2024-2025学年 人教版九年级数学上册期末复习易错单选题专项练习

初中数学九年级上册期末复习易错单选题专项练习 附答案及解析 1．学校组织学生去绍兴进行研学实践活动，小王同学发现在宾馆房间的洗手盘台面上有一瓶洗手液（如图①）．于是好奇的小王同学进行了实地测量研究．当小王用一定的力按住顶部下压如图②位置时，洗手液从喷口B流出，路线近似呈抛物线状，且喷口B为该抛物线的顶点．洗手液瓶子的截面图下面部分是矩形．小王同学测得∶洗手液瓶子的底面直径，喷嘴位置点距台面的距离为，且三点共线．小王在距离台面处接洗手液时，手心到直线的水平距离为，若小王不去接，则洗手液落在台面的位置距的水平面是（        ） A． B． C． D． 2．已知二次函数的图像如图，有下列5个结论： ①；②；③；④；⑤（的实数），其中正确的结论个数有（    ）    A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 3．如图，在中，，，点D为中点，直角绕点D旋转，分别与边交于E，F两点，下列结论：①是等腰直角三角形；②；③；④，其中正确结论是（        ） A．①②④ B．②③④ C．①②③ D．①②③④ 4．如图，在中，．点是的中点，连结，过点作，分别交于点，与过点且垂直于的直线相交于点，连结．给出以下四个结论：①；②点是的中点；③；④，其中正确的个数是(   ) A．4 B．3 C．2 D．1 5．如图，二次函数的图象与x轴负半轴相交于A、B两点（点A在点B的左侧），与y轴相交于点C，对称轴为直线，且OB＝OC，则下列结论：①；②；③；④关于x的方程有一个根为；⑤当t为任意实数时，．其中正确的结论个数有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 6．小明利用学习函数获得的经验研究函数的性质，得到如下结论： ①当时，越小，函数值越小；②当时，越大，函数值越小；③当时，越小，函数值越大；④当时，越大，函数值越大．其中正确的是（    ）（只填写序号）． A．②③④ B．①②③④ C．①③④ D．①②④ 7．如图，直线与x轴、y轴分别相交于点A、B，过点B作，使，将绕点O顺时针旋转，每次旋转，则第2021次旋转结束时，点C的对应点落在反比例函数的图象上，则k的值为（    ） A． B．4 C． D．6 8．在平面直角坐标系中，我们把横坐标和纵坐标互为相反数的点称为“方形点”，例如：点，，都是“方形点”． 下列结论：①直线上存在“方形点”； ②抛物线上的2个“方形点”之间的距离是； ③若二次函数的图象上有且只有一个“方形点”，当时，二次函数的最小值为，最大值为，则实数的取值范围是：其中，正确的个数是（    ） A．1 B．2 C．3 D．0 9．如图，抛物线y＝ax2+bx+c交x轴分别于点A（﹣3，0），B（1，0），交y轴正半轴于点D，抛物线顶点为C．下列结论： ①2a﹣b＝0； ②a+b+c＝0； ③当m≠﹣1时，a﹣b＞am2+bm； ④当△ABC是等腰直角三角形时，a＝﹣； ⑤若D（0，3），则抛物线的对称轴直线x＝﹣1上的动点P与B、D两点围成的△PBD周长最小值为3+10． 其中，正确的个数为（　　） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 10．如图，抛物线y＝－x2＋2x＋m＋1（m为常数）交y轴于点A，与x轴的一个交点在2和3之间，顶点为B． ①抛物线y＝－x2＋2x＋m＋1与直线y＝m＋2有且只有一个交点； ②若点M（－2，y1）、点N（，y2）、点P（2，y3）在该函数图象上，则y1<y2<y3； ③将该抛物线向左平移2个单位，再向下平移2个单位，所得抛物线解析式为y＝－（x＋1）2＋m； ④点A关于直线x＝1的对称点为C，点D、E分别在x轴和y轴上，当m＝1时，四边形BCDE周长的最小值为． 其中正确判断有（    ）    A．①②③④ B．②③④ C．①③④ D．①③ 11．如图，矩形ABCD中，E是BC上一点，连接AE，将矩形沿AE翻折，使点B落在CD边F处，连接AF，在AF上取点O，以O为圆心，OF长为半径作⊙O与AD相切于点P．若AB＝6，BC＝3，则下列结论：①F是CD的中点；②⊙O的半径是2；③AE＝CE；④S阴影＝．其中正确的个数为（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 12．如图，四边形AOBC和四边形CDEF都是正方形，边OA在y轴上，边OB在x轴上，点F在边AC上，反比例函数y＝在第一象限的图象经过点E，则正方形AOBC和正方形CDEF的面积之差为（　　） A．12 B．10 C．6 D．4 13．如图，矩形和矩形，矩形绕点旋转，给出下列结论：①；②；③当时；④，其中正确的结论的个数为（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 14．