第11讲 一次函数的应用（讲义，考点+15种题型)-【上好课】2025年中考数学一轮复习讲练测（全国通用）

第三章 函数 第11讲 一次函数的应用 （思维导图+考点+15种题型） 试卷第1页，共3页 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 01考情透视·目标导航 02知识导图·思维引航 03考点突破·考法探究 04题型精研·考向洞悉 ►题型01 最优方案问题 ►题型02 最值问题 ►题型03 行程问题 ►题型04 工程问题 ►题型05 分配问题 ►题型06 分段计费问题 ►题型07 调运问题 ►题型08 计时问题 ►题型09 体积问题 ►题型10 几何问题 ►题型11 新考法：新情景问题 ►题型12 新考法：与现实有关的热考问题 ►题型13 新考法：新考法问题 ►题型14 新考法：跨学科问题 ►题型15 新考法：中考预测题 01考情透视·目标导航 中考考点【常见类型】 考查频率 新课标要求 一次函数的实际应用--最优方案问题 ★★ 结合具体情境体会一次函数的意义，能根据已知条件确定一次函数的解析式； 能用一次函数解决简单实际问题. 一次函数的实际应用--最值问题 ★★ 一次函数的实际应用--行程问题 ★★ 【考情分析】 应用一次函数解决实际问题，包含两大类：1)利用函数图像解决运动问题； 2)利用函数性质解决最大利润、最小费用等最值问题. 考查内容包含利用待定系数法求函数解析式，利用函数的增减性求最值等，试题形式以解答题为主，难度中等. 【命题预测】一次函数的应用在中考中多考察一次函数图像的理解和信息提取，通常以最优方案、最值问题与行程类问题为主。出题时也多和方程、不等式结合，一次函数的实际应用的题目在中考中难度不大，关键在于函数关系式的建立，主要考查的是理解和分析能力，从文字、图像和图表中获取信息，建立函数关系式是解题的关键. 02知识导图·思维引航 03考点突破·考法探究 用一次函数解决实际问题：应用一次函数解决实际问题时，首先，要判断问题中的两个变量之间是否是一次函数关系；其次，当确定是一次函数关系时，可先求出一次函数解析式，再应用一次函数的相关知识去解决与其相关的实际问题. 1.判断两个变量之间是不是一次函数关系的步骤： 1）通过实验、测量获得数量足够多的两个变量的对应值； 2）建立适当的平面直角坐标系，画出图像； 3）观察图像特征，判断函数的类型. 2.建立一次函数解析式的常用方法 1）根据基本的量之间存在的关系列函数解析式； 2）若题目中已明确给出两个变量的函数关系，则可用待定系数法求出函数解析式； 3.一次函数应用问题的求解思路： 1）建立一次函数模型→求出一次函数解析式→结合函数解析式、函数性质求解； 2）在实际生活问题中，如何应用函数知识解题，关键是建立函数模型，即列出符合题意的函数解析式，然后根据函数的性质综合方程（组）、不等式（组）及图像求解.要注意结合实际，确定自变量的取值范围，这是应用中的难点，也是中考的热门考点； 3）分析问题的实际背景中包含的变量及对应关系，结合一次函数的解析式及图像，通过比较函数值的大小等，寻求解决问题的最佳方案，体会函数作为一种数学模型在分析解决实际问题中的重要作用. 4.利用一次函数的图像解决实际问题的一般步骤： 1）观察图像，获取有效信息； 2）对获取的信息进行加工、处理，理清各数量之间的关系； 3）选择适当的数学工具(如函数、方程、不等式等)，通过建模解决问题. 【提示】时刻注意根据实际情况确定变量的取值范围. 5.求最值的本质为求最优方案，解法有两种： 1）可将所有求得的方案的值计算出来，再进行比较； 2）直接利用所求值与其变量之间满足的一次函数关系式求解，由一次函数的增减性可直接确定最优方案及最值；若为分段函数，则应分类讨论，先计算出每个分段函数的取值，再进行比较． 【提示】一次函数本身并没有最值，但在实际问题中，自变量的取值往往有一定的限制，其图像为射线或线段.涉及最值问题的一般思路：确定函数解析式→确定函数增减性→根据自变量的取值范围确定最值． 04题型精研·考向洞悉 ►题型01 最优方案问题 1．（2024·内蒙古呼伦贝尔·中考真题）某超市从某水果种植基地购进甲、乙两种优质水果，经调查，这两种水果的进价和售价如表所示： 水果种类 进价（元/千克） 售价（元/千克） 甲 22 乙 25 该超市购进甲种水果18千克和乙种水果6千克需366元：购进甲种水果30千克和乙种水果15千克需705元． (1)求的值； (2)该超市决定每天购进甲、乙两种水果共150千克进行销售，其中甲种水果的数量不少于50千克，且不大于120千克．实际销售时，若甲种水果超过80千克，则超过部分按每千克降价5元销售．求超市当天销售完这两种水果获得的利润（元）与购进甲种水果的数量（千克）之间的函数关系式（写出自变量的取值范围），并求出在获得最大利润时，超市的进货方案以及最大利润． 2．（2024·江苏南通·中考真题）某快递企业为提高工作效率，拟购买A、B两种型号智能机器人进行快递分拣． 相关信息如下： 信息一 A型机器人台数 B型机器人台数 总费用（单位：万元） 1 3 260 3 2 360 信息二 (1)求A、B两种型号智能机器人的单价； (2)现该企业准备用不超过700万元购买A、B两种型号智能机器人共10台．则该企业选择哪种购买方案，能使每天分拣快递的件数最多? 3．（2024·内蒙古通辽·中考真题）某中学为加强新时代中学生劳动教育，开辟了劳动教育实践基地．在基地建设过程中，需要采购煎蛋器和三明治机．经过调查，购买2台煎蛋器和1台三明治机需240元，购买1台煎蛋器和3台三明治机需395元． (1)求煎蛋器和三明治机每台价格各是多少元； (2)学校准备采购这两种机器共50台，其中要求三明治机的台数不少于煎蛋器台数的一半，请你给出最节省费用的购买方案． 4．（2024·四川广元·中考真题）近年来，中国传统服饰备受大家的青睐，走上国际时装周舞台，大放异彩．某服装店直接从工厂购进长、短两款传统服饰进行销售，进货价和销售价如下表： 价格/类别 短款 长款 进货价（元/件） 80 90 销售价（元/件） 100 120 (1)该服装店第一次用4300元购进长、短两款服装共50件，求两款服装分别购进的件数； (2)第一次购进的两款服装售完后，该服装店计划再次购进长、短两款服装共200件（进货价和销售价都不变），且第二次进货总价不高于16800元．服装店这次应如何设计进货方案，才能获得最大销售利润，最大销售利润是多少？ ►题型02 最值问题 5．（2024·云南·中考真题）、两种型号的吉祥物具有吉祥如意、平安幸福的美好寓意，深受大家喜欢． 某超市销售、两种型号的吉祥物，有关信息见下表： 成本（单位：元/个） 销售价格（单位：元/个） 型号 35 a 型号 42 若顾客在该超市购买8个种型号吉祥物和7个种型号吉祥物，则一共需要670元；购买4个种型号吉祥物和5个种型号吉祥物，则一共需要410元． (1)求、的值； (2)若某公司计划从该超市购买、两种型号的吉祥物共90个，且购买种型号吉祥物的数量（单位：个）不少于种型号吉祥物数量的，又不超过种型号吉祥物数量的2倍．设该超市销售这90个吉祥物获得的总利润为元，求的最大值． 注：该超市销售每个吉祥物获得的利润等于每个吉祥物的销售价格与每个吉祥物的成本的差． 6．（2022·湖北十堰·中考真题）某商户购进一批童装，40天销售完毕．根据所记录的数据发现，日销售量（件）与销售时间（天）之间的关系式是 ，销售单价（元/件）与销售时间（天）之间的函数关系如图所示． (1)第15天的日销售量为_________件； (2)当时，求日销售额的最大值； (3)在销售过程中，若日销售量不低于48件的时间段为“火热销售期”，则“火热销售期”共有多少天？ 7．（2022·山东济宁·中考真题）某运输公司安排甲、乙两种货车24辆恰好一次性将328吨的物资运往A，B两地，两种货车载重量及到A，B两地的运输成本如下表： 货车类型 载重量（吨/辆） 运往A地的成本（元/辆） 运往B地的成本（元/辆） 甲种 16 1200 900 乙种 12 1000 750 (1)求甲、乙两种货车各用了多少辆； (2)如果前往A地的甲、乙两种货车共12辆，所运物资不少于160吨，其余货车将剩余物资运往B地．设甲、乙两种货车到A，B两地的总运输成本为w元，前往A地的甲种货车为t辆． ①写出w与t之间的函数解析式； ②当t为何值时，w最小？最小值是多少？ 8．（2021·贵州贵阳·中考真题）为庆祝“中国共产党的百年华诞”，某校请广告公司为其制作“童心向党”文艺活动的展板、宣传册和横幅，其中制作宣传册的数量是展板数量的5倍，广告公司制作每件产品所需时间和利润如下表： 产品 展板 宣传册 横幅 制作一件产品所需时间（小时） 1 制作一件产品所获利润（元） 20 3 10 （1）若制作三种产品共计需要25小时，所获利润为450元，求制作展板、宣传册和横幅的数量； （2）若广告公司所获利润为700元，且三种产品均有制作．求制作三种产品总量的最小值． ►题型03 行程问题 9．（2024·吉林长春·中考真题）区间测速是指在某一路段前后设置两个监控点，根据车辆通过两个监控点的时间来计算车辆在该路段上的平均行驶速度．小春驾驶一辆小型汽车在高速公路上行驶，其间经过一段长度为20千米的区间测速路段，从该路段起点开始，他先匀速行驶小时，再立即减速以另一速度匀速行驶（减速时间忽略不计），当他到达该路段终点时，测速装置测得该辆汽车在整个路段行驶的平均速度为100千米/时．汽车在区间测速路段行驶的路程（千米）与在此路段行驶的时间（时）之间的函数图象如图所示． (1)的值为________； (2)当时，求与之间的函数关系式； (3)通过计算说明在此区间测速路段内，该辆汽车减速前是否超速．（此路段要求小型汽车行驶速度不得超过120千米/时） 10．（2024·黑龙江牡丹江·中考真题）一条公路上依次有A、B、C三地，甲车从A地出发，沿公路经B地到C地，乙车从C地出发，沿公路驶向B地．甲、乙两车同时出发，匀速行驶，乙车比甲车早小时到达目的地．甲、乙两车之间的路程与两车行驶时间的函数关系如图所示，请结合图象信息，解答下列问题： (1)甲车行驶的速度是_____，并在图中括号内填上正确的数； (2)求图中线段所在直线的函数解析式（不要求写出自变量的取值范围）； (3)请直接写出两车出发多少小时，乙车距B地的路程是甲车距B地路程的3倍． 11．（2023·浙江绍兴·中考真题）一条笔直的路上依次有三地，其中两地相距1000米．甲、乙两机器人分别从两地同时出发，去目的地，匀速而行．图中分别表示甲、乙机器人离地的距离（米）与行走时间（分钟）的函数关系图象．    (1)求所在直线的表达式． (2)出发后甲机器人行走多少时间，与乙机器人相遇？ (3)甲机器人到地后，再经过1分钟乙机器人也到地，求两地间的距离． 12．（2024·陕西西安·模拟预测）某科技活动小组制作了两款小型机器人，在同一赛道上进行试验运行．甲机器人离点的距离与出发时间满足一次函数关系，部分数据如下表．乙机器人在离点米处出发，以米/秒的速度匀速前进，两个机器人同时同向（远离点）出发并保持前进的状态． 出发时间（单位：秒） 甲机器人离点距离（单位：米） (1)设甲、乙两机器人离点的距离分别为、，求它们与出发时间之间的函数关系式； (2)甲机器人出发时距离点多远？两机器人出发多长时间时相遇？ ►题型04 工程问题 13．（2024·内蒙古赤峰·中考真题）一段高速公路需要修复，现有甲、乙两个工程队参与施工，已知乙队平均每天修复公路比甲队平均每天修复公路多3千米，且甲队单独修复60千米公路所需要的时间与乙队单独修复90千米公路所需要的时间相等． (1)求甲、乙两队平均每天修复公路分别是多少千米； (2)为了保证交通安全，两队不能同时施工，要求甲队的工作时间不少于乙队工作时间的2倍，那么15天的工期，两队最多能修复公路多少千米？ 14．（2023·吉林·中考真题）甲、乙两个工程组同时挖掘沈白高铁某段隧道，两组每天挖掘长度均保持不变，合作一段时间后，乙组因维修设备而停工，甲组单独完成了剩下的任务，甲、乙两组挖掘的长度之和与甲组挖掘时间x（天）之间的关系如图所示 (1)甲组比乙组多挖掘了__________天． (2)求乙组停工后y关于x的函数解析式，并写出自变量x的取值范围． (3)当甲组挖掘的总长度与乙组挖掘的总长度相等时，直接写出乙组已停工的天数． 15．（2023·江苏南通·中考真题）为推进全民健身设施建设，某体育中心准备改扩建一块运动场地．现有甲、乙两个工程队参与施工，具体信息如下： 信息— 工程队 每天施工面积（单位：） 每天施工费用（单位：元） 甲 3600 乙 x 2200 信息二 甲工程队施工所需天数与乙工程队施工所需天数相等． (1)求x的值； (2)该工程计划先由甲工程队单独施工若干天，再由乙工程队单独继续施工，两队共施工22天，且完成的施工面积不少于．该段时间内体育中心至少需要支付多少施工费用? 16．（2024·江苏盐城·模拟预测）在某市双城同创的工作中，某社区计划对的区域进行绿化，经投标，由甲、乙两个施工队来完成，已知甲队每天能完成绿化的面积是乙队每天能完成绿化面积的2倍，并且在独立完成面积为区域的绿化时，甲队比乙队少用3天． (1)甲、乙两施工队每天分别能完成绿化的面积是多少？ (2)若甲队每天绿化费用为0.4万元，乙队每天绿化费用为0.15万元，且甲、乙两队施工的总天数不超过14天，使施工费用最少？并求出最少费用． ►题型05 分配问题 17．（2024·山东东营·中考真题）随着新能源汽车的发展，东营市某公交公司计划用新能源公交车淘汰“冒黑烟”较严重的燃油公交车．新能源公交车有型和型两种车型，若购买型公交车辆，型公交车辆，共需万元；若购买型公交车辆，型公交车辆，共需万元． (1)求购买型和型新能源公交车每辆各需多少万元？ (2)经调研，某条线路上的型和型新能源公交车每辆年均载客量分别为万人次和万人次．公司准备购买辆型、型两种新能源公交车，总费用不超过万元．为保障该线路的年均载客总量最大，请设计购买方案，并求出年均载客总量的最大值． 18．（2024·湖南长沙·模拟预测）为响应国家关于推动各级各类生产设备、服务设备更新和技术改造的号召，某公司计划将办公电脑全部更新为国产某品牌，市场调研发现，品牌的电脑单价比品牌电脑的单价少元，通过预算得知，用万元购买品牌电脑比购买品牌电脑多台． (1)试求，两种品牌电脑的单价分别是多少元； (2)该公司计划购买，两种品牌的电脑一共台，且购买品牌电脑的数量不少于品牌电脑的，试求出该公司费用最少的购买方案． 19．（2024·河南周口·三模）春和景明，草长莺飞的四月和五月，全家最适合周末去附近的公园里踏青或爬山，并且进行野餐，某便民商店计划在春天踏春之际购进，两种不同型号的野餐垫共个，已知购进型号的野餐垫个和型号的野餐垫个需要元，购进型号的野餐垫个和型号的野餐垫个需要元． (1)求该商店购进每个型号和型号的野餐垫的价格； (2)该商店在调查后根据实际需求，现在决定购进型号的野餐垫不超过型号野餐垫数量的，为使购进野餐垫的总费用最低，应购进型号野餐垫和型号的野餐垫各多少个?购进野餐垫的总费用最低为多少元? 20．（2024·河南周口·二模）为加强中华优秀传统文化的弘扬与传承，提升学生的文化自信，引导学生在经典诗歌中启智润心、培根铸魂，某校决定举办中华经典诗歌朗读比赛．为鼓励同学们积极参与，大赛设置一等奖、二等奖、三等奖，对应的奖品如下表所示．已知购买一本《诗经》的价格是元，购买1个笔记本和2支笔的价格是元，购买2个笔记本和3支笔的价格是元． 一等奖 二等奖 三等奖 奖品 1 本《诗经》 2个笔记本、1支笔 1 本《诗经》 2支笔 1 个笔记本2支笔 (1)请计算购买 1 个笔记本和1支笔的价格分别是多少? (2)据统计，共有名同学参加比赛，若要求每位参赛同学都能获得一个奖，且一等奖共设置5名，二等奖的数量不少于三等奖数量的 ，则最少需要多少费用来购买奖品?并写出此时二等奖和三等奖各设置多少名． ►题型06 分段计费问题 21．（2024·浙江衢州·一模）我市“一户一表、抄表到户”居民生活用水实行阶梯水价，三级收费标准如下表，每户每年应缴水费（元）与用水量关系如图． 分类 用水量 单价（元/） 第1级 不超过300 第2级 超过300不超过480的部分 第3级 超过480的部分 根据图表信息，解答下列问题： (1)小南家2022年用水量为，共缴水费1168元．求，及线段的函数表达式． (2)小南家2023年用水量增加，共缴水费元，求2023年小南家用水量． 22．（2023·陕西西安·二模）某市出租车计费方法为：当行驶里程不超过时，计价器保持在元；当行驶里程超过时，计价器开始变化，行驶里程x（）与车费y（元）之间的关系如图所示． (1)当行驶里程超过时，求y与x之间的函数关系式； (2)若某乘客有一次乘出租车的车费为元，求这位乘客乘车的里程． 23．（2023·上海浦东新·二模）某市全面实施居民“阶梯水价”．当累计水量超过年度阶梯水量分档基数临界点后，即开始实施阶梯价格计价，分档水量和单价见下表： 分档 户年用水量 （立方米） 自来水单价 （元/立方米） 污水处理单价 （元/立方米） 第一阶梯 0~220（含220） 2.25 1.8 第二阶梯 220~300（含300） 4 第三阶梯 300以上 6.99 注：应缴的水费＝户年用水量×（自来水单价＋污水处理单价） 仔细阅读上述材料，请解答下面的问题： (1)如果小叶家全年用水量是220立方米，那么她家全年应缴纳水费多少元？ (2)居民应缴纳水费y（元）关于户年用水量x（立方米）的函数关系如图所示，求第二阶梯（线段）的表达式； (3)如果小明家全年缴纳的水费共计1181元，那么他家全年用水量是多少立方米？ 24．（2023·四川·中考真题）某移动公司推出A，B两种电话计费方式． 计费方式 月使用费/元 主叫限定时间/min 主叫超时费/（元/min） 被叫 A 免费 B 免费 (1)设一个月内用移动电话主叫时间为tmin，根据上表，分别写出在不同时间范围内，方式A，方式B的计费金额关于t的函数解析式； (2)若你预计每月主叫时间为350min，你将选择A，B哪种计费方式，并说明理由； (3)请你根据月主叫时间t的不同范围，直接写出最省钱的计费方式． ►题型07 调运问题 25．（2024·内蒙古呼和浩特·二模）城有肥料，城有肥料．现要把这些肥料全部运往，两乡．从城往，两乡运肥料的费用分别为20元和25元；从城往，两乡运肥料的费用分别为15元和24元．现乡需要肥料，乡需要肥料． (1)设从城往乡运肥料吨，则从城往乡运肥料多少吨（用含x的式子表示，并化简结果）？ (2)设调运的总运费元，请写出关于的函数关系式以及的取值范围； (3)怎样调运可使总运费最少，并求出最少运费． 26．（2023·湖北武汉·二模）计划将甲、乙两厂的生产设备运往A，B两地，甲厂设备有60台，乙厂设备有40台，A地需70台，B地需30台，每台设备的运输费（单位：百元）如表格所示，设从甲厂运往A地的有x台设备（x为整数）． A地 B地 甲厂 7 10 乙厂 10 15 (1)用含x的式子直接填空：甲厂运往B地__________台，乙厂运往A地__________台，乙厂运往B地__________台． (2)请你设计一种调运的运输方案，使总费用最低，并求出最低费用为多少？ (3)因客观原因，从甲到A的运输费用每台增加了m百元，从乙到B的运输费用每台减小了2m百元，其它不变，且，请你探究总费用的最小值． 27．（2022·黑龙江·中考真题）为抗击疫情，支援B市，A市某蔬菜公司紧急调运两车蔬菜运往B市．甲、乙两辆货车从A市出发前往B市，乙车行驶途中发生故障原地维修，此时甲车刚好到达B市．甲车卸载蔬菜后立即原路原速返回接应乙车，把乙车的蔬菜装上甲车后立即原路原速又运往B市．乙车维修完毕后立即返回A市．两车离A市的距离y（km）与乙车所用时间x（h）之间的函数图象如图所示． (1)甲车速度是_______km/h，乙车出发时速度是_______km/h； (2)求乙车返回过程中，乙车离A市的距离y（km）与乙车所用时间x（h）的函数解析式（不要求写出自变量的取值范围）； (3)乙车出发多少小时，两车之间的距离是120km？请直接写出答案． 28．（2024·山东青岛·一模）某运输公司安排甲、乙两种货车24辆恰好一次性将328吨的物资运往两地，两种货车载重量及到两地的运输成本如下表： 货车类型 载重量（吨/辆） 运往A地的成本（元/辆） 运往B地的成本（元/辆） 甲种 16 1200 900 乙种 12 1000 750 (1)求甲、乙两种货车各用了多少辆； (2)如果前往地的甲、乙两种货车共12辆，所运物资不少于160吨，其余货车将剩余物资运往地．设甲、乙两种货车到两地的总运输成本为元，前往地的甲种货车为辆．求当为何值时，最小？最小值是多少． ►题型08 计时问题 29．（2023·浙江台州·中考真题）【问题背景】 “刻漏”是我国古代的一种利用水流计时的工具．综合实践小组准备用甲、乙两个透明的竖直放置的容器和一根带节流阀（控制水的流速大小）的软管制作简易计时装置． 【实验操作】 综合实践小组设计了如下的实验：先在甲容器里加满水，此时水面高度为30cm，开始放水后每隔10min观察一次甲容器中的水面高度，获得的数据如下表： 流水时间t/min 0 10 20 30 40 水面高度h/cm（观察值） 30 29 28.1 27 25.8 任务1  分别计算表中每隔10min水面高度观察值的变化量． 