8.1直线的倾斜角与斜率、直线的方程专项训练-2025届高三数学一轮专题复习

2025高考数学一轮复习-8.1-直线的倾斜角与斜率、直线的方程-专项训练 【A级　基础巩固】 1．若直线l的方程为x＝－3，则直线l的倾斜角是(　　) A．　　　　　　　 B． C．π D．0 2．已知A(1，－3)，B，C(9，λ)，且A，B，C三点共线，则λ＝(　　) A．－1 B．0 C．1 D．2 3．若AB＞0且BC＜0，则直线Ax＋By＋C＝0不经过(　　) A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 4．已知点M是直线l：2x－y－4＝0与x轴的交点，将直线l绕点M按逆时针方向旋转45°，得到的直线方程是(　　) A．x＋y－3＝0 B．x－3y－2＝0 C．3x－y＋6＝0 D．3x＋y－6＝0 5．过点A(－1，1)的直线l的倾斜角是直线l1：x－y＋1＝0的倾斜角的2倍，则直线l的方程是(　　) A．x－y＋＋1＝0 B．x＋y＋－1＝0 C．x－3y＋＋3＝0 D．x＋3y＋－3＝0 6．过点(5，2)，且在y轴上的截距是在x轴上的截距2倍的直线方程是(　　) A．2x＋y－12＝0 B．2x＋y－12＝0或2x－5y＝0 C．x－2y－1＝0 D．x－2y－1＝0或2x－5y＝0 7．(多选)已知直线l：x＝my＋1，则下列结论正确的是(　　) A．直线l恒过定点(1，0) B．直线l的斜率必定存在 C．m＝时，直线l的倾斜角为60° D．m＝2时，直线l与两坐标轴围成的三角形的面积为 8．(多选)已知直线l的方程为ax＋by－2＝0，下列判断正确的是(　　) A．若ab＞0，则l的斜率小于0 B．若b＝0，a≠0，则l的倾斜角为90° C．l可能经过坐标原点 D．若a＝0，b≠0，则l的倾斜角为0° 9．已知点A(1，3)，B(－2，－1)，若直线l：y＝k(x－2)＋1与线段AB恒相交，则k的取值范围是________． 10．如果直线x－4y＋b＝0的纵截距为正，且与两坐标轴围成的三角形的面积为8，则b＝________． 11．已知三角形的三个顶点A(－5，0)，B(3，－3)，C(0，2)，则BC边上中线所在的直线方程为________． 12．已知直线x＋ky－2－k＝0恒过定点A，则A点的坐标为________；若点A在直线mx－y＋n＝0(m，n＞0)上，则＋的最小值为________． 【B级　能力提升】 1．直线(1－a2)x＋y＋1＝0的倾斜角的取值范围是(　　) A． B． C．∪ D．∪ 2．(多选)已知直线x sin α＋y cos α＋1＝0(α∈R)，则下列命题正确的是(　　) A．直线的倾斜角是π－α B．无论α如何变化，直线不过原点 C．直线的斜率一定存在 D．当直线和两坐标轴都相交时，它和坐标轴围成的三角形的面积不小于1 3．已知方程kx＋3－2k＝有两个不同的解，则实数k的取值范围为(　　) A． B． C． D． 4．已知直线l的斜率为，在y轴上的截距为另一条直线x－2y－4＝0的斜率的倒数，则直线l的方程为(　　) A．y＝x＋2 B．y＝x－2 C．y＝x＋ D．y＝－x＋2 5．(多选)在下列四个命题中，错误的有(　　) A．坐标平面内的任何一条直线均有倾斜角和斜率 B．直线倾斜角的取值范围是[0，π] C．若一条直线的斜率为tan α，则此直线的倾斜角为α D．若一条直线的倾斜角为α，则此直线的斜率为tan α或不存在 6．直线x＋(a2＋1)y＋1＝0的倾斜角的取值范围是________． 7．已知△ABC的三个顶点坐标为A(1，2)，B(3，6)，C(5，2)，M为AB的中点，N为AC的中点，则中位线MN所在直线的方程为________． 8．设m∈R，若过定点A的动直线x＋my＝0和过定点B的动直线mx－y－m＋3＝0交于点P(x，y)，则|PA|·|PB|的最大值是________． 9．如图，射线OA，OB分别与x轴正半轴成45°和30°角，过点P(1，0)作直线AB分别交OA，OB于A，B两点，当AB的中点C恰好落在直线y＝x上时，则直线AB的方程是________． 参考答案 【A级　基础巩固】 1．解析：∵直线l的方程为x＝－3， ∴直线与x轴垂直，∴直线l的倾斜角是. 答案：A 2．解析：∵A，B，C三点共线，∴kAB＝kAC， 即＝，解得λ＝1. 答案：C 3．解析：∵AB＞0且BC＜0，∴－＜0，－＞0，直线y＝－x－的斜率小于零，在y轴上的截距大于零，故直线经过第一、二、四象限，不经过第三象限． 答案：C 4．