4.3.1 第1课时 等比数列的概念及通项公式-【名师导航】2025-2026学年高中数学选择性必修第一册教师用书word（苏教版）

本讲义聚焦等比数列的概念及通项公式，从《孙子算经》“出门望九堤”问题引入，通过定义辨析（符号语言、易错点）、公式推导（与指数函数联系），结合判断证明、基本运算及综合应用，构建“概念-公式-应用”学习支架，助力学生系统掌握知识。 资料以古代数学问题激发学习兴趣，通过定义辨析和多种证明方法培养逻辑推理素养，规范解题步骤提升数学表达能力。课中辅助教师分层教学，课后分层作业帮助学生查漏补缺，强化知识应用与核心素养发展。

4.3　等比数列 4.3.1　等比数列的概念 4.3.2　等比数列的通项公式 第1课时　等比数列的概念及通项公式 学习任务 核心素养 1．理解等比数列的概念．掌握等比数列的通项公式及其应用．(重点、难点) 2．熟练掌握等比数列的判定方法．(易错点) 1．通过对等比数列的通项公式的学习及应用，培养数学运算素养． 2．借助等比数列的判定与证明，培养逻辑推理素养． 我们古代数学名著《孙子算经》中有一个有趣的问题叫“出门望九堤”：“今有出门望见九堤，堤有九木，木有九枝，枝有九巢，巢有九禽，禽有九雏，雏有九毛，毛有九色，问各几何？” 1．你能写出“出门望九堤”问题构成的数列吗？ 2．对上述数列，如何表示相邻两项的关系(an＋1与an)? 知识点1　等比数列的概念 文字语言 一般地，如果一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的比都等于同一个常数，那么这个数列就叫作等比数列，这个常数叫作等比数列的公比，公比通常用字母q表示 符号语言 ＝q(q为常数，q≠0，n∈N*) 1．思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)若一个数列从第2项起每一项与前一项的比为常数，则该数列为等比数列． (　　) (2)等比数列的首项不能为零，但公比可以为零． (　　) (3)常数列一定为等比数列． (　　) [提示]　(1)错误，根据等比数列的定义，只有比值为同一个常数时，该数列才是等比数列；(2)错误，根据等比数列的定义知此说法错误；(3)错误，当常数列不为零数列时，该数列才是等比数列． [答案]　(1)×　(2)×　(3)× 2．下列数列是等比数列的是(　　) A．3，9，15，21，27 B．1，1.1，1.21，1.331，1.464 C． D．4，－8，16，－32，64 D　[ABC均不满足定义中＝q，只有D满足＝－2．故选D．] 知识点2　等比数列的通项公式 一般地，对于等比数列{an}的第n项an，有an＝a1·qn-1．这就是等比数列{an}的通项公式，其中a1为首项，q为公比． 3．已知在数列{an}中，a1＝2，an＋1＝2an，则a3＝________． 8　[由an＋1＝2an知{an}为等比数列，q＝2．又a1＝2，∴a3＝2×22＝8．] [知识拓展]　等比数列与指数函数的关系 等比数列的通项公式可整理为an＝·qn，而y＝·qx(q≠1)是一个不为0的常数与指数函数qx的乘积，从图象上看，表示数列中的各项的点是函数y＝·qx的图象上的孤立点． 类型1　等比数列的判断与证明 【例1】　【链接教材P155例1】 已知数列{an}的前n项和为Sn＝2n＋a，试判断{an}是否是等比数列． 1．如何由Sn＝2n＋a得到an? [提示]　利用an＝Sn－Sn－1(n2)． 2．若数列{an}是等比数列，易知有＝q(q为常数，且q≠0)或＝an·an＋2(an≠0，n∈N*)成立．反之，能说明数列{an}是等比数列吗？ [提示]　能．数列{an}满足＝q(q为常数，q≠0)或＝an·an＋2(an≠0，n∈N*)都能说明{an}是等比数列． [解]　an＝Sn－Sn－1＝2n＋a－2n-1－a＝2n-1(n2)．