【建立模型】 小组讨论发现：“，”是初始状态下的准确数据，水面高度值的变化不均匀，但可以用一次函数近似地刻画水面高度h与流水时间t的关系．    任务2  利用时，；时，这两组数据求水面高度h与流水时间t的函数解析式． 【反思优化】 经检验，发现有两组表中观察值不满足任务2中求出的函数解析式，存在偏差．小组决定优化函数解析式，减少偏差．通过查阅资料后知道：t为表中数据时，根据解析式求出所对应的函数值，计算这些函数值与对应h的观察值之差的平方和，记为w；w越小，偏差越小． 任务3  （1）计算任务2得到的函数解析式的w值． （2）请确定经过的一次函数解析式，使得w的值最小． 【设计刻度】 得到优化的函数解析式后，综合实践小组决定在甲容器外壁设计刻度，通过刻度直接读取时间． 任务4  请你简要写出时间刻度的设计方案． 30．（2024·广东·模拟预测）漏刻是我国古代的一种计时工具．小轩依据漏刻的原理制作了一个简单的漏刻计时工具模型，研究中发现其水位与时间之间成一次函数关系．小轩通过多次计时并测量水位的高度，得到如下表数据： … 1 2 3 5 … … … (1)求关于的函数关系式； (2)若小轩开始测量的时间为早上，当水位读数为时，求此时的时间． 31．（2023·江西南昌·一模）沙漏又称“沙钟”，是我国古代一种计量时间的装置．它是根据均匀的沙粒从一玻璃球漏到另一个玻璃球的数量来计量时间．其中上面玻璃球中沙粒完全流入下面玻璃球后立即将沙漏倒置（倒置时间忽略不计），重新进行计时，周而复始．某课外数学小组观察发现：该沙漏上面玻璃球沙粒剩余量粒与流入时间秒成一次函数关系（不考虑其他因素），当流入时间在第秒时，上面玻璃球剩余沙粒粒，当流入时间在第秒时，上面玻璃球剩余沙粒粒． (1)求出上面玻璃球沙粒余量粒与流入时间（秒）之间的函数关系式； (2)求沙漏恰好完成第一次倒置所需时间． 32．（2022·广东深圳·二模）某学校STEAM社团在进行项目化学习时，根据古代的沙漏模型（图1）制作了一套“沙漏计时装置”，该装置由沙漏和精密电子秤组成，电子秤上放置盛沙容器．沙子缓慢匀速地从沙漏孔漏到精密电子称上的容器内，可以通过读取电子秤的读数计算时间（假设沙子足够）．该实验小组从函数角度进行了如下实验探究：实验观察：实验小组通过观察，每两小时记录一次电子秤读数，得到表1． 表1 沉沙时间 0 2 4 6 8 电子秤读数y（克） 6 18 30 42 54 探索发现： (1)建立平面直角坐标系，如图2，横轴表示漏沙时间x，纵坐标表示精密电子称的读数y，描出以表1中的数据为坐标的各点． (2)观察上述各点的分布规律，判断它们是否在同一条直线上，如果在同一条直线上，请你建立适当的函数模型，并求出函数表达式，如果不在同一条直线上，请说明理由．结论应用：应用上述发现的规律估算： (3)若漏沙时间为9小时，精密电子称的读数为多少？ (4)若本次实验开始记录的时间是上午7:30，当精密电子秤的读数为72克时是几点钟？ 33．（2024·湖南长沙·模拟预测）“刻漏”是我国古代的一种利用水流计时的工具．综合实践小组准备用甲、乙两个透明的竖直放置的容器和一根带节流阀（控制水的流速大小）的软管制作简易计时装置． (1)综合实践小组设计了如下的实验：先在甲容器里加满水，此时水面高度为，开始放水后每隔观察一次甲容器中的水面高度，获得的数据如下表所示，请分别计算表中每隔水面高度观察值的变化量． 流水时间 0 10 20 30 40 水面高度（观察值） 30 29 28.1 27 25.8 水面高度的变化量 (2)小组讨论发现：“，”是初始状态下的准确数据，水面高度值的变化不均匀，但可以用一次函数近似地刻画水面高度与流水时间的关系．试利用时，；时，这两组数据求水面高度与流水时间的函数解析式； (3)经检验，发现有两组表中观察值不满足任务2中求出的函数解析式，存在偏差，小组决定优化函数解析式，减少偏差．通过查阅资料后知道：为表中数据时，根据解析式求出所对应的函数值，计算这些函数值与对应的观察值之差的平方和，记为；越小，偏差越小． ①计算任务2得到的函数解析式的值； ②请确定经过的一次函数解析式，使得的值最小； ►题型09 体积问题 34．（2020·浙江绍兴·模拟预测）实验室里，水平桌面上有甲、乙、丙三个高都为10cm圆柱形容器（甲、丙的底面积相同），用两个相同的管子在容器的6cm高度处连通（即管子底离容器底6cm，管子的体积忽略不计）．现三个容器中，只有甲中有水，水位高2cm，如图①所示．若每分钟同时向乙、丙容器中注入相同量的水，到三个容器都注满水停止，乙、丙容器中的水位h（cm）与注水时间t（min）的图象如图②所示．若乙比甲的水位高2cm时，注水时间m分钟，则m的值为（　　） A．3或5 B．4或6 C．3或 D．5或9 35．（2023·河北保定·一模）如图1，一个正方体铁块放置在高为的圆柱形容器内，现以一定的速度往容器内注水，注满容器为止．容器顶部离水面的距离与注水时间之间的函数图象如图2所示． (1)求直线的解析式，并求出容器注满水所需的时间． (2)求正方体铁块的体积． 36．（2022·山东济宁·三模）如图1，在底面积为，高为20cm的长方体水槽内放入一个圆柱形烧杯，以恒定不变的速度先向烧杯中注水，注满烧杯后，继续注水，直至注满水槽为止，此过程中，烧杯本身的质量、体积忽略不计，烧杯在大水槽中的位置始终不变，水槽中水面上升的高度h与注水时间t之间的函数关系如图2，则烧杯的底面积是 37．（2021·河北石家庄·一模）如图，、两个长方体水箱放置在同一水平桌面上，开始时水箱中没有水，水箱中盛满水．现以的流量从水箱中抽水注入水箱中，直至水箱注满水为止．设注水，水箱的水位高度为，水箱中的水位高度为，根据图中数据解答下列问题（抽水水管的体积忽略不计） （1）水箱的容积为______；（提示：容积底面积高） （2）分别写出、与之间的函数表达式； （3）当水箱与水箱中的水的体积相等时，求出此时两水箱中水位的高度差． 38．（23-24九年级上·湖南长沙·期末）一透明的敞口正方体容器 装有一些液体，棱始终在水平桌面上，容器底部的倾斜角为（，如图所示）． 探究：如图1，液面刚好过棱，并与棱交于点Q，此时液体的形状为直三棱柱，其三视图及尺寸如图②．解决问题： (1)与的位置关系是 ，的长是 ， °（注：，） (2)求液体的体积；（参考算法：直棱柱体积V液底面积高） (3)在图1的基础上，以棱为轴将容器向左或向右旋转，但不能使液体溢出．图3或图4是其正面示意图，若液面与棱或交于点P、点Q始终在棱上，设，，分别就图3和图4求y与x的函数关系式，并写出相应的的范围． 39．（2024连云港市模拟）如图1是甲、乙两个圆柱形水槽的横截面示意图，乙槽中有一圆柱形铁块立放其中（圆柱形铁块的下底面完全落在水槽底面上），现将甲槽中的水匀速注入乙槽，甲、乙两个水槽中水的深度（厘米）与注水时间（分钟）之间的关系如图2所示，根据图象提供的信息，解答下列问题： (1)图2中折线表示 槽中水的深度与注水时间之间的关系，线段表示 槽中水的深度与注水时间之间的关系；（以上两空选填“甲”或“乙”） (2)点的纵坐标表示的实际意义是 ； (3)注水多长时间时，甲、乙两个水槽中的水的深度相同？ (4)若乙槽底面积为36平方厘米（壁厚不计），求乙槽中铁块的体积． 40．（2021·浙江绍兴·一模）将一块的长方体铁块（图1）平放在一个长方体水槽底部（图2），现向水槽内匀速注水，直至注满水槽为止，因铁块在水槽内有3种不同的放置方式，所以水槽内的水深h与注水时间t的函数关系用图象来反映，其全过程有三种不同的图象（图3，图4，图5）（注：长度单位：厘米；时间单位：秒） （1）判断t1与t2的大小关系：t1_________________t2； （2）水槽深度为_________________厘米；a=_________________厘米，b=_________________厘米； （3）求铁块的体积． ►题型10 几何问题 41．（2024·山东济南·模拟预测）如图， 四边形四个顶点的坐标分别是，，，，在该平面内找一点 P，使它到四个顶点的距离之和最小， 则P点坐标为 ． 42．（2024·山东德州·一模）在平面直角坐标系中，，点是轴上的动点．当取得最小值时， ． 43．（2024·广西河池·二模）如图，直线与x轴交于点A，与y轴交于点B，将直线绕点B顺时针旋转与x轴交于点C，则直线的解析式为 ． 44．（2023·江苏泰州·二模）如图，在平面直角坐标系中，的顶点、分别是直线与坐标轴的交点，点，点是边上的一点，，垂足为，点在边上，且、两点关于轴上某点成中心对称，连接、．线段长度的最小值为 ．    45．（2023·江苏盐城·三模）如图，菱形的顶点、在轴上，，点在边上且横坐标为8，点为边上一动点，轴上有一点．当点到所在直线的距离取得最大值时，点的坐标为 ．      ►题型11 新考法：新情景问题 46．（2024·内蒙古·中考真题）2024年春晚吉祥物“龙辰辰”，以十二生肖龙的专属汉字“辰”为名．某厂家生产大小两种型号的“龙辰辰”，大号“龙辰辰”单价比小号“龙辰辰”单价贵15元，且用2400元购进小号“龙辰辰”的数量是用2200元购进大号“龙辰辰”数量的1.5倍，则大号“龙辰辰”的单价为 元．某网店在该厂家购进了两种型号的“龙辰辰”共60个，且大号“龙辰辰”的个数不超过小号“龙辰辰”个数的一半，小号“龙辰辰”售价为60元，大号“龙辰辰”的售价比小号“龙辰辰”的售价多30%．若两种型号的“龙辰辰”全部售出，则该网店所获最大利润为 元． 47．（2024·山东日照·中考真题）【问题背景】2024年4月23日是第18个“世界读书日”，为给师生提供更加良好的阅读环境，学校决定扩大图书馆面积，增加藏书数量，现需购进20个书架用于摆放书籍． 【素材呈现】 素材一：有两种书架可供选择，A种书架的单价比B种书架单价高； 素材二：用18000元购买A种书架的数量比用9000元购买B种书架的数量多6个； 素材三：A种书架数量不少于B种书架数量的． 【问题解决】 (1)问题一：求出两种书架的单价； (2)问题二：设购买a个A种书架，购买总费用为w元，求w与a的函数关系式，并求出费用最少时的购买方案； (3)问题三：实际购买时，商家调整了书架价格，A种书架每个降价m元，B种书架每个涨价元，按问题二的购买方案需花费21120元，求m的值． 48．（2024·黑龙江大庆·中考真题）“尔滨”火了，带动了黑龙江省的经济发展，农副产品也随之畅销全国．某村民在网上直播推销某种农副产品，在试销售的天中，第天且为整数)的售价为(元千克)．当时，；当时，．销量(千克)与的函数关系式为，已知该产品第天的售价为元千克，第天的售价为元千克，设第天的销售额为(元)． (1) ，_____； (2)写出第天的销售额与之间的函数关系式； (3)求在试销售的天中，共有多少天销售额超过元？ 49．（2024·四川南充·中考真题）2024年“五一”假期期间，阆中古城景区某特产店销售A，B两类特产．A类特产进价50元/件，B类特产进价60元/件．已知购买1件A类特产和1件B类特产需132元，购买3件A类特产和5件B类特产需540元． (1)求A类特产和B类特产每件的售价各是多少元？ (2)A类特产供货充足，按原价销售每天可售出60件．市场调查反映，若每降价1元，每天可多售出10件（每件售价不低于进价）．设每件A类特产降价x元，每天的销售量为y件，求y与x的函数关系式，并写出自变量x的取值范围． (3)在（2）的条件下，由于B类特产供货紧张，每天只能购进100件且能按原价售完．设该店每天销售这两类特产的总利润为w元，求w与x的函数关系式，并求出每件A类特产降价多少元时总利润w最大，最大利润是多少元？（利润＝售价－进价） 50．（2024·山西·模拟预测）2024年4月底，神舟十七号载人飞船返回舱顺利返回东风着陆场，神舟十七号任务取得圆满成功．某飞箭航模店看准商机，购进了“神舟”和“天宫”模型．已知每个“神舟”模型的进价比“天宫”模型多5元，同样花费200元，购进“天宫”模型的数量比“神舟”模型多2个． (1)“神舟”和“天宫”模型的进价各是多少元？ (2)该飞箭航模店计划购进两种模型共100个，且每个“神舟”模型的售价为35元，每个“天宫”模型的售价为28元．设购进“神舟”模型a个，销售这批模型的利润为w元．若购进“神舟”模型的数量不超过“天宫”模型数量的，则购进“神舟”模型多少个时，销售这批模型可以获得最大利润？最大利润是多少？ ►题型12 新考法：与现实有关的热考问题 51．（2024·陕西·中考真题）我国新能源汽车快速健康发展，续航里程不断提升，王师傅驾驶一辆纯电动汽车从A市前往B市，他驾车从A市一高速公路入口驶入时，该车的剩余电量是，行驶了后，从B市一高速公路出口驶出，已知该车在高速公路上行驶的过程中，剩余电量与行驶路程之间的关系如图所示． (1)求y与x之间的关系式； (2)已知这辆车的“满电量”为，求王师傅驾车从B市这一高速公路出口驶出时，该车的剩余电量占“满电量”的百分之多少． 52．（2024·黑龙江齐齐哈尔·中考真题）领航无人机表演团队进行无人机表演训练，甲无人机以a米/秒的速度从地面起飞，乙无人机从距离地面20米高的楼顶起飞，甲、乙两架无人机同时匀速上升，6秒时甲无人机到达训练计划指定的高度停止上升开始表演，完成表演动作后，按原速继续飞行上升，当甲、乙无人机按照训练计划准时到达距离地面的高度为96米时，进行了时长为t秒的联合表演，表演完成后以相同的速度大小同时返回地面．甲、乙两架无人机所在的位置距离地面的高度y(米)与无人机飞行的时间x(秒)之间的函数关系如图所示．请结合图象解答下列问题： (1) ______米/秒， ______秒； (2)求线段所在直线的函数解析式； (3)两架无人机表演训练到多少秒时，它们距离地面的高度差为12米？(直接写出答案即可) 53．（2024·黑龙江绥化·中考真题）为了响应国家提倡的“节能环保”号召，某共享电动车公司准备投入资金购买、两种电动车．若购买种电动车辆、种电动车辆，需投入资金万元；若购买种电动车辆、种电动车辆，需投入资金万元．已知这两种电动车的单价不变． (1)求、两种电动车的单价分别是多少元？ (2)为适应共享电动车出行市场需求，该公司计划购买、两种电动车辆，其中种电动车的数量不多于种电动车数量的一半．当购买种电动车多少辆时，所需的总费用最少，最少费用是多少元？ (3)该公司将购买的、两种电动车投放到出行市场后，发现消费者支付费用元与骑行时间之间的对应关系如图．其中种电动车支付费用对应的函数为；种电动车支付费用是之内，起步价元，对应的函数为．请根据函数图象信息解决下列问题．      ①小刘每天早上需要骑行种电动车或种电动车去公司上班．已知两种电动车的平均行驶速度均为3（每次骑行均按平均速度行驶，其它因素忽略不计），小刘家到公司的距离为，那么小刘选择______种电动车更省钱（填写或）． ②直接写出两种电动车支付费用相差元时，的值______． 54．（2024·河南·中考真题）为响应“全民植树增绿，共建美丽中国”的号召，学校组织学生到郊外参加义务植树活动，并准备了A，B两种食品作为午餐．这两种食品每包质量均为，营养成分表如下．    (1)若要从这两种食品中摄入热量和蛋白质，应选用A，B两种食品各多少包？ (2)运动量大的人或青少年对蛋白质的摄入量应更多．若每份午餐选用这两种食品共7包，要使每份午餐中的蛋白质含量不低于，且热量最低，应如何选用这两种食品？ 55．（2024·陕西西安·模拟预测）年是习近平总书记提出总体国家安全观周年．为了增强市民国家安全意识，某校组织学生到附近的社区开展了以“国家安全·全民共守”为主题的国家安全教育宣传活动，并分一等奖、二等奖和三等奖三种奖项来激励此次活动中表现优异的同学，已知一等奖获得者共人，一等奖奖品的成本为元；二等奖获得者共人，二等奖奖品的成本为元人；三等奖获得者的人数每增加1人；这三种奖项的总成本就增加元．设三等奖获得者的人数为人，这三种奖项的总成本为元． (1)求与之间的函数关系式； (2)若三等奖的获得者不少于人，求这三种奖项的总成本最少为多少元？ (3)若这三种奖项的总成本不超过元，则三等奖的获得者最多为多少人？ ►题型13 新考法：新考法问题 56．（2024·广东广州·中考真题）一个人的脚印信息往往对应着这个人某些方面的基本特征．某数学兴趣小组收集了大量不同人群的身高和脚长数据，通过对数据的整理和分析，发现身高和脚长之间近似存在一个函数关系，部分数据如下表： 脚长 … … 身高 … … (1)在图1中描出表中数据对应的点； (2)根据表中数据，从和中选择一个函数模型，使它能近似地反映身高和脚长的函数关系，并求出这个函数的解析式（不要求写出的取值范围）； (3)如图2，某场所发现了一个人的脚印，脚长约为，请根据（2）中求出的函数解析式，估计这个人的身高． 57．（2024·内蒙古包头·中考真题）图是1个碗和4个整齐叠放成一摞的碗的示意图，碗的规格都是相同的．小亮尝试结合学习函数的经验，探究整齐叠放成一摞的这种规格的碗的总高度（单位：）随着碗的数量（单位：个）的变化规律．下表是小亮经过测量得到的与之间的对应数据： 个 1 2 3 4 6 8.4 10.8 13.2 (1)依据小亮测量的数据，写出与之间的函数表达式，并说明理由； (2)若整齐叠放成一摞的这种规格的碗的总高度不超过，求此时碗的数量最多为多少个？ 58．（2024·吉林·中考真题）综合与实践 某班同学分三个小组进行“板凳中的数学”的项目式学习研究，第一小组负责调查板凳的历史及结构特点；第二小组负责研究板凳中蕴含的数学知识：第三小组负责汇报和交流，下面是第三小组汇报的部分内容，请你阅读相关信息，并解答“建立模型”中的问题． 【背景调查】 图①中的板凳又叫“四脚八叉凳”，是中国传统家具，其榫卯结构体现了古人含蓄内敛的审美观．榫眼的设计很有讲究，木工一般用铅笔画出凳面的对称轴，以对称轴为基准向两边各取相同的长度，确定榫眼的位置，如图②所示．板凳的结构设计体现了数学的对称美． 【收集数据】 小组收集了一些板凳并进行了测量．设以对称轴为基准向两边各取相同的长度为，凳面的宽度为，记录如下： 以对称轴为基准向两边各取相同的长度 16.5 19.8 23.1 26.4 29.7 凳面的宽度 115.5 132 148.5 165 181.5 【分析数据】 如图③，小组根据表中x，y的数值，在平面直角坐标系中描出了各点． 【建立模型】 请你帮助小组解决下列问题： (1)观察上述各点的分布规律，它们是否在同一条直线上？如果在同一条直线上，求出这条直线所对应的函数解析式；如果不在同一条直线上，说明理由． (2)当凳面宽度为时，以对称轴为基准向两边各取相同的长度是多少？ 59．（2024·浙江杭州·二模）概念阐述： 在边长为1的小正方形组成的方格纸中，若多边形的各顶点都在方格纸的格点（横竖格子线的交错点）上，这样的多边形称为格点多边形．记格点多边形内的格点数为a，边界上的格点数为b，格点多边形的面积为S． (1)定量研究： 填表：观察图①~④，当我们规定多边形内的格点数a为4时，统计各多边形边界上的格点数为b和格点多边形的面积为S． 图 ① ② ③ ④ b（个） 6 7 11 S（平方单位） 7.5 8.5 (2)描点：建立平面直角坐标系，将表格中所得数据画在坐标系中，判断S关于b的函数类型，并求出表达式． (3)结论应用： 结合你所得到的结论，探索是否存在面积最小的多边形，满足多边形内的格点数，若存在，请画出图形；若不存在，请说明理由． ►题型14 新考法：跨学科问题 60．（2024·陕西咸阳·模拟预测）物理课上，王老师让同学们做这样的实验：在放水的盆中放入质地均匀的木块B，再在其上方放置不同质量的铁块A．已知木块B全程保持漂浮状态，通过测量木块B漏出水面的高度与铁块A的质量，可得它们之间满足一次函数关系，记录数据如下，据此可知当铁块A的质量为时，木块B漏出水面的高度h为（    ） 实验次数 一 二 三 铁块A的质量 25 50 75 高度 45 40 35 A． B． C． D． 61．（2023·广西·中考真题）【综合与实践】 有言道：“杆秤一头称起人间生计，一头称起天地良心”．某兴趣小组将利用物理学中杠杆原理制作简易杆秤.小组先设计方案，然后动手制作，再结合实际进行调试，请完成下列方案设计中的任务． 【知识背景】如图，称重物时，移动秤砣可使杆秤平衡，根据杠杆原理推导得：.其中秤盘质量克，重物质量m克，秤砣质量M克，秤纽与秤盘的水平距离为l厘米，秤纽与零刻线的水平距离为a厘米，秤砣与零刻线的水平距离为y厘米．    【方案设计】 目标：设计简易杆秤．设定，，最大可称重物质量为1000克，零刻线与末刻线的距离定为50厘米． 任务一：确定l和a的值． (1)当秤盘不放重物，秤砣在零刻线时，杆秤平衡，请列出关于l，a的方程； (2)当秤盘放入质量为1000克的重物，秤砣从零刻线移至末刻线时，杆秤平衡，请列出关于l，a的方程； (3)根据（1）和（2）所列方程，求出l和a的值． 任务二：确定刻线的位置． (4)根据任务一，求y关于m的函数解析式； (5)从零刻线开始，每隔100克在秤杆上找到对应刻线，请写出相邻刻线间的距离． 62．（2023·江苏南京·中考真题）如图，某校的饮水机有温水、开水两个按钮，温水和开水共用一个出水口．温水的温度为，流速为；开水的温度为，流速为．某学生先接了一会儿温水，又接了一会儿开水，得到一杯温度为的水（不计热损失），求该学生分别接温水和开水的时间． 