升 答：此时水池溢出水的体积是40000升。 【点睛】解答本题的关键是明白石柱浸入水池中的高度，然后运用长方体的体积公式解决问题。 10．李叔叔打算做一个无盖的长方体玻璃缸（如图）。 （1）至少需要多大的玻璃？ （2）如果在做成的玻璃缸中先放入高的水，接着又投入一块棱长的正方体并完全浸没，水会溢出吗？请计算说明。 【答案】（1）188dm2 （2）不会 【分析】（1）无盖长方体玻璃缸只有前、后、左、右、下面5个面，用长×宽＋长×高×2＋宽×高×2＝无盖长方体表面积，据此列式解答； （2）根据长方体体积＝长×宽×高，先求出玻璃缸容积，再求出水和正方体的体积和，比较即可，正方体体积＝棱长×棱长×棱长。 【详解】（1） 答：至少需要188dm2的玻璃。 （2） 答：水不会溢出。 【点睛】关键是掌握并灵活运用长方体表面积公式，以及长方体和正方体体积公式。 11．有一个长方体容器（如图），里面的水深7dm。把一块形状不规则的矿石放入该容器，矿石全部浸没后，从容器里溢出4L水。这块矿石的体积是多少？ 【答案】16dm³ 【详解】4L＝4dm³ 3×4×（8－7）＋4＝16（dm³） 答：这块矿石的体积是16dm³。 12．一个长方体的玻璃缸，长、宽、高，里面的水深。如果投入一块棱长为的正方体铁块，缸里的水将溢出多少？ 【答案】21升 【分析】已知这个长方体高3分米，里面的水深2.8分米，则投入一块棱长为3分米的正方体铁块后，水要先将（3－2.8）分米这一部分补齐，然后再溢出去。则可看作原来水的体积＋铁块的体积－长方体容积＝溢出去的水的容积。 【详解】6×5×2.8 ＝30×2.8 ＝84（立方分米） 3×3×3 ＝9×3 ＝27（立方分米） 6×5×3 ＝30×3 ＝90（立方分米） 84＋27－90 ＝111－90 ＝21（立方分米） ＝21（升） 答：缸里的水将溢出21升。 【点睛】因为长方体容器内的水不是满的，正方体铁块又和长方体同样高，所以思考起来容易没有头绪，可以在纸上画一个长方体，再按照题意继续画下去，结合反复思考，才能明白其中的道理：溢出的水的体积＋长方体的容积＝原有水的体积＋铁块的体积。 【问题三】水深问题 13．如图，在水深8dm，棱长10dm的正方体水箱中，把一块长45cm、宽36cm、高5dm的长方体铁块完全浸没水中后，水深多少dm？ 【答案】8.81分米 【分析】用4.5×3.6×50求出长方体铁块的体积，再除以正方体水箱的底面积即可求出水面上升的高度，再加上原来水的高度即可。 【详解】45cm＝4.5dm，36cm＝3.6dm； ＝16.2×5 ＝81（dm3）； （dm2）； （dm）； （dm）； 答：水深8.81dm。 【点睛】求出水面上升的高度是解答本题的关键。 14．在一个棱长为5dm的正方体容器中，放入一个长4dm、宽2dm、高2.5dm的长方体铁块（完全浸没），此时水深3.3dm。如果将铁块从容器中取出，水面会下降多少分米？ 【答案】0.8分米 【分析】铁块的体积＝下降的水的体积。根据长方体的体积＝长×宽×高，可以求出铁块的体积，即下降的水的体积。下降的水的形状相当于长5分米，宽5分米的长方体，则用水的体积除以长和宽，即可求出下降的水的高度。 【详解】4×2×2.5＝20（立方分米） 20÷5÷5＝0.8（分米） 答：水面会下降0.8分米。 【点睛】本题考查长方体体积的应用，明确“铁块的体积＝下降的水的体积”是解题的关键。 15．一个长方体水缸长，宽，高，缸内有深的水。放入一个棱长的正方体铁块后，水会溢出多少升？如果再将铁块取出，那么缸内的水深将变成多少？ 