能力微专训5　相似三角形的七大模型 -2025年中考数学一轮考点探究（广东）

能力微专训5　相似三角形的七大模型 模型1 X字型 模型分析 如图1,若AB∥CD,则△ABE∽△DCE;如图2,若∠A=∠D或∠B=∠C,则△ABE∽△DCE. 1. 如图,AB∥CD,AD,BC相交于点E,过点E作EF∥CD交BD于点F,AB∶CD=2∶3,那么EF∶AB= .  2. 如图,在四边形ABCD中,AB=CD,AD=BC,点E在CD上,连接AE并延长,交BC的延长线于点F. (1)求证:△ADE∽△FCE. (2)若AB=4,AD=6,CF=2,求DE的长. 模型2 A字型 模型分析 如图1,若DE∥BC,则△ADE∽△ABC;如图2,若∠AED=∠B,则△ADE∽△ACB. 3. 如图,在△ABC中,点D,E分别在AB,AC边上,DE∥BC,若AD=1,BD=2,则的值为 .  4. 如图,在锐角三角形ABC中,点D,E分别在边AC,AB上,AG⊥BC于点G,AF⊥DE于点F,∠EAF=∠GAC. (1)求证:△ADE∽△ABC. (2)若AD=BE=4,AE=3,求CD的值. 模型3 子母型 模型分析 已知:∠1=∠2.结论:△ACD ∽△ABC. 在图中,我们不仅要熟悉模型,还要熟记模型的结论,有时候题目中会给出三角形边的乘积关系或者比例关系,我们要能快速判断题中的相似三角形.在模型中,由△ACD∽△ABC,进而可以得到AC2=AD·AB. 5. 如图,在△ABC中,P为边AB上一点,且∠ACP=∠B,若AP=2,BP=3,则AC的长为 .　  6. 如图,在△ABC中,AB=4,BC=8,D为BC边上一点,BD=2. (1)求证:△ABD∽△CBA. (2)作DE∥AB交AC于点E,请再写出另一个与△ABD相似的三角形,并直接写出DE的长. 模型4 双垂直型 模型分析 ①如图1,在三角形ABC中,AD为BC边上的高,这个是子母型的特殊情况,则AC2=CD·BC,AB2=BD·BC,AD2=BD·CD. ②如图2,在三角形ABC中,若BD,CE分别是AC和AB边上的高,则△ACE∽△ABD,△ADE∽△ABC. 7.如图,AB是半圆O的直径,C是半圆上的一点,过点C作CD⊥AB于点D,AC=2 cm.若AD∶DB=4∶1,求AD的长. 7. 如图,在△ABC中,∠A=60°,BD⊥AC,垂足为D,CE⊥AB,垂足为E,求证: (1)△ABC∽△ADE. (2)BC=2DE. 9.在Rt△ACB中,∠ACB=90°,D为AB上一点. (1)如图1,若CD⊥AB,求证:AC2=AD·AB. (2)如图2,若AC=BC,H为CD上一动点,过点H作EF⊥CD交BC于点E,交AC于点F,=,求的值. 模型5 三垂直型 模型分析 一线三直角是一种常见的相似模型,指的是由三个直角的顶点在同一条直线上构成的相似图形,有些地区称“三垂直模型”,也有称“K形图”或“M形图”. 如图1,2,△ACD∽△BAE.特殊地,当AB=AC时,△ACD≌△BAE. 三垂直型应用:1.图形中已经存在“一线三直角”,直接应用模型解题;2.图形中存在“一线两直角”,补上“一直角”构造此模型;3.图形中只有直线上的一个直角,补上“两直角”构造此模型;4.图形中只有一个直角,过该直角顶点补上“一线”,再补上“两直角”,构造此模型. 10. 如图,在矩形ABCD中,E是BC的中点,连接AE,EF⊥AE交DC于点F.若AB=4,BC=6,则CF的长为 .  11. 如图,AB⊥BC,CD⊥BC,AB=4,CD=2,P为线段BC上的点,设BC=m. (1)已知m=9. ①若△BAP∽△CDP,求线段BP的长; ②若△BAP∽△CPD,求线段BP的长. (2)若△BAP与△CDP相似,求m的值. 模型6 一线三等角型 模型分析 已知:在图1,2,3中,∠B=∠ACE=∠D. 结论:△ABC∽△CDE. 如图1,∵∠ACE+∠DCE=∠B+∠A,且∠B=∠ACE,∴∠DCE=∠A, ∴△ABC∽△CDE.图2,3同理可证△ABC∽△CDE. 在一线三等角的模型中,难点在于当已知三个相等的角的时候,容易忽略隐含的其他相等的角,此模型中的三垂直相似应用较多,当看见该模型的时候,应立刻能看出相应的相似三角形. 12.如图,在△ABC中,CD⊥AB于点D,E,F是CD上的两点,且∠ACB=∠AED=∠BFD.