物理常识 开水和温水混合时会发生热传递，开水放出的热量等于温水吸收的热量，可以转化为开水的体积×开水降低的温度=温水的体积×温水升高的温度． 63．（2024·江苏南京·模拟预测）小明同学在物理课上做弹簧测力实验，他将力的大小与弹簧伸长长度整理为如下表格： （）__________；__________． 小刚同学使用不同的弹簧也做了相同实验，他的表格如下： （）求出小刚使用的弹簧力与的函数表达式． （）若小刚的弹簧最长伸长长度为，则他最多可以测多少个的物体？ 64．（2021·浙江台州·中考真题）电子体重科读数直观又便于携带，为人们带来了方便．某综合实践活动小组设计了简易电子体重秤：制作一个装有踏板（踏板质量忽略不计）的可变电阻R1， R1与踏板上人的质量m之间的函数关系式为R1＝km＋b（其中k，b为常数，0≤m≤120），其图象如图1所示；图2的电路中，电源电压恒为8伏，定值电阻R0的阻值为30欧，接通开关，人站上踏板，电压表显示的读数为U0 ，该读数可以换算为人的质量m， 温馨提示： ①导体两端的电压U，导体的电阻R，通过导体的电流I，满足关系式I＝； ②串联电路中电流处处相等，各电阻两端的电压之和等于总电压． （1）求k，b的值； （2）求R1关于U0的函数解析式； （3）用含U0的代数式表示m； （4）若电压表量程为0~6伏，为保护电压表，请确定该电子体重秤可称的最大质量． 65．（2023·江苏苏州·中考真题）某动力科学研究院实验基地内装有一段笔直的轨道，长度为的金属滑块在上面做往返滑动．如图，滑块首先沿方向从左向右匀速滑动，滑动速度为，滑动开始前滑块左端与点重合，当滑块右端到达点时，滑块停顿，然后再以小于的速度匀速返回，直到滑块的左端与点重合，滑动停止．设时间为时，滑块左端离点的距离为，右端离点的距离为，记与具有函数关系．已知滑块在从左向右滑动过程中，当和时，与之对应的的两个值互为相反数；滑块从点出发到最后返回点，整个过程总用时（含停顿时间）．请你根据所给条件解决下列问题：    (1)滑块从点到点的滑动过程中，的值________________；（填“由负到正”或“由正到负”） (2)滑块从点到点的滑动过程中，求与的函数表达式； (3)在整个往返过程中，若，求的值． 66．（2024·山西阳泉·模拟预测）阅读与思考 物理现象中的一次函数 实验结果：浸在液体中的物体会受到向上的浮力，浮力的大小等于它排开的液体所受的重力，即，g是一个常数，近似取值为，表示液体的密度，表示排开液体的体积．当液体的密度不变时，物体在液体中所受浮力F是它浸没在液体中的体积V的函数，且物体浸在液体中的体积越大，浮力就越大． 例如：现有一个长方体物品，当它浸在水中时受到的浮力，水的密度为，若该长方体物品的底面积为，那么该物品浸入水中的深度为多少米？ 解：设该物品浸入水中的深度为． 由题意，得．解得． 该物品浸入水中的深度为． 实验探究：某兴趣小组想测一测一个空食品盒在水中漂浮时的装载质量．他们将一个底面积为的圆柱形平底空食品盒放入装水的桶中，桶中水足够深，食品盒下表面始终与水面平行，如图①所示．该兴趣小组将装载质量与食品盒浸入水中的深度的关系绘制成了图②所示的函数关系图，实验发现当装载质量为0时，食品盒浸入水中的深度为． (1)请结合实验现象，观察图②，解释点A的实际意义：__________； (2)根据以上材料，当装载质量不超过时，装载质量与食品盒浸入水中的深度成一次函数关系，若装载质量为时，食品盒浸入水中的深度是．请你帮助该小组求出这个一次函数的解析式； (3)若这个食品盒的高度是，最大装载质量为，请求出a的值． ►题型15 新考法：中考预测题 67．（2024·湖南益阳·模拟预测）杆称是一种传统的称重工具，称盘里没有物体时，提起称纽保持平衡后，称砣拉线位于零刻度位置（如图1）；当把物体放到称盘里称重时，提起称纽，向右移动称砣保持平衡，称砣拉线所在的刻度对应物体的重量．设称盘里物体重量为时，平衡后称砣拉线位置距称纽的距离为 （如图2），则下图能反映y与x之间的函数关系的大致图象是（    ） A．B．C．D． 68．（2024·贵州黔东南·一模）如图①所示，甲、乙两个相同容器中分别装有相同体积的，两种液体，现用相同的电加热器同时加热，忽略热损失，得到如图②所示的液体温度与加热时间之间的对应关系．下列说法正确的是（ ） A．，两种液体的温度均随着加热时间的增加而降低 B．当加热时间为6时，的温度比的温度低 C．当加热时间为0时，，的温度都低于 D．当加热时间为3时，，的温度相等 69．（2024·江西南昌·模拟预测）剪纸是一种镂空艺术，在视觉上给人以透空的感觉和艺术享受，剪纸内容多，寓意广，生活气息浓厚．某商家在春节前夕购进甲、乙两种剪纸装饰套装共60套进行销售，已知购进一套甲种剪纸比购进一套乙种剪纸多10元，购进2套甲种剪纸和3套乙种剪纸共需220元． (1)求这两种剪纸购进时的单价分别为多少元？ (2)设购进甲种剪纸装饰x套()，购买甲、乙两种剪纸装饰共花费y元，求y与x之间的函数关系式； (3)若甲种剪纸的售价为65元/套，乙种剪纸的售价为50元/套，该商家计划购进这批剪纸装饰所花的总费用不超过2800元，要使这批剪纸装饰全部售完时商家能获得最大利润，请你帮助商家设计购进方案，并求出最大利润． 70．（2024·四川成都·模拟预测）近年来，盲盒备受潮玩商家关注．某潮玩商家推出2024年生肖龙公仔，并将类毛绒玩具和类毛绒挂件放在一起采用盲盒模式销售，一个盲盒内随机装一个类毛绒玩具和一个类毛绒挂件（不同盲盒内所装的玩具与挂件仅颜色不同），已知一个盲盒成本为22元/个．该商家销售该盲盒一段时间后，发现该盲盒的周销售量（个）和盲盒单价（元）满足一次函数关系的图象如图所示． (1)求该盲盒周销售量（个）和盲盒单价（元）的函数表达式； (2)该商家应如何定价才能使盲盒的周销售利润最大？并求出此时的最大利润． 71．（2023·云南·中考真题）蓝天白云下，青山绿水间，支一顶帐篷，邀亲朋好友，听蝉鸣，闻清风，话家常，好不惬意．某景区为响应文化和旅游部《关于推动露营旅游休闲健康有序发展的指导意见》精神，需要购买两种型号的帐篷．若购买种型号帐篷2顶和种型号帐篷4顶，则需5200元；若购买种型号帐篷3顶和种型号帐篷1顶，则需2800元． (1)求每顶种型号帐篷和每顶种型号帐篷的价格； (2)若该景区需要购买两种型号的帐篷共20顶（两种型号的帐篷均需购买），购买种型号帐篷数量不超过购买种型号帐篷数量的，为使购买帐篷的总费用最低，应购买种型号帐篷和种型号帐篷各多少顶？购买帐篷的总费用最低为多少元？ 72．（2023·四川泸州·中考真题）端午节是中国传统节日，人们有吃粽子的习俗．今年端午节来临之际，某商场预测A粽子能够畅销．根据预测，每千克A粽子节前的进价比节后多2元，节前用240元购进A粽子的数量比节后用相同金额购进的数量少4千克．根据以上信息，解答下列问题： (1)该商场节后每千克A粽子的进价是多少元？ (2)如果该商场在节前和节后共购进A粽子400千克，且总费用不超过4600元，并按照节前每千克20元，节后每千克16元全部售出，那么该商场节前购进多少千克A粽子获得利润最大？最大利润是多少？ 73．（2022·四川德阳·中考真题）习近平总书记对实施乡村振兴战略作出重要指示强调：实施乡村振兴战略，是党的十九大作出的重大决策部署，是新时代做好“三农”工作的总抓手．为了发展特色产业，红旗村花费4000元集中采购了种树苗500株，种树苗400株，已知种树苗单价是种树苗单价的1.25倍． (1)求、两种树苗的单价分别是多少元？ (2)红旗村决定再购买同样的树苗100株用于补充栽种，其中种树苗不多于25株，在单价不变，总费用不超过480元的情况下，共有几种购买方案？哪种方案费用最低？最低费用是多少元？ 74．（2023·山东日照·中考真题）要制作200个A，B两种规格的顶部无盖木盒，A种规格是长、宽、高都为的正方体无盖木盒，B种规格是长、宽、高各为，，的长方体无盖木盒，如图1．现有200张规格为的木板材，对该种木板材有甲、乙两种切割方式，如图2．切割、拼接等板材损耗忽略不计．    (1)设制作A种木盒x个，则制作B种木盒__________个；若使用甲种方式切割的木板材y张，则使用乙种方式切割的木板材__________张； (2)该200张木板材恰好能做成200个A和B两种规格的无盖木盒，请分别求出A，B木盒的个数和使用甲，乙两种方式切割的木板材张数； (3)包括材质等成本在内，用甲种切割方式的木板材每张成本5元，用乙种切割方式的木板材每张成本8元．根据市场调研，A种木盒的销售单价定为a元，B种木盒的销售单价定为元，两种木盒的销售单价均不能低于7元，不超过18元．在（2）的条件下，两种木盒的销售单价分别定为多少元时，这批木盒的销售利润最大，并求出最大利润． $$第三章 函数 第11讲 一次函数的应用 （思维导图+考点+15种题型） 试卷第1页，共3页 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 01考情透视·目标导航 02知识导图·思维引航 03考点突破·考法探究 04题型精研·考向洞悉 ►题型01 最优方案问题 ►题型02 最值问题 ►题型03 行程问题 ►题型04 工程问题 ►题型05 分配问题 ►题型06 分段计费问题 ►题型07 调运问题 ►题型08 计时问题 ►题型09 体积问题 ►题型10 几何问题 ►题型11 新考法：新情景问题 ►题型12 新考法：与现实有关的热考问题 ►题型13 新考法：新考法问题 ►题型14 新考法：跨学科问题 ►题型15 新考法：中考预测题 01考情透视·目标导航 中考考点【常见类型】 考查频率 新课标要求 一次函数的实际应用--最优方案问题 ★★ 结合具体情境体会一次函数的意义，能根据已知条件确定一次函数的解析式； 能用一次函数解决简单实际问题. 一次函数的实际应用--最值问题 ★★ 一次函数的实际应用--行程问题 ★★ 【考情分析】 应用一次函数解决实际问题，包含两大类：1)利用函数图像解决运动问题； 2)利用函数性质解决最大利润、最小费用等最值问题. 考查内容包含利用待定系数法求函数解析式，利用函数的增减性求最值等，试题形式以解答题为主，难度中等. 【命题预测】一次函数的应用在中考中多考察一次函数图像的理解和信息提取，通常以最优方案、最值问题与行程类问题为主。出题时也多和方程、不等式结合，一次函数的实际应用的题目在中考中难度不大，关键在于函数关系式的建立，主要考查的是理解和分析能力，从文字、图像和图表中获取信息，建立函数关系式是解题的关键. 02知识导图·思维引航 03考点突破·考法探究 用一次函数解决实际问题：应用一次函数解决实际问题时，首先，要判断问题中的两个变量之间是否是一次函数关系；其次，当确定是一次函数关系时，可先求出一次函数解析式，再应用一次函数的相关知识去解决与其相关的实际问题. 1.判断两个变量之间是不是一次函数关系的步骤： 1）通过实验、测量获得数量足够多的两个变量的对应值； 2）建立适当的平面直角坐标系，画出图像； 3）观察图像特征，判断函数的类型. 2.建立一次函数解析式的常用方法 1）根据基本的量之间存在的关系列函数解析式； 2）若题目中已明确给出两个变量的函数关系，则可用待定系数法求出函数解析式； 3.一次函数应用问题的求解思路： 1）建立一次函数模型→求出一次函数解析式→结合函数解析式、函数性质求解； 2）在实际生活问题中，如何应用函数知识解题，关键是建立函数模型，即列出符合题意的函数解析式，然后根据函数的性质综合方程（组）、不等式（组）及图像求解.要注意结合实际，确定自变量的取值范围，这是应用中的难点，也是中考的热门考点； 3）分析问题的实际背景中包含的变量及对应关系，结合一次函数的解析式及图像，通过比较函数值的大小等，寻求解决问题的最佳方案，体会函数作为一种数学模型在分析解决实际问题中的重要作用. 4.利用一次函数的图像解决实际问题的一般步骤： 1）观察图像，获取有效信息； 2）对获取的信息进行加工、处理，理清各数量之间的关系； 3）选择适当的数学工具(如函数、方程、不等式等)，通过建模解决问题. 【提示】时刻注意根据实际情况确定变量的取值范围. 5.求最值的本质为求最优方案，解法有两种： 1）可将所有求得的方案的值计算出来，再进行比较； 2）直接利用所求值与其变量之间满足的一次函数关系式求解，由一次函数的增减性可直接确定最优方案及最值；若为分段函数，则应分类讨论，先计算出每个分段函数的取值，再进行比较． 【提示】一次函数本身并没有最值，但在实际问题中，自变量的取值往往有一定的限制，其图像为射线或线段.涉及最值问题的一般思路：确定函数解析式→确定函数增减性→根据自变量的取值范围确定最值． 04题型精研·考向洞悉 ►题型01 最优方案问题 1．（2024·内蒙古呼伦贝尔·中考真题）某超市从某水果种植基地购进甲、乙两种优质水果，经调查，这两种水果的进价和售价如表所示： 水果种类 进价（元/千克） 售价（元/千克） 甲 22 乙 25 该超市购进甲种水果18千克和乙种水果6千克需366元：购进甲种水果30千克和乙种水果15千克需705元． (1)求的值； (2)该超市决定每天购进甲、乙两种水果共150千克进行销售，其中甲种水果的数量不少于50千克，且不大于120千克．实际销售时，若甲种水果超过80千克，则超过部分按每千克降价5元销售．求超市当天销售完这两种水果获得的利润（元）与购进甲种水果的数量（千克）之间的函数关系式（写出自变量的取值范围），并求出在获得最大利润时，超市的进货方案以及最大利润． 【答案】(1)， (2)，购进甲种水果80千克，乙种水果70千克，最大利润为1060元 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，一次函数的应用，解题的关键是∶ （1）根据“购进甲种水果18千克和乙种水果6千克需366元：购进甲种水果30千克和乙种水果15千克需705元”列方程求解即可； （2）分，两种情况讨论，根据总利润等于甲的利润与乙的利润列出函数关系式，然后利用一次函数的性质求解即可． 【详解】（1）解：根据题意，得， 解得； （2）解：当时， 根据题意，得， ∵， ∴随的增大而增大， ∴当时，有最大值，最大值为， 即购进甲种水果80千克，乙种水果70千克，最大利润为1060元； 当时， 根据题意，得， ∵， ∴随的增大而减小， ∴时，有最大值，最大值为， 即购进甲种水果80千克，乙种水果70千克，最大利润为1060元； 综上，，购进甲种水果80千克，乙种水果70千克，最大利润为1060元． 2．（2024·江苏南通·中考真题）某快递企业为提高工作效率，拟购买A、B两种型号智能机器人进行快递分拣． 相关信息如下： 信息一 A型机器人台数 B型机器人台数 总费用（单位：万元） 1 3 260 3 2 360 信息二 (1)求A、B两种型号智能机器人的单价； (2)现该企业准备用不超过700万元购买A、B两种型号智能机器人共10台．则该企业选择哪种购买方案，能使每天分拣快递的件数最多? 【答案】(1)A型智能机器人的单价为80万元，B型智能机器人的单价为60万元 (2)选择购买A型智能机器人5台，购买B型智能机器人5台 【分析】本题考查了一元一次不等式的应用，二元一次方程组的应用，掌握二元一次方程组，一元一次不等式的应用是解题的关键． （1）设A型智能机器人的单价为x万元，B型智能机器人的单价为y万元，根据题意列出方程组，计算结果即可； （2）设购买A型智能机器人a台，则购买B型智能机器人台，先求出a的取值范围，再得出每天分拣快递的件数当a取得最大值时，每天分拣快递的件数最多． 【详解】（1）解：设A型智能机器人的单价为x万元，B型智能机器人的单价为y万元， 解得， 答：A型智能机器人的单价为80万元，B型智能机器人的单价为60万元； （2）解：设购买A型智能机器人a台，则购买B型智能机器人台， ∴， ∴， ∵每天分拣快递的件数， ∴当时，每天分拣快递的件数最多为万件， ∴选择购买A型智能机器人5台，购买B型智能机器人5台． 3．（2024·内蒙古通辽·中考真题）某中学为加强新时代中学生劳动教育，开辟了劳动教育实践基地．在基地建设过程中，需要采购煎蛋器和三明治机．经过调查，购买2台煎蛋器和1台三明治机需240元，购买1台煎蛋器和3台三明治机需395元． (1)求煎蛋器和三明治机每台价格各是多少元； (2)学校准备采购这两种机器共50台，其中要求三明治机的台数不少于煎蛋器台数的一半，请你给出最节省费用的购买方案． 【答案】(1)煎蛋器单价为65元/台，三明治机单价为110元/台； (2)购买方案为：购买煎蛋器33台，三明治机17台． 【分析】（1）设煎蛋器每台x元，三明治机每台y元，根据购头2台煎蛋器和1台三明治机需240元，购买1台煎蛋器和3台三明治机需395元，列出方程组，解方程组即可； （2）设煎蛋器采购a台，则三明治机采购台，根据三明治机的台数不少于煎蛋器台数的一半，列出不等式，可得的范围，设总的购买费用为元，再结合一次函数的性质可得答案． 【详解】（1）解：设煎蛋器每台x元，三明治机每台y元． 由题意得：， 解得：， 答：煎蛋器单价为65元/台，三明治机单价为110元/台； （2）解：设煎蛋器采购a台，则三明治机采购台， 由题意得：， 解得：， ∵a只能取正整数， ∴a的最大值为33， 设总的购买费用为元， ∴ ， ∵， ∴当时，费用最低， 此时的购买方案为：购买煎蛋器33台，三明治机17台； 答：购买方案为：购买煎蛋器33台，三明治机17台． 【点睛】本题考查的是二元一次方程组的应用，一元一次不等式的应用，一次函数的应用，确定相等关系与不等关系是解本题的关键. 4．（2024·四川广元·中考真题）近年来，中国传统服饰备受大家的青睐，走上国际时装周舞台，大放异彩．某服装店直接从工厂购进长、短两款传统服饰进行销售，进货价和销售价如下表： 价格/类别 短款 长款 进货价（元/件） 80 90 销售价（元/件） 100 120 (1)该服装店第一次用4300元购进长、短两款服装共50件，求两款服装分别购进的件数； (2)第一次购进的两款服装售完后，该服装店计划再次购进长、短两款服装共200件（进货价和销售价都不变），且第二次进货总价不高于16800元．服装店这次应如何设计进货方案，才能获得最大销售利润，最大销售利润是多少？ 【答案】(1)长款服装购进30件，短款服装购进20件； (2)当购进120件短款服装，80件长款服装时有最大利润，最大利润是4800元． 【分析】本题考查了二元一次方程组的实际应用，一元一次不等式的实际应用，列出正确的等量关系和不等关系是解题的关键． （1）设购进服装x件，购进长款服装y件，根据“用4300元购进长、短两款服装共50件，”列二元一次方程组计算求解； （2）设第二次购进m件短款服装，则购进件长款服装，根据“第二次进货总价不高于16800元”列不等式计算求解，然后结合一次函数的性质分析求最值． 【详解】（1）解：设购进短款服装x件，购进长款服装y件， 由题意可得， 解得， 答：长款服装购进30件，短款服装购进20件． （2）解：设第二次购进m件短款服装，则购进件长款服装， 由题意可得， 解得：， 设利润为w元，则， ∵， ∴w随m的增大而减小， ∴当时， ∴（元）． 答：当购进120件短款服装，80件长款服装时有最大利润，最大利润是4800元． ►题型02 最值问题 5．（2024·云南·中考真题）、两种型号的吉祥物具有吉祥如意、平安幸福的美好寓意，深受大家喜欢． 某超市销售、两种型号的吉祥物，有关信息见下表： 成本（单位：元/个） 销售价格（单位：元/个） 型号 35 a 型号 42 若顾客在该超市购买8个种型号吉祥物和7个种型号吉祥物，则一共需要670元；购买4个种型号吉祥物和5个种型号吉祥物，则一共需要410元． (1)求、的值； (2)若某公司计划从该超市购买、两种型号的吉祥物共90个，且购买种型号吉祥物的数量（单位：个）不少于种型号吉祥物数量的，又不超过种型号吉祥物数量的2倍．设该超市销售这90个吉祥物获得的总利润为元，求的最大值． 注：该超市销售每个吉祥物获得的利润等于每个吉祥物的销售价格与每个吉祥物的成本的差． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了一次函数、一元一次不等式、二元一次方程组的应用，根据题意正确列出方程和函数解析式是解题的关键． （1）根据“购买8个种型号吉祥物和7个种型号吉祥物，则一共需要670元；购买4个种型号吉祥物和5个种型号吉祥物，则一共需要410元”建立二元一次方程组求解，即可解题； （2）根据“且购买种型号吉祥物的数量（单位：个）不少于种型号吉祥物数量的，又不超过种型号吉祥物数量的2倍．”建立不等式求解，得到，再根据总利润 种型号吉祥物利润 种型号吉祥物利润建立关系式，最后根据一次函数的性质即可得到的最大值． 【详解】（1）解：由题知，， 解得； （2）解：购买种型号吉祥物的数量个， 则购买种型号吉祥物的数量个， 且购买种型号吉祥物的数量（单位：个）不少于种型号吉祥物数量的， ， 解得， 种型号吉祥物的数量又不超过种型号吉祥物数量的2倍． ， 解得， 即， 由题知，， 整理得， 随的增大而减小， 当时，的最大值为． 6．（2022·湖北十堰·中考真题）某商户购进一批童装，40天销售完毕．根据所记录的数据发现，日销售量（件）与销售时间（天）之间的关系式是 ，销售单价（元/件）与销售时间（天）之间的函数关系如图所示． (1)第15天的日销售量为_________件； (2)当时，求日销售额的最大值； (3)在销售过程中，若日销售量不低于48件的时间段为“火热销售期”，则“火热销售期”共有多少天？ 