第07讲 一元二次方程及其应用（练习，20题型模拟练+重难练+真题练）-【上好课】2025年中考数学一轮复习讲练测（全国通用）

第二章 方程与不等式 第07讲 一元二次方程及其应用 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 2 / 4 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 👉题型01 一元二次方程的定义 👉题型02 已知一元二次方程的解求未知数/代数式的值 👉题型03 选用合适的方法解一元二次方程 👉题型04 以注重过程性学习的形式考查解一元二次方程 👉题型05 配方法的应用 👉题型06 以开放性试题的形式考查解一元二次方程 👉题型07 不解方程，判断一元二次方程根的情况 👉题型08 根据根的情况确定一元二次方程中字母的值/取值范围 👉题型09 利用根的判别式求代数式的值 👉题型10 以开放性试题的形式考查根的判别式 👉题型11 不解方程，求方程中参数的值 👉题型12 不解方程，求出与方程两根有关的代数式的值 👉题型13 已知一元二次方程的解满足的情况求参数值 👉题型14 一元二次方程的实际应用-传播/循环问题 👉题型15 一元二次方程的实际应用-变化率问题 👉题型16 一元二次方程的实际应用-几何问题 👉题型17 一元二次方程的实际应用-营销问题 👉题型18 一元二次方程的实际应用-动态几何问题 👉题型19 以真实问题情境为背景考查一元二次方程的实际应用 👉题型20 以数学文化为背景考查一元二次方程的实际应用 👉题型01 一元二次方程的定义 1．（2024·湖南郴州·模拟预测）下列方程中是一元二次方程的是（    ） A． B． C． D． 2．（2024·广西桂林·二模）一元二次方程的一次项系数是 ． 3．（2024·福建福州·模拟预测）已知关于x的一元二次方程，若一次项系数与常数项相等，则a的值为 ． 4．（2024·广东肇庆·一模）二次项系数为，且两根分别为，的一元二次方程为 ．（写成的形式） 👉题型02 已知一元二次方程的解求未知数/代数式的值 5．（2024·云南昆明·一模）若是方程的一个根，则代数式的值为（   ） A． B． C． D． 6．（2024·湖北武汉·模拟预测）已知方程的两根分别为，，则的值为（    ） A．1 B． C．2024 D． 7．（2024·江西·模拟预测）设m，n是方程的两个实数根，则的值为 ． 8．（2024·湖南郴州·模拟预测）已知关于x的一元二次方程的一个根是1，求它的另一个根及m的值． 👉题型03 选用合适的方法解一元二次方程 9．（2024·甘肃·模拟预测）解方程：． 10．（2024·湖南郴州·模拟预测）解方程： (1) (2) 11．（2024·黑龙江齐齐哈尔·模拟预测）解方程：． 12．（2024·宁夏银川·一模）下面是某老师讲解一元二次方程的解法时在黑板上的板书过程：请认真阅读并完成任务． 解方程：． 解：，                第一步 ，        第二步 ，                    第三步 ，                        第四步 ，．                第五步 (1)任务一： ①杨老师解方程的方法是 ； A．直接开平方法            B．配方法                C．公式法    D．因式分解法 ②第二步变形的依据是 ； (2)任务二： 解方程：； 👉题型04 以注重过程性学习的形式考查解一元二次方程 13．（2024·河北石家庄·模拟预测）下面是小华同学解方程的过程： 解方程：． 解：移项，得 …………第一步 两边同时除以，得 …………第二步 ∴．……………………………………第三步 (1)小华同学的解题过程从第________步开始出现错误，错误的原因是________； (2)请你写出正确的解题过程． 14．（2024·江西景德镇·二模）小明在学习了用配方法解一元二次方程后，解方程的过程如下： (1)小明的解题过程从第__________步开始出现了错误； (2)请利用配方法正确地解方程． 15．（2024·宁夏银川·二模）下面是小明用因式分解法解一元二次方程的过程，请仔细阅读，并完成相应的问题． 解一元二次方程： 解：原方程可以化为：第一步 两边同时除以得：第二步 系数化为1，得：第三步 任务： (1)小明的解法是不正确的，他从第_________步开始出现了错误； (2)请你继续用因式分解法完成这个方程的正确解题过程． 16．（2024·山西临汾·一模）（1）计算：； （2）下面是小刚同学和小颖同学解一元二次方程的过程，请仔细阅读并完成相应的任务． 小刚同学： 解：第一步 第二步 解得第三步 小颖同学： 解：第一步 第二步 第三步 或第四步 解得或第五步 任务一： ①小刚同学的解答过程中，从第_________步开始出现错误．错误的原因是__________； ②小颖同学的解答过程中，从第_________步开始出现错误．错误的原因是_________． 任务二：该一元二次方程的解为__________． 👉题型05 配方法的应用 17．（2024·内蒙古包头·模拟预测）若是方程的一个解，则代数式的最小值为 ． 18．（2024·河北邢台·模拟预测）已知，图1中阴影面积为，图2中阴影面积为． (1)用含x的代数式表示，；当时，求的值； (2)比较与的大小，并说明理由． 19．（2024·广东东莞·一模）综合与探究 【阅读理解】 我们在分析解决某些数学问题时，经常要比较两个数或代数式的大小，解决问题的策略一般都是进行一定的转化，其中“作差法”就是常用的方法之一．作差法：就是通过作差、变形，利用差的符号确定它们的大小，即要比较代数式的大小，只要算的值，若，则；若，则；若，则． 【知识运用】 （）请用上述方法比较下列代数式的大小（用“、、”填空）： ______； ______； （）试比较与与的大小，并说明理由； 【类比运用】 （）图（）是边长为的正方形，将正方形一组对边保持不变，另一组对边增加得到如图（）所示的长方形，此长方形的面积为；将正方形的边长增加，得到如图（）所示的大正方形，此正方形的面积为．请先判断与的大小关系，并说明理由． 👉题型06 以开放性试题的形式考查解一元二次方程 20．（2024·湖北·模拟预测）请写一个一元二次方程，使得它的一个根为2，另一个根为负数，则这个一元二次方程可以是 ．（写一个即可） 21．（2022·广东汕头·二模）请写出一个符合以下所有条件的一元二次方程：（1）二次项的系数为负数；（2）一个实数根为的整数部分，另一个实数根为－4，则这个一元二次方程可以是 ．（任意写一个符合条件的即可）． 22．（2024·浙江·模拟预测）设一元二次方程．在下面的四组条件中任意选择一组作为条件，解这个方程． ①，，． ②． ③，． ④，（，分别是该方程的两个根）． 注：如果选择多组条件分别作答，按第一个解答计分． 👉题型07 不解方程，判断一元二次方程根的情况 23．（2024·云南曲靖·一模）一元二次方程的根的情况是（    ） A．有两个不相等的实数根 B．无实数根 C．有两个相等的实数根 D．无法确定 24．（2023·河南商丘·二模）关于x的方程的根的情况是（   ） A．有两个相等的实数根 B．有两个不相等的实数根 C．只有一个实数根 D．无实数根 25．（2024·山西·模拟预测）下列一元二次方程中，没有实数根的是（    ） A． B． C． D． 