如图，AB是⊙O的直径，直线DE与⊙O相切于点C，过A，B分别作AD⊥DE，BE⊥DE，垂足为点D，E，连接AC，BC，若AD＝，CE＝3，则的长为（　　） A． B．π C．π D．π 15．二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的部分图象如图，图象过点（﹣1，0），对称轴为直线x＝2，下列结论：①abc＞0；②9a+c＞3b；③8a+7b+2c＞0；④当x＞﹣1时，y的值随x值的增大而增大．其中正确的结论有（　　）个． A．1 B．2 C．3 D．4 16．二次函数的图象如图所示，下面结论：①；②；③；④若此抛物线经过点，则一定是方程的一个根．其中正确的个数为（    ）    A． B． C． D． 17．如图，正方形内接于，线段在对角线上运动，若的面积为，，则周长的最小值是（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 18．对称轴为直线的抛物线（a，b，c为常数，且）如图所示，小明同学得出了以下结论：①，②，③，④，⑤（m为任意实数），⑥当时，y随x的增大而减小．其中结论正确的个数为（    ）    A．3 B．4 C．5 D．6 19．如图，点E是的内心，的延长线和的外接圆相交于点D，与相交于点G．则下列结论：①；②若，则；③若点G为的中点，则；④．其中不一定正确的是（　　） A．① B．② C．③ D．④ 20．如图是的中线，E是上一点，且，的延长线交于点F，若，则的值为（   ） A．6 B．5 C．4.5 D．5.5 21．如图，在平面直角坐标系中，的顶点、的坐标分别是，，，则函数的图象经过点，则的值为（　　） A． B．9 C． D． 22．某池塘的截面如图所示，池底呈抛物线形，在图中建立平面直角坐标系，并标出相关数据（单位：）．有下列结论： ①； ②池底所在抛物线的解析式为； ③池塘最深处到水面的距离为； ④若池塘中水面的宽度减少为原来的一半，则最深处到水面的距离变为． 其中结论错误的是（    ） A．① B．② C．③ D．④ 23．二次函数的图象如图所示，下列结论：①；②；③；④当时，y随x的增大而减小，其中正确的有（    ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 24．如图，在中，，，，点是线段上一动点，将绕点按顺时针方向旋转，得到、点是线段的中点，则长度的最小值为（  ） A． B． C． D． 25．如图，在平行四边形ABCD中，AC、BD相交于点O，点E是OA的中点，连接BE并延长交AD于点F，已知S△AEF＝3，则下列结论：①＝；②S△BCE＝27；③S△ABE＝12；④△AEF∽△ACD．其中一定正确的是（） A．①②③④ B．①④ C．②③④ D．①② 26．如图，等腰内接于圆，直径，是圆上一动点，连接，且交于点．下列结论： 平分； ；当时，四边形的周长最大；当，四边形的面积为，正确的有（    ） A． B． C． D． 27．抛物线的顶点为，且经过点，其部分图象如图所示．对于此抛物线有如下四个结论：①；②；③；④方程的两根为．其中所有正确结论个数是（    ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 28．如图，在正方形ABCD中，E是BC的中点，F是CD上一点，且CF＝CD，下列结论：①∠BAE＝30°；②△ABE∽△AEF；③AE⊥EF；④△ADF∽△ECF，其中正确的个数为(　　) A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 29．如图，抛物线的对称轴是直线，下列结论：①， ②， ③， ④，其中正确的个数为（  ） A．4 B．3 C．2 D．1 30．如图，在单位长度为1米的平面直角坐标系中，曲线是由半径为2米，圆心角为的弧多次复制并首尾连接而成．现有一点从（为坐标原点）出发，以每秒米的速度沿曲线向右运动，则在第2022秒时点的纵坐标为(   ) A． B．0 C． D．1 31．如图，二次函数的图象经过点，，与y轴交于点C．下列结论： ①；②当时，y随x的增大而增大；③；④． 其中正确的个数有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 32．如图，⊙O的直径AB为10，弦AC为6，∠ACB的平分线交⊙O于D，AB与CD交与点E，其中正确的个数为（    ） （1）BC＝8，；（2）求点O到弦BD的距离为；（3）；（4） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 33．如图，抛物线与轴交于点和，与轴交于点．下列结论： ①，②，③，④，其中正确的结论为（    ） A．①②③ B．②③ C．③④ D．①②③④ 附答案及解析 1．