【答案】(1)30 (2)2100元 (3)9天 【分析】（1）将直接代入表达式即可求出销售量； （2）设销售额为元，分类讨论，当时，由图可知，销售单价；当时，有图可知，p是x的一次函数，用待定系数法求出p的表达式；分别列出函数表达式，在自变量取值范围内求取最大值即可； （3）分类讨论，当和时列出不等式，解不等式，即可得出结果． 【详解】（1）解：当时，销售量； 故答案为30； （2）设销售额为元， ①当时，由图可知，销售单价， 此时销售额 ∵， ∴随的增大而增大 当时，取最大值 此时 ②当时，有图可知，p是x的一次函数，且过点（20，40）、（40，30） 设销售单价， 将（20，40）、（40，30）代入得： 解得 ∴ ∴ ∵， ∴当时，随的增大而增大 当时，取最大值 此时 ∵ ∴的最大值为2100， ∴当时，日销售额的最大值为2100元； （3）当时， 解得 ∴ 当， 解得 ∴ ∴，共9天 ∴日销售量不低于48件的时间段有9天． 【点睛】本题考查一元一次方程、一次函数、一元一次不等式、二次函数，是初中数学应用题的综合题型，解题的关键在于利用题目中的等量关系、不等关系列出方程、不等式，求出函数表达式，其中自变量取值范围是易错点、难点． 7．（2022·山东济宁·中考真题）某运输公司安排甲、乙两种货车24辆恰好一次性将328吨的物资运往A，B两地，两种货车载重量及到A，B两地的运输成本如下表： 货车类型 载重量（吨/辆） 运往A地的成本（元/辆） 运往B地的成本（元/辆） 甲种 16 1200 900 乙种 12 1000 750 (1)求甲、乙两种货车各用了多少辆； (2)如果前往A地的甲、乙两种货车共12辆，所运物资不少于160吨，其余货车将剩余物资运往B地．设甲、乙两种货车到A，B两地的总运输成本为w元，前往A地的甲种货车为t辆． ①写出w与t之间的函数解析式； ②当t为何值时，w最小？最小值是多少？ 【答案】(1)甲种货车用10辆，则乙种货车用14辆 (2)①；②t＝4时，w最小＝22 700元 【分析】（1）设甲种货车用x辆，则乙种货车用（24－x）辆．根据题意列一元一次方程即可求解； （2）①根据表格信息列出w与t之间的函数解析式； ②根据所运物资不少于160吨列出不等式，求得的范围，然后根据一次函数的性质求得最小值即可． 【详解】（1）（1）设甲种货车用x辆，则乙种货车用（24－x）辆．根据题意，得 16x＋12（24－x）＝328． 解得x＝10． ∴24－x＝24－10＝14． 答：甲种货车用10辆，则乙种货车用14辆． （2）①． ② ∵50>0， ∴w随t的减小而减小． ∴当t＝4时，w最小＝50×4＋22500＝22700（元）． 【点睛】本题考查了一元一次方程的应用，一元一次不等式的应用，一次函数的应用，根据题意列出方程，不等式与一次函数关系式是解题的关键． 8．（2021·贵州贵阳·中考真题）为庆祝“中国共产党的百年华诞”，某校请广告公司为其制作“童心向党”文艺活动的展板、宣传册和横幅，其中制作宣传册的数量是展板数量的5倍，广告公司制作每件产品所需时间和利润如下表： 产品 展板 宣传册 横幅 制作一件产品所需时间（小时） 1 制作一件产品所获利润（元） 20 3 10 （1）若制作三种产品共计需要25小时，所获利润为450元，求制作展板、宣传册和横幅的数量； （2）若广告公司所获利润为700元，且三种产品均有制作．求制作三种产品总量的最小值． 【答案】（1）制作展板、宣传册和横幅的数量分别是：10，50，10；（2）制作三种产品总量的最小值为75． 【分析】（1）设展板数量为x，则宣传册数量为5x，横幅数量为y，根据等量关系，列出二元一次方程组，即可求解； （2）设展板数量为x，则宣传册数量为5x，横幅数量为y，可得，结合x，y取正整数，可得制作三种产品总量的最小值． 【详解】（1）解：设展板数量为x，则宣传册数量为5x，横幅数量为y， 根据题意得：，解得：， 5×10=50， 答：制作展板、宣传册和横幅的数量分别是：10，50，10； （2）设展板数量为x，则宣传册数量为5x，横幅数量为y，制作三种产品总量为w， 由题意得：，即：， ∴， ∴w=， ∵x，y取正整数， ∴x可取的最小整数为2， ∴w=的最小值=55，即：制作三种产品总量的最小值为75． 【点睛】本题主要考查二元一次方程组以及一次函数的实际应用，根据数量关系，列出方程组以及一次函数的解析式，是解题的关键． ►题型03 行程问题 9．（2024·吉林长春·中考真题）区间测速是指在某一路段前后设置两个监控点，根据车辆通过两个监控点的时间来计算车辆在该路段上的平均行驶速度．小春驾驶一辆小型汽车在高速公路上行驶，其间经过一段长度为20千米的区间测速路段，从该路段起点开始，他先匀速行驶小时，再立即减速以另一速度匀速行驶（减速时间忽略不计），当他到达该路段终点时，测速装置测得该辆汽车在整个路段行驶的平均速度为100千米/时．汽车在区间测速路段行驶的路程（千米）与在此路段行驶的时间（时）之间的函数图象如图所示． (1)的值为________； (2)当时，求与之间的函数关系式； (3)通过计算说明在此区间测速路段内，该辆汽车减速前是否超速．（此路段要求小型汽车行驶速度不得超过120千米/时） 【答案】(1) (2) (3)没有超速 【分析】本题考查了一次函数的应用、一次函数的图像、求函数解析式等知识点，掌握待定系数法求函数关系式是解题的关键． （1）由题意可得：当以平均时速为行驶时，小时路程为千米，据此即可解答； （2）利用待定系数法求解即可； （3）求出先匀速行驶小时的速度，据此即可解答． 【详解】（1）解：由题意可得：，解得：． 故答案为：． （2）解：设当时，y与x之间的函数关系式为， 则：，解得：， ∴． （3）解：当时，， ∴先匀速行驶小时的速度为：， ∵， ∴辆汽车减速前没有超速． 10．（2024·黑龙江牡丹江·中考真题）一条公路上依次有A、B、C三地，甲车从A地出发，沿公路经B地到C地，乙车从C地出发，沿公路驶向B地．甲、乙两车同时出发，匀速行驶，乙车比甲车早小时到达目的地．甲、乙两车之间的路程与两车行驶时间的函数关系如图所示，请结合图象信息，解答下列问题： (1)甲车行驶的速度是_____，并在图中括号内填上正确的数； (2)求图中线段所在直线的函数解析式（不要求写出自变量的取值范围）； (3)请直接写出两车出发多少小时，乙车距B地的路程是甲车距B地路程的3倍． 【答案】(1)70，300 (2) (3)或 【分析】本题考查一次函数的实际应用，一元一次方程的实际应用，求出A、B、C两两之间的距离是解题的关键． （1）利用时间、速度、路程之间的关系求解； （2）利用待定系数法求解； （3）先求出A、B、C两两之间的距离和乙车的速度，设两车出发x小时，乙车距B地的路程是甲车距B地路程的3倍，分甲乙相遇前、相遇后两种情况，列一元一次方程分别求解即可． 【详解】（1）解：由图可知，甲车小时行驶的路程为， 甲车行驶的速度是， ∴A、C两地的距离为：， 故答案为：70；300； （2）解：由图可知E，F的坐标分别为，， 设线段所在直线的函数解析式为， 则， 解得， 线段所在直线的函数解析式为； （3）解：由题意知，A、C两地的距离为：， 乙车行驶的速度为：， C、B两地的距离为：， A、B两地的距离为：， 设两车出发x小时，乙车距B地的路程是甲车距B地路程的3倍， 分两种情况，当甲乙相遇前时： ， 解得； 当甲乙相遇后时： ， 解得； 综上可知，两车出发或时，乙车距B地的路程是甲车距B地路程的3倍． 11．（2023·浙江绍兴·中考真题）一条笔直的路上依次有三地，其中两地相距1000米．甲、乙两机器人分别从两地同时出发，去目的地，匀速而行．图中分别表示甲、乙机器人离地的距离（米）与行走时间（分钟）的函数关系图象．    (1)求所在直线的表达式． (2)出发后甲机器人行走多少时间，与乙机器人相遇？ (3)甲机器人到地后，再经过1分钟乙机器人也到地，求两地间的距离． 【答案】(1) (2)出发后甲机器人行走分钟，与乙机器人相遇 (3)两地间的距离为600米 【分析】（1）利用待定系数法即可求解； （2）利用待定系数法求出所在直线的表达式，再列方程组求出交点坐标，即可； （3）列出方程即可解决． 【详解】（1）∵， ∴所在直线的表达式为． （2）设所在直线的表达式为， ∵， ∴解得 ∴． 甲、乙机器人相遇时，即，解得， ∴出发后甲机器人行走分钟，与乙机器人相遇． （3）设甲机器人行走分钟时到地，地与地距离， 则乙机器人分钟后到地，地与地距离， 由，得． ∴． 答：两地间的距离为600米． 【点睛】本题考查了一次函数的图象与性质，用待定系数法可求出函数表达式，要利用方程组的解，求出两个函数的交点坐标，充分应用数形结合思想是解题的关键． 12．（2024·陕西西安·模拟预测）某科技活动小组制作了两款小型机器人，在同一赛道上进行试验运行．甲机器人离点的距离与出发时间满足一次函数关系，部分数据如下表．乙机器人在离点米处出发，以米/秒的速度匀速前进，两个机器人同时同向（远离点）出发并保持前进的状态． 出发时间（单位：秒） 甲机器人离点距离（单位：米） (1)设甲、乙两机器人离点的距离分别为、，求它们与出发时间之间的函数关系式； (2)甲机器人出发时距离点多远？两机器人出发多长时间时相遇？ 【答案】(1)； (2)甲机器人出发时距离点米远；两机器人出发秒相遇； 【分析】本题考查了一次函数的应用，掌握待定系数法求函数解析式是解题的关键． （1）根据待定系数法求解即可； （2）令，求出的值即可；联立方程组，求出的值即可知道两机器人出发多长时间相遇即可得解． 【详解】（1）解：设甲机器人离点的距离与出发时间之间的函数关系式， ∵当，；当时，， ， 解得， ∴甲机器人离点的距离与出发时间之间的函数关系式为： ∵乙机器人在离点米处出发，以米/秒的速度匀速前进， ∴乙机器人离点的距离与出发时间之间的函数关系式：， （2）解：∵对于， 当时，， 甲机器人出发时距离点米远， 联立方程组 解得：， 两机器人出发秒时相遇． ►题型04 工程问题 13．（2024·内蒙古赤峰·中考真题）一段高速公路需要修复，现有甲、乙两个工程队参与施工，已知乙队平均每天修复公路比甲队平均每天修复公路多3千米，且甲队单独修复60千米公路所需要的时间与乙队单独修复90千米公路所需要的时间相等． (1)求甲、乙两队平均每天修复公路分别是多少千米； (2)为了保证交通安全，两队不能同时施工，要求甲队的工作时间不少于乙队工作时间的2倍，那么15天的工期，两队最多能修复公路多少千米？ 【答案】(1)甲队平均每天修复公路6千米，则乙队平均每天修复公路9千米； (2)15天的工期，两队最多能修复公路千米． 【分析】本题考查了分式方程的应用，一元一次不等式的应用，一次函数的应用． （1）设甲队平均每天修复公路千米，则乙队平均每天修复公路千米，根据“甲队单独修复60千米公路所需要的时间与乙队单独修复90千米公路所需要的时间相等”列分式方程求解即可； （2）设甲队的工作时间为天，则乙队的工作时间为天，15天的工期，两队能修复公路千米，求得关于的一次函数，再利用“甲队的工作时间不少于乙队工作时间的2倍”求得的范围，利用一次函数的性质求解即可． 【详解】（1）解：设甲队平均每天修复公路千米，则乙队平均每天修复公路千米， 由题意得， 解得， 经检验，是原方程的解，且符合题意， ， 答：甲队平均每天修复公路6千米，则乙队平均每天修复公路9千米； （2）解：设甲队的工作时间为天，则乙队的工作时间为天，15天的工期，两队能修复公路千米， 由题意得， ， 解得， ∵， ∴随的增加而减少， ∴当时，有最大值，最大值为， 答：15天的工期，两队最多能修复公路千米． 14．（2023·吉林·中考真题）甲、乙两个工程组同时挖掘沈白高铁某段隧道，两组每天挖掘长度均保持不变，合作一段时间后，乙组因维修设备而停工，甲组单独完成了剩下的任务，甲、乙两组挖掘的长度之和与甲组挖掘时间x（天）之间的关系如图所示．    (1)甲组比乙组多挖掘了__________天． (2)求乙组停工后y关于x的函数解析式，并写出自变量x的取值范围． (3)当甲组挖掘的总长度与乙组挖掘的总长度相等时，直接写出乙组已停工的天数． 【答案】(1)30 (2) (3)10天 【分析】（1）由图可知，前30天甲乙两组合作，30天以后甲组单独做，据此计算即可； （2）设乙组停工后y关于x的函数解析式为，用待定系数法求解，再结合图象即可得到自变量x的取值范围； （3）先计算甲乙两组每天各挖掘多少千米，再计算乙组挖掘的总长度，设乙组已停工的天数为a，根据甲组挖掘的总长度与乙组挖掘的总长度相等列方程计算即可． 【详解】（1）解：由图可知，前30天甲乙两组合作，30天以后甲组单独做， ∴甲组挖掘了60天，乙组挖掘了30天， （天） ∴甲组比乙组多挖掘了30天， 故答案为：30； （2）解：设乙组停工后y关于x的函数解析式为， 将和两个点代入，可得， 解得， ∴ （3）解：甲组每天挖（米） 甲乙合作每天挖（米） ∴乙组每天挖（米），乙组挖掘的总长度为（米） 设乙组己停工的天数为a， 则， 解得， 答：乙组已停工的天数为10天． 【点睛】本题考查了一次函数的应用，待定系数法求函数的解析式，理解题意观察图象得到有用信息是解题的关键． 15．（2023·江苏南通·中考真题）为推进全民健身设施建设，某体育中心准备改扩建一块运动场地．现有甲、乙两个工程队参与施工，具体信息如下： 信息— 工程队 每天施工面积（单位：） 每天施工费用（单位：元） 甲 3600 乙 x 2200 信息二 甲工程队施工所需天数与乙工程队施工所需天数相等． (1)求x的值； (2)该工程计划先由甲工程队单独施工若干天，再由乙工程队单独继续施工，两队共施工22天，且完成的施工面积不少于．该段时间内体育中心至少需要支付多少施工费用? 【答案】(1)x的值为600 (2)该段时间内体育中心至少需要支付施工费用56800元 【分析】（1）根据题意甲工程队施工所需天数与乙工程队施工所需天数相等列出分式方程解方程即可； （2）设甲工程队先单独施工天，体育中心共支付施工费用元，根据先由甲工程队单独施工若干天，再由乙工程队单独继续施工，两队共施工22天，且完成的施工面积不少于列出不等式即可得到答案． 【详解】（1）解：由题意列方程，得． 方程两边乘，得． 解得． 检验：当时，． 所以，原分式方程的解为． 答：x的值为600． （2）解：设甲工程队先单独施工天，体育中心共支付施工费用元． 则． ， ． 1400>0， 随的增大而增大． 当时，取得最小值，最小值为56800． 答：该段时间内体育中心至少需要支付施工费用56800元． 【点睛】本题主要考查了分式方程的应用，一元一次不等式的应用以及一次函数的应用，熟练掌握知识点是解题的关键． 16．（2024·江苏盐城·模拟预测）在某市双城同创的工作中，某社区计划对的区域进行绿化，经投标，由甲、乙两个施工队来完成，已知甲队每天能完成绿化的面积是乙队每天能完成绿化面积的2倍，并且在独立完成面积为区域的绿化时，甲队比乙队少用3天． (1)甲、乙两施工队每天分别能完成绿化的面积是多少？ (2)若甲队每天绿化费用为0.4万元，乙队每天绿化费用为0.15万元，且甲、乙两队施工的总天数不超过14天，使施工费用最少？并求出最少费用． 【答案】(1)甲、乙两施工队每天分别能完成绿化的面积是， (2)安排甲队工作10天，乙队工作4天，最少费用为4.6万元 【分析】此题是一次函数综合题，主要考查了分式方程及其解法，不等式及其解法，极值的确定，解本题的关键是求出甲乙对每天的工作量． （1）设乙工程队每天能完成绿化的面积是，根据在独立完成面积为区域的绿化时，甲队比乙队少用3天，列方程求解； （2）设应甲队的工作天，则乙队工作天，得到，用a的代数式表示b，由得，即可得到费用关于a的关系式，再求解． 【详解】（1）解：设乙工程队每天能完成绿化的面积为， 根据题意得， 解得：， 经检验是原分式方程的解， ∴， 答：甲、乙两施工队每天分别能完成绿化的面积是，； （2）设安排甲队工作a天，乙队工作b天， 由题意得：， 整理得：， ∵， ∴， ∴， 费用， 当时，最少万元． 答：安排甲队工作10天，乙队工作4天，最少费用为4.6万元． ►题型05 分配问题 17．（2024·山东东营·中考真题）随着新能源汽车的发展，东营市某公交公司计划用新能源公交车淘汰“冒黑烟”较严重的燃油公交车．新能源公交车有型和型两种车型，若购买型公交车辆，型公交车辆，共需万元；若购买型公交车辆，型公交车辆，共需万元． (1)求购买型和型新能源公交车每辆各需多少万元？ (2)经调研，某条线路上的型和型新能源公交车每辆年均载客量分别为万人次和万人次．公司准备购买辆型、型两种新能源公交车，总费用不超过万元．为保障该线路的年均载客总量最大，请设计购买方案，并求出年均载客总量的最大值． 【答案】(1)购买型新能源公交车每辆需万元，购买型新能源公交车每辆需万元； (2)方案为购买型公交车辆，型公交车辆时．线路的年均载客总量最大，最大在客量为万人． 【分析】本题考查二元一次方程组和一元一次不等式及一次函数的应用，注意理解题意，找出题目蕴含的数量关系，列出方程组及一次函数是解题的关键． （1）设购买型公交车每辆需万元，购买型公交车每辆需万元，根据“购买型公交车辆，型公交车辆，共需万元；若购买型公交车辆，型公交车辆，共需万元”列出方程组解决问题即可； （2）设购买型公交车辆，则型公交车辆，由“公司准备购买辆型、型两种新能源公交车，总费用不超过万元”列出不等式求得的取值，再求出线路的年均载客总量为与的关系式，根据一次函数的性质求解即可． 【详解】（1）解：设购买型新能源公交车每辆需万元，购买型新能源公交车每辆需万元， 由题意得：， 解得， 答：购买型新能源公交车每辆需万元，购买型新能源公交车每辆需万元； （2）解：设购买型公交车辆，则型公交车辆，该线路的年均载客总量为万人， 由题意得， 解得：， ∵， ∴， ∵是整数， ∴，，； ∴线路的年均载客总量为与的关系式为， ∵， ∴随的增大而减小， ∴当时，线路的年均载客总量最大，最大载客量为（万人次） ∴（辆） ∴购买方案为购买型公交车辆，则型公交车辆，此时线路的年均载客总量最大时，且为760万人次， 18．（2024·湖南长沙·模拟预测）为响应国家关于推动各级各类生产设备、服务设备更新和技术改造的号召，某公司计划将办公电脑全部更新为国产某品牌，市场调研发现，品牌的电脑单价比品牌电脑的单价少元，通过预算得知，用万元购买品牌电脑比购买品牌电脑多台． (1)试求，两种品牌电脑的单价分别是多少元； (2)该公司计划购买，两种品牌的电脑一共台，且购买品牌电脑的数量不少于品牌电脑的，试求出该公司费用最少的购买方案． 【答案】(1)品牌电脑的单价是元，品牌电脑的单价是元； (2)该公司费用最少的购买方案为购买台电脑，购买台电脑，最少需要元． 【分析】本题考查了分式方程的应用、一元一次不等式的应用以及一次函数的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出分式方程；（）根据各数量之间的关系，找出关于的函数关系式． （1）设品牌电脑的单价是万元，则品牌电脑的单价是万元，利用数量总价单价，结合“用万元购买品牌电脑比购买品牌电脑多台”，可列出关于的分式方程，解之检验后，可得出品牌电脑的单价，再将其代入即可求出品牌电脑的单价； （2）设购买台品牌电脑，则购买台品牌电脑，根据买品牌电脑的数量不少于品牌电脑的，可列出关于的一元一次不等式，解之可得出的取值范围，设学校购买这些电脑需要元，利用总价单价数量，可找出关于的函数关系式，再利用一次函数的性质，即可解决最值问题． 【详解】（1）解：设品牌电脑的单价是万元，则品牌电脑的单价是万元，根据题意得：， 化简得 解得：，（舍去）， 经检验，是所列方程的解，且符合题意， ∴品牌电脑的单价是万元元，则品牌电脑的单价是万元即元． 答：品牌电脑的单价是元，品牌电脑的单价是元； （2）解：设购买台品牌电脑，则购买台品牌电脑， 根据题意得：， 解得：． 设学校购买这些电脑需要元，则， 即， ， 随的增大而减小， 当时，取得最小值，最小值为（元）．此时， ∴该公司费用最少的购买方案为购买台电脑，购买台电脑，最少需要元． 19．（2024·河南周口·三模）春和景明，草长莺飞的四月和五月，全家最适合周末去附近的公园里踏青或爬山，并且进行野餐，某便民商店计划在春天踏春之际购进，两种不同型号的野餐垫共个，已知购进型号的野餐垫个和型号的野餐垫个需要元，购进型号的野餐垫个和型号的野餐垫个需要元． (1)求该商店购进每个型号和型号的野餐垫的价格； (2)该商店在调查后根据实际需求，现在决定购进型号的野餐垫不超过型号野餐垫数量的，为使购进野餐垫的总费用最低，应购进型号野餐垫和型号的野餐垫各多少个?购进野餐垫的总费用最低为多少元? 【答案】(1)购进每个型号野餐垫的价格为元，购进每个型号的野餐垫的价格为元 (2)为使购进野餐垫的总费用最低，应购进型号的野餐垫个，型号的野餐垫个，购进野餐垫的总费用最低为元 【分析】本题考查了二元一次方程组、一次函数和不等式的应用，解题的关键是理解题意，正确列出等量关系式． （1）设购进每个型号野餐垫的价格为元，购进每个型号野餐垫的价格为元，根据题意列出二元一次方程组即可求解； （2）设该商店购进型号野餐垫个，总费用为元，则购进型号野餐垫个，根据题意得出，，再根据一次函数的性质即可求解． 