8.2直线的交点坐标与距离公式专项训练-2025届高三数学一轮专题复习

2025高考数学一轮复习-8.2-直线的交点坐标与距离公式-专项训练 【A级　基础巩固】 1．两条直线l1：x＝2和l2：3x＋2y－12＝0的交点坐标是(　　) A．(2，3)　　　　　　　 B．(－2，3) C．(3，－2) D．(－3，2) 2．直线l1：ax＋3y＋1＝0，l2：2x＋(a－1)y－1＝0.若l1∥l2，则a的值为(　　) A．－3或2 B．3或－2 C．3 D．－2 3．过点P(4，－1)且与直线3x－4y＋6＝0垂直的直线方程是(　　) A．4x＋3y－13＝0 B．4x－3y－19＝0 C．3x－4y－16＝0 D．3x＋4y－8＝0 4．若直线a，b的斜率分别为方程x2－4x－1＝0的两个根，则a与b的位置关系为(　　) A．互相平行 B．互相重合 C．互相垂直 D．无法确定 5．平面直角坐标系中与直线y＝2x＋1关于点(1，1)对称的直线方程是(　　) A．y＝2x－1 B．y＝－2x＋1 C．y＝－2x＋3 D．y＝2x－3 6．已知直线4x＋my－6＝0与直线5x－2y＋n＝0垂直，垂足为(t，1)，则n的值为(　　) A．7 B．9 C．11 D．－7 7．(多选)已知直线l1：x＋my－1＝0，l2：(m－2)x＋3y＋3＝0，则下列说法正确的是(　　) A．若l1∥l2，则m＝－1或m＝3 B．若l1∥l2，则m＝3 C．若l1⊥l2，则m＝－ D．若l1⊥l2，则m＝ 8．(多选)已知直线l1：ax－y＋1＝0，l2：x＋ay＋1＝0，a∈R，以下结论正确的是(　　) A．不论a为何值时，l1与l2都互相垂直 B．当a变化时，l1与l2分别经过定点A(0，1)和B(－1，0) C．不论a为何值时，l1与l2都关于直线x＋y＝0对称 D．如果l1与l2交于点M，O为坐标原点，则|MO|的最大值是 9．直线l1：x＋ay－2＝0(a∈R)与直线l2：y＝x－1平行，则a＝________，l1与l2的距离为________． 10．已知直线l经过直线2x＋y－5＝0与x－2y＝0的交点．若点A(5，0)到直线l的距离为3，则l的方程为________． 11．已知点P1(2，3)，P2(－4，5)和A(－1，2)，则过点A且与点P1，P2距离相等的直线方程为________________． 12．已知三角形的一个顶点A(4，－1)，它的两条角平分线所在的直线方程分别为l1：x－y－1＝0和l2：x－1＝0，则BC边所在直线的方程为______________． 【B级　能力提升】 1．已知点(1，－1)关于直线l1：y＝x的对称点为A，若直线l2经过点A，则当点B(2，－1)到直线l2的距离最大时，直线l2的方程为(　　) A．2x＋3y＋5＝0 B．3x－2y＋5＝0 C．3x＋2y＋5＝0 D．2x－3y＋5＝0 2．(多选)定义点P(x0，y0)到直线l：ax＋by＋c＝0(a2＋b2≠0)的有向距离为d＝.已知点P1，P2到直线l的有向距离分别是d1，d2.以下命题不正确的是(　　) A．若d1＝d2＝1，则直线P1P2与直线l平行 B．若d1＝1，d2＝－1，则直线P1P2与直线l垂直 C．若d1＋d2＝0，则直线P1P2与直线l垂直 D．若d1·d2≤0，则直线P1P2与直线l相交 3．若三条直线y＝2x，x＋y＝3，mx＋ny＋5＝0相交于同一点，则点(m，n)到原点的距离的最小值为(　　) A． B． C．2 D．2 4．数学家欧拉在1765年提出定理：三角形的外心、重心、垂心依次位于同一直线上，且重心到外心的距离是重心到垂心距离的一半．这条直线被后人称为三角形的欧拉线．已知△ABC的顶点A(1，0)，B(0，2)，且AC＝BC，则△ABC的欧拉线的方程为(　　) A．4x＋2y＋3＝0 B．2x－4y＋3＝0 C．x－2y＋3＝0 D．2x－y＋3＝0 5．