【答案】； 【分析】首先注意由于水缸高度只有，所以铁块也只有的高度没入水中，这段没入水中的铁块的体积是；由于水缸内原来只有的空间，铁块放入后，占据的空间大于原来剩余的空间，所以会排出的水；取出铁块后，缸内的水只有，根据这个体积求水深即可。 【详解】原来缸内水的体积： 原来缸内剩下的空间： 铁块在缸内的体积： 溢出的水的体积：     取出铁块后水深： 答：水会溢出。缸内的水深将变成。 【点睛】结合长方体缸内水的长、宽、高数据的特征以及正方体铁块的数据，通过计算可得，铁块放入水中所占据的体积大于长方体缸内排除水剩余水的体积。因此，放入正方体铁块，溢出的水的体积等于铁块在缸内的体积减去原来缸内剩下的空间。 16．一个长方体玻璃缸，长12分米，宽9分米，高8分米，水深3分米。如果投入一块棱长为6分米的正方体实心铁块，这时水深多少分米？ 【答案】4.5分米 【分析】首先确定正方体是否完全浸入水中。如果正方体实心铁块完全浸没水中，则上升部分水的体积是正方体实心铁块的体积，即（6×6×6＝216）立方分米，水面上升高度是（216÷12÷9＝2）分米。放入铁块后，如果水面的高度大于或等于铁块的棱长，则正方体实心铁块完全浸没水中；如果水面的高度小于铁块的棱长，则正方体实心铁块没有完全浸没水中。再根据正方体的浸入水中部分的体积等于水面上升部分的体积，据此列方程解答。 【详解】6×6×6 ＝36×6 ＝216（立方分米） 216÷12÷9 ＝18÷9 ＝2（分米） 3＋2＝5（分米） 5＜6，正方体实心铁块没有完全浸没水中。 解：设这时水深x分米。 6×6x＝12×9×（x－3） 36x＝108（x－3） 36x＝108x－108×3 36x＝108x－324 108x－324＋324－36x＝36x＋324 72x＝324 72x÷72＝324÷72 x＝4.5 答：这时水深4.5分米。 【点睛】此题考查了不规则物体的体积计算，注意考虑正方体是否是完全浸入。 17．长方体水缸长50厘米，宽40厘米，里面水深20厘米，再往水中放入一个棱长为10厘米的正方体石块，这时水缸中水上升到多少厘米？ 【答案】20.5厘米 【分析】根据题意可知小正方体的体积就是石块没入水缸内上升水的体积，然后根据长方体的体积公式求出上升的水的高度，最后不要忘了加上原来的水深，据此解答。 【详解】10×10×10÷（50×40）＋20 ＝1000÷2000＋20 ＝20.5（厘米） 答：这时水缸中水上升到20.5厘米。 【点睛】此题考查的是长方体和正方体的体积，解题时注意小正方体的体积就是上升水的体积。 18．一个长方体的玻璃缸，长5dm、宽4dm、高4dm，水深3dm。如果投入一块棱长为2dm的正方体铁块，缸里的水上升多少dm？ 【答案】0.4dm 【分析】先计算出正方体的体积，然后再除以玻璃缸的底面积，即可解答。 【详解】（2×2×2）÷（5×4） ＝8÷20 ＝0.4（dm） 答：缸里的水上升0.4dm。 【点睛】此题主要考查学生对浸入物体体积计算方法的灵活应用。 19．一个长方体水箱从里面量长25厘米，宽16厘米，高18厘米。将一个棱长为10厘米的小正方体铁块放入水箱，然后将水箱注满水（如图）。把水箱里的小正方体取出后，水面下降多少厘米？ 【答案】2.5厘米 【分析】先根据“正方体的体积＝棱长×棱长×棱长”表示出铁块的体积，下降部分水的体积等于正方体铁块的体积，下降部分水的高度＝下降部分水的体积÷水箱的底面积，据此解答。 【详解】10×10×10÷（25×16） ＝10×10×10÷400 ＝1000÷400 ＝2.5（厘米） 答：水面下降2.5厘米。 【点睛】灵活运用正方体和长方体的体积计算公式，把下降部分水的体积转化为正方体铁块的体积是解答题目的关键。 