26．（2024·山西长治·模拟预测）关于的一元二次方程的根的情况是（    ） A．没有实数根 B．有两个相等的实数根 C．有两个不相等的实数根 D．实数根的个数与实数m的取值有关 👉题型08 根据根的情况确定一元二次方程中字母的值/取值范围 27．（2024·甘肃兰州·模拟预测）关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，则满足条件的实数（　　） A．0 B．或1 C．1 D．或2 28．（2024·新疆乌鲁木齐·三模）等腰三角形三边长分别为a，b，3，且a，b是关于x的一元二次方程的两根，则m的值为（    ） A．4 B．5 C．4或5 D．3或4 29．（2024·湖南·模拟预测）关于的一元二次方程有两不等实数根，则的取值范围是 ． 30．（2024·贵州贵阳·一模）关于的一元二次方程有两个实数根，则实数的值可能是 ． 31．（2024·贵州黔东南·二模）若关于的方程没有实数根，则的取值范围是 ． 👉题型09 利用根的判别式求代数式的值 32．（2024·广东清远·模拟预测）已知关于x的方程有两个相等的实数根，则的值为（    ） A． B． C．3 D． 33．（2022·广东广州·一模）一元二次方程有两个相等的实数根，则的值为（　　　） A． B． C． D． 34．（2021·山东淄博·二模）若关于x的一元二次方程x2﹣2kx＋1﹣4k＝0有两个相等的实数根，则代数式（k﹣2）2＋2k（1﹣k）的值为（    ） A．3 B．﹣3 C． D． 35．（2024·湖北武汉·模拟预测）已知a，b分别为方程的两个不相等的实数根，则值为（   ） A． B． C．2 D．4 👉题型10 以开放性试题的形式考查根的判别式 36．（2022·福建漳州·模拟预测）若关于x的方程有两个不相等的实数根，则k的值可以是 ．（写一个即可） 37．（2024·河南郑州·模拟预测）若关于x的一元二次方程有实数根，且m为正整数，请写出一个合适的m值 ． 38．（2024·江苏泰州·二模）已知一元二次方程有两个实数根，两根之和为负数，则m的值可以是 ．（填一个值即可）． 👉题型11 不解方程，求方程中参数的值 39．（2024·云南曲靖·一模）已知关于x的方程有一个根为，则另一个根为（    ） A． B． C．2 D． 40．（2024·广东湛江·模拟预测）已知是方程的两个实数根，则 ． 41．（2024·山东枣庄·一模）已知3是关于x的方程的一个根，并且这个方程的两个根恰好是菱形的两条对角线的长，则菱形的面积为 ． 👉题型12 不解方程，求出与方程两根有关的代数式的值 42．（2024·湖北宜昌·一模）已知m、n是一元二次方程的两个实数根，则代数式的值等于（   ） A． B． C． D． 43．（2024·湖北·模拟预测）已知一元二次方程的两根分别为m，n，则的值是（       ） A．18 B． C． D．12 44．（2024·贵州铜仁·一模）已知关于x的方程的两实数根为，，若，则的值为（    ） A．1 B． C．3 D．5 45．（2024·湖北十堰·三模）若是一元二次方程的两个实数根，多项式的值是 ． 46．（2024·四川内江·二模）已知，是方程的两个实数根，则代数式的值为 ． 👉题型13 已知一元二次方程的解满足的情况求参数值 47．（2024·湖南株洲·模拟预测）关于x的一元二次方程有两个根，且满足，则m的值为 ． 48．（2024·贵州遵义·模拟预测）已知，是关于的方程的两个实数根，且，则的值为 ． 49．（2024·湖北随州·一模）已知关于x的一元二次方程． (1)求证：该方程总有实数根； (2)设该方程的两个实数根分别为，，若，，求a的取值范围． 50．（2024·四川眉山·二模）已知关于的一元二次方程有实数根． (1)求的取值范围； (2)设方程两实数根分别为、，且满足，求的取值范围． 👉题型14 一元二次方程的实际应用-传播/循环问题 51．（2024·湖北·模拟预测）某种植物的主干长出若干数目的支干，每个支干又长出同样数目的小分支，主干、支干和小分支的总数是73，设每个支干长出x个小分支，则可列方程为（    ） A． B． C． D． 52．（2024·贵州黔东南·二模）化学课代表在老师的培训下，学会了高锰酸钾制取氧气的实验室制法，回到班上后，第一节课手把手教会了若干名同学，第二节课会做该实验的每个同学又手把手教会了同样多的同学，这样全班49人恰好都会做这个实验了．问一个人每节课手把手教会了多少名同学？ 53．（2024·山东济南·模拟预测）在一次足球邀请赛中，参赛的每两个队之间都要比赛一场．若共比赛了15场，则参赛的球队数为 ． 👉题型15 一元二次方程的实际应用-变化率问题 54．（2024·云南曲靖·一模）收发微信红包已成为各类人群进行交流联系、增强感情的一种方式，如图所示是甜甜和她的妹妹在六一儿童节期间的对话： 请问：2020年到2022年甜甜和她妹妹在“六一”收到红包的年增长率是多少？ 55．（2024·广西南宁·模拟预测）某商场一种商品的进价为30元/件，售价为40元/件，经统计销量发现，该商品平均每天可以销售48件．商场为尽快减少该商品的库存，决定对该商品进行降价促销活动． (1)对该商品进行了两次降价后的售价为32.4元/件，求平均每次降价的百分率． (2)经调查，若该商品每件降价1元，则每天可多销售8件．若商场销售该商品想要每天获得504元的利润，则每件应降价多少元？ 👉题型16 一元二次方程的实际应用-几何问题 56．（2024·贵州贵阳·一模）被誉为“蕴藏着人类上古文明密码的哲学之书”的古老苗绣，在贵州文旅市场和时尚行业中，展现出匠人匠心的“针”功夫．小星奶奶手绣了一幅长为、宽为的矩形绣品(如图所示)，为了完好保存绣品，计划将其塑封，塑封时需四周留白(上下左右宽度相同)，且塑封后整幅图的面积为，设留白部分的宽度为，则可列方程为（  ） A． B． C． D． 57．（2024·辽宁·模拟预测）如图，公园原有一块长、宽 的矩形空地．后来在这块空地中划出不同区域种植不同品种的鲜花，中间铺设同样宽度的石子路将各区域间隔开．已知各区域鲜花面积的和为，求所铺设的石子路的宽度． 58．（2024·浙江绍兴·模拟预测）根据以下素材，完成探索任务． 探索果园土地规划和销售利润问题 素材1 某农户承包了一块长方形果园，图1是果园的平面图，其中米，米．准备在它的四周铺设道路，上下两条横向道路的宽度都为米，左右两条纵向道路的宽度都为米，中间部分种植水果．已知道路的路面造价是每平方米50元；出于货车通行等因素的考虑，横向道路宽度不超过24米，且不小于10米． 素材2 该农户发现某一种草莓销售前景比较不错，经市场调查，草莓培育一年可产果，已知每平方米的草莓销售平均利润为100元；果园每年的承包费为25万元，期间需一次性投入33万元购进新苗，每年还需25万元的养护、施肥、运输等其余费用． 问题解决 任务1 解决果园中路面宽度的设计对种植面积的影响． （1）请直接写出纵向道路宽度的取值范围． （2）若中间种植的面积是44800平方米，则路面设置的宽度是否符合要求． 任务2 解决果园种植的预期利润问题．（净利润草莓销售的总利润路面造价费用果园承包费用新苗购置费用其余费用） （3）经过1年后，农户是否可以达到预期净利润400万元？请说明理由． 👉题型17 一元二次方程的实际应用-营销问题 59．