【详解】（1）解：设购进每个型号野餐垫的价格为元，购进每个型号野餐垫的价格为元， 根据题意可得：， 解得：， 答：购进每个型号野餐垫的价格为元，购进每个型号的野餐垫的价格为元； （2）设该商店购进型号野餐垫个，总费用为元，则购进型号野餐垫个， 由题意可得： ， 其中， 解得：， ， 随的增大而减小， 当时，最小，最小值为元， 答：为使购进野餐垫的总费用最低，应购进型号的野餐垫个，型号的野餐垫个，购进野餐垫的总费用最低为元． 20．（2024·河南周口·二模）为加强中华优秀传统文化的弘扬与传承，提升学生的文化自信，引导学生在经典诗歌中启智润心、培根铸魂，某校决定举办中华经典诗歌朗读比赛．为鼓励同学们积极参与，大赛设置一等奖、二等奖、三等奖，对应的奖品如下表所示．已知购买一本《诗经》的价格是元，购买1个笔记本和2支笔的价格是元，购买2个笔记本和3支笔的价格是元． 一等奖 二等奖 三等奖 奖品 1 本《诗经》 2个笔记本、1支笔 1 本《诗经》 2支笔 1 个笔记本2支笔 (1)请计算购买 1 个笔记本和1支笔的价格分别是多少? (2)据统计，共有名同学参加比赛，若要求每位参赛同学都能获得一个奖，且一等奖共设置5名，二等奖的数量不少于三等奖数量的 ，则最少需要多少费用来购买奖品?并写出此时二等奖和三等奖各设置多少名． 【答案】(1)购买一个笔记本的价格为元，购买一支笔的价格为4元 (2)最少需要元来购买奖品，此时设置二等奖名，三等奖名 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，一元一次不等式的应用，一次函数的应用．熟练掌握二元一次方程组的应用，一元一次不等式的应用，一次函数的应用是解题的关键． （1）设购买一个笔记本的价格为元，购买一支笔的价格为元，依题意得，，计算求解即可； （2）设共设置二等奖个，则设置三等奖个，购买奖品的费用为元，由题意知，，可得，依题意得， ，然后求解作答即可． 【详解】（1）解：设购买一个笔记本的价格为元，购买一支笔的价格为元， 依题意得，， 解得， ∴购买一个笔记本的价格为元，购买一支笔的价格为4元； （2）解：设共设置二等奖个，则设置三等奖个，购买奖品的费用为元， 由题意知，， 解得，， 依题意得， ， ∵， ∴当时，， ∴， ∴最少需要元来购买奖品，此时设置二等奖名，三等奖名． ►题型06 分段计费问题 21．（2024·浙江衢州·一模）我市“一户一表、抄表到户”居民生活用水实行阶梯水价，三级收费标准如下表，每户每年应缴水费（元）与用水量关系如图． 分类 用水量 单价（元/） 第1级 不超过300 第2级 超过300不超过480的部分 第3级 超过480的部分 根据图表信息，解答下列问题： (1)小南家2022年用水量为，共缴水费1168元．求，及线段的函数表达式． (2)小南家2023年用水量增加，共缴水费元，求2023年小南家用水量． 【答案】(1)， (2) 【分析】本题主要考查了一次函数的实际应用，一元一次方程的实际应用： （1）根据函数图象即可求出a的值，进而求出k的值，再求出点B的坐标，即可利用待定系数法求出对应的函数解析式； （2）先推出，进而根据共缴水费元列出方程求解即可． 【详解】（1）解：由图表可知：， ∴； ∴当用水量为时，每年应缴水费为元 ∴ 设，把，代入，得 ， 解得 ∴线段的函数表达式为． （2）解：∵， ∴， ∴， 解得． ∴2023年小南家用水量为． 22．（2023·陕西西安·二模）某市出租车计费方法为：当行驶里程不超过时，计价器保持在元；当行驶里程超过时，计价器开始变化，行驶里程x（）与车费y（元）之间的关系如图所示． (1)当行驶里程超过时，求y与x之间的函数关系式； (2)若某乘客有一次乘出租车的车费为元，求这位乘客乘车的里程． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用待定系数法解答，即可求解； （2）把代入（1）中解析式，即可求解． 【详解】（1）解：由图象得出租车的起步价是元． 当时，设y与x之间的函数关系式为， 由函数图象过点， 得解得 故当行驶里程超过时，y与x之间的函数关系式为． （2）解：， 令，即，解得． 答：这位乘客乘车的里程是． 【点睛】本题主要考查了一次函数的实际应用，明确题意，准确列出函数关系式是解题的关键． 23．（2023·上海浦东新·二模）某市全面实施居民“阶梯水价”．当累计水量超过年度阶梯水量分档基数临界点后，即开始实施阶梯价格计价，分档水量和单价见下表： 分档 户年用水量 （立方米） 自来水单价 （元/立方米） 污水处理单价 （元/立方米） 第一阶梯 0~220（含220） 2.25 1.8 第二阶梯 220~300（含300） 4 第三阶梯 300以上 6.99 注：应缴的水费＝户年用水量×（自来水单价＋污水处理单价） 仔细阅读上述材料，请解答下面的问题： (1)如果小叶家全年用水量是220立方米，那么她家全年应缴纳水费多少元？ (2)居民应缴纳水费y（元）关于户年用水量x（立方米）的函数关系如图所示，求第二阶梯（线段）的表达式； (3)如果小明家全年缴纳的水费共计1181元，那么他家全年用水量是多少立方米？ 【答案】(1)她家全年应缴纳水费891元 (2) (3)他家全年用水量是270立方米 【分析】（1）根据题意列出算式计算即可； （2）利用待定系数法求出函数解析式即可； （3）根据缴纳的水费1181元得出用水量在第二阶梯范围内，然后将代入（2）中求出的函数解析式进行解答即可． 【详解】（1）解：根据题意得：（元）， 答：她家全年应缴纳水费891元． （2）解：设线段的表达式为，把，代入得： ， 解得：， ∴线段的表达式为． （3）解：∵， ∴小明家全年用水量处于第二阶梯， 把代入得：， 解得：， 答：他家全年用水量是270立方米． 【点睛】本题主要考查了一次函数的实际应用，解题的关键是理解题意，熟练掌握待定系数法，数形结合． 24．（2023·四川·中考真题）某移动公司推出A，B两种电话计费方式． 计费方式 月使用费/元 主叫限定时间/min 主叫超时费/（元/min） 被叫 A 免费 B 免费 (1)设一个月内用移动电话主叫时间为tmin，根据上表，分别写出在不同时间范围内，方式A，方式B的计费金额关于t的函数解析式； (2)若你预计每月主叫时间为350min，你将选择A，B哪种计费方式，并说明理由； (3)请你根据月主叫时间t的不同范围，直接写出最省钱的计费方式． 【答案】(1)见解析； (2)选方式B计费，理由见解析； (3)见解析． 【分析】（1）根据题意，设两种计费金额分别为、，分别计算 三个不同范围内的A、B两种方式的计费金额即可； （2）令，根据（1）中范围求出对应两种计费金额，选择费用低的方案即可； （3）令，求出此时的值，当主叫时间时，方式A省钱；当主叫时间时，方式A和B一样；当主叫时间时，方式B省钱； 【详解】（1）解：根据题意，设两种计费金额分别为、 当时，方式A的计费金额为元，方式B的计费金额为108元； 方式A的计费金额，方式B的计费金额为108元； 当时，方式A的计费金额为，方式B的计费金额为 总结如下表： 主叫时间/分钟 方式A计费() 方式B计费() 78 108 108 （2）解：当时， ，故选方式B计费． （3）解：令，有解得 ∴当时，方式A更省钱； 当时，方式A和B金额一样； 当时，方式B更省钱． 【点睛】本题考查了一次函数在电话计费中的应用，根据题意分段讨论是求解的关键． ►题型07 调运问题 25．（2024·内蒙古呼和浩特·二模）城有肥料，城有肥料．现要把这些肥料全部运往，两乡．从城往，两乡运肥料的费用分别为20元和25元；从城往，两乡运肥料的费用分别为15元和24元．现乡需要肥料，乡需要肥料． (1)设从城往乡运肥料吨，则从城往乡运肥料多少吨（用含x的式子表示，并化简结果）？ (2)设调运的总运费元，请写出关于的函数关系式以及的取值范围； (3)怎样调运可使总运费最少，并求出最少运费． 【答案】(1)吨肥料 (2) (3)从A城运往C乡0吨，运往D乡200吨；从B城运往C乡240吨，运往D乡60吨，此时总运费最少，最少的运输费用是元 【分析】考查了一次函数的应用和列代数式，根据题意正确列出代数式和和一次函数是解题的关键． （1）由题意可得：设从A城往C乡运x吨肥料，则从A城往D乡运吨肥料，B城往C乡运吨肥料，即可得到答案； （2）设调运的总运费元，根据（1）中的代数式列出一次函数即可； （3）根据一次函数的性质解答即可． 【详解】（1）解：由题意可得：设从A城往C乡运x吨肥料，则从A城往D乡运吨肥料，B城往C乡运吨肥料， 所以，从B城往D乡运吨肥料； （2）由题意可得： ， ， 解得：； （3） ∵，y随x的增大而增大，， ∴当时，， ∴从A城运往C乡0吨，运往D乡200吨；从B城运往C乡240吨，运往D乡60吨，此时总运费最少，最少的运输费用是元． 26．（2023·湖北武汉·二模）计划将甲、乙两厂的生产设备运往A，B两地，甲厂设备有60台，乙厂设备有40台，A地需70台，B地需30台，每台设备的运输费（单位：百元）如表格所示，设从甲厂运往A地的有x台设备（x为整数）． A地 B地 甲厂 7 10 乙厂 10 15 (1)用含x的式子直接填空：甲厂运往B地__________台，乙厂运往A地__________台，乙厂运往B地__________台． (2)请你设计一种调运的运输方案，使总费用最低，并求出最低费用为多少？ (3)因客观原因，从甲到A的运输费用每台增加了m百元，从乙到B的运输费用每台减小了2m百元，其它不变，且，请你探究总费用的最小值． 【答案】(1)，， (2)当甲厂运往A地30台，B地30台，乙厂将40台都运往A地时，费用最低，最低费用为9万1千元 (3)见解析 【分析】（1）根据题目中的数量关系填空即可； （2）根据（1）列出运输总费用函数关系式，再确定自变量的取值范围，利用一次函数增减性求解即可； （3）列出总费用函数关系式，对m的值进行分类讨论，利用一次函数增减性求解即可． 【详解】（1）解：从甲厂运往A地的有x台设备，则甲厂运往B地台；乙厂运往A地台；乙厂运往B地台； 故答案为：，， （2）解：设运输费为y百元，依题意得 ， ∵， ∴y随x的增大而增大，当x最小时，y最小， ；； ∴． ∴当时，y有最小值910． ∴当甲厂运往A地30台，B地30台，乙厂将40台都运往A地时，费用最低，最低费用为9万1千元． （3）解： ． 当时，无论怎么安排，运费都是9万7千元； 当时，，y随x的增加而增加，当时，运费最低（百元）； 当时，，y随x增加而减小，当时，运费最低=9万7千元． 【点睛】本题考查一次函数的应用，解题的关键是读懂题意，根据已知列出函数关系式，掌握并能运用一次函数的性质． 27．（2022·黑龙江·中考真题）为抗击疫情，支援B市，A市某蔬菜公司紧急调运两车蔬菜运往B市．甲、乙两辆货车从A市出发前往B市，乙车行驶途中发生故障原地维修，此时甲车刚好到达B市．甲车卸载蔬菜后立即原路原速返回接应乙车，把乙车的蔬菜装上甲车后立即原路原速又运往B市．乙车维修完毕后立即返回A市．两车离A市的距离y（km）与乙车所用时间x（h）之间的函数图象如图所示． (1)甲车速度是_______km/h，乙车出发时速度是_______km/h； (2)求乙车返回过程中，乙车离A市的距离y（km）与乙车所用时间x（h）的函数解析式（不要求写出自变量的取值范围）； (3)乙车出发多少小时，两车之间的距离是120km？请直接写出答案． 【答案】(1)100  60 (2) (3)3，6.3，9.1 【分析】（1）根据图象分别得出甲车5h的路程为500km，乙车5h的路程为300km，即可确定各自的速度； （2）设，由图象可得经过点（9，300），（12，0）点，利用待定系数法即可确定函数解析式； （3）乙出发的时间为t时，相距120km，根据图象分多个时间段进行分析，利用速度与路程、时间的关系求解即可． 【详解】（1）解：根据图象可得，甲车5h的路程为500km， ∴甲的速度为：500÷5=100km/h； 乙车5h的路程为300km， ∴乙的速度为：300÷5=60km/h； 故答案为：100；60； （2）设，由图象可得经过点（9，300），（12，0）点， 代入得， 解得 ∴y与x的函数解析式为； （3）解：设乙出发的时间为t时，相距120km， 根据图象可得， 当0<t<5时， 100t-60t=120， 解得：t=3； 当5<t<5.5时，根据图象可得不满足条件； 当5.5<t<8时， 500-100（t-5.5）-300=120， 解得：t=6.3； 当8<t<9时， 100（t-8）=120， 解得：t=9.2，不符合题意，舍去； 当9<t<12时， 100×（9-8）+100（t-9）+100（t-9）=120， 解得：t=9.1； 综上可得：乙车出发3h、6.3h与9.1h时，两车之间的距离为120km． 【点睛】题目主要考查根据函数图象获取相关信息，一次函数的应用，一元一次方程的应用等，理解题意，根据函数图象得出相关信息是解题关键． 28．（2024·山东青岛·一模）某运输公司安排甲、乙两种货车24辆恰好一次性将328吨的物资运往两地，两种货车载重量及到两地的运输成本如下表： 货车类型 载重量（吨/辆） 运往A地的成本（元/辆） 运往B地的成本（元/辆） 甲种 16 1200 900 乙种 12 1000 750 (1)求甲、乙两种货车各用了多少辆； (2)如果前往地的甲、乙两种货车共12辆，所运物资不少于160吨，其余货车将剩余物资运往地．设甲、乙两种货车到两地的总运输成本为元，前往地的甲种货车为辆．求当为何值时，最小？最小值是多少． 【答案】(1)甲种货车用10辆，则乙种货车用14辆 (2)当时，w最小，最小值为22700元 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，一元一次不等式的应用，一次函数的应用，根据题意列出方程，不等式与一次函数关系式是解题的关键． （1）设甲种货车用x辆，则乙种货车用辆．根据题意列一元一次方程即可求解； （2）先根据表格信息列出w与t之间的函数解析式，根据所运物资不少于160吨列出不等式，求得t的范围，然后根据一次函数的性质求得最小值即可． 【详解】（1）解：设甲种货车用x辆，则乙种货车用辆， 根据题意，得， 解得， ∴， 答：甲种货车用10辆，则乙种货车用14辆； （2）解：根据题意，得 ， ∵ ∴ ∵， ∴w随t的减小而减小． ∴当时，w最小，最小值为（元）． ►题型08 计时问题 29．（2023·浙江台州·中考真题）【问题背景】 “刻漏”是我国古代的一种利用水流计时的工具．综合实践小组准备用甲、乙两个透明的竖直放置的容器和一根带节流阀（控制水的流速大小）的软管制作简易计时装置． 【实验操作】 综合实践小组设计了如下的实验：先在甲容器里加满水，此时水面高度为30cm，开始放水后每隔10min观察一次甲容器中的水面高度，获得的数据如下表： 流水时间t/min 0 10 20 30 40 水面高度h/cm（观察值） 30 29 28.1 27 25.8 任务1  分别计算表中每隔10min水面高度观察值的变化量． 【建立模型】 小组讨论发现：“，”是初始状态下的准确数据，水面高度值的变化不均匀，但可以用一次函数近似地刻画水面高度h与流水时间t的关系．    任务2  利用时，；时，这两组数据求水面高度h与流水时间t的函数解析式． 【反思优化】 经检验，发现有两组表中观察值不满足任务2中求出的函数解析式，存在偏差．小组决定优化函数解析式，减少偏差．通过查阅资料后知道：t为表中数据时，根据解析式求出所对应的函数值，计算这些函数值与对应h的观察值之差的平方和，记为w；w越小，偏差越小． 任务3  （1）计算任务2得到的函数解析式的w值． （2）请确定经过的一次函数解析式，使得w的值最小． 【设计刻度】 得到优化的函数解析式后，综合实践小组决定在甲容器外壁设计刻度，通过刻度直接读取时间． 任务4  请你简要写出时间刻度的设计方案． 【答案】任务1：见解析；任务2：；任务3：（1），（2）；任务4：见解析 【分析】任务1：根据表格每隔10min水面高度数据计算即可； 任务2：根据每隔10min水面高度观察值的变化量大约相等，得出水面高度h与流水时间t的是一次函数关系，由待定系数法求解； 任务3：（1）先求出对应时间的水面高度，再按要求求w值； （2）设，然后根据表格中数据求出此时w的值是关于k的二次函数解析式；由此求出w的值最小时k值即可； 任务4：根据高度随时间变化规律，以相同时间刻画不同高度即可，类似如数轴三要素，有原点、正方向与单位长度．最大量程约为294min可以代替单位长度要素． 【详解】解：任务1：变化量分别为，；； ；； 任务2：设， ∵时，，时，； ∴ ∴水面高度h与流水时间t的函数解析式为． 任务3：（1）当时，， 当时，， 当时，， 当时，， 当时，， ∴ ． （2）设，则 ． 当时，w最小． ∴优化后的函数解析式为． 任务4：时间刻度方案要点： ①时间刻度的0刻度在水位最高处； ②刻度从上向下均匀变大； ③每0.102cm表示1min（1cm表示时间约为9.8min）． 【点睛】本题主要考查一次函数和二次函数的应用、方差的计算，熟练掌握待定系数法求解析式及一次函数的函数值、二次函数的最值是解题的关键． 30．（2024·广东·模拟预测）漏刻是我国古代的一种计时工具．小轩依据漏刻的原理制作了一个简单的漏刻计时工具模型，研究中发现其水位与时间之间成一次函数关系．小轩通过多次计时并测量水位的高度，得到如下表数据： … 1 2 3 5 … … … (1)求关于的函数关系式； (2)若小轩开始测量的时间为早上，当水位读数为时，求此时的时间． 【答案】(1) (2)当水位读数为时，此时的时间为 【分析】本题主要考查了一次函数的实际应用； （1）设出函数解析式，再根据表格中的数据利用待定系数法求解即可； （2）根据（1）所求求出当时，t的值即可得到答案． 【详解】（1）解：设关于的函数关系式为， 将代入中，得， 解得， 关于的函数关系式为； （2）解：将代入得，解得， 开始测量的时间为早上， 当水位读数为时，此时的时间为． 31．（2023·江西南昌·一模）沙漏又称“沙钟”，是我国古代一种计量时间的装置．它是根据均匀的沙粒从一玻璃球漏到另一个玻璃球的数量来计量时间．其中上面玻璃球中沙粒完全流入下面玻璃球后立即将沙漏倒置（倒置时间忽略不计），重新进行计时，周而复始．某课外数学小组观察发现：该沙漏上面玻璃球沙粒剩余量粒与流入时间秒成一次函数关系（不考虑其他因素），当流入时间在第秒时，上面玻璃球剩余沙粒粒，当流入时间在第秒时，上面玻璃球剩余沙粒粒． (1)求出上面玻璃球沙粒余量粒与流入时间（秒）之间的函数关系式； (2)求沙漏恰好完成第一次倒置所需时间． 【答案】(1) (2)秒 【分析】（1）设一次函数的解析式，待定系数法求解析式即可求解； （2）根据题意，沙漏恰好完成第一次倒置，令，即可求解． 【详解】（1）解：设一次函数的解析式． 将和分别代入．得 解得． ∴． （2）解：∵沙漏恰好完成第一次倒置， ∴． 即，解得． ∴沙漏恰好完成第一次倒置的时间是60秒． 【点睛】本题考查了一次函数的应用，根据题意列出一次函数关系式是解题的关键． 32．（2022·广东深圳·二模）某学校STEAM社团在进行项目化学习时，根据古代的沙漏模型（图1）制作了一套“沙漏计时装置”，该装置由沙漏和精密电子秤组成，电子秤上放置盛沙容器．沙子缓慢匀速地从沙漏孔漏到精密电子称上的容器内，可以通过读取电子秤的读数计算时间（假设沙子足够）．该实验小组从函数角度进行了如下实验探究：实验观察：实验小组通过观察，每两小时记录一次电子秤读数，得到表1． 表1 沉沙时间 0 2 4 6 8 电子秤读数y（克） 6 18 30 42 54 探索发现： (1)建立平面直角坐标系，如图2，横轴表示漏沙时间x，纵坐标表示精密电子称的读数y，描出以表1中的数据为坐标的各点． (2)观察上述各点的分布规律，判断它们是否在同一条直线上，如果在同一条直线上，请你建立适当的函数模型，并求出函数表达式，如果不在同一条直线上，请说明理由．结论应用：应用上述发现的规律估算： (3)若漏沙时间为9小时，精密电子称的读数为多少？ (4)若本次实验开始记录的时间是上午7:30，当精密电子秤的读数为72克时是几点钟？ 【答案】(1)作图见解析 (2)在同一直线上．函数表达式为： (3)漏沙时间为9小时，精密电子称的读数为60克 (4)下午6:30 【分析】（1）根据表中各点对应横、纵坐标，描点即可． （2）通过连线可知这些点大致分布在同一直线上，满足一次函数表达式，所以可假设一次函数表达式，利用待定系数法求解函数表达式． （3）根据（2）中的表达式可求出当时，精密电子秤的读数． （4）根据（2）中的表达式可求出当时，漏沙的时间，然后根据起始时间可求出读数为72克的时间． 【详解】（1）解：如图所示 （2） 解：如图所示，连线可得，这些点在同一线上，并且符合一次函数图像． 设一次函数表达式为： 将点，代入解析式中可得 解得 函数表达式为： （3）解：由（2）可知函数表达式为： 当时， 漏沙时间为9小时，精密电子称的读数为60克． （4）解：由（2）可知函数表达式为： 当时， 起始时间是上午7:30 经过11小时的漏沙时间为下午6:30． 【点睛】本题考查一次函数的实际应用，要求掌握描点法画函数图象，待定系数法求解析式，会求函数自变量或函数值是解决本题的关键． 33．（2024·湖南长沙·模拟预测）“刻漏”是我国古代的一种利用水流计时的工具．综合实践小组准备用甲、乙两个透明的竖直放置的容器和一根带节流阀（控制水的流速大小）的软管制作简易计时装置． (1)综合实践小组设计了如下的实验：先在甲容器里加满水，此时水面高度为，开始放水后每隔观察一次甲容器中的水面高度，获得的数据如下表所示，请分别计算表中每隔水面高度观察值的变化量． 流水时间 0 10 20 30 40 水面高度（观察值） 30 29 28.1 27 25.8 水面高度的变化量 (2)小组讨论发现：“，”是初始状态下的准确数据，水面高度值的变化不均匀，但可以用一次函数近似地刻画水面高度与流水时间的关系．试利用时，；时，这两组数据求水面高度与流水时间的函数解析式； (3)经检验，发现有两组表中观察值不满足任务2中求出的函数解析式，存在偏差，小组决定优化函数解析式，减少偏差．通过查阅资料后知道：为表中数据时，根据解析式求出所对应的函数值，计算这些函数值与对应的观察值之差的平方和，记为；越小，偏差越小． ①计算任务2得到的函数解析式的值； ②请确定经过的一次函数解析式，使得的值最小； 【答案】(1)，，，. (2)； (3)①；② 【分析】（1）依表计算即可； （2）根据待定系法确定关系式即可； （3）（1）根据题意计算即可；（2）设，代入w计算化简，利用一二次函数性质求w的最小值即可. 【详解】（1）解：变化量分别为：；；；， ∴每隔水面高度观察值的变化量为：，，，. 故答案为：，，，． （2）解：设水面高度h与流水时间t的函数解析式为， ∵时，；时，； ∴， 解得：， ∴水面高度h与流水时间t的函数解析式为． （3）解：①. ②解： ， ∴当时，w的最小值为. ∴． 【点睛】本题主要考查一次函数和二次函数的应用、方差的计算，熟练掌握待定系数法求解析式及一次函数的函数值、二次函数的最值是解题的关键． ►题型09 体积问题 34．（2020·浙江绍兴·模拟预测）实验室里，水平桌面上有甲、乙、丙三个高都为10cm圆柱形容器（甲、丙的底面积相同），用两个相同的管子在容器的6cm高度处连通（即管子底离容器底6cm，管子的体积忽略不计）．现三个容器中，只有甲中有水，水位高2cm，如图①所示．若每分钟同时向乙、丙容器中注入相同量的水，到三个容器都注满水停止，乙、丙容器中的水位h（cm）与注水时间t（min）的图象如图②所示．若乙比甲的水位高2cm时，注水时间m分钟，则m的值为（　　） A．3或5 B．4或6 C．3或 D．5或9 【答案】C 【分析】确定、的值，再分乙容器的水位达到时、甲容器的水位达到时两种情况，分别求解． 【详解】解：2分钟时，丙的水量达到6cm，而此时乙的水量为2cm，故乙、丙两容器的底面积之比为3：1， ∵乙、丙两容器的底面积之比为3：1，丙容器注入2分钟到达6cm， ∴乙容器的水位达到6cm所需时间为：a＝2+2＝4（min）， b＝（10﹣2+10×3+10）÷6＝8（min）． ①当2≤x≤4时，设乙容器水位高度h与时间t的函数关系式为h＝kt+b（k≠0）， ∵图象经过（2，2）、（4，6）两点，则，解得：， ∴h＝2t﹣2（2≤x≤4）． 当h＝4时，则2t﹣2＝4，解得t＝3； ②设t分钟后，甲容器水位为4cm，根据题意得：2+6（t﹣4）＝4， 解得：t＝． 故选：C． 【点睛】本题考查一次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，利用一次函数的性质和数形结合的思想解答． 35．（2023·河北保定·一模）如图1，一个正方体铁块放置在高为的圆柱形容器内，现以一定的速度往容器内注水，注满容器为止．容器顶部离水面的距离与注水时间之间的函数图象如图2所示． (1)求直线的解析式，并求出容器注满水所需的时间． (2)求正方体铁块的体积． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）待定系数法求出得解析式即可，令时，求出值； （2）根据图像确定出正方形的高即可求解． 【详解】（1）解：设直线的解析式为， 将点和代入中， 得，解得， ∴直线的解析式为． 令，即，解得， 故容器注满水所需的时间为． （2）解：由图像段可知正方体的高为， 即正方体的边长为， 故正方体的体积为． 【点睛】本题考查了一次函数的实际应用，解题的关键是熟练掌握待定系数法求解析式． 36．（2022·山东济宁·三模）如图1，在底面积为，高为20cm的长方体水槽内放入一个圆柱形烧杯，以恒定不变的速度先向烧杯中注水，注满烧杯后，继续注水，直至注满水槽为止，此过程中，烧杯本身的质量、体积忽略不计，烧杯在大水槽中的位置始终不变，水槽中水面上升的高度h与注水时间t之间的函数关系如图2，则烧杯的底面积是 【答案】20 【分析】设烧杯的底面积为cm²，高为cm，注水速度为cm3/s，根据当注水时间为18s时，烧杯刚好注满；当注水时间为90s时，水槽内的水面高度恰好与烧杯中的水面齐平，列出方程组，即可求出烧杯的底面积． 【详解】解：设烧杯的底面积为cm²，高为cm，注水速度为cm3/s 由图1、图2分析可得：当注水时间为18s时，烧杯刚好注满；当注水时间为90s时，水槽内的水面高度恰好与烧杯中的水面齐平． 由此可得： ∵ ∴ ∴ 故答案为：20． 【点睛】本题主要考查了一次函数的应用，解答本题的关键是读懂函数图象中每个拐点的实际意义． 37．（2021·河北石家庄·一模）如图，、两个长方体水箱放置在同一水平桌面上，开始时水箱中没有水，水箱中盛满水．现以的流量从水箱中抽水注入水箱中，直至水箱注满水为止．设注水，水箱的水位高度为，水箱中的水位高度为，根据图中数据解答下列问题（抽水水管的体积忽略不计） （1）水箱的容积为______；（提示：容积底面积高） （2）分别写出、与之间的函数表达式； （3）当水箱与水箱中的水的体积相等时，求出此时两水箱中水位的高度差． 【答案】（1）；（2），；（3）水位高度差为． 【分析】（1）根据长方体的体积公式计算即可． （2）根据“水箱A的水位高度＝注入水的体积÷水箱A的底面积”得出yA与t之间的函数表达式；“水箱B中的水位高度＝6﹣流出水的体积÷水箱B的底面积”得出yB与t之间的函数表达式； （3）当水箱A与水箱B中的水的体积相等时，即水箱B中的水还剩下一半，根据（2）的结论可以分别求出两水箱中水位的高度即可解答． 【详解】解:(1)水箱A的容积为：3×2×6＝36dm3． 故答案为：36dm3． （2）根据题意得：； ； （3）当水箱A与水箱B中的水的体积相等时，， 即﹣0.6t+6＝3，解得t＝5； 当t＝5时，yA＝t＝5． ∴yA﹣yB＝5﹣3＝2． 答：当水箱A与水箱B中的水的体积相等时，两水箱中水位的高度差为2dm． 【点睛】此题考查了一次函数的应用，熟练掌握注水速度＝注水体积÷注水时间，圆柱体积＝圆柱的底面积×圆柱的高，这两个公式为解题关键． 38．（23-24九年级上·湖南长沙·期末）一透明的敞口正方体容器 装有一些液体，棱始终在水平桌面上，容器底部的倾斜角为（，如图所示）． 探究：如图1，液面刚好过棱，并与棱交于点Q，此时液体的形状为直三棱柱，其三视图及尺寸如图②．解决问题： (1)与的位置关系是 ，的长是 ， °（注：，） (2)求液体的体积；（参考算法：直棱柱体积V液底面积高） (3)在图1的基础上，以棱为轴将容器向左或向右旋转，但不能使液体溢出．图3或图4是其正面示意图，若液面与棱或交于点P、点Q始终在棱上，设，，分别就图3和图4求y与x的函数关系式，并写出相应的的范围． 【答案】(1)，3， (2) (3)时，， ， 【分析】（1）本题根据水面与水平面平行可以得到与平行，利用勾股定理即可求得的长； （2）本题根据液体正好是一个以是底面的直棱柱，利用直棱柱体积等于底面积乘高，即可求得液体的体积； （3）本题根据以棱为轴将容器向左或向右旋转，分情况分析，利用液体体积不变，建立y与x的联系，即可解题． 【详解】（1）解：液体的形状为直三棱柱， ， 由题知，,, 根据勾股定理得．； 在中， ， ． 故答案为：，3，． （2）解：（）． （3）解：当容器向左旋转时，， 液体体积不变， ， ． 当液面恰好到达容器口沿，即点Q与点重合时，如图5， ，且， ， ， ． ． 此时； 当容器向右旋转时，， 液体体积不变， ， ； 综上所述，图3中y与x的函数关系式为，相应的的范围是， 图4中y与x的函数关系式为，相应的的范围是． 【点睛】本题考查了几何变换、三视图、直棱柱体积、勾股定理、以及求函数解析式，解题的关键在于掌握直棱柱体积求法，利用液体体积不变，建立y与x的联系，从而得到函数关系式． 39．（2024连云港市模拟）如图1是甲、乙两个圆柱形水槽的横截面示意图，乙槽中有一圆柱形铁块立放其中（圆柱形铁块的下底面完全落在水槽底面上），现将甲槽中的水匀速注入乙槽，甲、乙两个水槽中水的深度（厘米）与注水时间（分钟）之间的关系如图2所示，根据图象提供的信息，解答下列问题： (1)图2中折线表示 槽中水的深度与注水时间之间的关系，线段表示 槽中水的深度与注水时间之间的关系；（以上两空选填“甲”或“乙”） (2)点的纵坐标表示的实际意义是 ； (3)注水多长时间时，甲、乙两个水槽中的水的深度相同？ (4)若乙槽底面积为36平方厘米（壁厚不计），求乙槽中铁块的体积． 【答案】(1)乙，甲； (2)乙槽中铁块的高度为14厘米； (3)注水2分钟； (4)84立方厘米． 【分析】本题考查的是用一次函数解决实际问题．解题时注意应用一次函数的性质，理解图象的实际意义． （1）根据题目中甲槽向乙槽注水可以得到折线是乙槽中水的深度与注水时间之间的关系，相应的线段表示表示的意义可求； （2）点B表示的实际意义是乙槽内液面恰好与圆柱形铁块顶端相平； （3）分别求出两个水槽中y与x的函数关系式，令y相等即可得到水位相等的时间； （4）用水槽的体积减去水槽中水的体积即可得到铁块的体积． 【详解】（1）图2中折线表示乙槽中水的深度与注水时间之间的关系，线段表示甲槽中水的深度与注水时间之间的关系． 故答案为：乙，甲； （2）由图象可知，水面上升到与铁块上面重合后，水面上升的速度发生变化，故到点B的纵坐标表示的实际意义是乙槽中铁块的高度为14厘米． 故答案为：乙槽中铁块的高度为14厘米； （3）设线段、的解析式分别为： ， ， ∵经过点和，DE经过和 ，解得， ，解得， ∴解析式为，解析式为， 令， 解得， ∴注水2分钟时，甲、乙两个水槽中水的深度相同； （4）若乙槽中没有铁块，则乙槽水位上升高度为厘米， ∴乙槽中铁块体积为立方厘米． 40．（2021·浙江绍兴·一模）将一块的长方体铁块（图1）平放在一个长方体水槽底部（图2），现向水槽内匀速注水，直至注满水槽为止，因铁块在水槽内有3种不同的放置方式，所以水槽内的水深h与注水时间t的函数关系用图象来反映，其全过程有三种不同的图象（图3，图4，图5）（注：长度单位：厘米；时间单位：秒） （1）判断t1与t2的大小关系：t1_________________t2； （2）水槽深度为_________________厘米；a=_________________厘米，b=_________________厘米； （3）求铁块的体积． 【答案】（1）=；（2）10，6，9；（3）810 【分析】（1）根据注水的速度相同且在槽内，得到注水总量相同，得到时间相等； （2）分析图3与图4，当注水21s以后，水深6cm，当注水45s以后，水深9cm，当注水62s以后，水深10cm，由a×b×c(a<b<c)，得出a=6，b=9，c≥10； （3）根据注入水的体积与水槽的容积以及长方形的体积之间的关系，得到等量关系，算出结果． 【详解】解：（1）∵注水的速度相同且在槽内， ∴注水总量相同， ∴， （2）从三个图形来看，h的最大值为10，所以水槽的深度为10cm， 由图3看，当注水21s以后，水深6cm，此时水面与铁块的上表面在同一平面内或者水面刚好淹至铁块的上表面，所以a、b、c中有一个为6cm， 由图4看，当注水45s以后，水深9cm，此时水面与铁块的上表面在同一平面内或者水面刚好淹至铁块的上表面，所以a、b、c中有一个为b=9cm， 由图5看，当注水62s以后，水深10cm，水面未淹铁块，所以a、b、c中有一个不小于10cm， 又因为，所以a=6，b=9，c≥10， （3）设槽底面积为S，由图3可知， 令注完时间为t， ∴，， 由图3，当t=21s时，， 由图4，当t=45s时，， ∴， ， 解得：t=53s，c=15cm， ∴6×9×15=810． 【点睛】本题主要考查了一次函数的应用，关键在于仔细观察图形，明确注入水的体积与水槽的体积以及长方体的体积之间的关系，然后根据注入水的速度，利用图3、图4列出方程求出水槽的底面积与c的关系式． ►题型10 几何问题 41．（2024·山东济南·模拟预测）如图， 四边形四个顶点的坐标分别是，，，，在该平面内找一点 P，使它到四个顶点的距离之和最小， 则P点坐标为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了线段最短，一次函数的实际应用．连接、，交于点P，由两点之间线段最短，可得出的最小值就是线段的长，的最小值就是线段的长，到四个顶点的距离之最小的点就是点P，分别求出和的解析式，并求出其交点坐标即可得出答案． 【详解】解：连接、，交于点P，如图所示， ∵两点之间线段最短， ∴的最小值就是线段的长，的最小值就是线段的长， ∴到四个顶点的距离之和最小的点就是点P， 设所在直线的解析式为， ∵点在直线上， ∴， 解得： ∴所在直线的解析式为 设所在直线的解析式为 点，在直线上， ∴ 解得： ∴所在直线的解析式为 联立两直线 解得：， ∴点P的坐标为：． 故答案为：． 42．（2024·山东德州·一模）在平面直角坐标系中，，点是轴上的动点．当取得最小值时， ． 【答案】 【分析】本题考查待定系数法，轴对称-最短路线问题，掌握待定系数法，将军饮马模型是解题的关键． 确定点关于轴的对称点的坐标，利用待定系数法求出直线的解析式，利用解析式即可求出当取得最小值时的值． 【详解】解：取关于轴的对称点，连接交轴于点，如图， 当取得最小值时， 设直线的解析式为：，将代入， 得， 解得， ∴直线的解析式为：， 当时，， 解得， 故答案为：． 43．（2024·广西河池·二模）如图，直线与x轴交于点A，与y轴交于点B，将直线绕点B顺时针旋转与x轴交于点C，则直线的解析式为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了一次函数与几何综合，旋转的性质，全等三角形的性质与判定，等腰直角三角形的性质与判定，先求出A、B的坐标，得到；过点A作交于D，过点D作轴于E，通过证明，求出，进而利用待定系数法求出对应的解析式即可． 【详解】解：在中，当时，，当时，， ∴， ∴， 如图所示，过点A作交于D，过点D作轴于E， 由旋转的性质可得， ∴是等腰直角三角形， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 设直线的解析式为， ∴， ∴， ∴直线的解析式为， 故答案为：． 44．（2023·江苏泰州·二模）如图，在平面直角坐标系中，的顶点、分别是直线与坐标轴的交点，点，点是边上的一点，，垂足为，点在边上，且、两点关于轴上某点成中心对称，连接、．线段长度的最小值为 ．    【答案】 【分析】过点F，D分别作垂直于y轴，垂足分别为G，H，证明，由全等三角形的性质得出，可求出，根据勾股定理得出，由二次函数的性质可得出答案； 【详解】过点F，D分别作垂直于y轴，垂足分别为G，H，    则， 记交y轴于点K， ∵D点与F点关于y轴上的K点成中心对称， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵直线的解析式为， ∴时，， ∴， 又∵， 设直线的解析式为 ∴， 解得=， ∴直线的解析式为， 过点F作轴于点R， ∵D点的横坐标为m, ∴， ∴， ∵， ∴， 令，得， ∴． ∴当时，l的最小值为8， ∴的最小值为． 【点睛】待定系数法，全等三角形的判定与性质，坐标与图形的性质，二次函数的性质，勾股定理，中心对称的性质，直角三角形的性质等知识． 45．（2023·江苏盐城·三模）如图，菱形的顶点、在轴上，，点在边上且横坐标为8，点为边上一动点，轴上有一点．当点到所在直线的距离取得最大值时，点的坐标为 ．    【答案】 【分析】依据直线过定点，则定点到直线的最大距离就是长，利用直线的解析式求出直线的解析式，则点坐标可求出来． 【详解】解：如图，， ， ，， 点在边上且横坐标为8， ，，， 直线过定点， 时，点到所在直线的距离取得最大值． ，， 设解析式为，代入点坐标得， ，即． 此刻直线的值为：， 设直线解析式为：，代入点坐标得：， ， 直线的解析式为：， 令，则，解得． 此刻点的坐标为：． 故答案为：．    【点睛】本题考查了坐标与图形性质以及菱形的性质，本题的关键就是能看到点到直线的最大距离就是到定点的长． ►题型11 新考法：新情景问题 46．（2024·内蒙古·中考真题）2024年春晚吉祥物“龙辰辰”，以十二生肖龙的专属汉字“辰”为名．某厂家生产大小两种型号的“龙辰辰”，大号“龙辰辰”单价比小号“龙辰辰”单价贵15元，且用2400元购进小号“龙辰辰”的数量是用2200元购进大号“龙辰辰”数量的1.5倍，则大号“龙辰辰”的单价为 元．某网店在该厂家购进了两种型号的“龙辰辰”共60个，且大号“龙辰辰”的个数不超过小号“龙辰辰”个数的一半，小号“龙辰辰”售价为60元，大号“龙辰辰”的售价比小号“龙辰辰”的售价多30%．若两种型号的“龙辰辰”全部售出，则该网店所获最大利润为 元． 【答案】 55 1260 【分析】本题考查了分式方程的应用、一元一次不等式组的应用、一次函数的应用，熟练掌握一次函数的性质是解题关键．设大号“龙辰辰”的单价为元，则小号“龙辰辰”的单价为元，根据题意建立分式方程，解方程即可得；设购进小号“龙辰辰”的数量为个，则购进大号“龙辰辰”的数量为个，先求出的取值范围，再设该网店所获利润为元，建立关于的函数关系式，利用一次函数的性质求解即可得． 【详解】解：设大号“龙辰辰”的单价为元，则小号“龙辰辰”的单价为元， 由题意得：， 解得， 经检验，是所列分式方程的解， 所以大号“龙辰辰”的单价为55元，小号“龙辰辰”的单价为40元． 设购进小号“龙辰辰”的数量为个，则购进大号“龙辰辰”的数量为个， 由题意得：， 解得， 设该网店所获利润为元， 则， 由一次函数的性质可知，在内，随的增大而减小， 则当时，取得最大值，最大值为， 即该网店所获最大利润为1260元， 故答案为：55；1260． 47．（2024·山东日照·中考真题）【问题背景】2024年4月23日是第18个“世界读书日”，为给师生提供更加良好的阅读环境，学校决定扩大图书馆面积，增加藏书数量，现需购进20个书架用于摆放书籍． 【素材呈现】 素材一：有两种书架可供选择，A种书架的单价比B种书架单价高； 素材二：用18000元购买A种书架的数量比用9000元购买B种书架的数量多6个； 素材三：A种书架数量不少于B种书架数量的． 【问题解决】 (1)问题一：求出两种书架的单价； (2)问题二：设购买a个A种书架，购买总费用为w元，求w与a的函数关系式，并求出费用最少时的购买方案； (3)问题三：实际购买时，商家调整了书架价格，A种书架每个降价m元，B种书架每个涨价元，按问题二的购买方案需花费21120元，求m的值． 【答案】(1)1200元；1000元 (2)；购买A种书架8个，B种书架12个 (3)120 【分析】本题考查运用分式方程，一次函数，一元一次方程解决实际问题． （1）设B种书架的单价为x元，则A种书架的单价为元，用18000元购买A种书架个，用9000元购买B种书架个，根据素材二即可列出方程，求解并检验即可解答； （2）根据总费用＝A种书架的总费用＋B种书架的总费用即可列出函数，根据资料三求出自变量a的取值范围，再根据一次函数的增减性即可求出总费用的最小值； （3）根据总费用＝A种书架的总费用＋B种书架的总费用列出一元一次方程，求解即可解答． 【详解】（1）解：设B种书架的单价为x元，则A种书架的单价为元． 由题意得， 解得， 经检验，是分式方程的解，且符合题意， ． 答：两种书架的单价分别为1200元，1000元． （2）解：购买a个A种书架时，购买总费用， 即， 由题意得，a应满足：，解得． ， ∴w随着a的增大而增大， 当时，w的值最小，最小值为， 费用最少时购买A种书架8个，B种书架12个． （3）解：由题意得 ， 解得． 48．（2024·黑龙江大庆·中考真题）“尔滨”火了，带动了黑龙江省的经济发展，农副产品也随之畅销全国．某村民在网上直播推销某种农副产品，在试销售的天中，第天且为整数)的售价为(元千克)．当时，；当时，．销量(千克)与的函数关系式为，已知该产品第天的售价为元千克，第天的售价为元千克，设第天的销售额为(元)． (1) ，_____； (2)写出第天的销售额与之间的函数关系式； (3)求在试销售的天中，共有多少天销售额超过元？ 【答案】(1)， (2) (3)在试销售的天中，共有天销售额超过元 【分析】本题考查了一次函数与二次函数的综合应用； （1）待定系数法求解析式，即可求解； （2）根据销售额等于销量乘以售价，分段列出函数关系式，即可求解； （3）根据题意，根据，列出方程，解方程，即可求解． 【详解】（1）解：依题意，将，代入， ∴ 解得： ∴ 故答案为：，． （2）解：依题意， 当时， 当时， ∴ （3）解：依题意，当时， 当时， 解得： 为正整数， ∴第天至第天，销售额超过元 （天） 答：在试销售的天中，共有天销售额超过元 49．（2024·四川南充·中考真题）2024年“五一”假期期间，阆中古城景区某特产店销售A，B两类特产．A类特产进价50元/件，B类特产进价60元/件．已知购买1件A类特产和1件B类特产需132元，购买3件A类特产和5件B类特产需540元． (1)求A类特产和B类特产每件的售价各是多少元？ (2)A类特产供货充足，按原价销售每天可售出60件．市场调查反映，若每降价1元，每天可多售出10件（每件售价不低于进价）．设每件A类特产降价x元，每天的销售量为y件，求y与x的函数关系式，并写出自变量x的取值范围． (3)在（2）的条件下，由于B类特产供货紧张，每天只能购进100件且能按原价售完．设该店每天销售这两类特产的总利润为w元，求w与x的函数关系式，并求出每件A类特产降价多少元时总利润w最大，最大利润是多少元？（利润＝售价－进价） 【答案】(1)A类特产的售价为60元/件，B类特产的售价为72元/件 (2)（） (3)A类特产每件售价降价2元时，每天销售利润最犬，最大利润为1840元 【分析】本题主要考查一元一次方程的应用、函数关系式和二次函数的性质， 根据题意设每件A类特产的售价为x元，则每件B类特产的售价为元，进一步得到关于x的一元一次方程求解即可； 根据降价1元，每天可多售出10件列出函数关系式，结合进价与售价，且每件售价不低于进价得到x得取值范围； 结合（2）中A类特产降价x元与每天的销售量y件，得到A类特产的利润，同时求得B类特产的利润，整理得到关于x的二次函数，利用二次函数的性质求解即可． 【详解】（1）解：设每件A类特产的售价为x元，则每件B类特产的售价为元． 根据题意得． 解得． 则每件B类特产的售价（元）． 答：A类特产的售价为60元/件，B类特产的售价为72元/件． （2）由题意得 ∵A类特产进价50元/件，售价为60元/件，且每件售价不低于进价 ∴． 答：（）． （3） ． ∴当时，w有最大值1840． 答：A类特产每件售价降价2元时，每天销售利润最大，最大利润为1840元． 50．（2024·山西·模拟预测）2024年4月底，神舟十七号载人飞船返回舱顺利返回东风着陆场，神舟十七号任务取得圆满成功．某飞箭航模店看准商机，购进了“神舟”和“天宫”模型．已知每个“神舟”模型的进价比“天宫”模型多5元，同样花费200元，购进“天宫”模型的数量比“神舟”模型多2个．    (1)“神舟”和“天宫”模型的进价各是多少元？ (2)该飞箭航模店计划购进两种模型共100个，且每个“神舟”模型的售价为35元，每个“天宫”模型的售价为28元．设购进“神舟”模型a个，销售这批模型的利润为w元．若购进“神舟”模型的数量不超过“天宫”模型数量的，则购进“神舟”模型多少个时，销售这批模型可以获得最大利润？最大利润是多少？ 【答案】(1)天宫模型的进价为每个20元，神舟模型的进价为每个25元 (2)购进神舟模型20个时，销售这批模型可以获得最大利润，最大利润为840元 【分析】本题主要考查了一次函数的应用，一元一次不等式的应用，分式方程的应用， 对于（1），先设设“天宫”模型进价为每个x元，可表示“神舟”模型进价，再根据200元购进的模型的个数之差为2列出分式方程，求出解并检验即可； 对于（2），先设购进“神舟”模型a个，表示购进“天宫”模型的个数，用含有a的关系式表示总利润w，然后根据购进“神舟”模型的数量不超过“天宫”模型数量的得出不等式，求出a的取值范围，最后根据一次函数的性质得出最大值． 【详解】（1）解：设“天宫”模型进价为每个x元，则“神舟”模型进价为每个元， 依题意得，        解得．              经检验，是原分式方程的解.．      答：“天宫”模型的进价为每个20元，“神舟”模型的进价为每个25元． （2）∵购进“神舟”模型a个，则购进“天宫”模型个， ．      ∵购进“神舟”模型的数量不超过“天宫”模型数量的． ，               解得：．            ，． ∴当时，（元），      即购进“神舟”模型20个时，销售这批模型可以获得最大利润，最大利润为840元． ►题型12 新考法：与现实有关的热考问题 51．（2024·陕西·中考真题）我国新能源汽车快速健康发展，续航里程不断提升，王师傅驾驶一辆纯电动汽车从A市前往B市，他驾车从A市一高速公路入口驶入时，该车的剩余电量是，行驶了后，从B市一高速公路出口驶出，已知该车在高速公路上行驶的过程中，剩余电量与行驶路程之间的关系如图所示． (1)求y与x之间的关系式； (2)已知这辆车的“满电量”为，求王师傅驾车从B市这一高速公路出口驶出时，该车的剩余电量占“满电量”的百分之多少． 【答案】(1)y与x之间的关系式为； (2)该车的剩余电量占“满电量”的． 【分析】本题考查了一次函数的应用，正确理解题意、求出函数关系式是解题的关键． （1）利用待定系数法求解即可； （2）先求得当时，y的值，再计算即可求解． 【详解】（1）解：设y与x之间的关系式为， 将，代入得， 解得， ∴y与x之间的关系式为； （2）解：当时，， ， 答：该车的剩余电量占“满电量”的． 52．（2024·黑龙江齐齐哈尔·中考真题）领航无人机表演团队进行无人机表演训练，甲无人机以a米/秒的速度从地面起飞，乙无人机从距离地面20米高的楼顶起飞，甲、乙两架无人机同时匀速上升，6秒时甲无人机到达训练计划指定的高度停止上升开始表演，完成表演动作后，按原速继续飞行上升，当甲、乙无人机按照训练计划准时到达距离地面的高度为96米时，进行了时长为t秒的联合表演，表演完成后以相同的速度大小同时返回地面．甲、乙两架无人机所在的位置距离地面的高度y(米)与无人机飞行的时间x(秒)之间的函数关系如图所示．请结合图象解答下列问题： (1) ______米/秒， ______秒； (2)求线段所在直线的函数解析式； (3)两架无人机表演训练到多少秒时，它们距离地面的高度差为12米？(直接写出答案即可) 【答案】(1)8，20 (2)； (3)2秒或10秒或16秒． 【分析】本题主要考查求一次函数的应用，熟练掌握待定系数法求一次函数的解析式是解题的关键． （1）根据图形计算即可求解； （2）先求得甲无人机单独表演所用时间为秒，得到，利用待定系数法即可求解； （3）利用待定系数法分别求得线段、线段、线段所在直线的函数解析式，再分三种情况讨论，列式计算即可求解 【详解】（1）解：由题意得甲无人机的速度为米/秒， ， 故答案为：8，20； （2）解：由图象知，， ∵甲无人机的速度为8米/秒， 甲无人机匀速从0米到96米所用时间为秒， 甲无人机单独表演所用时间为秒， ∴秒， ∴， 设线段所在直线的函数解析式为， 将，代入得， 解得， ∴线段所在直线的函数解析式为； （3）解：由题意，， 同理线段所在直线的函数解析式为， 线段所在直线的函数解析式为， 线段所在直线的函数解析式为， 当时，由题意得， 解得或（舍去）， 当时，由题意得， 解得或（舍去）， 当时，由题意得， 解得或（舍去）， 综上，两架无人机表演训练到2秒或10秒或16秒时，它们距离地面的高度差为12米． 53．（2024·黑龙江绥化·中考真题）为了响应国家提倡的“节能环保”号召，某共享电动车公司准备投入资金购买、两种电动车．若购买种电动车辆、种电动车辆，需投入资金万元；若购买种电动车辆、种电动车辆，需投入资金万元．已知这两种电动车的单价不变． (1)求、两种电动车的单价分别是多少元？ (2)为适应共享电动车出行市场需求，该公司计划购买、两种电动车辆，其中种电动车的数量不多于种电动车数量的一半．当购买种电动车多少辆时，所需的总费用最少，最少费用是多少元？ (3)该公司将购买的、两种电动车投放到出行市场后，发现消费者支付费用元与骑行时间之间的对应关系如图．其中种电动车支付费用对应的函数为；种电动车支付费用是之内，起步价元，对应的函数为．请根据函数图象信息解决下列问题．      ①小刘每天早上需要骑行种电动车或种电动车去公司上班．已知两种电动车的平均行驶速度均为3（每次骑行均按平均速度行驶，其它因素忽略不计），小刘家到公司的距离为，那么小刘选择______种电动车更省钱（填写或）． ②直接写出两种电动车支付费用相差元时，的值______． 【答案】(1)、两种电动车的单价分别为元、元 (2)当购买种电动车辆时所需的总费用最少，最少费用为元 (3)①  ②或 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，一元一次不等式的应用，一次函数的应用； （1）设、两种电动车的单价分别为元、元，根据题意列二元一次方程组，解方程组，即可求解； （2）设购买种电动车辆，则购买种电动车辆，根据题意得出的范围，进而根据一次函数的性质，即可求解； （3）①根据函数图象，即可求解； ②分别求得的函数解析式，根据，解方程，即可求解． 【详解】（1）解：设、两种电动车的单价分别为元、元 由题意得， 解得 答：、两种电动车的单价分别为元、元 （2）设购买种电动车辆，则购买种电动车辆， 由题意得 解得： 设所需购买总费用为元，则 ，随着 的增大而减小， 取正整数 时，最少 元 答：当购买种电动车辆时所需的总费用最少，最少费用为元 （3）解：①∵两种电动车的平均行驶速度均为3，小刘家到公司的距离为， ∴所用时间为分钟， 根据函数图象可得当时，更省钱， ∴小刘选择种电动车更省钱， 故答案为：． ②设，将代入得， 解得： ∴； 当时，， 当时，设，将，代入得， 解得： ∴ 依题意，当时， 即 解得： 当时， 即 解得：（舍去）或 故答案为：或． 54．（2024·河南·中考真题）为响应“全民植树增绿，共建美丽中国”的号召，学校组织学生到郊外参加义务植树活动，并准备了A，B两种食品作为午餐．这两种食品每包质量均为，营养成分表如下．    (1)若要从这两种食品中摄入热量和蛋白质，应选用A，B两种食品各多少包？ (2)运动量大的人或青少年对蛋白质的摄入量应更多．若每份午餐选用这两种食品共7包，要使每份午餐中的蛋白质含量不低于，且热量最低，应如何选用这两种食品？ 【答案】(1)选用A种食品4包，B种食品2包 (2)选用A种食品3包，B种食品4包 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，一元一次不等式的应用，解题的关键是： （1）设选用A种食品x包，B种食品y包，根据“从这两种食品中摄入热量和蛋白质”列方程组求解即可； （2）设选用A种食品包，则选用B种食品包，根据“每份午餐中的蛋白质含量不低于”列不等式求解即可． 【详解】（1）解：设选用A种食品x包，B种食品y包， 根据题意，得 解方程组，得 答：选用A种食品4包，B种食品2包． （2）解：设选用A种食品包，则选用B种食品包， 根据题意，得． ∴． 设总热量为，则． ∵， ∴w随a的增大而减小． ∴当时，w最小． ∴． 答：选用A种食品3包，B种食品4包． 55．（2024·陕西西安·模拟预测）年是习近平总书记提出总体国家安全观周年．为了增强市民国家安全意识，某校组织学生到附近的社区开展了以“国家安全·全民共守”为主题的国家安全教育宣传活动，并分一等奖、二等奖和三等奖三种奖项来激励此次活动中表现优异的同学，已知一等奖获得者共人，一等奖奖品的成本为元；二等奖获得者共人，二等奖奖品的成本为元人；三等奖获得者的人数每增加1人；这三种奖项的总成本就增加元．设三等奖获得者的人数为人，这三种奖项的总成本为元． (1)求与之间的函数关系式； (2)若三等奖的获得者不少于人，求这三种奖项的总成本最少为多少元？ (3)若这三种奖项的总成本不超过元，则三等奖的获得者最多为多少人？ 【答案】(1)； (2)这三种奖项的总成本最少为元； (3)三等奖的获得者最多为人． 【分析】（）根据题意得数量关系即可求解； （）根据题意转化为一元一次不等式，然后解不等式即可； （）根据题意转化为一元一次不等式，然后解不等式即可； 本题考查了一次函数的应用和一元一次不等式的应用，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】（1）解：设三等奖获得者的人数为人，这三种奖项的总成本为元， 则； （2）由（）得：， ∴， ∵， ∴， 解得：， ∴这三种奖项的总成本最少为元； （3）由（）得：， ∵， ∴， 解得：， ∴三等奖的获得者最多为人． ►题型13 新考法：新考法问题 56．（2024·广东广州·中考真题）一个人的脚印信息往往对应着这个人某些方面的基本特征．某数学兴趣小组收集了大量不同人群的身高和脚长数据，通过对数据的整理和分析，发现身高和脚长之间近似存在一个函数关系，部分数据如下表： 脚长 … … 身高 … … (1)在图1中描出表中数据对应的点； (2)根据表中数据，从和中选择一个函数模型，使它能近似地反映身高和脚长的函数关系，并求出这个函数的解析式（不要求写出的取值范围）； (3)如图2，某场所发现了一个人的脚印，脚长约为，请根据（2）中求出的函数解析式，估计这个人的身高． 【答案】(1)见解析 (2) (3) 【分析】本题考查了函数的实际应用，正确理解题意，选择合适的函数模型是解题关键． （1）根据表格数据即可描点； （2）选择函数近似地反映身高和脚长的函数关系，将点代入即可求解； （3）将代入代入即可求解； 【详解】（1）解：如图所示：    （2）解：由图可知：随着的增大而增大， 因此选择函数近似地反映身高和脚长的函数关系， 将点代入得： ， 解得： ∴ （3）解：将代入得： ∴估计这个人身高 57．（2024·内蒙古包头·中考真题）图是1个碗和4个整齐叠放成一摞的碗的示意图，碗的规格都是相同的．小亮尝试结合学习函数的经验，探究整齐叠放成一摞的这种规格的碗的总高度（单位：）随着碗的数量（单位：个）的变化规律．下表是小亮经过测量得到的与之间的对应数据： 个 1 2 3 4 6 8.4 10.8 13.2 (1)依据小亮测量的数据，写出与之间的函数表达式，并说明理由； (2)若整齐叠放成一摞的这种规格的碗的总高度不超过，求此时碗的数量最多为多少个？ 【答案】(1) (2)10个 【分析】本题考查了一次函数的应用，解题的关键是： （1）求出每只碗增加的高度，然后列出表达式即可解答； （2）根据（1）中y和x的关系式列出不等式求解即可． 【详解】（1）解：由表格可知，每增加一只碗，高度增加， ∴， 检验∶当时，； 当时，； 当时，； 当时，； ∴； （2）解：根据题意，得， 解得， ∴碗的数量最多为10个． 58．（2024·吉林·中考真题）综合与实践 某班同学分三个小组进行“板凳中的数学”的项目式学习研究，第一小组负责调查板凳的历史及结构特点；第二小组负责研究板凳中蕴含的数学知识：第三小组负责汇报和交流，下面是第三小组汇报的部分内容，请你阅读相关信息，并解答“建立模型”中的问题． 【背景调查】 图①中的板凳又叫“四脚八叉凳”，是中国传统家具，其榫卯结构体现了古人含蓄内敛的审美观．榫眼的设计很有讲究，木工一般用铅笔画出凳面的对称轴，以对称轴为基准向两边各取相同的长度，确定榫眼的位置，如图②所示．板凳的结构设计体现了数学的对称美． 【收集数据】 小组收集了一些板凳并进行了测量．设以对称轴为基准向两边各取相同的长度为，凳面的宽度为，记录如下： 以对称轴为基准向两边各取相同的长度 16.5 19.8 23.1 26.4 29.7 凳面的宽度 115.5 132 148.5 165 181.5 【分析数据】 如图③，小组根据表中x，y的数值，在平面直角坐标系中描出了各点． 【建立模型】 请你帮助小组解决下列问题： (1)观察上述各点的分布规律，它们是否在同一条直线上？如果在同一条直线上，求出这条直线所对应的函数解析式；如果不在同一条直线上，说明理由． (2)当凳面宽度为时，以对称轴为基准向两边各取相同的长度是多少？ 【答案】(1)在同一条直线上，函数解析式为： (2) 【分析】本题考查了一次函数的实际应用，待定系数法求函数解析式，已知函数值求自变量，熟练掌握知识点，正确理解题意是解题的关键． （1）用待定系数法求解即可； （2）将代入函数解析式，解方程即可． 【详解】（1）， 解：设函数解析式为：， ∵当，， ∴， 解得：， ∴函数解析式为：， 经检验其余点均在直线上， ∴函数解析式为，这些点在同一条直线上； （2）解：把代入得： ， 解得：， ∴当凳面宽度为时，以对称轴为基准向两边各取相同的长度为． 59．（2024·浙江杭州·二模）概念阐述： 在边长为1的小正方形组成的方格纸中，若多边形的各顶点都在方格纸的格点（横竖格子线的交错点）上，这样的多边形称为格点多边形．记格点多边形内的格点数为a，边界上的格点数为b，格点多边形的面积为S． (1)定量研究： 填表：观察图①~④，当我们规定多边形内的格点数a为4时，统计各多边形边界上的格点数为b和格点多边形的面积为S． 图 ① ② ③ ④ b（个） 6 7 11 S（平方单位） 7.5 8.5 (2)描点：建立平面直角坐标系，将表格中所得数据画在坐标系中，判断S关于b的函数类型，并求出表达式． (3)结论应用： 结合你所得到的结论，探索是否存在面积最小的多边形，满足多边形内的格点数，若存在，请画出图形；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)9；6；6.5 (2)图见解析，（其中b为大于等于3的整数） (3)存在，图见解析 【分析】本题考查一次函数的几何应用，涉及待定系数法求一次函数解析式；几何图形的面积计算−割补法，理解题意，得到S与b符合一次函数是解答的关键． （1）按边界格点数逐一数数，对于多边形，规则图形则用面积公式、不规则图形则采用割补法求之即可； （2）观察表格数据可知，b每增加1，其S增加0.5，通过描点呈现规律，符合一次函数关系式，利用待定系数法代入两点求出其函数解析式并检验即可； （3）根据构造格点多边形的规律，从格点三角形进行尝试，此时按规律则，代入，考虑的组合情况进行尝试画出图形即可． 【详解】（1）解：根据所给网格图中的图形， 对于图①，，当时，； 对于图②， 利用割补法将面积从上至下划分为三角形、长方形和梯形，即当时，； 对于图③， 边界上的格点数为，此时， 故答案为：9；6；6.5； （2）解：所得数据画在平面直角坐标系中，如图所示： 通过描点发现，S与b符合一次函数． 设， 将和代入，，解得， 所以（其中b为大于等于3的整数）； （3）解：存在，如图所示， 理由：根据题意，当，时，格点多边形存在最小面积为． ►题型14 新考法：跨学科问题 60．（2024·陕西咸阳·模拟预测）物理课上，王老师让同学们做这样的实验：在放水的盆中放入质地均匀的木块B，再在其上方放置不同质量的铁块A．已知木块B全程保持漂浮状态，通过测量木块B漏出水面的高度与铁块A的质量，可得它们之间满足一次函数关系，记录数据如下，据此可知当铁块A的质量为时，木块B漏出水面的高度h为（    ） 实验次数 一 二 三 铁块A的质量 25 50 75 高度 45 40 35 A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了一次函数的应用，采用待定系数法求出高度与铁块的质量的关系式是解此题的关键．设，利用待定系数法求出，当时，求出的值即可得到答案． 【详解】解：设， 将，代入解析式得：， 解得：， 高度与铁块的质量的关系式为：， 当时，， 当铁块质量为时，木块浮在水面上的高度为， 故选：B． 61．（2023·广西·中考真题）【综合与实践】 有言道：“杆秤一头称起人间生计，一头称起天地良心”．某兴趣小组将利用物理学中杠杆原理制作简易杆秤.小组先设计方案，然后动手制作，再结合实际进行调试，请完成下列方案设计中的任务． 【知识背景】如图，称重物时，移动秤砣可使杆秤平衡，根据杠杆原理推导得：.其中秤盘质量克，重物质量m克，秤砣质量M克，秤纽与秤盘的水平距离为l厘米，秤纽与零刻线的水平距离为a厘米，秤砣与零刻线的水平距离为y厘米．    【方案设计】 目标：设计简易杆秤．设定，，最大可称重物质量为1000克，零刻线与末刻线的距离定为50厘米． 任务一：确定l和a的值． (1)当秤盘不放重物，秤砣在零刻线时，杆秤平衡，请列出关于l，a的方程； (2)当秤盘放入质量为1000克的重物，秤砣从零刻线移至末刻线时，杆秤平衡，请列出关于l，a的方程； (3)根据（1）和（2）所列方程，求出l和a的值． 任务二：确定刻线的位置． (4)根据任务一，求y关于m的函数解析式； (5)从零刻线开始，每隔100克在秤杆上找到对应刻线，请写出相邻刻线间的距离． 【答案】(1) (2) (3) (4) (5)相邻刻线间的距离为5厘米 【分析】（1）根据题意可直接进行求解； （2）根据题意可直接代值求解； （3）由（1）（2）可建立二元一次方程组进行求解； （4）根据（3）可进行求解； （5）分别把，，，，，，，，，，代入求解，然后问题可求解． 【详解】（1）解：由题意得：， ∴， ∴； （2）解：由题意得：， ∴， ∴； （3）解：由（1）（2）可得：， 解得：； （4）解：由任务一可知：， ∴， ∴； （5）解：由（4）可知， ∴当时，则有；当时，则有；当时，则有；当时，则有；当时，则有；当时，则有；当时，则有；当时，则有；当时，则有；当时，则有；当时，则有； ∴相邻刻线间的距离为5厘米． 【点睛】本题主要考查一次函数的应用，解题的关键是理解题意． 62．（2023·江苏南京·中考真题）如图，某校的饮水机有温水、开水两个按钮，温水和开水共用一个出水口．温水的温度为，流速为；开水的温度为，流速为．某学生先接了一会儿温水，又接了一会儿开水，得到一杯温度为的水（不计热损失），求该学生分别接温水和开水的时间． 物理常识 开水和温水混合时会发生热传递，开水放出的热量等于温水吸收的热量，可以转化为开水的体积×开水降低的温度=温水的体积×温水升高的温度． 【答案】该学生接温水的时间为，接开水的时间为 【分析】本题考查一元一次方程的实际应用，理解题意，理清数量关系是解决问题的关键．设该学生接温水的时间为 ，则接温水 ，开水，由物理常识的公式可得方程，解方程即可． 【详解】解：设该学生接温水的时间为 ， 根据题意可得：， 解得， ， ， ， 该学生接温水的时间为，接开水的时间为． 63．（2024·江苏南京·模拟预测）小明同学在物理课上做弹簧测力实验，他将力的大小与弹簧伸长长度整理为如下表格： （）__________；__________． 小刚同学使用不同的弹簧也做了相同实验，他的表格如下： （）求出小刚使用的弹簧力与的函数表达式． （）若小刚的弹簧最长伸长长度为，则他最多可以测多少个的物体？ 【答案】（），；（）；（）个． 【分析】（）由表格数据可得，即得，据此即可求解； （）由表格数据可得是的二次函数，顶点为原点，设，利用待定系数法解答即可求解； （）把代入（）中所得的函数表达式求出的值即可求解； 本题考查了正比例函数和二次函数的应用，根据表示判定出变量之间的函数关系是解题的关键 【详解】解：（）由表格可得，， ∴， ∴，， 故答案为：，； （）由表可知，是的二次函数，顶点为原点，设， 把代入得，， ∴， ∴小刚使用的弹簧力与的函数表达式为； （）把代入得，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴他最多可以测个的物体． 64．（2021·浙江台州·中考真题）电子体重科读数直观又便于携带，为人们带来了方便．某综合实践活动小组设计了简易电子体重秤：制作一个装有踏板（踏板质量忽略不计）的可变电阻R1， R1与踏板上人的质量m之间的函数关系式为R1＝km＋b（其中k，b为常数，0≤m≤120），其图象如图1所示；图2的电路中，电源电压恒为8伏，定值电阻R0的阻值为30欧，接通开关，人站上踏板，电压表显示的读数为U0 ，该读数可以换算为人的质量m， 温馨提示： ①导体两端的电压U，导体的电阻R，通过导体的电流I，满足关系式I＝； ②串联电路中电流处处相等，各电阻两端的电压之和等于总电压． （1）求k，b的值； （2）求R1关于U0的函数解析式； （3）用含U0的代数式表示m； （4）若电压表量程为0~6伏，为保护电压表，请确定该电子体重秤可称的最大质量． 【答案】（1）；（2）；I（3）；（4）该电子体重秤可称的最大质量为115千克． 【分析】（1）根据待定系数法，即可求解； （2）根据“串联电路中电流处处相等，各电阻两端的电压之和等于总电压”，列出等式，进而即可求解； （3）由R1＝m＋240，，即可得到答案； （4）把时，代入，进而即可得到答案． 【详解】解：（1）把（0，240），（120，0）代入R1＝km＋b，得，解得：； （2）∵， ∴； （3）由（1）可知：， ∴R1＝m＋240， 又∵， ∴=m＋240，即：； （4）∵电压表量程为0~6伏， ∴当时， 答：该电子体重秤可称的最大质量为115千克． 【点睛】本题主要考查一次函数与反比例函数的实际应用，熟练掌握待定系数法，是解题的关键． 65．（2023·江苏苏州·中考真题）某动力科学研究院实验基地内装有一段笔直的轨道，长度为的金属滑块在上面做往返滑动．如图，滑块首先沿方向从左向右匀速滑动，滑动速度为，滑动开始前滑块左端与点重合，当滑块右端到达点时，滑块停顿，然后再以小于的速度匀速返回，直到滑块的左端与点重合，滑动停止．设时间为时，滑块左端离点的距离为，右端离点的距离为，记与具有函数关系．已知滑块在从左向右滑动过程中，当和时，与之对应的的两个值互为相反数；滑块从点出发到最后返回点，整个过程总用时（含停顿时间）．请你根据所给条件解决下列问题：    (1)滑块从点到点的滑动过程中，的值________________；（填“由负到正”或“由正到负”） (2)滑块从点到点的滑动过程中，求与的函数表达式； (3)在整个往返过程中，若，求的值． 【答案】(1)由负到正 (2) (3)当或时， 【分析】（1）根据等式，结合题意，即可求解； （2）设轨道的长为，根据已知条件得出，则 ，根据当和时，与之对应的的两个值互为相反数；则时，，得出，继而求得滑块返回的速度为，得出，代入，即可求解； （3）当时，有两种情况，由（2）可得，①当时，②当时，分别令，进而即可求解． 【详解】（1）∵， 当滑块在点时，， ， 当滑块在点时，， ， ∴的值由负到正． 故答案为：由负到正． （2）解：设轨道的长为，当滑块从左向右滑动时， ∵， ∴， ∴ ∴是的一次函数， ∵当和时，与之对应的的两个值互为相反数； ∴当时，， ∴， ∴， ∴滑块从点到点所用的时间为 ， ∵整个过程总用时（含停顿时间）．当滑块右端到达点时，滑块停顿， ∴滑块从点到点的滑动时间为 ， ∴滑块返回的速度为， ∴当时，， ∴， ∴， ∴与的函数表达式为； （3）当时，有两种情况， 由（2）可得， ①当时，， 解得：； ②当时，， 解得：， 综上所述，当或时，． 【点睛】本题考查了一次函数的应用，分析得出，并求得往返过程中的解析式是解题的关键． 66．（2024·山西阳泉·模拟预测）阅读与思考 物理现象中的一次函数 实验结果：浸在液体中的物体会受到向上的浮力，浮力的大小等于它排开的液体所受的重力，即，g是一个常数，近似取值为，表示液体的密度，表示排开液体的体积．当液体的密度不变时，物体在液体中所受浮力F是它浸没在液体中的体积V的函数，且物体浸在液体中的体积越大，浮力就越大． 例如：现有一个长方体物品，当它浸在水中时受到的浮力，水的密度为，若该长方体物品的底面积为，那么该物品浸入水中的深度为多少米？ 解：设该物品浸入水中的深度为． 由题意，得．解得． 该物品浸入水中的深度为． 实验探究：某兴趣小组想测一测一个空食品盒在水中漂浮时的装载质量．他们将一个底面积为的圆柱形平底空食品盒放入装水的桶中，桶中水足够深，食品盒下表面始终与水面平行，如图①所示．该兴趣小组将装载质量与食品盒浸入水中的深度的关系绘制成了图②所示的函数关系图，实验发现当装载质量为0时，食品盒浸入水中的深度为． (1)请结合实验现象，观察图②，解释点A的实际意义：__________； (2)根据以上材料，当装载质量不超过时，装载质量与食品盒浸入水中的深度成一次函数关系，若装载质量为时，食品盒浸入水中的深度是．请你帮助该小组求出这个一次函数的解析式； (3)若这个食品盒的高度是，最大装载质量为，请求出a的值． 【答案】(1)空食品盒未装载物品时，浸入水中的深度为 (2) (3)a的值为 【分析】本题考查的是用一次函数解决实际问题，利用待定系数法求出相关函数关系式是解答本题的关键． （1）根据题意结合图象解答即可； （2）利用待定系数法求解即可； （3）根据（2）的结论计算即可． 【详解】（1）根据题意和图象可知：点A的实际意义是：空食品盒未装载物品时，浸入水中的深度为． （2）设此一次函数的解析式为． 当时，， ， ． ． （3）该食品盒完全浸入水中时，． 由（2）知，， ， 解得． 答：a的值为． ►题型15 新考法：中考预测题 67．（2024·湖南益阳·模拟预测）杆称是一种传统的称重工具，称盘里没有物体时，提起称纽保持平衡后，称砣拉线位于零刻度位置（如图1）；当把物体放到称盘里称重时，提起称纽，向右移动称砣保持平衡，称砣拉线所在的刻度对应物体的重量．设称盘里物体重量为时，平衡后称砣拉线位置距称纽的距离为 （如图2），则下图能反映y与x之间的函数关系的大致图象是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查反比例函数的应用，一次函数的应用．根据题意结合图象判断即可． 【详解】解：设称盘里物体重量为时，平衡后秤砣拉线位置距称纽的距离为（如图， 提起称纽保持平衡后，秤砣拉线位于零刻度位置， 则是的一次函数， 能反映与之间的函数关系的大致图象是B选项， 故选：B． 68．（2024·贵州黔东南·一模）如图①所示，甲、乙两个相同容器中分别装有相同体积的，两种液体，现用相同的电加热器同时加热，忽略热损失，得到如图②所示的液体温度与加热时间之间的对应关系．下列说法正确的是（ ） A．，两种液体的温度均随着加热时间的增加而降低 B．当加热时间为6时，的温度比的温度低 C．当加热时间为0时，，的温度都低于 D．当加热时间为3时，，的温度相等 【答案】C 【分析】本题考查一次函数的应用，观察液体温度与加热时间的关系图逐项判断即可．解题的关键是数形结合思想的应用． 【详解】解：观察图②可得：，两种液体的温度均随着加热时间的增加而增大，故错误，不符合题意； 当加热时间为时，的温度比的温度高，故选项错误，不符合题意； 当加热时间为时，，的温度都低于，故选项正确，符合题意； 当加热时间为时，的温度比的温度高，故选项错误，不符合题意； 故选：C． 69．（2024·江西南昌·模拟预测）剪纸是一种镂空艺术，在视觉上给人以透空的感觉和艺术享受，剪纸内容多，寓意广，生活气息浓厚．某商家在春节前夕购进甲、乙两种剪纸装饰套装共60套进行销售，已知购进一套甲种剪纸比购进一套乙种剪纸多10元，购进2套甲种剪纸和3套乙种剪纸共需220元． (1)求这两种剪纸购进时的单价分别为多少元？ (2)设购进甲种剪纸装饰x套()，购买甲、乙两种剪纸装饰共花费y元，求y与x之间的函数关系式； (3)若甲种剪纸的售价为65元/套，乙种剪纸的售价为50元/套，该商家计划购进这批剪纸装饰所花的总费用不超过2800元，要使这批剪纸装饰全部售完时商家能获得最大利润，请你帮助商家设计购进方案，并求出最大利润． 【答案】(1)甲种剪纸装饰套装单价为元，乙种剪纸装饰套装单价为元 (2) (3)甲种剪纸装饰套，乙种剪纸装饰套时，所获利润最大，最大利润为元 【分析】本题考查一次函数和一元一次方程的应用： （1）设乙种剪纸装饰套装单价为元，则甲种剪纸装饰套装单价为元，根据题意列方程，解方程即可； （2）购进甲种剪纸装饰套乙种剪纸装饰套，总费用元为甲乙种剪纸装饰套装费用的和列出一次函数即可； （3）甲种剪纸装饰套装利润为元，乙种剪纸装饰套装利润为元，则利润为 根据随的增大而增大， 且为非负整数可得当时，取最大值． 【详解】（1）设乙种剪纸装饰套装单价为元，则甲种剪纸装饰套装单价为元，根据题意，得 解得 ， ∴甲种剪纸装饰套装单价为元，乙种剪纸装饰套装单价为元． （2）设购进甲种剪纸装饰套， 则购进乙种剪纸装饰套，购买甲、乙两种剪纸装饰共花费元，根据题意，得 ， 即 ∴与之间的函数关系式为； （3）设甲、乙两种剪纸装饰获得的利润为元，根据题意，得 即 ， ∴随的增大而增大 ∵该商家计划购进这批剪纸装饰所花的总费用不超过元， ，即， 解得， ∵为非负整数 ∴当 时，取最大值，(元)， 此时套， 即商家购进甲种剪纸装饰套，乙种剪纸装饰套时，所获利润最大，最大利润为元． 70．（2024·四川成都·模拟预测）近年来，盲盒备受潮玩商家关注．某潮玩商家推出2024年生肖龙公仔，并将类毛绒玩具和类毛绒挂件放在一起采用盲盒模式销售，一个盲盒内随机装一个类毛绒玩具和一个类毛绒挂件（不同盲盒内所装的玩具与挂件仅颜色不同），已知一个盲盒成本为22元/个．该商家销售该盲盒一段时间后，发现该盲盒的周销售量（个）和盲盒单价（元）满足一次函数关系的图象如图所示． (1)求该盲盒周销售量（个）和盲盒单价（元）的函数表达式； (2)该商家应如何定价才能使盲盒的周销售利润最大？并求出此时的最大利润． 【答案】(1) (2)当销售单价为27元，销售利润最大，最大利润为2000元． 【分析】本题考查了一次函数解析式，二次函数的实际应用，掌握二次函数的图象和性质是解题关键． （1）设y与x之间的函数关系式是，根据坐标，代入求值即可； （2）根据利润=单价利润×销售量，再根据二次函数的性质计算求最大值即可． 【详解】（1）设与之间的函数关系式为， 由题意可得，解得， ∴与之间的函数关系式为． （2）设利润为元，得： ， ∵， ∴抛物线开口向下，当时，销售利润最大，最大利润为元． 答：当销售单价为27元，销售利润最大，最大利润为2000元． 71．（2023·云南·中考真题）蓝天白云下，青山绿水间，支一顶帐篷，邀亲朋好友，听蝉鸣，闻清风，话家常，好不惬意．某景区为响应文化和旅游部《关于推动露营旅游休闲健康有序发展的指导意见》精神，需要购买两种型号的帐篷．若购买种型号帐篷2顶和种型号帐篷4顶，则需5200元；若购买种型号帐篷3顶和种型号帐篷1顶，则需2800元． (1)求每顶种型号帐篷和每顶种型号帐篷的价格； (2)若该景区需要购买两种型号的帐篷共20顶（两种型号的帐篷均需购买），购买种型号帐篷数量不超过购买种型号帐篷数量的，为使购买帐篷的总费用最低，应购买种型号帐篷和种型号帐篷各多少顶？购买帐篷的总费用最低为多少元？ 【答案】(1)每顶种型号帐篷的价格为600元，每顶种型号帐篷的价格为1000元 (2)当种型号帐篷为5顶时，种型号帐篷为15顶时，总费用最低，为18000元． 【分析】（1）根据题意中的等量关系列出二元一次方程组，解出方程组后得到答案； （2）根据购买种型号帐篷数量不超过购买种型号帐篷数量的，列出一元一次不等式，得出种型号帐篷数量范围，再根据一次函数的性质，取种型号帐篷数量的最大值时总费用最少，从而得出答案． 【详解】（1）解：设每顶种型号帐篷的价格为元，每顶种型号帐篷的价格为元． 根据题意列方程组为：， 解得， 答：每顶种型号帐篷的价格为600元，每顶种型号帐篷的价格为1000元． （2）解：设种型号帐篷购买顶，总费用为元，则种型号帐篷为顶， 由题意得， 其中，得， 故当种型号帐篷为5顶时，总费用最低，总费用为， 答：当种型号帐篷为5顶时，种型号帐篷为15顶时，总费用最低，为18000元． 【点睛】本题考查了二元一次方程组应用，一元一次不等式应用及一次函数的应用，找出准确的等量关系及不等关系是解题的关键． 72．（2023·四川泸州·中考真题）端午节是中国传统节日，人们有吃粽子的习俗．今年端午节来临之际，某商场预测A粽子能够畅销．根据预测，每千克A粽子节前的进价比节后多2元，节前用240元购进A粽子的数量比节后用相同金额购进的数量少4千克．根据以上信息，解答下列问题： (1)该商场节后每千克A粽子的进价是多少元？ (2)如果该商场在节前和节后共购进A粽子400千克，且总费用不超过4600元，并按照节前每千克20元，节后每千克16元全部售出，那么该商场节前购进多少千克A粽子获得利润最大？最大利润是多少？ 【答案】(1)节后每千克A粽子的进价为10元 (2)节前购进300千克A粽子获得利润最大，最大利润为3000元 【分析】（1）设节后每千克A粽子的进价为x元，则每千克A粽子节前的进价为元，根据节前用240元购进A粽子的数量比节后用相同金额购进的数量少4千克，列出方程，解方程即可； （2）设该商场节前购进m千克A粽子，则节后购进千克A粽子，获得的利润为w元，根据利润售价进价列出关系式，根据总费用不超过4600元，求出m的范围，根据一次函数函数增减性，求出最大利润即可． 【详解】（1）解：设节后每千克A粽子的进价为x元，则每千克A粽子节前的进价为元，根据题意得： ， 解得：，， 经检验，都是原方程的解，但不符合实际舍去， 答：节后每千克A粽子的进价为10元． （2）解：设该商场节前购进m千克A粽子，则节后购进千克A粽子，获得的利润为w元，根据题意得： ， ∵， ∴， ∵， ∴w随m的增大而增大， ∴当时，w取最大值，且最大值为：， 答：节前购进300千克A粽子获得利润最大，最大利润为3000元． 【点睛】本题主要考查了分式方程和一次函数的应用，解题的关键是根据等量关系列出方程和关系式． 73．（2022·四川德阳·中考真题）习近平总书记对实施乡村振兴战略作出重要指示强调：实施乡村振兴战略，是党的十九大作出的重大决策部署，是新时代做好“三农”工作的总抓手．为了发展特色产业，红旗村花费4000元集中采购了种树苗500株，种树苗400株，已知种树苗单价是种树苗单价的1.25倍． (1)求、两种树苗的单价分别是多少元？ (2)红旗村决定再购买同样的树苗100株用于补充栽种，其中种树苗不多于25株，在单价不变，总费用不超过480元的情况下，共有几种购买方案？哪种方案费用最低？最低费用是多少元？ 【答案】(1)种树苗的单价是4元，则B种树苗的单价是5元 (2)有6种购买方案，购买种树苗，25棵，购买B种树苗75棵费用最低，最低费用是475元． 【分析】（1）设种树苗的单价是x元，则B种树苗的单价是1.25x元，根据“花费4000元集中采购了种树苗500株，种树苗400株，”列出方程，即可求解； （2）设购买种树苗a棵，则购买B种树苗（100-a）棵，其中a为正整数，根据题意，列出不等式组，可得，从而得到有6种购买方案，然后设总费用为w元，根据题意列出函数关系式，即可求解． 【详解】（1）解：设种树苗的单价是x元，则B种树苗的单价是1.25x元，根据题意得： ， 解得：， ∴1.25x=5， 答：种树苗的单价是4元，则B种树苗的单价是5元； （2）解：设购买种树苗a棵，则购买B种树苗（100-a）棵，其中a为正整数，根据题意得： ， 解得：， ∵a为正整数， ∴a取20，21，22，23，24，25， ∴有6种购买方案， 设总费用为w元， ∴， ∵-1＜0， ∴w随a的增大而减小， ∴当a=25时，w最小，最小值为475， 此时100-a=75， 答：有6种购买方案，购买种树苗，25棵，购买B种树苗75棵费用最低，最低费用是475元． 【点睛】本题主要考查了一元一次方程的应用，一元一次不等式组的应用，一次函数的应用，明确题意，准确得到数量关系是解题的关键． 74．（2023·山东日照·中考真题）要制作200个A，B两种规格的顶部无盖木盒，A种规格是长、宽、高都为的正方体无盖木盒，B种规格是长、宽、高各为，，的长方体无盖木盒，如图1．现有200张规格为的木板材，对该种木板材有甲、乙两种切割方式，如图2．切割、拼接等板材损耗忽略不计．    (1)设制作A种木盒x个，则制作B种木盒__________个；若使用甲种方式切割的木板材y张，则使用乙种方式切割的木板材__________张； (2)该200张木板材恰好能做成200个A和B两种规格的无盖木盒，请分别求出A，B木盒的个数和使用甲，乙两种方式切割的木板材张数； (3)包括材质等成本在内，用甲种切割方式的木板材每张成本5元，用乙种切割方式的木板材每张成本8元．根据市场调研，A种木盒的销售单价定为a元，B种木盒的销售单价定为元，两种木盒的销售单价均不能低于7元，不超过18元．在（2）的条件下，两种木盒的销售单价分别定为多少元时，这批木盒的销售利润最大，并求出最大利润． 【答案】(1)， (2)制作A种木盒100个，B种木盒100个；使用甲种方式切割的木板150张，使用乙种方式切割的木板50张 (3)A种木盒的销售单价定为18元，B种木盒的销售单价定为11元时，这批木盒的销售利润最大，最大利润为1750元 【分析】（1）根据题意即可求解； （2）根据题意可得，制作一个A种木盒需要长、宽均为的木板5个，制作一个B种木盒需要长、宽均为的木板1个，长为10cm、宽为的木板4个；甲种方式可切割长、宽均为的木板4个，乙种方式可切割长为10cm、宽为的木板8个；列关系式求解即可； （3）先根据（2）中数据求得总成本金额，根据利润=售价-成本列式，根据一次函数的性质进行求解即可． 【详解】（1）解：∵要制作200个A，B两种规格的顶部无盖木盒，制作A种木盒x个， 故制作B种木盒个； ∵有200张规格为的木板材，使用甲种方式切割的木板材y张， 故使用乙种方式切割的木板材张； 故答案为：，． （2）解：使用甲种方式切割的木板材y张，则可切割出个长、宽均为的木板， 使用乙种方式切割的木板材张，则可切割出个长为、宽为的木板； 设制作A种木盒x个，则需要长、宽均为的木板个， 制作B种木盒个，则需要长、宽均为的木板个，需要长为、宽为的木板个； 故 解得：， 故制作A种木盒100个，制作B种木盒100个， 使用甲种方式切割的木板150张，使用乙种方式切割的木板材50张， （3）解：∵用甲种切割方式的木板材每张成本5元，用乙种切割方式的木板材每张成本8元，且使用甲种方式切割的木板150张，使用乙种方式切割的木板材50张， 故总成本为（元）； ∵两种木盒的销售单价均不能低于7元，不超过18元， 即， 解得：， 故的取值范围为； 设利润为，则， 整理得：， ∵，故随的增大而增大， 故当时，有最大值，最大值为， 则此时B种木盒的销售单价定为（元）， 即A种木盒的销售单价定为18元，B种木盒的销售单价定为11元时，这批木盒的销售利润最大，最大利润为1750元． 【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用，一次函数的应用，一次函数的性质，一元一次不等式组的应用，根据题意找出等量关系进行列式是解题的关键． $$