B 【分析】根据题意得出各点坐标，利用待定系数法求抛物线解析式进而求解． 【详解】解：根据题意：所在直线为x轴，的垂直平分线所在直线为y轴建立如图所示的平面直角坐标系，喷口B为抛物线顶点，共线的三点所在直线为抛物线的对称轴， 根据题意，， 设抛物线解析式为 ， 将Q点坐标代入解析式得，， 解得：， 所以抛物线解析式为：， 当时，即， 解得：，或（舍去）， 所以洗手液落在台面的位置距的水平距离是. 故选：B． 【点睛】本题考查了二次函数的应用，解决本题的关键是明确待定系数法求二次函数的解析式及准确进行计算． 2．B 【分析】由抛物线的开口方向判断的符号，由抛物线与轴的交点判断的符号，然后根据对称轴及抛物线与轴交点情况进行推理，进而对所得结论进行判断． 【详解】解：由对称知，当时，函数值大于0，即，故③正确； 由图象可知：图象开口向下，对称轴在y轴左侧，与y轴交于正半轴， 则，，，故，故①错误； 当时，，即，当时，，即，故②错误； 当时函数值小于0，，且， 即，代入得，得，故④正确； 当时，的值最大．此时，， 而当时，， 所以， 故，即，故⑤正确． 综上所述，③④⑤正确． 故选：B． 【点睛】本题考查二次函数系数符号，熟知系数符号由抛物线开口方向、对称轴和抛物线与轴的交点、抛物线与轴交点的个数确定是解题的关键． 3．C 【分析】根据等腰直角三角形的性质可得，根据同角的余角相等求出，然后利用“角边角”证明，判断出③正确；根据全等三角形对应边相等可得，从而得到是等腰直角三角形，判断出①正确；再求出，判断出②正确；根据，利用三角形的任意两边之和大于第三边可得，判断出④错误． 【详解】解：∵，， ∴是等腰直角三角形， ∵点D为中点， ∴，，， ∴， ∵是直角， ∴， ∵， ∴， 在和中，， ∴，故③正确； ∴， 又∵是直角， ∴是等腰直角三角形，故①正确； ∵，， ∴，故②正确； ∵， ∴， 故④错误； 综上所述，正确的结论有①②③； 故选：C． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的性质、同角的余角相等的性质、三角形三边的关系；熟练掌握等腰直角三角形的性质，并能进行推理论证是解决问题的关键． 4．B 【分析】用特殊值法，设出等腰直角三角形直角边的长，证明△CDB∽△BDE，求出相关线段的长；易证△GAB≌△DBC，求出相关线段的长；再证AG∥BC，求出相关线段的长，最后求出△ABC和△BDF的面积，即可作出选择． 【详解】解：由题意知，△ABC是等腰直角三角形， 设AB＝BC＝2，则AC＝2， ∵点D是AB的中点， ∴AD＝BD＝1， 在Rt△DBC中，DC＝，（勾股定理） ∵BG⊥CD， ∴∠DEB＝∠ABC＝90°， 又∵∠CDB＝∠BDE， ∴△CDB∽△BDE， ∴∠DBE＝∠DCB， ,即 ∴DE＝ ，BE＝, 在△GAB和△DBC中， ∴△GAB≌△DBC(ASA) ∴AG＝DB＝1，BG＝CD＝， ∵∠GAB+∠ABC＝180°， ∴AG∥BC， ∴△AGF∽△CBF， ∴，且有AB＝BC，故①正确， ∵GB＝，AC＝2， ∴AF＝＝，故③正确， GF＝，FE＝BG﹣GF﹣BE＝，故②错误， S△ABC＝AB•AC＝2，S△BDF＝BF•DE＝××＝，故④正确． 故选B． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质以及等腰直角三角形的相关性质，中等难度,注意合理的运用特殊值法是解题关键． 5．C 【分析】由二次函数图象的开口方向、对称轴及与y轴的交点可分别判断出a、b、c的符号，从而可判断①；由对称轴为直线x=-2，可判断②；由二次函数图象与y轴的交点，可判断③；将B（-c，0）代入y=ax2+bx+c，变形即可判断④；根据二次函数的性质得到x=-2时，二次函数有最小值，则4a-2b+c≤at2+bt+c，即4a-2b≤at2+bt，于是可对⑤进行判断． 【详解】解：由图象开口向下，可知a＞0， 与y轴的交点在x轴的上方，可知c＞0， 又对称轴为直线x=-2， ∴-＜0， ∴b＞0， ∴abc＞0，故①正确； ∵对称轴为直线x=-2， ∴-=-2，即b=4a， ∴4a-b=0，故②错误； 由图象可知OC＜1，即c＜1，故③错误； ∵OB=OC=c， ∴B（-c，0），代入y=ax2+bx+c得： 0=ac2-bc+c， 两边同除以ac得：c-+=0，即-+c=0， ∴a•（-）2+b•（-）+c=0， ∴ax2+bx+c=0（a≠0）有一个根为-，故④正确； ∵对称轴为x=-2， ∴x=-2时的函数值小于或等于x=m时函数值， 即当x=-2时，函数值最小， ∴4a-2b+c≤at2+bt+c，即4a-2b≤at2+bt，因此⑤正确； 综上可知正确的结论有①④⑤，共3个， 故选：C． 【点睛】本题主要考查了二次函数的图象和性质．熟练掌握图象与系数的关系以及二次函数与方程、不等式的关系是解题的关键．特别是利用好题目中的OB=OC，是解题的关键． 