（2024·山西大同·模拟预测）阅读与思考 下面是小明在数学笔记本上记录的父亲工厂里实际出现过的一个问题，请认真阅读，并帮助小明解答小明父亲给的以下任务： 小明父亲的工厂里加工一款纪念品，每件成本为元，投放景区内进行销售，售价不得低于成本价且利润率不高于，销售一段时间后市场调研发现，每天的销售数量y（件）与销售单价x（元/件）满足一次函数关系，部分数据如下表所示： 销售单价x（元/件） … … 每天销售数量y（件） … … （1）直接写出y与x的函数关系式； （2）当销售单价为多少元时，每天获利最大？最大利润是多少元？ （3）若每天销售所得利润为元，那么销售单价应定为多少元？ 任务一：要解决小明父亲提出的问题，主要运用的数学思想是________； A．公理化思想    B．统计思想    C．函数思想    D．分类思想 任务二：请帮助小明解决相关的3个问题． 60．（2024·湖南长沙·模拟预测）某景区新开发一款纪念品，每件成本为30元，投放景区内进行销售，规定销售单价不低于成本且不高于52元，并且为整数；销售一段时间调研发现，每天的销售数量y(单位：件)与销售单价x(单位：元/件)满足一次函数关系，部分数据如表所示： 销售单价x/(元/件) … 35 40 45 … 每天销售数量y/件 … 90 80 70 … (1)【探究】 根据上表中的数据，请判断和 (k，b为常数)哪一个能正确反映每天的销售数量y与销售单价x的函数关系？并求出y关于x的解析式； (2)【应用】 若每天销售所得利润为1200元，那么销售单价应定为多少元？ 👉题型18 一元二次方程的实际应用-动态几何问题 61．（2021·安徽·三模）我国古代著作《四元玉鉴》记载“买椽多少”问题：“六贯二百一十钱，遺人去买几株椽，每株脚钱三文足，无钱准与一株椽”，其大意为：现请人代买一批椽，这批椽的价钱为6210文，如果每株椽的运费是3文，那么少拿一株椽后，剩下的椽的运费恰好等于一株椽的价格，求这批椽的数量有多少株？ 62．（2024·甘肃武威·二模）如图，、、、为矩形的个顶点，，，动点从点出发，沿方向运动，动点同时从点出发，沿方向运动，如果点、的运动速度均为，经过多长时间、两点之间的距离是？ 63．（2023·贵州黔东南·一模）如图，在中，， ， ，点由点出发以的速度向终点匀速移动，同时点由点出发以/的速度向终点匀速移动，当一个点到达终点时另一个点也随之停止移动． (1)当点移动时间为秒时，的面积为多少？ (2)点移动多少秒时，的面积为？ (3)在点、的运动过程中，的面积是否会达到？为什么？ 👉题型19 以真实问题情境为背景考查一元二次方程的实际应用 64．（20224金华市模拟）电影《热辣滚烫》是2024贺岁档的最大惊喜，自上映以来，全国票房连创佳绩．据不完全统计，某市第一天票房收入约867万元，第三天累计票房收入约达到3046万元，设票房收入每天平均增长率为x，下面所列方程正确的是（    ） A． B． C． D． 65．（2024临川市模拟）“八月十五谓中秋，民间以月饼相送，取团圆之意”．每年中秋节前是购买月饼的高峰期，年中秋节前期某商场在销售一种月饼时发现，如果以元的单价销售，则每天可售出，如果销售单价每增加元，则每天的销售量会减少．该商场为使每天的销售额达到元，销售单价应为多少?设销售单价应为元，依题意可列方程为（    ） A． B． C． D． 66．（2024·山西大同·二模）2023年12月6日，中央广播电视总台2024龙年春晚吉祥物“龙辰辰”正式发布亮相．其从我国历史出土文物中提取“龙”的要素作为设计特色，精美别致，充满了趣味和古韵．某批发商场在春节前以60元的进价购进了一批龙辰辰玩偶，计划以每个80元销售．春节来临之际，为了让顾客得到实惠，现决定降价销售．已知玩偶销售量（单位：个）与每个玩偶的降价（单位：元）之间满足一次函数关系，其图象如图所示． (1)求与之间的函数关系式； (2)设商场销售个玩偶所获利润为（单位：元），请直接写出与之间的函数关系式：_____； (3)若商场要想获利2600元，且让顾客获得更大实惠，这种玩偶每个应降价多少元？ 67．（24-25九年级上·贵州毕节·期中）在2024国际射联射击世界杯总决赛上，中国射击运动员谢瑜以环的优异成绩摘得男子10米气手枪金牌，激励着千千万万的青少年坚定理想、奋力拼搏．谢瑜的家乡贵州省某地盛产核桃，某农户2022年种植核桃80公顷，他逐年扩大规模，到2024年，核桃种植面积达到了公顷． (1)求该农户这两年种植核桃公顷数的年均增长率； (2)某销售核桃的干果店经市场调查发现，当核桃售价为20元/时，每天能售出，售价每降低1元、每天可多售出，为了尽快减少库存，该店决定降价促销，已知核桃的平均成本价为12元/，若要使该店销售核桃每天获利1750元，则售价应降低多少元？ 68．（2024芜湖市模拟）2024巴黎奥运会吉祥物“”玩偶一经开售，就深受大家的喜爱，某商店以每个20元的价格购进该吉祥物玩偶，以每个35元的价格出售时，平均每天可售出30个，为扩大销售，该商店准备适当降价出售，经过一段时间测算，每个吉祥物每降低1元，平均每天可以多售出3个． (1)若该吉祥物玩偶的销售单价为32元，则当天的销售量为________个； (2)若该商店想每天销售该玩偶的利润为450元，那么每个玩偶应售价多少元？ 👉题型20 以数学文化为背景考查一元二次方程的实际应用 69．（2024·山西大同·三模）古今中外，许多数学家曾研究过一元二次方程的几何解法，以方程，即为例．三国时期数学家赵爽在其所著的《勾股圆方图注》中记载的方法是：构造图1，其中，大正方形的面积是，它又等于四个矩形的面积加上中间小正方形的面积，即，据此易得．公元9世纪，阿拉伯数学家阿尔·花拉子米采用的方法是：构造图2，其中，大正方形的面积为，它又等于，据此可得．上述求解过程中所用的数学思想方法是（    ） A．分类讨论思想 B．数形结合思想 C．函数方程思想 D．转化思想 70．（2023·宁夏银川·二模）伊斯兰数学家塔比伊本库拉在其著作《以几何方法证明代数问题》中讨论了二次方程的几何解法．例如：可以用如图来解关于的方程，其中为长方形，为正方形，且，，则几何图形中的某条线段就是方程的一个正根，则这个方程的正根是线段    71．（2020·江苏南通·中考真题）1275年，我国南宋数学家杨辉在《田亩比类乘除算法》中提出这样一个问题：直田积八百六十四步，只云阔不及长一十二步．问阔及长各几步．意思是：矩形面积864平方步，宽比长少12步，问宽和长各几步．若设长为x步，则可列方程为 ． 72．（2023·陕西西安·三模）我国古代数学著作《九章算术》中记载了一个问题：“今有邑方不知大小，各开中门，出北门三十步有木，出西门七百五十步见木，问：邑方几何？”．其大意是：如图，一座正方形城池，为北门中点，从点往正北方向走30步到处有一树木，为西门中点，从点往正西方向走750步到D处正好看到处的树木，设正方形城池的边长为x步．根据题意整理成一元二次方程的一般形式 ． 73．（2024铜山区二模）中国古代数学家杨辉的《田亩比数乘除减法》中记载：“直田积八百六十四步，只云阔不及长一十二步，问阔及长各几步？翻译成数学问题是：一块矩形田地的面积为864平方步，它的宽比长少12步，问它的长与宽各多少步？ 1．（2024·江苏宿迁·中考真题）规定：对于任意实数a、b、c，有，其中等式右面是通常的乘法和加法运算，如．若关于x的方程有两个不相等的实数根，则m的取值范围为（    ） A． B． C．且 D．且 2．（2024·四川德阳·中考真题）宽与长的比是的矩形叫黄金矩形，黄金矩形给我们以协调的美感，世界各国许多著名建筑为取得最佳的视觉效果，都采用了黄金矩形的设计．