精品解析：甘肃省天水市第二中学、新梦想高考复读学校2024-2025学年高三上学期12月大联考数学试题

天水市第二中学､新梦想高考复读学校2025届高三级12月份大联考 数学试卷 一､选择题（共8小题，每题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．） 1. 杜甫在《奉赠韦左丞丈二十二韵》中有诗句：“读书破万卷，下笔如有神.”对此诗句的理解是读书只有读透书，博览群书，这样落实到笔下，运用起来才有可能得心应手，如有神助一般，由此可得，“读书破万卷”是“下笔如有神”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 充要条件 C. 必要不充分条件 D. 既不充分也不必要条件 2. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 3. 时，不等式成立，则取值范围是（ ） A. B. C. D. 4. 函数是定义在上的偶函数，则（ ） A. 1 B. 3 C. D. 不存在 5. 我国著名数学家华罗庚先生曾说：“数缺形时少直观，形缺数时难入微，数形结合百般好，隔裂分家万事休.”在数学的学习和研究中，常用函数的图象来研究函数的性质，也常用函数的解析式来琢磨函数的图象的特征，如函数的图象大致是 A. B. C. D. 6. 在中，点为线段的中点，点满足，若，则的值为（ ） A. B. C. D. 7. 渐进式延迟退休方案是指采取较缓而稳妥的方式逐步延长退休年龄．对于男职工，新方案将延迟法定退休年龄每4个月延迟1个月，逐步将男职工的法定退休年龄从原六十周岁延迟至六十三周岁．如果男职工延迟法定退休年龄部分对照表如下表所示： 出生时间 1965年 1月-4月 1965年 5月-8月 1965年 9月-12月 1966年 1月-4月 …… 改革后法定退休年龄 60岁＋1个月 60岁＋2个月 60岁＋3个月 60岁＋4个月 …… 那么1974年5月出生的男职工退休年龄为（ ） A. 62岁3个月 B. 62岁4个月 C. 62岁5个月 D. 63岁 8. 设f（x）是定义在R上的奇函数，且f（2）＝0，当x>0时，有<0恒成立，则不等式x2f（x）>0的解集是 A. （－2,0）∪（2，＋∞） B. （－2,0）∪（0,2） C. （－∞，－2）∪（2，＋∞） D. （－∞，－2）∪（0,2） 二､多选题（共3小题，每题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．） 9. 若一个函数的值域为，则称该函数为全域函数，则下列函数为全域函数的是（ ） A B. C. D. 10. 以下说法中正确的是（ ） A. 若，则在处的瞬时变化率为2 B. “”是“”的必要不充分条件 C. 在中，若，则一定是等腰三角形 D. 若，则的极值点是 11. 若正项数列为等比数列，公比为，其前项和为，则下列正确的是（ ） A. 数列是等比数列 B. 数列是等差数列 C. 若是递减数列，则 D. 若，则 三､填空题（共3小题，每题5分，共15分） 12. 已知平面向量，且，则__________． 13. 已知，若是与的等比中项，则的最小值是__________． 14. 若函数有三个不同零点，则实数的取值范围是__________． 四､解答题（共5小题，共77分；解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤） 15. 已知． （1）求； （2）若，求实数的值． 16. 已知函数． （1）当时，求曲线在点处的切线方程； （2）若不等式恒成立，求的取值范围． 17. 在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且． （1）求A的大小； （2）若外接圆半径为4，且，求的面积． 18. 在等差数列中，，且构成等比数列． （1）求数列的通项公式； （2）令，记为数列的前项和，若，求正整数的最小值． 19. 已知函数，在上有最小值，无最大值，且满足． （1）求的解析式； （2）求对称中心； （3）求的对称轴方程； （4）用五点作图法作出的图象； （5）求的单调递增区间； （6）求的解集； （7）将函数的图象向右平移个单位后得到函数的图象，若对满足的，有，求的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 天水市第二中学､新梦想高考复读学校2025届高三级12月份大联考 数学试卷 一､选择题（共8小题，每题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．） 1. 杜甫在《奉赠韦左丞丈二十二韵》中有诗句：“读书破万卷，下笔如有神.”对此诗句的理解是读书只有读透书，博览群书，这样落实到笔下，运用起来才有可能得心应手，如有神助一般，由此可得，“读书破万卷”是“下笔如有神”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 充要条件 C. 必要不充分条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】C 【解析】 【分析】根据充分条件和必要条件的定义分析判断. 【详解】杜甫的诗句表明书读得越多，文章未必就写得越好，但不可否认的是，一般写作较好的人，他的阅读量一定不会少，而且所涉猎的文章范畴也会比一般读书人广泛. 因此“读书破万卷”是“下笔如有神”的必要不充分条件. 