6．A 【分析】列表，描点、连线，画出图像，根据图像回答即可．本题考查二次函数、反比例函数与不等式等知识，解题的关键是理解题意，学会画出函数图像，利用图像解决问题，属于中考常考题型． 【详解】解：列表，描点、连线，图像如下， 根据图像知：①当时，x越小，函数值越大，错误； ②当时，x越大，函数值越小，正确； ③当时，x越小，函数值越大，正确； ④当时，x越大，函数值越大，正确． 故答案为：②③④； 故选A． 7．D 【分析】过点作⊥x轴于点H，根据旋转的性质可知旋转4次一个循环，进而可得第2021次旋转结束时，点C的坐标落在的位置，求出的坐标即可求出k． 【详解】解：如图，过点作⊥x轴于点H， ∵绕点O顺时针旋转，每次旋转， 发现规律：旋转4次一个循环， ∴2021÷4＝505……1， 则第2021次旋转结束时，点C的坐标落在的位置． ∵直线与x轴、y轴分别相交于点A、B， ∴A（-1,0），B（0,1） ∴OA＝OB＝1， ∴∠ABO＝∠BAO＝45°， ∵∠AOB＝90°， ∴BA=，=2 ∴ ∵∠ABO＝45°，⊥x轴 ∴ ∴ ∴ OH=3 ∴ 把代入，解得k=6 故选：D． 【点睛】本题考查了坐标与图形变化﹣旋转、规律型﹣点的坐标，待定系数法求反比例函数的解析式，解决本题 的关键是根据旋转的性质发现规律，总结规律． 8．B 【分析】把代入求解，得到“方形点”坐标，即可判定①；把代入抛物线求解，得到“方形点”坐标，再根据两点间距离公式求出“方形点”间的距离即可判定②；先根据二次函数的图象上有且只有一个“方形点”，求出a、c值，从而得出二次函数解析式，然后根据二次函数的最值求出m的取值范围，即可判定③． 【详解】解：①把代入，得 解得：， ∴直线上存在“方形点” 故①正确； ②把代入抛物线，得 解得：，， ∴抛物线上的2个“方形点”为和， ∴这2个“方形点”之间的距离是， 故②正确； ③把代入抛物线，得 ， 整理，得， ∵二次函数的图象上有且只有一个“方形点” ∴，解得：， ∴抛物线， ∵当时，二次函数的最小值为，最大值为， ∴，解得：， 故③错误， ∴正确的有①②，共2个， 故选：B． 【点睛】本题考查新定义，一次函数图象性质，二次函数图象性质，二次函数最值，一元二次方程根的判别式．理解新定义和掌握二次函数与一元二次方程的关系是解题的关键． 9．C 【分析】根据二次函数的性质，等腰直角三角形的性质，两点之间线段最短一一判断即可． 【详解】解：∵抛物线y＝ax2+bx+c交x轴分别于点A（﹣3，0），B（1，0）， ∴a+b+c＝0，故②正确； 对称轴为直线x＝＝﹣1， ∴﹣＝﹣1， ∴2a﹣b＝0，故①正确； 由图象可知，当x＝﹣1时，y有最大值，最大值＝a﹣b+c， ∵m≠﹣1， ∴a﹣b+c＞am2+bm+c， ∴a﹣b＞am2+bm，故③正确， ∵A（﹣3，0），B（1，0）， ∴AB＝4， ∵△ABC是等腰直角三角形时， ∴C（﹣1，2）， ∴可设抛物线的解析式为y＝a（x+1）2+2， 把（1，0）代入得到a＝﹣，故④正确， 如图，连接AD交抛物线的对称轴于P，连接PB，此时△BDP的周长最小，最小值＝PD+PB+BD＝PD+PA+BD＝AD+BD， ∵AD＝＝3，BD＝＝， ∴△PBD周长最小值为3，故⑤错误． 故选：C． 【点睛】本题考查二次函数的性质，等腰直角三角形的性质，解题的关键是熟练掌握二次函数的性质、灵活运用数形结合思想，属于中考常考题型． 10．C 【分析】将二次函数配方成即可判断①③；将P根据对称性转化到对称轴左边即可判断②；将m＝1代入函数解析式即可求算A，C坐标，作对称根据两点之间线段最短即可求算四边形BCDE周长的最小值． 【详解】解：将y＝－x2＋2x＋m＋1化为顶点式为： ∴顶点坐标为，函数图形与直线y＝m＋2相切，只有一个公共点，①正确； 根据“上加下减，左加右减”将向左平移2个单位，再向下平移2个单位得到： ，③正确； 二次函数的对称轴是直线，故P（2，y3）可对称到，在对称轴左侧，y随x的增大而增大，故，②错误； 当m=1时，函数解析式为：，故，， 作B关于y轴对称点N，作C关于x轴对称点M，则 连接MN，则MN为BE，DE，CD和的最小值，四边形BCDE周长最小值为MN与BC的和，则有： ∴当m＝1时，四边形BCDE周长的最小值为，④正确； 故答案选：C．    【点睛】本题考查二次函数的图象与性质综合以及线段和的最小值．掌握二次函数配方成顶点式、二次函数的对称性、线段和的最小值的求算是解题关键． 11．C 【分析】①易求得DF长度，即可判定； ②连接OP，易证OP∥CD，根据平行线性质即可判定； ③易证AE=2EF，EF=2EC即可判定； ④连接OG，作OH⊥FG，易证△OFG为等边△，即可求得S阴影即可解题. 【详解】①∵AF是AB翻折而来， ∴AF=AB=6， ∵四边形ABCD是矩形， AD=BC=3， ∴DF===3， ∴F是CD中点； ∴①正确； ②连接OP， ∵⊙O与AD相切于点P， ∴OP⊥AD， ∵AD⊥DC， ∴OP∥CD， ∴， 设OP=OF=x，则， 解得：x=2， ∴②正确； ③∵Rt△ADF中，AF=6，DF=3， ∴∠DAF=30°，∠AFD=60°， ∴∠EAF=∠EAB=30°， ∴AE=2EF； ∵∠AFE=90°， ∴∠EFC=90°-∠AFD=30°， ∴EF=2EC， ∴AE=4CE， ∴③错误； ④连接OG，作OH⊥FG， ∵∠AFD=60°，OF=OG， ∴△OFG为等边三角形；同理△OPG为等边三角形； ∴∠POG=∠FOG=60°，OH=，S扇形OPG=S扇形OGF， ∴S阴影=（S矩形OPDH-S扇形OPG-S△OGH）+（S扇形OGF-S△OFG）=S矩形OPDH-S△OFG=2×-××2×=． ∴④正确； 其中正确的结论有：①②④，3个； 故选C． 【点睛】本题考查了矩形面积的计算，正三角形的性质，切线的性质，勾股定理的运用，本题中熟练运用上述考点是解题的关键． 12．B 【分析】设正方形AOBC的边长为a，正方形CDEF的边长为b，则E(a﹣b，a+b)，代入反比例函数解析式即可求解． 【详解】解：设正方形AOBC的边长为a，正方形CDEF的边长为b，则E(a﹣b，a+b)， ∴(a+b)•(a﹣b)＝10， 整理为a2﹣b2＝10， ∵S正方形AOBC＝a2，S正方形CDEF＝b2， ∴S正方形AOBC﹣S正方形CDEF＝10， 故选：B． 【点睛】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征：反比例函数(k是常数，k≠0)的图象是双曲线，图象上的点(x，y)的横纵坐标的积是定值k，即xy=k． 13．A 【分析】本题是四边形综合题，考查了矩形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理，直角三角形的性质等知识，灵活运用这些性质解决问题是解题的关键.通过证明 ，由相似三角形的性质可求，可以判断①错误；由相似三角形的性质可得，由余角的性质可证，可以判断②正确； 由勾股定理可求. ，可以判断④错误； 分别求出、即可判断③，即可求解. 【详解】解：∵矩形和矩形，，， ， ， ， ， ，故①错误； 如图: 设与交于点， ， ， 又 ， ， ，故②正确； 如图，连接， ， ，， ， ，，， ， ，故④错误； 如图，过点作 于， 于， ， ∴四边形APGN是矩形， ， ， ， ， ， ，故③正确； 综上所述：正确的结论是②③. 故选A 14．D 【分析】连接OC，由AB是⊙O的直径得到∠ACB＝90°，由此证得∠DAC＝∠ECB，再证△ADC∽△CEB，列对应边成比例由此求出∠ABC＝30°，根据直线DE与⊙O相切于点C求出∠ACD＝∠ABC＝30°求出AB得到半径，再利用弧长公式计算. 【详解】解：连接OC， ∵AB是⊙O的直径， ∴∠ACB＝90°， ∴∠ACD+∠BCE＝90°， ∵AD⊥DE，BE⊥DE， ∴∠DAC+∠ACD＝90°， ∴∠DAC＝∠ECB， ∵∠ADC＝∠CEB＝90°， ∴△ADC∽△CEB， ∴，即， ∵tan∠ABC＝， ∴∠ABC＝30°， ∴AB＝2AC，∠AOC＝60°， ∵直线DE与⊙O相切于点C， ∴∠ACD＝∠ABC＝30°， ∴AC＝2AD＝2， ∴AB＝4， ∴⊙O的半径为2， ∴的长为：＝π， 故选：D． 【点睛】此题是圆的综合题，考查了圆周角定理，切线的性质定理，相似三角形的判定及性质定理，三角函数，弧长公式，综合掌握各知识点是解题的关键. 15．A 【分析】①根据抛物线开口方向和与y轴的交点，则a＜0，c＞0，由对称轴为直线x＝＝2，则有b＝﹣4a＞0，于是abc＜0； ②观察函数图象得到当x＝﹣3时，函数值小于0，则9a﹣3b+c＜0，即9a+c＜3b； ③由于x＝﹣1时，y＝0，则a﹣b+c＝0，易得c＝﹣5a，所以8a+7b+2c＝8a﹣28a﹣10a＝﹣30a，再根据抛物线开口向下得a＜0，于是有8a+7b+2c＞0； ④由于对称轴为直线x＝2，根据二次函数的性质得到当﹣1＜x＜2时，y的值随x值的增大而增大． 【详解】①∵抛物线开口向下，∴a＜0． ∵抛物线交y轴的正半轴，∴c＞0． ∵抛物线的对称轴为直线x＝＝2，∴b＝﹣4a＞0，∴abc＜0，故本结论错误； ②∵当x＝﹣3时，y＜0，∴9a﹣3b+c＜0，即9a+c＜3b，故本结论错误； ③∵抛物线与x轴的一个交点为（﹣1，0），∴a﹣b+c＝0，而b＝﹣4a，∴a+4a+c＝0，即c＝﹣5a，∴8a+7b+2c＝8a﹣28a﹣10a＝﹣30a． ∵抛物线开口向下，∴a＜0，∴8a+7b+2c＞0，故本结论正确； ④∵对称轴为直线x＝2，∴当﹣1＜x＜2时，y的值随x值的增大而增大，当x＞2时，y随x的增大而减小，故本结论错误． 故选A． 【点睛】本题考查了二次函数图象与系数的关系：二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0），二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小，当a＞0时，抛物线向上开口；当a＜0时，抛物线向下开口；一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置，当a与b同号时（即ab＞0），对称轴在y轴左侧；当a与b异号时（即ab＜0），对称轴在y轴右侧；常数项c决定抛物线与y轴交点．抛物线与y轴交于（0，c）；抛物线与x轴交点个数由△决定，△＝b2﹣4ac＞0时，抛物线与x轴有2个交点；△＝b2﹣4ac＝0时，抛物线与x轴有1个交点；△＝b2﹣4ac＜0时，抛物线与x轴没有交点． 16．D 【分析】结合图像先得出，，，再根据结论适当变形即可证明①②正确，根据图像得到当时，此二次函数取最大值，据此可证③正确，根据二次函数的对称性可判断④正确． 【详解】解：二次函数图像开口向下， ， 二次函数与轴交点在正半轴上， ， 二次函数对称轴为， ，， ， ①正确； ， ， ②正确； 时，二次函数取得最大值， 当时，， 即， ③正确； 二次函数的对称轴为， 根据二次函数性质可得， 抛物线经过的的对称点也在该抛物线上，且坐标为， 此时有， 即，是一元二次方程的两个根， 当时，，也是一元二次方程的根， ④正确； 综上，结论中正确的个数为个． 故选：． 【点睛】本题考查的知识点是二次函数的图像与性质、二次函数图像与系数的关系、二次函数的对称性、二次函数与一元二次方程综合，解题关键是熟练掌握二次函数与一元二次方程的关系． 17．B 【分析】利用将军饮马之造桥选址的数学方法进行计算． 【详解】如图所示， （1）为上一动点，点关于线段的对称点为点，连接，则，过点作的平行线，过点作的平行线，两平行线相交于点，与相交于点M． 四边形是平行四边形 则 （2）找一点， 连接，则，过点作的平行线，连接则． 此时 （1）中周长取到最小值 四边形是平行四边形 四边形是正方形 ， 又，， 又 是等腰三角形 ，则圆的半径， 故选：B． 【点睛】本题难度较大，需要具备一定的几何分析方法．关键是要找到周长取最小值时的位置． 18．C 【分析】本题考查了二次函数图象与系数的关系，二次函数系数符号由抛物线开口方向、对称轴和抛物线与轴的交点确定． 由抛物线的开口方向判断的符号，由抛物线与轴的交点判断的符号，结合对称轴判断①，然后根据对称轴及抛物线与轴交点情况判断②，根据对称性求得时的函数值小于0，判断③；根据时的函数值，结合，代入即可判断④，根据顶点坐标即可判断⑤，根据函数图象即可判断⑥． 【详解】解：①由图象可知：， ∵对称轴为直线：， ∴， ∴，故①正确； ②∵抛物线与轴有两个交点， ∴， ∴，故②正确； ③∵对称轴为直线，则与的函数值相等， ∴当时，，故③错误； ④当时，， ∴，故④正确； ⑤当时，取到最小值，此时，， 而当时，， 所以， 故，即，故⑤正确， ⑥当时，y随的增大而减小，故⑥正确， 综上，正确的是①②④⑤⑥共5个， 故选：C． 19．D 【分析】本题考查了三角形的内切圆与内心，圆周角定理，三角形的外接圆与外心，解决本题的关键是掌握三角形的内心与外心．利用三角形内心的性质得到，则可对①进行判断；直接利用三角形内心的性质对②进行判断；根据垂径定理则可对③进行判断；通过证明得到，则可对④进行判断． 【详解】解：∵E是的内心， ∴平分， ∴，故①正确； 如图，连接， ∵E是的内心， ∴， ∵， ∴， ∴，故②正确； ∵， ∴， ∴， ∵点G为的中点， ∴G一定在上， ∴，故③正确； 平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 若，则，显然不可能，故④错误． 故选：D． 20．A 【分析】过点D作，交于点M，根据平行线分线段定理得，再根据相似三角形的判定与性质可得，从而可得，即可求解． 【详解】解：如图，过点D作，交于点M， ∵是的中线， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 故选：A． 21．D 【分析】根据、的坐标分别是可知，进而可求出，由，又可求，通过作垂线构造等腰直角三角形，求出点的坐标，再求出的值． 【详解】 解：过点作轴，垂足为， ∵的坐标分别是， ∴， 在中，， 又∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴ ∴代入得：， 故选D． 【点睛】考核知识点：反比例函数与几何.数形结合分析是关键. 22．D 【分析】计算长度，由图像可知抛物线的对称轴和点坐标，设出抛物线解析式，将已知点坐标代入即可得出抛物线方程，进而逐项判断即可． 【详解】①由题可知，，则①正确； ②对称轴为轴，交轴于点，，设函数解析式为， 将点代入解析式得， 解得， 池底所在抛物线解析式为，则②正确； ③将代入解析式得 ， 解得， 则池塘最深处到水面的距离为，则③正确； ④当池塘中水面的宽度减少为原来的一半，即水面宽度为时， 将代入，得， 可知此时最深处到水面的距离为，故④不正确， 故选：D． 【点睛】本题考查了抛物线的图像与性质的实际应用，关键是结合图像设出适当的解析式，利用待定系数法求解． 23．B 【分析】根据抛物线的开口向上，得到a＞0，由于抛物线与y轴交于负半轴，得到c＜0，于是得到ac＜0，故①正确；根据抛物线的对称轴为直线x＝−，于是得到2a＋b＝0，当x=-1时，得到故②正确；把x＝2代入函数解析式得到4a＋2b＋c＜0，故③错误；抛物线与x轴有两个交点，也就是它所对应的方程有两个不相等的实数根，即可得出③正确根据二次函数的性质当x＞1时，y随着x的增大而增大，故④错误． 【详解】解：①∵抛物线开口向上与y轴交于负半轴， ∴a＞0,c＜0 ∴ac＜0 故①正确； ②∵抛物线的对称轴是x=1， ∴ ∴b=-2a ∵当x=-1时，y=0 ∴0=a-b+c ∴3a+c=0 故②正确； ③∵抛物线与x轴有两个交点，即一元二次方程有两个不相等的实数解 ∴ ∴ 故③正确； ④当-1＜x＜1时，y随x的增大而减小，当x＞1时y随x的增大而增大． 故④错误 所以正确的答案有①、②、③共3个 故选：B 【点睛】本题考查了二次函数的图象与系数的关系、二次函数的性质、二次函数与x轴的交点，正确识别图象，并逐一分析各结论是解题的关键． 24．A 【分析】根据旋转的性质以及垂线段最短即可求得的最小值． 【详解】解：如图，在旋转过程中，点在以为圆心，长为半径的圆上运动，当三点共线且时，由垂线段最短可知线段的值最小，即的值最小， ∵在中，，， ∴ ， ∴在中，， ∴， ∵点是线段的中点， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴的最小值为：， 故选． 【点睛】本题考查了旋转的性质，特殊角的三角函数，垂线段最短，根据题意画出辅助线是解题的关键． 25．D 【分析】根据平行四边形的性质得到AE＝CE，根据相似三角形的性质得到＝，等量代换得到AF＝AD，于是得到＝；故①正确；根据相似三角形的性质得到S△BCE＝27；故②正确；根据三角形的面积公式得到S△ABE＝9，故③错误；由于△AEF与△ADC只有一个角相等，于是得到△AEF与△ACD不一定相似，故④错误． 【详解】解：∵在▱ABCD中，AO＝AC， ∵点E是OA的中点， ∴AE＝CE， ∵ADBC， ∴△AFE∽△CBE， ∴＝， ∵AD＝BC， ∴AF＝AD， ∴＝；故①正确； ∵S△AEF＝3，， ∴S△BCE＝27；故②正确； ∵， ∴， ∴S△ABE＝9，故③错误； ∵BF不平行于CD， ∴△AEF与△ADC只有一个角相等， ∴△AEF与△ACD不一定相似，故④错误， 故选：D． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质，平行四边形的性质，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键． 26．B 【分析】证明，由圆周角定理和三角形外角的性质可证明正确；当时，四边形的周长最大，可判断正确；如图1，连接并延长交于，根据垂径定理可得，则，利用面积和可得四边形的面积，可知不正确． 【详解】解： 等腰内接于圆，是的直径， ， ， ， 平分， 故正确； 是等腰直角三角形， ， ， ， ， ， 故正确； ， 当最大时，四边形的周长最大， 当时，四边形的周长最大， 故正确； 如图1，连接并延长交于， 在Rt中， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 四边形的面积， 故不正确； 故选：B． 【点睛】本题考查了圆周角定理，等腰直角三角形的判定与性质，以及面积的变换与求法，此题综合性比较强，难度比较大，在解题时充分利用以上相关知识解决问题是关键． 27．B 【分析】由抛物线开口和抛物线与y轴交点，对称轴，判断①；由抛物线的对称性及经过点可判断②④；由对称轴为，得出，即可判断③． 【详解】解：∵抛物线开口向下， ∴， ∵ ∴， ∵抛物线与y轴交点在x轴上方， ∴， ∴，①正确； ∵抛物线的顶点为， ∴对称轴为 ∵抛物线过点， ∴由对称性可得抛物线经过点， ∴，②错误； ∴方程的两根为，④正确； ∵， ∴， ∵， ∴，即，故③正确； 综上，①③④正确， 故选：B． 【点睛】本题考查二次函数图象与系数的关系，解题关键是掌握二次函数与方程及不等式的关系． 28．B 【分析】设CF=x，则CD=4x， DF=3x，BE=EC=2x，进而可以证明△ABE∽△ECF，得到AB：EC=AE：EF，∠AEB=∠EFC．进而可以证明△ABE∽△AEF，AE⊥EF，从而得到结论． 