已知四边形是黄金矩形．，点是边上一点，则满足的点的个数为（    ） A．3 B．2 C．1 D．0 3．（2024·山东泰安·中考真题）如图所示，是用图形“○”和“●”按一定规律摆成的“小屋子”．按照此规律继续摆下去，第 个“小屋子”中图形“○”个数是图形“●”个数的3倍． 4．（2024·四川成都·中考真题）如图，在中，，是的一条角平分线，为中点，连接．若，，则 ．    5．（2024·四川凉山·中考真题）阅读下面材料，并解决相关问题： 下图是一个三角点阵，从上向下数有无数多行，其中第一行有1个点，第二行有2个点……第行有个点…… 容易发现，三角点阵中前4行的点数之和为10． (1)探索：三角点阵中前8行的点数之和为_____，前15行的点数之和为______，那么，前行的点数之和为______ (2)体验：三角点阵中前行的点数之和______（填“能”或“不能”）为500． (3)运用：某广场要摆放若干种造型的盆景，其中一种造型要用420盆同样规格的花，按照第一排2盆，第二排4盆，第三排6盆……第排盆的规律摆放而成，则一共能摆放多少排？ 1．（2024·山东日照·中考真题）已知，实数是关于x的方程的两个根，若，则k的值为（    ） A．1 B． C． D． 2．（2024·山东济南·中考真题）若关于的方程有两个不相等的实数根，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 3．（2024·山东潍坊·中考真题）已知关于的一元二次方程，其中满足，关于该方程根的情况，下列判断正确的是（    ） A．无实数根 B．有两个相等的实数根 C．有两个不相等的实数根 D．无法确定 4．（2024·甘肃兰州·中考真题）关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则（    ） A． B． C． D． 5．（2024·吉林·中考真题）下列方程中，有两个相等实数根的是（    ） A． B． C． D． 6．（2024·内蒙古赤峰·中考真题）等腰三角形的两边长分别是方程的两个根，则这个三角形的周长为（　　） A．或 B．或 C． D． 7．（2024·贵州·中考真题）一元二次方程的解是（    ） A．， B．， C．， D．， 8．（2024·河北·中考真题）淇淇在计算正数a的平方时，误算成a与2的积，求得的答案比正确答案小1，则（    ） A．1 B． C． D．1或 9．（2024·重庆·中考真题）重庆在低空经济领域实现了新的突破．今年第一季度低空飞行航线安全运行了200架次，预计第三季度低空飞行航线安全运行将达到401架次．设第二、第三两个季度安全运行架次的平均增长率为，根据题意，可列方程为 ． 10．（2024·四川凉山·中考真题）已知，则的值为 ． 11．（2024·四川南充·中考真题）已知m是方程的一个根，则的值为 ． 12．（2024·四川遂宁·中考真题）已知关于的一元二次方程． (1)求证：无论取何值，方程都有两个不相等的实数根； (2)如果方程的两个实数根为，且，求的值． 13．（2024·浙江·中考真题）已知关于x的方程有两个正整数根（m是整数）．的三边a，b，c满足：． (1)求m的值． (2)求的面积（结果允许保留双重根号）， 14．（2024·青海·中考真题）（1）解一元二次方程：； （2）若直角三角形的两边长分别是（1）中方程的根，求第三边的长． 15．（2024·广东广州·中考真题）关于的方程有两个不等的实数根． (1)求的取值范围； (2)化简：． 16．（2023·湖北黄石·中考真题）关于x的一元二次方程，当时，该方程的正根称为黄金分割数．宽与长的比是黄金分割数的矩形叫做黄金矩形，希腊的巴特农神庙采用的就是黄金矩形的设计；我国著名数学家华罗庚的优选法中也应用到了黄金分割数． (1)求黄金分割数； (2)已知实数a，b满足：，且，求ab的值； (3)已知两个不相等的实数p，q满足：，求的值． 17．（2023·内蒙古通辽·中考真题）阅读材料： 材料1：关于x的一元二次方程的两个实数根和系数a，b，c有如下关系：，． 材料2：已知一元二次方程的两个实数根分别为m，n，求的值． 解：∵m，n是一元二次方程的两个实数根，∴．则． 根据上述材料，结合你所学的知识，完成下列问题： (1)应用：一元二次方程的两个实数根为，则___________，___________； (2)类比：已知一元二次方程的两个实数根为m，n，求的值； (3)提升：已知实数s，t满足且，求的值． 18．（2023·湖北·中考真题）已知关于x的一元二次方程． (1)求证：无论m取何值时，方程都有两个不相等的实数根； (2)设该方程的两个实数根为a，b，若，求m的值． $$第二章 方程与不等式 第07讲 一元二次方程及其应用 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 2 / 4 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 👉题型01 一元二次方程的定义 👉题型02 已知一元二次方程的解求未知数/代数式的值 👉题型03 选用合适的方法解一元二次方程 👉题型04 以注重过程性学习的形式考查解一元二次方程 👉题型05 配方法的应用 👉题型06 以开放性试题的形式考查解一元二次方程 👉题型07 不解方程，判断一元二次方程根的情况 👉题型08 根据根的情况确定一元二次方程中字母的值/取值范围 👉题型09 利用根的判别式求代数式的值 👉题型10 以开放性试题的形式考查根的判别式 👉题型11 不解方程，求方程中参数的值 👉题型12 不解方程，求出与方程两根有关的代数式的值 👉题型13 已知一元二次方程的解满足的情况求参数值 👉题型14 一元二次方程的实际应用-传播/循环问题 👉题型15 一元二次方程的实际应用-变化率问题 👉题型16 一元二次方程的实际应用-几何问题 👉题型17 一元二次方程的实际应用-营销问题 👉题型18 一元二次方程的实际应用-动态几何问题 👉题型19 以真实问题情境为背景考查一元二次方程的实际应用 👉题型20 以数学文化为背景考查一元二次方程的实际应用 👉题型01 一元二次方程的定义 1．（2024·湖南郴州·模拟预测）下列方程中是一元二次方程的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了一元二次方程的定义，熟练掌握一元二次方程的定义是解题的关键． 根据一元二次方程的定义：只含有一个未知数，且未知数的次数是一次的整式方程叫一元二次方程，逐一判断即可解答． 【详解】解：A、符合一元二次方程的定义，是一元二次方程，故此选项符合题意； B、含有两个未知数，是二元二次方程，故此选项不符合题意； C、是一元一次方程，故此选项不符合题意； D、不是整式方程，故此选项不符合题意； 故选：A． 2．（2024·广西桂林·二模）一元二次方程的一次项系数是 ． 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程的一般形式，掌握“一元二次方程的二次项系数、一次项系数、常数项的含义”是解题的关键．根据一元二次方程的二次项系数、一次项系数、常数项分别为a，b，c，据此即可解答． 【详解】解：一元二次方程的一次项系数为． 故答案为：． 3．