解析：设直线l的倾斜角为α， 则tan α＝k＝2， 直线l绕点M按逆时针方向旋转45°， 所得直线的斜率k′＝tan (α＋45°)＝＝－3. 又过点M(2，0)， 所以y＝－3(x－2)，即3x＋y－6＝0. 答案：D 5．解析：因为k1＝tan α＝，α＝60°， 所以k＝tan 120°＝－， 所以直线l的方程是y－1＝－(x＋1)， 即x＋y＋－1＝0. 答案：B 6．解析：当直线过原点时，由直线过点(5，2)， 可得直线的斜率为， 故直线的方程为y＝x，即2x－5y＝0； 当直线不过原点时，设直线在x轴上的截距为b， 则在y轴上的截距是2b，直线的方程为＋＝1， 把点(5，2)代入可得＋＝1，解得b＝6. 故直线的方程为＋＝1， 即2x＋y－12＝0. 答案：B 7．解析：A中，由直线方程知，直线恒过定点(1，0)，正确； B中，当m＝0时，直线斜率不存在，错误； C中，m＝时，直线l：y＝(x－1)， 则直线l的斜率为，倾斜角为30°，错误； D中，m＝2时，直线l：x＝2y＋1，则直线l与x轴，y轴的交点分别为(1，0)，，所以直线l与两坐标轴围成的三角形的面积为，正确． 答案：AD 8．解析：若ab＞0，则l的斜率－＜0，故A正确；若b＝0，a≠0，则l的方程为x＝，其倾斜角为90°，故B正确；若l经过坐标原点，则－2＝0，显然不成立，故C错误；若a＝0，b≠0，则l的方程为y＝， 其倾斜角为0°，故D正确． 答案：ABD 9．解析：直线l：y＝k(x－2)＋1经过定点P(2，1)， ∵kPA＝＝－2，kPB＝＝， 又直线l：y＝k(x－2)＋1与线段AB恒相交， ∴－2≤k≤. 答案： 10．解析：由题意，知直线的方程为y＝x＋(b＞0)， 它与两坐标轴的交点为和(－b，0)， 它与两坐标轴围成的三角形的面积为××b＝8，解得b＝8. 答案：8 11．解析：BC的中点坐标为， ∴BC边上中线所在的直线方程为＝， 即x＋13y＋5＝0. 答案：x＋13y＋5＝0 12．解析：将直线方程变形得x－2＋k(y－1)＝0， 由解得定点A的坐标为(2，1). 由于点A在直线mx－y＋n＝0上， 则有2m－1＋n＝0，所以2m＋n＝1， 所以＋＝(2m＋n)＝3＋＋≥3＋2＝3＋2，当且仅当＝，即当且仅当n＝m时等号成立． 答案：(2，1)　3＋2 【B级　能力提升】 1．解析：直线的斜率k＝－(1－a2)＝a2－1. ∵a2≥0， ∴k＝a2－1≥－1. 倾斜角和斜率的关系如图所示， ∴该直线倾斜角的取值范围是∪. 答案：C 2．解析：根据直线倾斜角的范围为[0，π)， 而π－α∈R，A不正确； 当x＝y＝0时，x sin α＋y cos α＋1＝1≠0， 所以直线必不过原点，B正确； 当α＝时，直线斜率不存在，C不正确； 当直线和两坐标轴都相交时，它和坐标轴围成的三角形的面积为 S＝·＝≥1，D正确． 答案：BD 3．解析：由题意得，半圆y＝与直线y＝kx＋3－2k有两个交点．又直线y＝kx＋3－2k⇒y－3＝k(x－2)过定点C(2，3)，如图所示．又点A(－2，0)，B(2，0)，当直线在AC位置时，斜率k＝＝；当直线和半圆相切时，由2＝，解得k＝，故实数k的取值范围为. 答案：B 4．解析：直线x－2y－4＝0的斜率为，∴直线l在y轴上的截距为2，∴直线l的方程为y＝x＋2. 答案：A 5．解析：对于A，当直线与x轴垂直时，直线的倾斜角为90°，斜率不存在，∴A错误； 对于B，直线倾斜角的取值范围是[0，π)，∴B错误； 对于C，一条直线的斜率为tan α，此直线的倾斜角不一定为α，∴C错误． 答案：ABC 6．解析：依题意，直线的斜率k＝－∈[－1，0)， 因此其倾斜角的取值范围是. 答案： 7．解析：由题知M(2，4)，N(3，2)， 故中位线MN所在直线的方程为＝， 整理得2x＋y－8＝0. 答案：2x＋y－8＝0 8．解析：易知定点A(0，0)，B(1，3)，且无论m取何值，两动直线都垂直，所以无论P与A，B重合与否，均有|PA|2＋|PB|2＝|AB|2＝10(P在以AB为直径的圆上)，所以|PA|·|PB|≤(|PA|2＋|PB|2)＝5，当且仅当|PA|＝|PB|＝时等号成立． 答案：5 9．解析：由题意可得kOA＝tan 45°＝1， kOB＝tan (180°－30°)＝－， 所以直线lOA：y＝x，lOB：y＝－x. 设A(m，m)，B(－n，n)， 所以AB的中点C. 由点C在直线y＝x上，且A，P，B三点共线得 解得m＝，所以A(，). 又P(1，0)，所以kAB＝kAP＝＝， 所以lAB：y＝(x－1)， 即直线AB的方程为(3＋)x－2y－3－＝0. 答案：(3＋)x－2y－3－ 学科网（北京）股份有限公司 $$