1 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $$1 / 12 2024-2025 学年六年级数学上册典型例题系列 期末重点 12：排水法求不规则物体体积的三种问题 【问题一】不规则物体体积问题 1．一个长方体玻璃缸，从里面量长是 20厘米，宽是 12厘米，水深 14厘米。将 一个小石块放入水中，水面上升到 16.5厘米。这个小石块的体积是多少立方厘 米？ 【答案】600立方厘米 【分析】已知往一个水深 14厘米的长方体玻璃缸里放入一个小石块，水面上升 到 16.5厘米，即水面上升了（16.5－14）厘米，那么水面上升部分的体积就是这 个小石块的体积；根据长方体的体积公式 V＝abh，代入数据计算即可求出这个 小石块的体积。 【详解】20×12×（16.5－14） ＝20×12×2.5 ＝600（立方厘米） 答：这个小石块的体积是 600立方厘米。 2．根据“乌鸦喝水”故事的原理，小亮测量了一些石子的体积。他先往一个正方 体容器中装了 0.32升水（如图），然后放入一些石子（全部浸没），水面上升 到 7.5厘米处，这些石子的体积是多少立方厘米？ 【答案】160立方厘米 【分析】本题考查了用排水法求物体体积的方法。根据题意，石子的体积等于水 上升的体积，结合长方体的体积公式 V＝abh解答即可。 2 / 12 【详解】0.32升＝320立方厘米 8×8×7.5－320 ＝480－320 ＝160（立方厘米） 答：这些石子的体积是 160立方厘米。 3．如图所示，长方体容器中原本有水 600毫升，放入土豆后水面上升。土豆的 体积是多少？ 【答案】300立方厘米 【分析】水面上升的体积就是土豆的体积，观察第一幅图，水的体积÷水的高度 ＝容器底面积，观察第二幅图，水面上升了（12－8）厘米，容器底面积×水面上 升的高度＝土豆的体积，据此列式解答。 【详解】600毫升＝600立方厘米 600÷8×（12－8） ＝75×4 ＝300（立方厘米） 答：土豆的体积是 300立方厘米。 4．乐乐在一个长 8厘米、宽 8厘米、高 12厘米的长方体容器中加满水后，把一 块石头放入容器中，水往外溢出，再把石头取出后，这时水位高度 10厘米，这 块石头的体积是多少立方厘米？ 【答案】128立方厘米 【分析】在装满水的状态下，放入石头后溢出水的体积就是石头的体积。由取出 石头，水位高度是 10厘米可知，溢出水的高度为 12－10＝2（厘米）。可将这 部分水看作是长为 8厘米，宽为 8厘米，高为 2厘米的长方体，根据长方体体积 公式求出这部分水的体积，即石头的体积。据此解答。 【详解】8×8×（12－10） ＝64×2 ＝128（立方厘米） 3 / 12 答：这块石头的体积是 128立方厘米。 5．一个正方体的容器，从里面量棱长为 3分米，水深 2.8分米，将一块石头完 全浸没在水中，这时溢出水 1.8升。这块石头的体积是多少立方分米？ 【答案】3.6立方分米 【分析】正方体体积＝棱长×棱长×棱长，长方体体积＝长×宽×高，由此求出正 方体容器的体积以及水的体积。将正方体的体积减去水的体积，再将差加上溢出 水的体积，即可求出石头的体积。 【详解】1.8升＝1.8立方分米 3×3×3－3×3×2.8＋1.8 ＝27－25.2＋1.8 ＝3.6（立方分米） 答：这块石头的体积是 3.6立方分米。 6．一个长方体水缸，底面长 6分米、宽 3分米，高 2.5分米，倒入 2分米深的 水，放入一个石头后水面升高到 2.2分米，求这个石块的体积是多少？ 【答案】3.6立方分米 【分析】根据题意，往一个水深为 2分米的长方体水缸中放入一个石头后，水面 上升到 2.2分米，那么水面上升部分的体积就是这个石块的体积； 水面上升部分是一个长 6分米、宽 3分米，高（2.2－2）分米的长方体，根据长 方体的体积＝长×宽×高，代入数据计算，即可求出这个石块的体积。 