（2024·福建福州·模拟预测）已知关于x的一元二次方程，若一次项系数与常数项相等，则a的值为 ． 【答案】1 【分析】本题考查了一元二次方程的一般形式，一元二次方程的一般形式是：（a，b，c是常数且）特别要注意的条件．这是在做题过程中容易忽视的知识点．在一般形式中叫二次项，叫一次项，c是常数项．其中a，b，c分别叫二次项系数，一次项系数，常数项．据此解答即可． 【详解】解：关于x的一元二次方程，一次项系数与常数项相等， ， 解得：， 故答案为：1． 4．（2024·广东肇庆·一模）二次项系数为，且两根分别为，的一元二次方程为 ．（写成的形式） 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，一元二次方程的一般形式，根据题意得出，进而根据二次项系数为，求得的值，即可求解． 【详解】解：∵二次项系数为，两根分别为， ∴，， ∴， ∴这个方程为：， 故答案为：． 👉题型02 已知一元二次方程的解求未知数/代数式的值 5．（2024·云南昆明·一模）若是方程的一个根，则代数式的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了一元二次方程的解，代数式求值．熟练掌握一元二次方程的解，代数式求值是解题的关键． 由题意得，，即，根据，代值求解即可． 【详解】解：∵是方程的一个根， ∴，即， ∴， 故选：C． 6．（2024·湖北武汉·模拟预测）已知方程的两根分别为，，则的值为（    ） A．1 B． C．2024 D． 【答案】B 【分析】本题考查了一元二次方程解的定义及根与系数的关系． 根据一元二次方程解的定义及根与系数的关系可得，，再代入通分计算即可求解． 【详解】解：∵方程的两根分别为，， ∴，， ∴， ∴ ． 故选B． 7．（2024·江西·模拟预测）设m，n是方程的两个实数根，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程的解以及根与系数的关系，根据一元二次方程的解的定义可得出，根据一元二次方程根与系数的关系可得出，，然后整体代入计算即可． 【详解】解∶∵m，n是方程的两个实数根， ∴，，， ∴， ∴ ， 故答案为：． 8．（2024·湖南郴州·模拟预测）已知关于x的一元二次方程的一个根是1，求它的另一个根及m的值． 【答案】方程的另一个根是，m的值是2 【分析】本题考查了一元二次方程的解和解一元二次方程，掌握一元二次方程的解和解一元二次方程的方法是解题的关键． 把代入方程，求得．再用因式分解法求解方程即可． 【详解】解：把代入方程，得：． 把代入方程，得：． 解方程得：，． ∴方程的另一个根是，m的值是2． 👉题型03 选用合适的方法解一元二次方程 9．（2024·甘肃·模拟预测）解方程：． 【答案】， 【分析】本题考查了解一元二次方程，解题的关键是掌握一元二次方程的解法：直接开平方法，配方法，公式法，因式分解法等． 利用因式分解法解一元二次方程即可． 【详解】解：， ∴或 解得，． 10．（2024·湖南郴州·模拟预测）解方程： (1) (2) 【答案】(1)， (2)， 【分析】本题考查解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键． （1）用直接开平方法求解即可； （2）先计算判别式，用公式法求解可得． 【详解】（1）解：， ， ∴或， ∴，； （2）解：， ∴，，， ∴， ∴， ∴，． 11．（2024·黑龙江齐齐哈尔·模拟预测）解方程：． 【答案】， 【分析】本题考查了一元二次方程的解法，常用的方法有直接开平方法、配方法、因式分解法、求根公式法，熟练掌握各种方法是解答本题的关键． 先分解因式，即可得出两个一元一次方程，求出方程的解即可． 【详解】解：， ， ， 有或， 解得，． 12．（2024·宁夏银川·一模）下面是某老师讲解一元二次方程的解法时在黑板上的板书过程：请认真阅读并完成任务． 解方程：． 解：，                第一步 ，        第二步 ，                    第三步 ，                        第四步 ，．                第五步 (1)任务一： ①杨老师解方程的方法是 ； A．直接开平方法            B．配方法                C．公式法    D．因式分解法 ②第二步变形的依据是 ； (2)任务二： 解方程：； 【答案】(1)①B；②等式的性质 (2)， 【分析】本题考查配方法解一元二次方程，熟练掌握配方法的求解过程是解答的关键． （1）①根据解方程过程可得结论； ②根据等式的性质求解即可； （2）仿照例题中的配方法求解过程求解即可． 【详解】（1）解：①杨老师解方程的方法是配方法， 故选：B； ②第二步变形的依据是等式的性质， 故答案为：等式的性质； （2）解： 解得，． 👉题型04 以注重过程性学习的形式考查解一元二次方程 13．（2024·河北石家庄·模拟预测）下面是小华同学解方程的过程： 解方程：． 解：移项，得 …………第一步 两边同时除以，得 …………第二步 ∴．……………………………………第三步 (1)小华同学的解题过程从第________步开始出现错误，错误的原因是________； (2)请你写出正确的解题过程． 【答案】(1)二；忽略的情况 (2)或 【分析】本题考查了用因式分解法解一元二次方程： （1）首先判定小明的解法从第二步开始出现错误； （2）利用因式分解的方法与步骤求得方程的解即可． 【详解】（1）解：小明的解法从第二步开始出现错误；错误原因是忽略的情况；故答案为：二，忽略的情况； （2）解： 或 或． 14．（2024·江西景德镇·二模）小明在学习了用配方法解一元二次方程后，解方程的过程如下： (1)小明的解题过程从第__________步开始出现了错误； (2)请利用配方法正确地解方程． 【答案】(1)二 (2)， 【分析】本题考查了用配方法解一元二次方程． （1）根据等式的性质判断②错误； （2）移项，二次项系数化成1，配方，开方，即可得出两个一元一次方程，求出方程的解即可． 【详解】（1）解：上述过程中，从第二步开始出现了错误， 故答案为：二； （2）解：， 移项，得， ， 配方，得，即， ∴， ∴，． 15．（2024·宁夏银川·二模）下面是小明用因式分解法解一元二次方程的过程，请仔细阅读，并完成相应的问题． 解一元二次方程： 解：原方程可以化为：第一步 两边同时除以得：第二步 系数化为1，得：第三步 任务： (1)小明的解法是不正确的，他从第_________步开始出现了错误； (2)请你继续用因式分解法完成这个方程的正确解题过程． 【答案】(1)二 (2)或，过程见解析 【分析】本题考查了解一元二次方程——因式分解法：因式分解法就是利用因式分解求出方程的解的方法． （1）第二步不符合等式的性质； （2）先移项得到，再利用因式分解法把方程转化为或，然后解两个一次方程． 【详解】（1）解：他从第二步开始出现了错误， 故答案为：二； （2）解： 或， 解得：或． 16．（2024·山西临汾·一模）（1）计算：； （2）下面是小刚同学和小颖同学解一元二次方程的过程，请仔细阅读并完成相应的任务． 小刚同学： 解：第一步 第二步 解得第三步 小颖同学： 解：第一步 第二步 第三步 或第四步 解得或第五步 任务一： ①小刚同学的解答过程中，从第_________步开始出现错误．错误的原因是__________； ②小颖同学的解答过程中，从第_________步开始出现错误．错误的原因是_________． 任务二：该一元二次方程的解为__________． 【答案】（1）；（2）任务一：①二，方程两边同时除以可能为0的代数式；②三，提公因式时，后边的未变号 任务二：或 【分析】 本题考查了解一元二次方程，实数的运算． （1）根据乘方，绝对值，零次幂的性质计算即可求解； （2）根据因式分解法解一元二次方程的步骤求解即可． 【详解】解：（1） ； （2）任务一：①小刚同学的解答过程中，从第二步开始出现错误．错误的原因是方程两边同时除以可能为0的代数式； 故答案为：二，方程两边同时除以可能为0的代数式； ②小颖同学的解答过程中，从第三步开始出现错误．错误的原因是后边的没有变号． 故答案为：三，提公因式时，后边的未变号． 任务二：， ， ， 或， 解得或． 👉题型05 配方法的应用 17．（2024·内蒙古包头·模拟预测）若是方程的一个解，则代数式的最小值为 ． 【答案】36 【分析】该题主要考查了二元一次方程的解，完全平方公式等知识点，解题的关键是掌握以上知识点． 将代入求出，再代入化简即可得即可求解； 【详解】解：∵是方程的一个解， ∴， ∴， ∴ ， ∴代数式的最小值为36． 故答案为：36． 18．（2024·河北邢台·模拟预测）已知，图1中阴影面积为，图2中阴影面积为． (1)用含x的代数式表示，；当时，求的值； (2)比较与的大小，并说明理由． 【答案】(1)，， (2)，理由见解析 【分析】本题考查列代数式，整式的加减运算，完全平方公式： （1）直接利用梯形和长方形的面积公式进行计算，列出代数式即可，将，代入所列代数式，进行计算即可； （2）判断两个代数式相减后与0的大小关系，即可得出结论． 【详解】（1）解： ； ， ， 当时，； （2）， 理由如下：，， ， ， ， ． 19．（2024·广东东莞·一模）综合与探究 【阅读理解】 我们在分析解决某些数学问题时，经常要比较两个数或代数式的大小，解决问题的策略一般都是进行一定的转化，其中“作差法”就是常用的方法之一．作差法：就是通过作差、变形，利用差的符号确定它们的大小，即要比较代数式的大小，只要算的值，若，则；若，则；若，则． 【知识运用】 （）请用上述方法比较下列代数式的大小（用“、、”填空）： ______； ______； （）试比较与与的大小，并说明理由； 【类比运用】 （）图（）是边长为的正方形，将正方形一组对边保持不变，另一组对边增加得到如图（）所示的长方形，此长方形的面积为；将正方形的边长增加，得到如图（）所示的大正方形，此正方形的面积为．请先判断与的大小关系，并说明理由． 【答案】（），；（），理由见解析；（），理由见解析． 【分析】（）利用作差法即可求解； （）利用作差再结合配方法法即可求解； （）利用作差即可求解； 本题考查了整式和实数的大小比较，掌握作差法是解题的关键． 【详解】（）∵， ∴， 故答案为：； ∵， ∴， 故答案为：； （）． 理由如下： ， ∵， ∴， ∴； （），理由如下： ∵，， ∴， ∴． 👉题型06 以开放性试题的形式考查解一元二次方程 20．（2024·湖北·模拟预测）请写一个一元二次方程，使得它的一个根为2，另一个根为负数，则这个一元二次方程可以是 ．（写一个即可） 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题考查了一元二次方程的解，根与系数的关系，正确掌握相关性质内容是解题的关键．先根据另一个根为负数，令方程另一个根为，结合根与系数的关系，得，，则该一元二次方程为，即可作答． 【详解】解：依题意，令方程另一个根为， 则，， 该方程可以为． 故答案为：（答案不唯一）． 21．（2022·广东汕头·二模）请写出一个符合以下所有条件的一元二次方程：（1）二次项的系数为负数；（2）一个实数根为的整数部分，另一个实数根为－4，则这个一元二次方程可以是 ．（任意写一个符合条件的即可）． 【答案】(答案不唯一，满足要求即可） 【分析】先确定出的整数部分，再利用因式分解的方法写出符合条件的一元二次方程即可． 【详解】∵＜＜， ∴3＜＜4， ∴2＜-1＜3， ∴的整数部分为2，即方程的一个根为2， ∵方程的另一个根为-4，且二次项系数为负数， ∴方程可以写为，答案不唯一， 故答案为：，（答案不唯一）． 【点睛】本题主要考查了按条件构造一元二次方程以及确定二次根式整数部分的知识，确定方程的另一个根为2是解答本题的关键． 22．（2024·浙江·模拟预测）设一元二次方程．在下面的四组条件中任意选择一组作为条件，解这个方程． ①，，． ②． ③，． ④，（，分别是该方程的两个根）． 注：如果选择多组条件分别作答，按第一个解答计分． 【答案】见解析 【分析】本题考查了一元二次方程的一般式，一元二次方程根与系数的关系，解一元二次方程，得到一元一次方程，然后利用解一元二次方程的方程求解即可． 【详解】解：选择条件①解方程，则这个方程为， ∴， ∴，     选择条件②解方程，则这个方程为， 即． ∵， ∴此方程无解． 选择条件③解方程，则这个方程为，即， ∴， ∴． 选择条件④解方程，则这个方程为， ∴，． 👉题型07 不解方程，判断一元二次方程根的情况 23．（2024·云南曲靖·一模）一元二次方程的根的情况是（    ） A．有两个不相等的实数根 B．无实数根 C．有两个相等的实数根 D．无法确定 【答案】C 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式，计算根的判别式，即可得出答案，解题的关键是熟练掌握一元二次方程根的判别式，当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程没有实数根， 【详解】解：， ∴一元二次方程有两个相等的实数根， 故选：C． 24．（2023·河南商丘·二模）关于x的方程的根的情况是（   ） A．有两个相等的实数根 B．有两个不相等的实数根 C．只有一个实数根 D．无实数根 【答案】A 【分析】本题考查了一元二次方程的根的判别式．熟练掌握一元二次方程的根的判别式是解题的关键． 由题意知，，然后判断作答即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴方程有两个相等的实数根， 故选：A． 25．（2024·山西·模拟预测）下列一元二次方程中，没有实数根的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了一元二次方程的根的判别式，熟记根的判别式是解题的关键． 直接利用一元二次方程根的判别式对每个方程逐一计算即可求解． 【详解】A、，故选项A有两个不相等的实数根，不合题意； B、 ，故选项B有两个不相等的实数根，不合题意； C、 ，故选项C没有实数根，符合题意； D、方程化为，，故选项D有两个相等的实数根，不合题意． 故选C． 26．（2024·山西长治·模拟预测）关于的一元二次方程的根的情况是（    ） A．没有实数根 B．有两个相等的实数根 C．有两个不相等的实数根 D．实数根的个数与实数m的取值有关 【答案】A 【分析】先计算出根的判别式的值得到，然后利用根的判别式的意义对各选项进行判断．本题考查了根的判别式：一元二次方程的根与有如下关系：当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程无实数根． 【详解】解：依题意， ， 方程无实数根． 故选：A． 👉题型08 根据根的情况确定一元二次方程中字母的值/取值范围 27．（2024·甘肃兰州·模拟预测）关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，则满足条件的实数（　　） A．0 B．或1 C．1 D．或2 【答案】D 【分析】本题主要考查一元二次方程根的判别式，解答关键是熟练掌握一元二次方程根的情况与根的判别式的关系：当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程没有实数根．据此由求解即可． 【详解】解：∵一元二次方程有两个相等的实数根， ∴，解得， 故选：D． 28．（2024·新疆乌鲁木齐·三模）等腰三角形三边长分别为a，b，3，且a，b是关于x的一元二次方程的两根，则m的值为（    ） A．4 B．5 C．4或5 D．3或4 【答案】C 【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的解，一元二次方程根的判别式，等腰三角形的定义，分3为底边长或腰长两种情况讨论是解题的关键．分3为底边长或腰长两种情况求解即可． 【详解】解：当3为腰时，此时或， 把代入方程得， 解得， 此时方程为， 解得，； 当3为底时，此时，， 解得， 此时方程为， 解得； 综上所述，m的值为4或5． 故选C． 29．（2024·湖南·模拟预测）关于的一元二次方程有两不等实数根，则的取值范围是 ． 【答案】且 【分析】本题主要考查学生对一元二次方程的掌握以及一元一次不等式，利用根的判别式求出的范围，再结合一元二次方程的定义即可． 【详解】关于的一元二次方程有两个不相等的实数根， ，且 解得：且 故答案为：且． 30．（2024·贵州贵阳·一模）关于的一元二次方程有两个实数根，则实数的值可能是 ． 【答案】0（答案不唯一） 【分析】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，解一元一次不等式等知识点，熟练掌握一元二次方程根的情况与判别式的关系是解题的关键． 根据方程有两个实数根，得出，建立关于的一元一次不等式，求出的取值范围即可． 【详解】解：由题意可知：， ， 实数的值可能是0， 故答案为：0（答案不唯一）． 31．（2024·贵州黔东南·二模）若关于的方程没有实数根，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，对于一元二次方程，若，则方程有两个不相等的实数根，若，则方程有两个相等的实数根，若，则方程没有实数根，据此求解即可． 【详解】解：∵关于的方程没有实数根， ∴， ∴， 故答案为：． 👉题型09 利用根的判别式求代数式的值 32．（2024·广东清远·模拟预测）已知关于x的方程有两个相等的实数根，则的值为（    ） A． B． C．3 D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，对于一元二次方程，若，则方程有两个不相等的实数根，若，则方程有两个相等的实数根，若，则方程没有实数根，据此利用判别式求出k的值即可得到答案． 【详解】解：∵关于x的方程有两个相等的实数根， ∴， ∴， ∴， 故选：B． 33．（2022·广东广州·一模）一元二次方程有两个相等的实数根，则的值为（　　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题意可得，求得，即可求解． 【详解】解：由题意可得：，解得， 故选：D 【点睛】此题考查了一元二次方程根的情况与判别式的关系，以及二次根式的化简，解题的关键是正确求得的值并掌握二次根式的化简． 34．（2021·山东淄博·二模）若关于x的一元二次方程x2﹣2kx＋1﹣4k＝0有两个相等的实数根，则代数式（k﹣2）2＋2k（1﹣k）的值为（    ） A．3 B．﹣3 C． D． 【答案】D 【分析】先根据一元二次方程根的判别式求出的值，再代入求值即可得． 【详解】解：由题意得：方程根的判别式， 整理得：，即， 则， ， ， ， ， 故选：D． 【点睛】本题考查了一元二次方程根的判别式、代数式求值，熟练掌握一元二次方程根的判别式是解题关键． 35．（2024·湖北武汉·模拟预测）已知a，b分别为方程的两个不相等的实数根，则值为（   ） A． B． C．2 D．4 【答案】B 【分析】本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，分式的求值，完全平方公式，先由根与系数的关系得到，再根据分式的混合计算法则求出所求式子的化简结果，最后利用整体代入法求解即可． 【详解】解：∵a，b分别为方程的两个不相等的实数根， ∴， ∴ ， 故选：B． 👉题型10 以开放性试题的形式考查根的判别式 36．（2022·福建漳州·模拟预测）若关于x的方程有两个不相等的实数根，则k的值可以是 ．（写一个即可） 【答案】1（答案不唯一） 【分析】利用根的判别式计算求值即可． 【详解】的判别式为：△=4k， 方程有两个不相等的实数根，则△＞0，4k＞0，k＞0， k=1时，方程有两个不相等的实数根， 故答案为：1． 【点睛】本题考查了一元二次方程ax2+bx+c（a≠0）根的判别式△=b2-4ac：△＞0时方程有两个不等的实数根；△=0时方程有两个相等的实数根；△＜0时方程没有实数根． 37．（2024·河南郑州·模拟预测）若关于x的一元二次方程有实数根，且m为正整数，请写出一个合适的m值 ． 【答案】1（答案不唯一） 【分析】本题考查根据一元二次方程根的情况求参数．一元二次方程有两个不相等的实数根，则；有两个相等的实数根，则；没有实数根，则．据此即可求解． 【详解】解：由题意得： 解得： ∵m为正整数， ∴m值可以为1， 故答案为：1，答案不唯一 38．（2024·江苏泰州·二模）已知一元二次方程有两个实数根，两根之和为负数，则m的值可以是 ．（填一个值即可）． 【答案】1（即可） 【分析】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，根与系数的关系，对于一元二次方程，若，则方程有两个不相等的实数根，若，则方程有两个相等的实数根，若，则方程没有实数根，若是该方程的两个实数根，则，据此求解即可． 【详解】解：∵一元二次方程有两个实数根， ∴，恒成立， ∵两根之和为负数， ∴， ∴， ∴m的值可以是1， 故答案为：1（即可） 👉题型11 不解方程，求方程中参数的值 39．（2024·云南曲靖·一模）已知关于x的方程有一个根为，则另一个根为（    ） A． B． C．2 D． 【答案】B 【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，设方程的另一个根为， 则，求解即可，掌握一元二次方程根与系数的关系是解题的关键． 【详解】解：设方程的另一个根为， ∴， ∴， 故选：B． 40．（2024·广东湛江·模拟预测）已知是方程的两个实数根，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，若，为方程的两个根，则，与系数的关系式：，．直接根据根与系数的关系作答即可． 【详解】解：∵m、n是方程的两个实数根， ∴， ∴， 故答案为：． 