当n2时，＝＝2； 当n＝1时，＝＝． 故当a＝－1时，数列{an}成等比数列，其首项为1，公比为2；当a≠－1时，数列{an}不是等比数列． [母题探究] 1．(变条件，变结论)将例题中的条件“Sn＝2n＋a”变为“a1＝2，an＋1＝4an－3n＋1(n∈N*)”． (1)证明：数列{an－n}是等比数列； (2)求出{an}的通项公式． [解]　(1)证明：由an＋1＝4an－3n＋1，得an＋1－(n＋1)＝4(an－n)，n∈N*． 因为a1－1＝1≠0，所以an－n≠0，所以＝4， 所以数列{an－n}是首项为1，公比为4的等比数列． (2)由(1)，可知an－n＝4n-1， 于是数列{an}的通项公式为an＝4n-1＋n． 2．(变条件)将例题中的条件“Sn＝2n＋a”变为“Sn＝2－an”．求证：数列{an}是等比数列． [证明]　∵Sn＝2－an， ∴Sn＋1＝2－an＋1， ∴an＋1＝Sn＋1－Sn＝(2－an＋1)－(2－an)＝an－an＋1， ∴an＋1＝an． 又∵S1＝a1＝2－a1，∴a1＝1≠0． 又由an＋1＝an知an≠0， ∴＝，∴{an}是等比数列． 【教材原题·P155例1】 判断下列数列是否为等比数列： (1)1，1，1，1，1； (2)0，1，2，4，8； (3)1，－，－． [解]　(1)所给数列是首项为1，公比为1的等比数列． (2)因为0不能作除数，所以这个数列不是等比数列． (3)所给数列是首项为1，公比为－的等比数列． 　有关等比数列的判断证明方法 定义法 ＝q(q为常数且不为零，n∈N*)⇔{an}为等比数列 中项公式法 ＝anan＋2(n∈N*且an≠0)⇔{an}为等比数列 通项公式法 an＝a1qn-1(a1≠0且q≠0)⇔{an}为等比数列 类型2　等比数列通项公式的基本运算 【例2】　【链接教材P158例4】 已知等比数列{an}． (1)若a4＝2，a7＝8，求an； (2)若a2＋a5＝18，a3＋a6＝9，an＝1，求n． [解]　设等比数列{an}首项为a1，公比为q． (1)法一：因为所以 由得q3＝4，从而q＝，而a1q3＝2， 于是a1＝＝，所以an＝a1qn-1＝2． 法二：因为a7＝a4q3，所以q3＝4，q＝． 所以an＝a4qn-4＝2·(． (2)法一：因为 由得q＝，从而a1＝32， 又an＝1，∴32×＝1． 即26-n＝20，所以n＝6． 法二：因为a3＋a6＝q(a2＋a5)， 所以q＝． 由a1q＋a1q4＝18，知a1＝32． 由an＝a1qn-1＝1，知n＝6． 【教材原题·P158例4】 在等比数列{an}中， (1)已知a1＝3，q＝－2，求a6； (2)已知a3＝20，a6＝160，求an． [解]　(1)由等比数列的通项公式，得 a6＝3×(－2)6-1＝－96． (2)设等比数列的公比为q，那么 解得 所以an＝a1qn-1＝5×2n-1． 　1．等比数列的通项公式涉及4个量a1，an，n，q，只要知道其中任意三个就能求出另外一个，在这四个量中，a1和q是等比数列的基本量，只要求出这两个基本量，问题便迎刃而解． 2．关于a1和q的求法通常有以下两种方法： (1)根据已知条件，建立关于a1，q的方程组，求出a1，q后再求an，这是常规方法． (2)充分利用各项之间的关系，直接求出q后，再求a1，最后求an，这种方法带有一定的技巧性，能简化运算． [跟进训练] 1．已知等比数列{an}． (1)若an＝128，a1＝4，q＝2，求n； (2)若an＝625，n＝4，q＝5，求a1； (3)若a1＝2，a3＝8，求公比q和通项公式． [解]　(1)∵an＝a1·qn-1＝128，a1＝4，q＝2， ∴4·2n-1＝128， ∴2n-1＝32， ∴n－1＝5，n＝6． (2)∵an＝a1·qn-1＝625，n＝4，q＝5，∴a1＝＝＝5． (3)a3＝a1·q2，即8＝2q2， ∴q2＝4，∴q＝±2． 