故选：C 2. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由已知确定集合中元素，然后由交集定义计算． 【详解】由题意，又， ∴， 故选：C． 3. 时，不等式成立，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】分离参数，构造函数并求出最小值，再结合存在量词命题求出范围. 【详解】不等式，当时，，当且仅当时取等号， 由时，不等式成立，得， 所以的取值范围是. 故选：D 4. 函数是定义在上的偶函数，则（ ） A. 1 B. 3 C. D. 不存在 【答案】B 【解析】 【分析】根据偶函数的定义及定义域求出的值，进而求解即可. 【详解】由题意，，则， 由为偶函数，所以， 则， 则，即， 所以，则. 故选：B. 5. 我国著名数学家华罗庚先生曾说：“数缺形时少直观，形缺数时难入微，数形结合百般好，隔裂分家万事休.”在数学的学习和研究中，常用函数的图象来研究函数的性质，也常用函数的解析式来琢磨函数的图象的特征，如函数的图象大致是 A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用排除选项；当时，可知，排除选项，从而得到结果. 【详解】当时，，可排除选项； 当时，， 时，，可排除选项 本题正确选项： 【点睛】本题考查函数图象的判断，常用方法是采用特殊值排除的方式，根据特殊位置函数值的符号来排除错误选项. 6. 在中，点为线段的中点，点满足，若，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用平面向量基本定理根据题意将用表示出来，从而可求出，进而可求得结果. 【详解】因为点D为线段BC的中点，点E满足， 所以，所以， 消去，得， 所以， 所以，，所以． 故选：D． 7. 渐进式延迟退休方案是指采取较缓而稳妥的方式逐步延长退休年龄．对于男职工，新方案将延迟法定退休年龄每4个月延迟1个月，逐步将男职工的法定退休年龄从原六十周岁延迟至六十三周岁．如果男职工延迟法定退休年龄部分对照表如下表所示： 出生时间 1965年 1月-4月 1965年 5月-8月 1965年 9月-12月 1966年 1月-4月 …… 改革后法定退休年龄 60岁＋1个月 60岁＋2个月 60岁＋3个月 60岁＋4个月 …… 那么1974年5月出生的男职工退休年龄为（ ） A. 62岁3个月 B. 62岁4个月 C. 62岁5个月 D. 63岁 【答案】C 【解析】 【分析】构造等差数列得出公差及首项，再应用等差数列通项公式计算即可. 【详解】设1965年5月出生的男职工退休年龄为岁，则1966年5月出生的男职工退休年龄为岁， 所以公差为，设5月出生的男职工退休年龄为是首项为,公差为的等差数列， 1974年5月出生的男职工退休年龄为. 故1974年5月出生的男职工退休年龄为62岁5个月. 故选：C. 8. 设f（x）是定义在R上的奇函数，且f（2）＝0，当x>0时，有<0恒成立，则不等式x2f（x）>0的解集是 A. （－2,0）∪（2，＋∞） B. （－2,0）∪（0,2） C. （－∞，－2）∪（2，＋∞） D. （－∞，－2）∪（0,2） 【答案】D 【解析】 【详解】试题分析：因为当时，有恒成立，即恒成立，所以在内单调递减．因为，所以在内恒有；在内恒有．又因为是定义在上的奇函数，所以在内恒有；在内恒有．又不等式的解集，即不等式的解集．故答案为，选D. 考点：函数的单调性与导数的关系. 【思路点晴】本题主要考查了函数单调性与奇偶性的应用．在判断函数的单调性时，常可利用导函数来判 断．属于中档题．首先根据商函数求导法则，把 化为；然后利用导函数的正负性，可判断函数在内单调递减；再由，易得在内的正负性；最后结合奇函数的图象特征，可得在内的正负性．则的解集即可求得． 二､多选题（共3小题，每题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．） 9. 若一个函数的值域为，则称该函数为全域函数，则下列函数为全域函数的是（ ） A. B. C. D. 【答案】BCD 【解析】 【分析】分别求出函数值域，进行判断. 【详解】值域为，A错误. ，值域均为，B，C均正确. 的值域为，D正确. 故选：BCD 10. 以下说法中正确的是（ ） A. 若，则在处的瞬时变化率为2 B. “”是“”的必要不充分条件 C. 在中，若，则一定是等腰三角形 D. 若，则的极值点是 【答案】AB 【解析】 【分析】结合复合函数的导数及瞬时变化率的定义求解判断A；先解方程，再根据充分、必要条件的定义判断B；利用正弦定理化简可得或，进而判断C；利用导数求解函数极值点，进而判断D. 【详解】对于A，由，则， 则在处的瞬时变化率为，故A正确； 对于B，由，得或， 则“”是“”的必要不充分条件，故B正确； 对于C，由，根据正弦定理得， 即，则或， 即或，则为等腰三角形或直角三角形，故C错误； 对于D，由，则， 令，得或；令，得， 所以函数在和上单调递增，在上单调递减， 所以函数的极值点是，，故D错误. 故选：AB 11. 若正项数列为等比数列，公比为，其前项和为，则下列正确的是（ ） A. 数列是等比数列 B. 数列是等差数列 C. 若是递减数列，则 D. 若，则 【答案】ABC 【解析】 【分析】设正项等比数列的首项为，则通项公式，利用等比、等差数列的定义可判定A、B，由，可求的范围，判断C，由求出，再由正项数列的条件，得的范围，判断D. 