若AD=8,BD=12,tan∠ACB=2,则CD的长为 ( ) A.14 B.16 C.18 D.20 12. 如图,在△ABC中,AB=AC,P,D分别是BC,AC边上的点,且∠APD=∠B. 求证: (1)△ABP∽△PCD. (2)AB·CD=CP·BP. 模型7 手拉手模型 模型分析 特征:共顶点,等顶角,BD,CE为拉手线.已知:∠BAC=∠DAE,∠ABC=∠ADE或=.结论:△ADE∽△ABC,△ABD∽△ACE. 14.如图,将△ABC绕点A旋转得到△ADE,连接BD,CE.求证:△ADB∽△AEC. 15. 如图,∠DAB=∠EAC,AD=6,AE=4,DE=9,AB=12,AC=8. (1)求证:△ADE∽△ABC. (2)求BC的长. 【参考答案】 1.3∶5 2.【解析】(1)证明:∵在四边形ABCD中,AB=CD,AD=BC, ∴四边形ABCD是平行四边形, ∴AD∥BC, ∴∠DAE=∠F,∠D=∠DCF, ∴△ADE∽△FCE. (2)∵四边形ABCD是平行四边形,且AB=4, ∴AB=CD=4. 又∵△ADE∽△FCE, ∴=. ∵AD=6,CF=2, ∴=, ∴DE=3. 3. 4.【解析】(1)证明:∵AG⊥BC,AF⊥DE, ∴∠AFE=∠AGC=90°, ∴∠AEF+∠EAF=90°,∠GAC+∠ACG=90°. ∵∠EAF=∠GAC, ∴∠AEF=∠ACG. ∵∠EAD=∠CAB, ∴△ADE∽△ABC. (2)∵△ADE∽△ABC, ∴=. ∵AD=BE=4,AE=3, ∴AB=BE+AE=4+3=7, ∴=, 解得AC=, ∴CD=AC-AD=-4=. 5. 6.【解析】(1)证明:∵AB=4,BC=8,BD=2, ∴=. ∵∠ABD=∠CBA, ∴△ABD∽△CBA. (2)作DE∥AB交AC于点E,如图所示,则△ABC∽△EDC, ∴=, 即=, 解得DE=3. 7.【解析】如图,连接BC. ∵AB是半圆O的直径, ∴∠ACB=90°. ∵CD⊥AB, ∴∠ADC=90°, ∴∠ACB=∠ADC. ∵∠A=∠A, ∴△ACD∽△ABC. ∴=. 设DB=x cm,则AD=4x cm,AB=5x cm. ∴=, 即5x·4x=(2)2, 解得x=,∴AD=4 cm. 8.【证明】(1)∵△ABD∽△ACE, ∴=.又∵∠A=60°, ∴∠ABD=30°, ∴==. 又∵∠A为公共角,∴△ABC∽△ADE. (2)由(1)可知,∵==,∴BC=2DE. 9.【解析】(1)证明:∵△ACD∽△ABC, ∴AC2=AD·AB. (2)如图,过点A作AM⊥AC交直线CD于点M,易证△ADM∽△BDC,===tan∠ACD=. 又∵tan∠ACH==,∴CH=2FH. 又∵∠ACH=∠FEC, ∴tan∠FEC=tan∠ACD==, ∴EH=2CH, ∴EH=4FH, ∴=. 10. 11.【解析】(1)∵如图,BC=9, ∴PC=9-BP. ①∵△BAP∽△CDP, ∴=,即=, 解得BP=6. ②∵△BAP∽△CPD, ∴=,即=, 解得BP=8或BP=1. (2)当△BAP与△CDP都是等腰直角三角形时,这两个三角形相似, 此时∠BPA=∠CPD=45°, 则BP+PC=BC=AB+CD=6. 当∠BAP=∠CPD时,△BAP∽△CPD, ∴=,即=, ∴BP2-mBP+8=0, ∴Δ=m2-32=0, ∴m=4或m=-4(舍去). 综上所述,当m=6或m=4时,使得△BAP与△CDP相似. 12.B 13.【证明】(1)∵AB=AC, ∴∠B=∠C. ∵∠APD=∠B,∠APC=∠BAP+∠B=∠APD+∠DPC, ∴∠BAP=∠CPD. ∴△ABP∽△PCD. (2)∵△ABP∽△PCD, ∴=, ∴AB·CD=CP·BP. 14.【证明】∵将△ABC绕点A旋转得到△ADE, ∴AC=AE,AB=AD,∠BAC=∠DAE, ∴=,∠BAC+∠CAD=∠CAD+∠DAE, ∴∠BAD=∠CAE,∴△ADB∽△AEC. 15.【解析】(1)证明:∵∠DAB=∠EAC, ∴∠DAB+∠BAE=∠BAE+∠EAC, 即∠DAE=∠BAC. ∵AD=6,AE=4,AB=12,AC=8, ∴==, ∴△ADE∽△ABC. (2)由(1)可知△ADE∽△ABC, ∴=,即=, ∴BC=18. 学科网（北京）股份有限公司 $$