当q＝2时，an＝a1qn-1＝2·2n-1＝2n， 当q＝－2时，an＝a1qn-1＝2·(－2)n-1＝(－1)n-12n， ∴数列{an}的公比q为2或－2， 对应的通项公式为an＝2n或an＝(－1)n-12n． 类型3　等比数列定义与通项公式的综合应用 【例3】　在各项均为负数的数列{an}中，已知2an＝3an＋1(n∈N*)，且a2·a5＝． (1)求证：{an}是等比数列，并求出其通项； (2)试问－是这个等比数列中的项吗？如果是，指明是第几项；如果不是，请说明理由． [解]　(1)证明：∵2an＝3an＋1，∴＝． 又∵数列{an}的各项均为负数，∴a1≠0， ∴数列{an}是以为公比的等比数列． ∴an＝a1·qn-1＝a1·． ∴a2＝a1·＝a1，a5＝a1·＝a1，又∵a2·a5＝a1·a1＝＝． 又∵a1＜0，∴a1＝－． ∴an＝＝－(n∈N*)． (2)令an＝－＝－， 则n－2＝4，n＝6∈N*， ∴－是这个等比数列中的项，且是第6项． 　1．已知数列的前n项和或前n项和与通项的关系求通项，常用an与Sn的关系求解． 2．由递推关系an＋1＝Aan＋B(A，B为常数，且A≠0，A≠1)求an时，由待定系数法设an＋1＋λ＝A(an＋λ)，可得λ＝，这样就构造了等比数列{an＋λ}． [跟进训练] 2．设关于x的二次方程anx2－an＋1x＋1＝0(n＝1，2，3，…)有两根α和β，且满足6α－2αβ＋6β＝3． (1)试用an表示an＋1； (2)求证：是等比数列； (3)当a1＝时，求数列{an}的通项公式及项的最值． [解]　(1)根据根与系数的关系，得 代入题设条件6(α＋β)－2αβ＝3，得＝3． 所以an＋1＝an＋． (2)证明：因为an＋1＝an＋，所以an＋1－＝． 若an＝，则方程anx2－an＋1x＋1＝0， 可化为x2－x＋1＝0，即2x2－2x＋3＝0． 此时Δ＝(－2)2－4×2×3＜0， 所以an≠， 即an－≠0． 所以数列是以为公比的等比数列． (3)当a1＝时， a1－＝， 所以数列是首项为，公比为的等比数列． 所以an－＝＝， 所以an＝，n＝1，2，3，…， 即数列{an}的通项公式为an＝，n＝1，2，3，…． 由函数y＝在(0，＋∞)上单调递减知当n＝1时，an的值最大，即最大值为a1＝，无最小值． 1．在等比数列{an}中，若a1＜0，a2＝18，a4＝8，则公比q等于(　　) A． B． C．－ D．或－ C　[由解得或 又a1＜0，因此q＝－．] 2．如果－1，a，b，c，－9成等比数列，那么(　　) A．b＝3，ac＝9 B．b＝－3，ac＝9 C．b＝3，ac＝－9 D．b＝－3，ac＝－9 B　[因为b2＝(－1)×(－9)＝9，且b与首项－1同号，所以b＝－3，且a，c必同号．所以ac＝b2＝9．] 3．在等比数列{an}中，若a3＝3，a4＝6，则a5＝________． 12　[由q＝＝＝2，所以a5＝a4q＝12．] 4．在等比数列{an}中，若公比q＝4，且前三项之和等于21，则该数列的通项公式an＝________． 4n-1　[由题意知a1＋4a1＋16a1＝21，解得a1＝1，所以通项公式an＝4n-1．] 5．(源自湘教版教材)已知数列{an}是公比为q的等比数列． (1)若a2＝2，a5＝54，求{an}的通项公式； (2)若a1＝125，q＝0.2，an＝3.2×10-4，求n． [解]　(1)由等比数列的通项公式可知， 这是一个关于a1和q的方程组，②÷①得q3＝27，即q＝3． 因此，a1＝． 