【详解】设正项等比数列的首项为，则通项公式， 则，所以， 所以数列是首项为，公比为的等比数列，A正确； 则， 所以数列是以为首项，以为公差的等差数列，故B正确； 若是递减数列，则， 因为，则，则，C正确； 若，则，则，D错误． 故选：ABC． 三､填空题（共3小题，每题5分，共15分） 12. 已知平面向量，且，则__________． 【答案】5 【解析】 【分析】根据平面向量垂直的坐标表示可得，进而结合平面向量线性运算及模的坐标表示计算即可. 【详解】由，得， 即，解得， 所以，则， 所以. 故答案为：5. 13. 已知，若是与的等比中项，则的最小值是__________． 【答案】 【解析】 【分析】由条件结合等比中项性质可得，在利用基本不等式求的最小值. 【详解】因为是与的等比中项， 所以，故， 又， 所以,， 当且仅当时等号成立， 所以的最小值是. 故答案为：. 14. 若函数有三个不同的零点，则实数的取值范围是__________． 【答案】 【解析】 【分析】令，化简可得，作函数和的图象，由条件观察图象可得结论. 【详解】令，得， 令和， 在同一平面直角坐标系中作出函数和的大致图象，如图所示， 由图可知，当且时，函数和有三个交点， 即函数有个零点，则实数的取值范围是． 故答案为：． 四､解答题（共5小题，共77分；解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤） 15. 已知． （1）求； （2）若，求实数的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）平方转化为数量积的运算求解； （2）垂直化为数量积为0，由此可得参数值． 【小问1详解】 ， 则， 故； 【小问2详解】 ， 则， 即，解得． 16. 已知函数． （1）当时，求曲线在点处的切线方程； （2）若不等式恒成立，求的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）求导数得切线斜率，由点斜式得切线方程； （2）不等式同构化为，然后构造函数，是增函数，从而由单调性不等式化为，再分离参数得在恒成立，然后由导数求得的最大值，即可得参数范围． 【小问1详解】 当时，，则， 又， 所求切线方程为，即； 【小问2详解】 转化为， 可得， 构造函数，易得在R单调递增， 所以有，由在R单调递增， 故可得，即有在恒成立， 令，得到， 可得时，单调递增； 时，单调递减， 所以在时取最大值， 所以，得到， 即的取值范围是 17. 在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且． （1）求A的大小； （2）若的外接圆半径为4，且，求的面积． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）先根据正弦定理将等式化简约分，可求得，即可求得结果； （2）结合第（1）问及余弦的和角公式，得到，利用正弦定理化简得，求出三角形面积即可. 【小问1详解】 根据正弦定理的变形公式可得， 因为，所以，即， 因为，所以，则，即； 【小问2详解】 因为，所以， 则，即， 又，所以， 因为的外接圆半径为， 所以由正弦定理可得， 所以， 所以. 18. 在等差数列中，，且构成等比数列． （1）求数列的通项公式； （2）令，记为数列的前项和，若，求正整数的最小值． 【答案】（1） （2）6 【解析】 【分析】（1）根据给定条件，求出数列的公差，再利用等差数列定义求出通项公式. （2）由（1）的结论，求出，利用分组求和法求出，再借助单调性求出最小值. 【小问1详解】 设等差数列的公差为，由构成等比数列，得， 而，则，而，解得， 所以数列的通项公式是. 【小问2详解】 由（1）知，， ， 数列都是递增数列，则数列为递增数列， 而， 所以时，正整数最小值为6. 19. 已知函数，在上有最小值，无最大值，且满足． （1）求的解析式； （2）求的对称中心； （3）求对称轴方程； （4）用五点作图法作出的图象； （5）求的单调递增区间； （6）求的解集； （7）将函数的图象向右平移个单位后得到函数的图象，若对满足的，有，求的值． 【答案】（1） （2）， （3）， （4）作图见解析 （5）， （6）， （7） 【解析】 【分析】（1）结合题意可得，时，函数取到最小值，进而求解即可； （2）结合正弦函数的对称中心求解即可； （3）结合正弦函数的对称轴方程求解即可； （4）结合五点作图法作图即可； （5）结合正弦函数的单调性求解即可； （6）根据正弦函数的性质求解不等式即可； （7）分析题意可得中一个对应最大值，一个对应最小值，进而结合周期分析求解即可. 【小问1详解】 因为，在上有最小值，无最大值， 所以，故有， 又与在一个周期内，且， 所以时，函数取到最小值， 则，，故有，， 又因为，所以，即. 【小问2详解】 令，，则，， 所以的对称中心为，. 【小问3详解】 令，，则，， 所以的对称轴方程为，. 【小问4详解】 列表如下： 0 0 1 0 0 所以在一个周期内的图象如下： 【小问5详解】 令，则， 所以的单调递增区间是，. 【小问6详解】 由，则， 则，，即，， 所以的解集是，. 【小问7详解】 由可知的中一个对应最大值，一个对应最小值， 对于函数其最大值与最小值对应的的距离为半个周期， 则有，即． 【点睛】关键点点睛：本题最后一问关键在于结合题设得到一个对应最大值，一个对应最小值，进而结合周期分析求解即可. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$