【详解】∵在正方形ABCD中，E是BC的中点，F是CD上一点，且CF=CD， 设CF=x，则CD=4x， ∴DF=3x，BE=EC=2x， ∴AB：EC=BE：CF=2：1． ∵∠B=∠C=90°， ∴△ABE∽△ECF， ∴AB：EC=AE：EF，∠AEB=∠EFC． ∵BE=CE， ∴AB：AE=BE：EF， ∵∠FEC+∠EFC=90°，∠AEB=∠EFC， ∴∠AEB+∠FEC=90°， ∴∠AEF=∠B=90°， ∴△ABE∽△AEF，AE⊥EF， ∴②③正确． 故选：B． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质，①有两个对应角相等的三角形相似，②有两个对应边的比相等，且其夹角相等，则两个三角形相似；③三组对应边的比相等，则两个三角形相似． 29．B 【分析】根据二次函数二次函数开口向下，与y轴交于正半轴，得到，再由对称轴得到即可判断①；由函数图象可知抛物线与x轴有两个不同的交点可判断②；根据当时，即可判断③；根据当时，即可判断④． 【详解】解：∵二次函数开口向下，与y轴交于正半轴， ∴， ∵抛物线对称轴为直线， ∴，即， ∴，故①错误； 由函数图象可知抛物线与x轴有两个不同的交点， ∴，故②正确； 由函数图象可知，当时，， ∴，故③正确； 由函数图象可知，当时，， ∴， 又∵， ∴，故④正确， 故选B． 【点睛】本题主要考查了二次函数图象与系数之间的关系，二次函数的性质，正确读懂函数图象是解题的关键． 30．B 【分析】根据垂径定理求出，根据弧长公式求出的长，再由路程、速度、时间之间的关系求出移动的路程，再得出2022次后，点所在的位置，进而求出的长，得出答案． 【详解】解︰如图，过点作，垂足为， 由题意可知，弧对应圆心角为，弧所在的圆为圆， ∴， ∵，， ∴， ∴在中，， ∴， ∴的长为， ∴ ∴点的坐标为． 故选：B． 【点睛】本题考查垂径定理，三角函数，等腰三角形的三线合一性质，弧长公式等知识．理解和掌握垂径定理和三角函数并能正确运用是解题的关键． 31．B 【分析】①根据二次函数的图象经过A(-1，0)，B(3，0)，可得到对称轴，并将(-1，0)代入解析式得到b、c与a的关系，及a<0从而判断； ②由对称轴和函数的图像可以判断； ③算出a和c的关系即可； ④当x=1时，y最大=a+b+c即可判断； 【详解】∵二次函数的图象经过点A(-1，0)，B(3， 0) ∴对称轴 ∴b =-2a，c = -3a ∵二次函数的图象开口向下 ∴a < 0 ∴2a+b+c = -3a >0，∴ac＜0故①错误； ∵二次函数的图象开口向下，对称轴， ∴当x >1时，y随x的增大而减小；故②错误； ∵c = -3a ∴3a+c=0，故③正确； 由题意可知二次函数的顶点坐标为(1，-4a) ∵当x=1时，y最大=a+b+c，当x=m时，y= ∴故④正确； 故选：B 【点睛】本题考查了二次函数图象与系数的关系、二次函数与不等式以及二次函数的最值，熟练掌握二次函数的图象和性质是解题关键． 32．A 【分析】如图，作，连接，作于，勾股定理可求的值，由题意知，是等腰直角三角形，进而可判断①的正误；由题意知是点O到弦BD的距离，是的中位线，，进而可判断②的正误；根据可求的值，勾股定理求的值，求的值，由是等腰直角三角形，求的值，证明，则，即，解得，，在中，由勾股定理得求的值，进而可求的值，根据求的值，进而可判断③的正误；分别计算，，进而可判断④的正误． 【详解】解：如图，作，连接，作于， ∵是直径， ∴， ∵，， ∴， ∵是的角平分线， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴是等腰直角三角形， 故①正确； 由题意知是点O到弦BD的距离， ∵， ∴， ∵是的中点， ∴是的中位线， ∴， 故②正确； ∵， 解得， ∴， ∴， ∵是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ， 解得，， 在中，由勾股定理得， ∴， ， 故③正确； ∵，， ∴， 故④正确； ∴①②③④均正确； 故选A． 【点睛】本题考查了直径所对的圆周角为90°，角平分线，等腰三角形的判定与性质，中位线，勾股定理，相似三角形的判定与性质等知识．解题的关键在于对知识的灵活运用． 33．C 【分析】由抛物线的开口方向判断与0的关系，由抛物线与y轴的交点判断c与0的关系，进而判断①；根据对称轴<1求出2与b的关系，进而判断②；根据x=﹣2时，y＞0可判断③；由x=-1和2a与b的关系可判断④． 【详解】∵抛物线开口向上， ∴>0， ∵对称轴在y轴右边， ∴，即b<0 ， ∵抛物线与轴的交点在轴的下方， ∴， ∴，故①错误； 对称轴在1左侧，∴ ∴-b<2，即2+b>0，故②错误； 当x=-2时，y=4-2b+c>0，故③正确； 当x=-1时，抛物线过x轴，即-b+c=0， ∴b= +c， 又2+b>0， ∴2+ +c>0，即3+c>0，故④正确； 故选择：C． 【点睛】本题考查二次函数图像位置与系数的关系，掌握二次函数中系数的作用，数形结合是关键． 第 1 页 共 57 页 学科网（北京）股份有限公司 $$