因此，数列{an}的通项公式是an＝×3n-1＝2×3n-2． (2)由等比数列的通项公式，得an＝a1qn-1＝125×＝54-n． 又an＝3.2×10-4＝5-5， 因此，54-n＝5-5，得n＝9． 回顾本节知识，自我完成以下问题： 1．等比数列的定义与通项公式是什么？ [提示]　一般地，如果一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的比都等于同一个常数，那么这个数列就叫作等比数列，其通项公式为an＝a1·qn-1． 2．判断一个数列是等比数列的方法有哪些？ [提示]　(1)定义法：利用＝q(q为常数且不为零，n∈N*)； (2)中项公式法：利用＝anan＋2(n∈N*且an≠0)； (3)通项公式法：利用an＝a1qn-1(a1≠0且q≠0)． 课时分层作业(二十六)　等比数列的概念及通项公式 一、选择题 1．在等比数列{an}中，a2 026＝8a2 025，则公比q的值为(　　) A．2 B．3 C．4 D．8 D　[因为a2 026＝8a2 025， 所以a1q2 025＝8a1·q2 024， 解得q＝8．] 2．已知数列{an}是递增的等比数列，a6－a2＝40，a4＋a2＝10，则a1＝(　　) A． B． C． D． A　[由条件知，a2(q4－1)＝40①且a2(q2＋1)＝10②，①÷②得q2－1＝4，∴q＝，把q＝代入②得a2＝＝＝＝．] 3．已知一等比数列的前三项依次为x，2x＋2，3x＋3，那么－是此数列的(　　) A．第2项 B．第4项 C．第6项 D．第8项 B　[由题意知(2x＋2)2＝x(3x＋3)，解得x＝－1(舍)或x＝－4， ∴首项为－4，公比为． ∴由－4×＝－，解得n＝4．] 4．已知－1，a1，a2，－4成等差数列，－1，b1，b2，b3，－4成等比数列，则的值是(　　) A． B．－ C．或－ D． A　[由于－1，a1，a2，－4成等差数列，设公差为d，则a2－a1＝d＝[(－4)－(－1)]＝－1． ∵－1，b1，b2，b3，－4成等比数列， ＝(－1)×(－4)＝4，∴b2＝±2． 若设公比为q，则b2＝(－1)·q2，∴b2＜0，∴b2＝－2， ∴＝＝．] 5．已知各项均为正数的等比数列{an}单调递增，且a1·a3＝36，a1＋a2＋a3＝26，则a4＝(　　) A．24 B．36 C．48 D．54 D　[因为a1·a3＝36，且为各项是正数的等比数列，得a2＝6，所以由于为递增的等比数列，可得∴q2＝＝9．∵an＞0，∴q＝3．∴a4＝a1q3＝2×33＝54．故选D．] 二、填空题 6．已知{an}为等比数列，a2a4a5＝a3a6，a9a10＝－8，则a7＝________． －2　[设数列{an}的公比为q，则由a2a4a5＝a3a6，得a1q·a1q3·a1q4＝a1q2·a1q5．又a1≠0，且q≠0，所以可得a1q＝1．　① 又a9a10＝a1q8·a1q9＝q17＝－8，　② 所以由①②可得q15＝－8，q5＝－2，所以a7＝a1q6＝a1q·q5＝－2．] 7．在9与243中间插入两个数，使它们同这两个数成等比数列，则这两个数为________． 27，81　[设该数列的公比为q，由题意知， 243＝9×q3，得q3＝27，所以q＝3． 所以插入的两个数分别为9×3＝27，27×3＝81．] 8．设等比数列满足a1＋a3＝10，a2＋a4＝5，则a1a2…an的最大值为________． 64　[设等比数列的公比为q，由得解得所以a1a2…an＝q1+2+…＋(n-1)＝8n×＝2－n2＋n，于是当n＝3或4时，a1a2…an取得最大值26＝64．] 三、解答题 9．(源自人教A版教材)若等比数列{an}的第4项和第6项分别为48和12，求{an}的第5项． [解]　由a4＝48，a6＝12，得 ②的两边分别除以①的两边，得q2＝． 