【详解】6×3×（2.2－2） ＝18×0.2 ＝3.6（立方分米） 答：这个石块的体积是 3.6立方分米。 【问题二】溢水问题 7．在一个长 8米、宽 8米、高 6米的水池中注水，水深 5米，然后把一条长 5 米，宽 4米，高 4米的石柱放入池中（完全浸没入水中），水池溢出的水的体积 是多少？ 【答案】16立方米 【分析】根据题意可知，溢出水的体积等于长方体石柱的体积减去水池中无水部 4 / 12 分的体积，根据长方体的体积公式：V＝abh，据此把数值代入进行计算即可。 【详解】6－5＝1（米） 5×4×4－8×8×1 ＝80－64 ＝16（立方米） 答：水池溢出的水的体积是 16立方米。 8．一个长方体水缸从里面长 8分米，宽 5分米，高 4分米，缸内有 3.5分米深 的水。放入一个棱长 4分米的正方体铁块后，水会溢出多少升？如果再将铁块取 出，那么缸内的水深将变成多少？ 【答案】44升；2.4分米 【分析】先根据长方体的体积 V＝abh和正方体的体积 V＝a3，计算出水缸的体 积、水的体积和正方体铁块的体积。因为正方体的棱长大于水缸的高，所以把正 方体铁块放入水缸中，铁块被水浸湿的高是 4分米，溢出的水的体积＝水的体积 ＋正方体铁块的体积―水缸的体积，再用溢出水的体积除以容器的底面积就是水 面下降的高，然后用原来的水的高减去水下降的高就是现在的水深。 【详解】4×4×4 ＝16×4 ＝64（立方分米） 8×5×3.5 ＝40×3.5 ＝140（立方分米） 8×5×4 ＝40×4 ＝160（立方分米） 64＋140－160 ＝204－160 ＝44（立方分米） 44立方分米＝44升 3.5－44÷（8×5） 5 / 12 ＝3.5－44÷40 ＝3.5－1.1 ＝2.4（分米） 答：水会溢出 44升。如果再将铁块取出，那么缸内的水深将变成 2.4分米。 9．在一个长 20米，宽 10米，高 2米的水池中注满水，然后将两条长 5米，宽 2米和高 4米的石柱立着放入池中，此时水池溢出水的体积是多少升？ 【答案】40000升 【分析】两条石柱的高长于长于水池的高度，说明两条石柱在水池中的体积是长 5米、宽 2米、高 2米的部分，则水池中溢出水的体积水的体积等于浸入水中石 柱的体积，据此解答即可。 【详解】5×2×2×2＝40（立方米） 40立方米＝40000立方分米＝40000升 答：此时水池溢出水的体积是 40000升。 【点睛】解答本题的关键是明白石柱浸入水池中的高度，然后运用长方体的体积 公式解决问题。 10．李叔叔打算做一个无盖的长方体玻璃缸（如图）。 （1）至少需要多大的玻璃？ （2）如果在做成的玻璃缸中先放入高3.6dm的水，接着又投入一块棱长4dm的正 方体并完全浸没，水会溢出吗？请计算说明。 【答案】（1）188dm2 （2）不会 【分析】（1）无盖长方体玻璃缸只有前、后、左、右、下面 5个面，用长×宽＋ 长×高×2＋宽×高×2＝无盖长方体表面积，据此列式解答； （2）根据长方体体积＝长×宽×高，先求出玻璃缸容积，再求出水和正方体的体 积和，比较即可，正方体体积＝棱长×棱长×棱长。 【详解】（1）8 6 8 5 2 5 6 2       6 / 12 48 80 60    2188 dm 答：至少需要 188dm2的玻璃。 （2）  38 6 5 240 dm   8 6 3.6 4 4 4     172.8 64   3236.8 dm 240 236.8 答：水不会溢出。 【点睛】关键是掌握并灵活运用长方体表面积公式，以及长方体和正方体体积公 式。 