若m∈R，则“log6m＝－1”是“直线l1：x＋2my－1＝0与l2：(3m－1)x－my－1＝0平行”的(　　) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 6．已知两条直线l1：(3＋t)x＋4y＝5－3t，l2：2x＋(5＋t)y＝8，l1∥l2，则t＝________． 7．若两平行直线3x－2y－1＝0，6x＋ay＋c＝0之间的距离为，则c的值是________． 8．若△ABC的顶点A(5，1)，AB边上的中线CM所在直线方程为2x－y－5＝0，AC边上的高BH所在直线方程为x－2y－5＝0，则直线BC的方程为________． 9．已知点A(4，－1)，B(8，2)和直线l：x－y－1＝0，动点P(x，y)在直线l上，则|PA|＋|PB|的最小值为________． 参考答案 【A级　基础巩固】 1．解析：联立得 所以两条直线的交点坐标为(2，3). 答案：A 2．解析：∵直线l1：ax＋3y＋1＝0， l2：2x＋(a－1)y－1＝0，l1∥l2， ∴a(a－1)－2×3＝0，且－a－2≠0，∴a＝3. 答案：C 3．解析：与直线3x－4y＋6＝0垂直的直线方程可设为4x＋3y＋m＝0. 把点P(4，－1)代入得4×4－3＋m＝0， 解得m＝－13. 所以满足条件的直线方程为4x＋3y－13＝0. 答案：A 4．解析：由根与系数的关系得ka·kb＝－1，则a与b互相垂直． 答案：C 5．解析：在直线y＝2x＋1上任取两个点A(0，1)，B(1，3)， 则点A关于点(1，1)对称的点M(2，1)，B关于点(1，1)对称的点N(1，－1). 由两点式求出直线MN的方程＝， 即y＝2x－3. 答案：D 6．解析：直线4x＋my－6＝0与直线5x－2y＋n＝0垂直，则m＝10， 故(t，1)在直线2x＋5y－3＝0上，t＝－1， 垂足为(－1，1)，点(－1，1)在5x－2y＋n＝0上， ∴－5－2＋n＝0，∴n＝7. 答案：A 7．解析：若l1∥l2，则1×3－m(m－2)＝0， 解得m＝3或－1， 当m＝－1时，l1：x－y－1＝0，l2：x－y－1＝0，l1与l2重合， ∴m＝－1(舍去)，故m＝3，故A不正确，B正确； 若l1⊥l2，则1×(m－2)＋m×3＝0， 解得m＝，故C不正确，D正确． 答案：BD 8．解析：对于A，a×1＋(－1)×a＝0恒成立，l1与l2互相垂直恒成立，故A正确； 对于B，直线l1：ax－y＋1＝0，当a变化时，x＝0，y＝1恒成立，所以l1恒过定点A(0，1)； l2：x＋ay＋1＝0，当a变化时，x＝－1，y＝0恒成立，所以l2恒过定点B(－1，0)，故B正确； 对于C，在l1上任取点(x，ax＋1)，关于直线x＋y＝0对称的点的坐标为(－ax－1，－x)， 代入l2：x＋ay＋1＝0，则等式左边不等于0，故C不正确； 对于D，联立解得 所以|MO|＝＝≤， 所以|MO|的最大值是，故D正确． 答案：ABD 9．解析：由题可知直线l1的斜率为－(a≠0)， 直线l2的斜率为，所以－＝， 解得a＝－， 则直线l1：3x－4y－6＝0， 直线l2：3x－4y－4＝0， 两直线间的距离d＝＝. 答案：－　 10．解析：法一：两直线交点为(2，1)， 当斜率不存在时，所求直线方程为x－2＝0， 此时A到直线l的距离为3，符合题意； 当斜率存在时，设斜率为k，则所求直线方程为y－1＝k(x－2)， 即kx－y＋(1－2k)＝0. 由点到直线的距离公式得d＝＝3，解得k＝， 故所求直线方程为4x－3y－5＝0. 综上，所求直线方程为x－2＝0或4x－3y－5＝0. 法二：经过两直线交点的直线系方程为(2x＋y－5)＋λ(x－2y)＝0， 即(2＋λ)x＋(1－2λ)y－5＝0， 所以＝3， 解得λ＝2或. 所以l的方程为x＝2或4x－3y－5＝0. 答案：x＝2或4x－3y－5＝0 11．解析：当直线与点P1，P2的连线所在的直线平行时， 由直线P1P2的斜率k＝＝－， 得所求直线的方程为y－2＝－(x＋1)， 即x＋3y－5＝0. 当直线过线段P1P2的中点时， 因为线段P1P2的中点坐标为(－1，4)， 所以直线方程为x＝－1. 综上，所求直线方程为x＋3y－5＝0或x＝－1. 答案：x＋3y－5＝0或x＝－1 12．解析：易得A不在l1和l2上， 因此l1，l2为∠B，∠C的平分线， 所以点A关于l1，l2的对称点在BC边所在的直线上． 设点A关于l1的对称点为A1(x1，y1)， 点A关于l2的对称点为A2(x2，y2)， 则解得 所以A1(0，3). 又易得点A关于l2的对称点A2的坐标为(－2，－1)， 所以BC边所在直线的方程为＝， 即2x－y＋3＝0. 答案：2x－y＋3＝0 【B级　能力提升】 1．解析：设A(a，b)，则 解得所以A(－1，1). 设点B(2，－1)到直线l2的距离为d， 当d＝|AB|时取得最大值， 此时直线l2垂直于直线AB， 所以直线l2的斜率k＝－＝－＝， 所以直线l2的方程为y－1＝(x＋1)， 即3x－2y＋5＝0. 答案：B 2．解析：设P1(x1，y1)，P2(x2，y2)， 对于A，若d1＝d2＝1， 则ax1＋by1＋c＝ax2＋by2＋c＝， 直线P1P2与直线l平行，正确； 对于B，点P1，P2在直线l的两侧且到直线l的距离相等，直线P1P2不一定与l垂直，错误； 对于C，若d1＝d2＝0，满足d1＋d2＝0， 即ax1＋by1＋c＝ax2＋by2＋c＝0， 则点P1，P2都在直线l上， 所以此时直线P1P2与直线l重合，错误； 对于D，若d1·d2≤0， 即(ax1＋by1＋c)(ax2＋by2＋c)≤0， 所以点P1，P2分别位于直线l的两侧或在直线l上， 所以直线P1P2与直线l相交或重合，错误． 答案：BCD 3．解析：联立解得x＝1，y＝2. 把(1，2)代入mx＋ny＋5＝0可得，m＋2n＋5＝0. ∴m＝－5－2n. ∴点(m，n)到原点的距离 d＝＝ ＝≥， 当n＝－2，m＝－1时取等号． ∴点(m，n)到原点的距离的最小值为. 答案：A 4．解析：因为AC＝BC，所以欧拉线为AB的中垂线． 又A(1，0)，B(0，2)， 故AB的中点为，kAB＝－2， 故AB的中垂线方程为y－1＝， 即2x－4y＋3＝0. 答案：B 5．解析：由log6m＝－1，得m＝.若l1：x＋2my－1＝0与l2：(3m－1)x－my－1＝0平行，则直线斜率相等或斜率不存在，解得m＝0或m＝，则“log6m＝－1”是“直线l1：x＋2my－1＝0与l2：(3m－1)x－my－1＝0平行”的充分不必要条件． 答案：A 6．解析：∵l1∥l2，∴＝≠，解得t＝－7. 答案：－7 7．解析：由题意得＝≠， ∴a＝－4，c≠－2， 则6x＋ay＋c＝0可化为3x－2y＋＝0. 由两平行线间的距离公式得＝， 即＝2，解得c＝2或c＝－6. 答案：2或－6 8．解析：BH所在直线方程为x－2y－5＝0， 设AC的方程为2x＋y＋t＝0，且过A(5，1)， 代入解得t＝－11. 联立AC与CM的方程得解得C(4，3). 设B(2m＋5，m)，则M， 即2m＋10－－5＝0， 解得m＝－3，则B(－1，－3)， 所以BC的方程为＝， 即6x－5y－9＝0. 答案：6x－5y－9＝0 9．解析：设点A1与A关于直线l对称， P0为A1B与直线l的交点， ∴|P0A1|＝|P0A|，|PA1|＝|PA|. 在△A1PB中，|PA1|＋|PB|>|A1B|＝|A1P0|＋|P0B|＝|P0A|＋|P0B|， ∴|PA|＋|PB|≥|P0A|＋|P0B|＝|A1B|. 当P点运动到P0时，|PA|＋|PB|取得最小值|A1B|. 设点A关于直线l的对称点为A1(x1，y1)， 则由对称的充要条件知 解得∴A1(0，3)， ∴(|PA|＋|PB|)min＝|A1B|＝＝. 答案： 学科网（北京）股份有限公司 $$