解得q＝或－． 把q＝代入①，得a1＝384． 此时a5＝a1q4＝384×＝24． 把q＝－代入①，得a1＝－384． 此时a5＝a1q4＝－384×＝－24． 因此，{an}的第5项是24或－24． 10．已知各项都为正数的数列{an}满足a1＝－(2an＋1－1)an－2an＋1＝0． (1)求a2，a3； (2)求{an}的通项公式． [解]　(1)由题意可得a2＝，a3＝． (2)由－(2an＋1－1)an－2an＋1＝0得2an＋1(an＋1)＝an(an＋1)．因为{an}的各项都为正数，所以＝． 故{an}是首项为1，公比为的等比数列，因此an＝(n∈N*)． 11．已知等比数列{an}中，各项都是正数，且a1，a3，2a2成等差数列，则等于(　　) A．＋1 B．3＋2 C．3－2 D．2－3 C　[设等比数列{an}的公比为q， 由于a1，a3，2a2成等差数列， 则2×＝a1＋2a2，即a3＝a1＋2a2， 所以a1q2＝a1＋2a1q． 由于a1≠0， 所以q2＝1＋2q， 解得 q＝1±． 又等比数列{an}中各项都是正数， 所以q>0，所以q＝1＋． 所以＝＝＝＝3－2．] 12．(多选题)有下列四个说法，正确的是(　　) A．等比数列中的每一项都不可以为0 B．等比数列中公比的取值范围是(－∞，＋∞) C．若一个常数列是等比数列，则这个常数列的公比为1 D．若b2＝ac，则a，b，c成等比数列 AC　[对于A，因为等比数列中的各项都不为0，所以A正确；对于B，因为等比数列的公比不为0，所以B不正确；对于C，若一个常数列是等比数列，则这个常数不为0，根据等比数列的定义知此数列的公比为1，所以C正确；对于D，只有当a，b，c都不为0时，a，b，c才成等比数列，所以D不正确．因此，正确的说法有AC，故选AC．] 13．已知{an}是等差数列，公差d不为零．若a2，a3，a7成等比数列，且2a1＋a2＝1，则a1＝________，d＝________． 　－1　[∵a2，a3，a7成等比数列＝a2a7， ∴(a1＋2d)2＝(a1＋d)(a1＋6d)，即2d＋3a1＝0． ① 又∵2a1＋a2＝1，∴3a1＋d＝1． ② 由①②解得a1＝，d＝－1．] 14．商家通常依据“乐观系数准则”确定商品销售价格，及根据商品的最低销售限价a，最高销售限价b(b＞a)以及常数x(0＜x＜1)确定实际销售价格c＝a＋x(b－a)．这里，x被称为乐观系数．经验表明，最佳乐观系数x恰好使得b－c，c－a ，b－a成等比数列，据此可得，最佳乐观系数x的值等于________． 　[因为b－c，c－a ，b－a成等比数列，即(c－a)2＝(b－c)(b－a)，把c＝a＋x(b－a)代入上式，得x2(b－a)2＝[b－a－x(b－a)](b－a)，即x2(b－a)2＝(1－x)(b－a)2．因为b＞a，所以b－a≠0，所以x2＝1－x，即x2＋x－1＝0，解得x＝或x＝(舍去)．] 15．数列{an}的前n项和记为Sn，已知a1＝1，an＋1＝Sn(n＝1，2，3，…)．证明： (1)数列是等比数列； (2)Sn＋1＝4an． [证明]　(1)∵an＋1＝Sn＋1－Sn，an＋1＝Sn， ∴(n＋2)Sn＝n(Sn＋1－Sn)． 整理，得nSn＋1＝2(n＋1)Sn， ∴＝2·． 又当n＝1时，S1＝a1＝1，∴＝1． 故是以1为首项，2为公比的等比数列． (2)由(1)知＝4·且an＝Sn－1(n2)． 于是Sn＋1＝4(n＋1)·＝4an(n2)， 又∵a2＝3S1＝3， 故S2＝a1＋a2＝4a1． 因此对于任意正整数n1， 都有Sn＋1＝4an． 14 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $