湖南省湘潭市第一中学2024-2025学年高一上学期10月月考数学试卷

数学试卷 时量120分钟，满分150分 一、单选题 (共8小题，每小题5分，在每小题给出的选项中，只有一个选项符合题目要求) 1、设不等式的解集为，下列正确的是( ) A． B． C． D． 2、设集合，，则 ( ) A． B． C． D． 3、不等式成立的一个充分不必要条件是( ) A． B．x<0或 C． D．或 4、若命题“使”是假命题，则实数的取值范围为( ) A． B． C． D． 5、下列结论正确的是( ) A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 6、已知，函数的最小值是( ) A．5 B．4 C．8 D．6 7、若集合A＝{x|2a＋1≤x≤3a－5}，B＝{x|5≤x≤16}，则能使A⊆B成立的所有a组成的集合为(　　) A．{a|2≤a≤7} B．{a|6≤a≤7} C．{a|a≤7} D．∅ 8、已知a，b，c，d都是常数，a>b，c>d. 若f(x)＝2 022－(x－a)(x－b)，方程f(x)=0的两根为c，d，则下列不等式正确的是(　　) A．a>c>b>d B．a>b>c>d C．c>d>a>b D．c>a>b>d 二、多选题 (共4小题，每小题5分，在每小题给出的选项中，有多个选项符合题目要求，少选记2分，不选或错选多选均不记分) 9、下列命题的否定中，是全称命题且是真命题的是( ) A． B．所有正方形都是矩形 C． D．至少有一个实数x，使 10、下面命题正确的是( ) A．“”是“”的 充 分不 必 要条件 B．命题“若，则”的 否 定 是“ 存 在，则”. C．设，则“且”是“”的必要而不充分条件 D．设，则“”是“”的必要 不 充 分 条件 11、已知且，那么下列不等式中，恒成立的有( )． A．ab≤ B． C． D． 12、已知函数f(x)＝, 则f(m)＝2, 则m的值可以是（ ）. A. 2 B.-2 C. 3 D . -5 三、填空题 (共4小题，每小题5分，在每小题给出的横线中，填写符合题意的答案) 13、设一元二次不等式的解集为, 则的值为_______ 14、“，都有恒成立”是真命题，则实数的取值范围是____________； 15、设集合，集合，若，则实数_____. 16、设计用的材料制造某种长方体形状的无盖车厢，按交通部门的规定车厢宽度为，则车厢的最大容积是___________ m3 四、解答题 (共6小题，共70分，在每小题的解析中写出必要的运算和推理过程) 17、（10分）已知a，b均为正实数，试利用作差法比较与的大小. 18、（12分）已知集合，集合． （1）若；求实数m的取值范围； （2）命题，命题，若p是q的充分条件，求实数m的取值范围． 19、（12分）(1) 已知x>0，求的最小值； (2) 已知0<x<，求 x (1－2x)的最大值. 20、（12分）已知函数的定义域为A，函数，则f（x）的值域是B， 不等式 (x+2) (x-a) ≤ 0的解集为C. (1) 求A∪B； (2) 若A∪C=R, 则实数a的取值范围. 21、（12分）某房地产开发公司计划在一楼区内建造一个长方形公园ABCD,公园由形状为长方形A1B1C1D1的休闲区和环公园人行道(阴影部分)组成.已知休闲区A1B1C1D1的面积为4 000平方米,人行道的宽分别为4米和10米(如图所示). (1)若设休闲区的长和宽的比=x (x>1), 求公园ABCD所占面积S关于x的函数解析式; (2)要使公园所占面积最小,休闲区A1B1C1D1的长和宽该如何设计? 22、（12分）已知命题 存在实数，使成立. 命题任意实数，使恒成立. (1)若命题P为真命题，求实数a的取值范围； (2)如果p，q都是假命题，求实数a的取值范围. 数学试卷答案 时量120分钟，满分150分 一、单选题 (共8小题，每小题5分，在每小题给出的选项中，只有一个选项符合题目要求) 1、设不等式的解集为，下列正确的是( ) A． B． C． D． 答案：B 解析：解不等式：，可得：， 所以，显然，故选：A． 2、设集合，，则 ( ) A． B． C． D． 答案：D 解析：集合，集合， 所以，故选D． 3、不等式成立的一个充分不必要条件是( ) A． B．x<0或 C． D．或 答案：C 解析：解不等式，得或，结合四个选项，D是其充要条件，AB是其既不充分也不必要条件，C选项是其充分不必要条件.故选：C． 4、若命题“使”是假命题，则实数的取值范围为( ) A． B． C． D． 答案：B 解析：由题得，原命题的否定是“，使”， 即，解得．选B． 5、下列结论正确的是( ) A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 答案：C 解析：对于A，取时，，则A错误； 对于B，取时，，则B错误； 对于C，因为，所以由不等式的性质可知，则C正确； 对于D，取时，，则D错误；故选：C 6、已知，函数的最小值是( ) A．5 B．4 C．8 D．6 答案：D 解析：，本题正确选项为D． 7、若集合A＝{x|2a＋1≤x≤3a－5}，B＝{x|5≤x≤16}，则能使A⊆B成立的所有a组成的集合为(　　) A．{a|2≤a≤7} B．{a|6≤a≤7} C．{a|a≤7} D．∅ 答案： C　 解析：当3a－5<2a＋1，即a<6时，A＝∅⊆B；当3a－5≥2a＋1，即a≥6时，A≠∅， 要使A⊆B，需有解得2≤a≤7. 综上可知，a≤7. 8、已知a，b，c，d都是常数，a>b，c>d. 若f(x)＝2 022－(x－a)(x－b)，方程f(x)=0的两根为c，d，则下列不等式正确的是(　　) A．a>c>b>d B．a>b>c>d C．c>d>a>b D．c>a>b>d 答案：D 解析：f(x)＝2 022－(x－a)(x－b)＝－x2＋(a＋b)x－ab＋2 022， 又f(a)＝f(b)＝2 022，f(c)＝f(d)＝0,且a>b，c>d， 所以可在平面直角坐标系中作出函数f(x)的大致图象， 如图所示，由图可知c>a>b>d，故选D. 二、多选题 (共4小题，每小题5分，在每小题给出的选项中，有多个选项符合题目要求，少选记2分，不选或错选多选均不记分) 9、下列命题的否定中，是全称命题且是真命题的是( ) A． B．所有正方形都是矩形 C． D．至少有一个实数x，使 答案：AC 解析：由题意可知：原命题为特称命题且为假命题. 选项A． 原命题为特称命题，，所以原命题为假命题，所以选项A满足条件. 选项A． 原命题是全称命题，所以选项B不满足条件. 选项C． 原命题为特称命题，在方程中，所以方程无实数根，所以原命题为假命题，所以选项C满足条件. 选项D． 当时，命题成立. 所以原命题为真命题，所以选项D不满足条件. 故选：AC 10、下面命题正确的是( ) A．“”是“”的 充 分不 必 要条件 B．命题“若，则”的 否 定 是“ 存 在，则”. C．设，则“且”是“”的必要而不充分条件 D．设，则“”是“”的必要 不 充 分 条件 答案：ABD 解析：选项A: 根据反比例函数的性质可知：由， 能推出， 但是由， 不能推出， 例如当时， 符合， 但是不符合， 所以本选项是正确的； 选项B: 根据命题的否定的定义可知：命题“若， 则”的 否 定 是“ 存 在， 则”. 所以本选项是正确的； 选项C: 根据不等式的性质可知：由且能推出， 本选项是不正确的； 选项D: 因为可以等于零，所以由不能推出， 再判断由能不能推出，最后判断本选项是否正确. 故选：ABD 11、已知且，那么下列不等式中，恒成立的有( )． A．ab≤ B． C． D． 答案：ABC 解析：， (当且仅当时取得等号)．所以选项A正确，由，所以, 选项B正确 (当且仅当时取得等号)， ．所以选项C正确. (当且仅当时等号成立)，所以选项D不正确．故A，B，C正确故选：ABC 12、已知函数f(x)＝, 则f(m)＝2, 则m的值可以是（ ）. A. 2 B.-2 C. 3 D . -5 答案： C D 解析：f(2)＝0, f(-2)＝-1, f(3)＝2, f(-5)＝2 三、填空题 (共4小题，每小题5分，在每小题给出的横线中，填写符合题意的答案) 13、设一元二次不等式的解集为, 则的值为_______ 答案： 解析：由题意可知方程的根为，所以有 . 14、“，都有恒成立”是真命题，则实数的取值范围是____________； 答案： 解析：因为，即的最小值为-1，要使“恒成立”， 只需，即，所以答案为“”. 15、设集合，集合，若，则实数_____. 答案：-3 解析：因为集合， ，A={0，3}，故m= -3. 16、设计用的材料制造某种长方体形状的无盖车厢，按交通部门的规定车厢宽度为，则车厢的最大容积是___________ m3 答案：16 解析：设长方体车厢的长为xm，高为hm，则，即， ∴，即，解得， ∴．∴车厢的容积为．当且仅当且，即时等号成立．∴车厢容积的最大值为． 四、解答题 (共6小题，共70分，在每小题的解析中写出必要的运算和推理过程) 17、已知a，b均为正实数，试利用作差法比较与的大小. 解析：∵ . 又a，b均为正实数，当时，； 当时，，则. 综上所述，. 18、已知集合，集合． （1）若；求实数m的取值范围； （2）命题，命题，若p是q的充分条件，求实数m的取值范围． 解析（1）集合，集合． 当时，显然有，此时，解得； 当时，要使，只需或，解得或无解． 综上： ， 所以实数m的取值范围； （2）命题，命题，若p是q的充分条件，则有． 所以解得．所以实数m的取值范围 19、(1) 已知x>0，求的最小值； (2) 已知0<x<，求x(1－2x)的最大值. 解析：(1) ∵＝x＋＋5≥2＋5＝9， 当且仅当x＝即x＝2时等号成立. 故 (x>0)的最小值为9. (2) ∵0<x<，∴1－2x>0，∴×2x(1－2x)≤×＝×＝. ∴当且仅当2x＝1－2x (0<x<)，即x＝时，ymax＝. 20、已知函数的定义域为A，函数，则f（x）的值域是B，不等式(x+2)(x-a)≤0的解集为C. (1) 求A∪B； (2) 若A∪C=R, 则实数a的取值范围. 解析 (1)由得或. 所以函数的定义域A=. 由于，故，故函数的值域B=， A∪B=. (2)当a<-2时，C=[a, -2], A∪C=R不成立; 当a>-2时C=[-2, a], 要A∪C=R必须a≥2; 当a= -2时，C={-2}, A∪C=R不成立; 综上：a≥2 21、某房地产开发公司计划在一楼区内建造一个长方形公园ABCD,公园由形状为长方形A1B1C1D1的休闲区和环公园人行道(阴影部分)组成.已知休闲区A1B1C1D1的面积为4 000平方米,人行道的宽分别为4米和10米(如图所示). (1)若设休闲区的长和宽的比=x (x>1), 求公园ABCD所占面积S关于x的函数解析式; (2)要使公园所占面积最小,休闲区A1B1C1D1的长和宽该如何设计? 解析： (1)设休闲区的宽为a米,则长为ax米,由a2x=4000,得a=. 则S=(a+8)(ax+20)=a2x+(8x+20)a+160=4000+(8x+20)·+160 =80+4160(x>1). (2)80+4160≥80×2+4160=1600+4160=5760. 当且仅当2,即x=2.5时,等号成立,此时a=40,ax=100. 所以要使公园所占面积最小,休闲区A1B1C1D1应设计为长100米,宽40米. 22、已知命题 存在实数，使成立. 命题任意实数，使恒成立. (1)若命题P为真命题，求实数a的取值范围； (2)如果p，q都是假命题，求实数a的取值范围. 解析：(1)存在实数，使成立 或，实数a的取值范围为； (2)任意实数，使恒成立，要且只要x=1和x=2时成立， 由题p，q都是假命题，那它们的补集取交集， 实数a的取值范围. 学科网（北京）股份有限公司 $$