11．有一个长方体容器（如图），里面的水深 7dm。把一块形状不规则的矿石放 入该容器，矿石全部浸没后，从容器里溢出 4L水。这块矿石的体积是多少？ 【答案】16dm³ 【详解】4L＝4dm³ 3×4×（8－7）＋4＝16（dm³） 答：这块矿石的体积是 16dm³。 12．一个长方体的玻璃缸，长6dm、宽5dm、高3dm，里面的水深2.8dm。如果投 入一块棱长为3dm的正方体铁块，缸里的水将溢出多少L？ 【答案】21升 【分析】已知这个长方体高 3分米，里面的水深 2.8分米，则投入一块棱长为 3 分米的正方体铁块后，水要先将（3－2.8）分米这一部分补齐，然后再溢出去。 则可看作原来水的体积＋铁块的体积－长方体容积＝溢出去的水的容积。 【详解】6×5×2.8 ＝30×2.8 7 / 12 ＝84（立方分米） 3×3×3 ＝9×3 ＝27（立方分米） 6×5×3 ＝30×3 ＝90（立方分米） 84＋27－90 ＝111－90 ＝21（立方分米） ＝21（升） 答：缸里的水将溢出 21升。 【点睛】因为长方体容器内的水不是满的，正方体铁块又和长方体同样高，所以 思考起来容易没有头绪，可以在纸上画一个长方体，再按照题意继续画下去，结 合反复思考，才能明白其中的道理：溢出的水的体积＋长方体的容积＝原有水的 体积＋铁块的体积。 【问题三】水深问题 13．如图，在水深 8dm，棱长 10dm的正方体水箱中，把一块长 45cm、宽 36cm、 高 5dm的长方体铁块完全浸没水中后，水深多少 dm？ 【答案】8.81分米 【分析】用 4.5×3.6×50求出长方体铁块的体积，再除以正方体水箱的底面积即 可求出水面上升的高度，再加上原来水的高度即可。 【详解】45cm＝4.5dm，36cm＝3.6dm； 4.5 3.6 5  ＝16.2×5 ＝81（dm3）； 8 / 12 10 10 100  （dm2）； 81 100 0.81  （dm）； 8 0.81 8.81  （dm）； 答：水深 8.81dm。 【点睛】求出水面上升的高度是解答本题的关键。 14．在一个棱长为 5dm的正方体容器中，放入一个长 4dm、宽 2dm、高 2.5dm 的长方体铁块（完全浸没），此时水深 3.3dm。如果将铁块从容器中取出，水面 会下降多少分米？ 【答案】0.8分米 【分析】铁块的体积＝下降的水的体积。根据长方体的体积＝长×宽×高，可以 求出铁块的体积，即下降的水的体积。下降的水的形状相当于长 5分米，宽 5 分米的长方体，则用水的体积除以长和宽，即可求出下降的水的高度。 【详解】4×2×2.5＝20（立方分米） 20÷5÷5＝0.8（分米） 答：水面会下降 0.8分米。 【点睛】本题考查长方体体积的应用，明确“铁块的体积＝下降的水的体积”是解 题的关键。 15．一个长方体水缸长8dm，宽5dm，高3dm，缸内有 2.5dm深的水。放入一个棱 长 4dm的正方体铁块后，水会溢出多少升？如果再将铁块取出，那么缸内的水深 将变成多少？ 【答案】28L；1.8dm 【分析】首先注意由于水缸高度只有3dm，所以铁块也只有3dm的高度没入水中， 这段没入水中的铁块的体积是 348dm ；由于水缸内原来只有 320dm 的空间，铁块 放入后，占据的空间大于原来剩余的空间，所以会排出  348 20 28 dm  的水；取 出铁块后，缸内的水只有 372dm ，根据这个体积求水深即可。 【详解】原来缸内水的体积： 8 5 2.5  40 2.5   3100 dm 9 / 12 原来缸内剩下的空间： 8 5 (3 2.5)   40 0.5   320 dm 铁块在缸内的体积： 4 4 3  16 3   348 dm 溢出的水的体积：  348 20 28 dm  328dm 28L 取出铁块后水深： (100 28) 8 5   72 8 5   1.8(dm) 答：水会溢出28L。缸内的水深将变成1.8dm。 【点睛】结合长方体缸内水的长、宽、高数据的特征以及正方体铁块的数据，通 过计算可得，铁块放入水中所占据的体积大于长方体缸内排除水剩余水的体积。 因此，放入正方体铁块，溢出的水的体积等于铁块在缸内的体积减去原来缸内剩 下的空间。 16．一个长方体玻璃缸，长 12分米，宽 9分米，高 8分米，水深 3分米。如果 投入一块棱长为 6分米的正方体实心铁块，这时水深多少分米？ 【答案】4.5分米 【分析】首先确定正方体是否完全浸入水中。如果正方体实心铁块完全浸没水中， 则上升部分水的体积是正方体实心铁块的体积，即（6×6×6＝216）立方分米， 水面上升高度是（216÷12÷9＝2）分米。放入铁块后，如果水面的高度大于或等 10 / 12 于铁块的棱长，则正方体实心铁块完全浸没水中；如果水面的高度小于铁块的棱 长，则正方体实心铁块没有完全浸没水中。再根据正方体的浸入水中部分的体积 等于水面上升部分的体积，据此列方程解答。 【详解】6×6×6 ＝36×6 ＝216（立方分米） 216÷12÷9 ＝18÷9 ＝2（分米） 3＋2＝5（分米） 5＜6，正方体实心铁块没有完全浸没水中。 解：设这时水深 x分米。 6×6x＝12×9×（x－3） 36x＝108（x－3） 36x＝108x－108×3 36x＝108x－324 108x－324＋324－36x＝36x＋324 72x＝324 72x÷72＝324÷72 x＝4.5 答：这时水深 4.5分米。 【点睛】此题考查了不规则物体的体积计算，注意考虑正方体是否是完全浸入。 17．长方体水缸长 50厘米，宽 40厘米，里面水深 20厘米，再往水中放入一个 棱长为 10厘米的正方体石块，这时水缸中水上升到多少厘米？ 【答案】20.5厘米 【分析】根据题意可知小正方体的体积就是石块没入水缸内上升水的体积，然后 根据长方体的体积公式求出上升的水的高度，最后不要忘了加上原来的水深，据 此解答。 【详解】10×10×10÷（50×40）＋20 11 / 12 ＝1000÷2000＋20 ＝20.5（厘米） 答：这时水缸中水上升到 20.5厘米。 【点睛】此题考查的是长方体和正方体的体积，解题时注意小正方体的体积就是 上升水的体积。 18．一个长方体的玻璃缸，长 5dm、宽 4dm、高 4dm，水深 3dm。如果投入一 块棱长为 2dm的正方体铁块，缸里的水上升多少 dm？ 【答案】0.4dm 【分析】先计算出正方体的体积，然后再除以玻璃缸的底面积，即可解答。 【详解】（2×2×2）÷（5×4） ＝8÷20 ＝0.4（dm） 答：缸里的水上升 0.4dm。 【点睛】此题主要考查学生对浸入物体体积计算方法的灵活应用。 19．一个长方体水箱从里面量长 25厘米，宽 16厘米，高 18厘米。将一个棱长 为 10厘米的小正方体铁块放入水箱，然后将水箱注满水（如图）。把水箱里的 小正方体取出后，水面下降多少厘米？ 【答案】2.5厘米 【分析】先根据“正方体的体积＝棱长×棱长×棱长”表示出铁块的体积，下降部分 水的体积等于正方体铁块的体积，下降部分水的高度＝下降部分水的体积÷水箱 的底面积，据此解答。 【详解】10×10×10÷（25×16） ＝10×10×10÷400 ＝1000÷400 ＝2.5（厘米） 答：水面下降 2.5厘米。 【点睛】灵活运用正方体和长方体的体积计算公式，把下降部分水的体积转化为 12 / 12 正方体铁块的体积是解答题目的关键。