41．（2024·山东枣庄·一模）已知3是关于x的方程的一个根，并且这个方程的两个根恰好是菱形的两条对角线的长，则菱形的面积为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了菱形的性质以及一元二次方程的解和根与系数的关系，正确得出方程的两根之积是解题关键． 首先利用一元二次方程的解得出m的值，再利用根与系数的关系得出方程的两根之积，再结合菱形面积公式求出答案． 【详解】解：∵3是关于x的方程的一个根， ∴， 解得：， ∴原方程为：， ∴方程的两根之积为：， ∴菱形的面积为：． 故答案为：． 👉题型12 不解方程，求出与方程两根有关的代数式的值 42．（2024·湖北宜昌·一模）已知m、n是一元二次方程的两个实数根，则代数式的值等于（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了根与系数的关系，一元二次方程解的意义．根据一元二次方程解的意义，得到，再根据根与系数的关系，得到，由此得到答案． 【详解】解：根据题意得： 是一元二次方程的实数根， ， ， 又、是一元二次方程的两个实数根， ， ， 故选：B． 43．（2024·湖北·模拟预测）已知一元二次方程的两根分别为m，n，则的值是（       ） A．18 B． C． D．12 【答案】C 【分析】本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，熟练掌握是解决问题的关键． 根据一元二次方程根与系数的关系得，把变形后代入计算即得． 【详解】∵一元二次方程的两根分别为m，n， ∴， ∴． 故选：C． 44．（2024·贵州铜仁·一模）已知关于x的方程的两实数根为，，若，则的值为（    ） A．1 B． C．3 D．5 【答案】D 【分析】本题主要考查了根与系数的关系的知识．根据根与系数的关系，得出和，再代入等式求得即可． 【详解】解：关于的方程的两实数根为，， ，， ， ， ， ． 故选：D． 45．（2024·湖北十堰·三模）若是一元二次方程的两个实数根，多项式的值是 ． 【答案】11 【分析】本题考查一元二次方程根与系数的关系．若一元二次方程的两个根为，则．由题意得，，，再代入计算即可求解． 【详解】解：由题意得：，，， ∴， ∴， 故答案为：11． 46．（2024·四川内江·二模）已知，是方程的两个实数根，则代数式的值为 ． 【答案】4049 【分析】本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系．熟练掌握方程根的定义和根与系数的关系，完全平方公式变形，整体代入法求代数式的值，是解决本题的关键．一元二次方程的两根为，则根与系数的关系为． 根据一元二次方程根的定义和根与系数的关系得到和，即得 ． 【详解】∵，是方程的两个实数根， ∴，， ∴， ∴ ． 故答案为：4049． 👉题型13 已知一元二次方程的解满足的情况求参数值 47．（2024·湖南株洲·模拟预测）关于x的一元二次方程有两个根，且满足，则m的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查一元二次方程根于系数的关系，根据，列式结合求解即可得到答案； 【详解】解：∵关于x的一元二次方程有两个根， ∴，， ∵， ∴，， ∴， ∴， 解得：，， 当时，，，故不符合题意舍去， 当时，，，符合题意， 故答案为：． 48．（2024·贵州遵义·模拟预测）已知，是关于的方程的两个实数根，且，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了根与系数的关系：若，是一元二次方程的两根时，，，能熟记根与系数的关系的是解此题的关键． 先利用根与系数的关系得，，再利用得到，所以，然后解的方程即可． 【详解】解：根据根与系数的关系得，， ， ， 即， 解得． 故答案为：． 49．（2024·湖北随州·一模）已知关于x的一元二次方程． (1)求证：该方程总有实数根； (2)设该方程的两个实数根分别为，，若，，求a的取值范围． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，根的判别式： （1）只需要证明即可； （2）根据根与系数的关系得到，再由，，可得，据此求解即可． 【详解】（1）证明：由题意得，． ∴该方程总有实数根； （2）解：∵关于x的一元二次方程的两个实数根为，， ∴， ∵，， ∴， 解得， ∴a的取值范围为． 50．（2024·四川眉山·二模）已知关于的一元二次方程有实数根． (1)求的取值范围； (2)设方程两实数根分别为、，且满足，求的取值范围． 【答案】(1)m的取值范围是； (2)m的取值范围． 【分析】本题主要考查了根与系数的关系、根的判别式以及解一元一次不等式等知识点， （1）根据根的判别式得出，求出不等式的解集即可； （2）求出，，再代入计算即可解答； 熟练掌握一元二次的根与系数的关系是解决此题的关键． 【详解】（1）方程 整理得， ∵关于x的一元二次方程有实数根， ∴， 解得：， 即m的取值范围是； （2）∵，， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 故m的取值范围． 👉题型14 一元二次方程的实际应用-传播/循环问题 51．（2024·湖北·模拟预测）某种植物的主干长出若干数目的支干，每个支干又长出同样数目的小分支，主干、支干和小分支的总数是73，设每个支干长出x个小分支，则可列方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查的是一元二次方程的应用，熟练的表示支干与小分支的数量是解本题的关键. 设每个支干长出x个小分支，则主干生出x个小分支，而x个小分支每个又生出x个小分支，所以一共有个，从而可得答案. 【详解】解：设每个支干长出x个小分支，则 , 故选：A． 52．（2024·贵州黔东南·二模）化学课代表在老师的培训下，学会了高锰酸钾制取氧气的实验室制法，回到班上后，第一节课手把手教会了若干名同学，第二节课会做该实验的每个同学又手把手教会了同样多的同学，这样全班49人恰好都会做这个实验了．问一个人每节课手把手教会了多少名同学？ 【答案】一个人每节课手把手教会了6名同学 【分析】本题考查了一元二次方程的应用．设一个人每节课手把手教会了名同学，根据第二节课后全班49人恰好都会做这个实验了，可列出关于的一元二次方程，解之取其符合题意的值，即可得出结论． 【详解】解：设一个人每节课手把手教会了名同学， 根据题意得：， 解得：，（不符合题意，舍去）． 答：一个人每节课手把手教会了6名同学． 53．（2024·山东济南·模拟预测）在一次足球邀请赛中，参赛的每两个队之间都要比赛一场．若共比赛了15场，则参赛的球队数为 ． 【答案】6 【分析】本题考查一元二次方程，解题的关键是正确找出题中的等量关系，本题属于基础题型． 设有个队参赛，根据题意列出方程即可求出答案． 【详解】解：设有个队参赛， 根据题意，可列方程为：， 解得：或（舍去）， 答：参赛的球队数为6． 故答案为：6． 👉题型15 一元二次方程的实际应用-变化率问题 54．（2024·云南曲靖·一模）收发微信红包已成为各类人群进行交流联系、增强感情的一种方式，如图所示是甜甜和她的妹妹在六一儿童节期间的对话： 请问：2020年到2022年甜甜和她妹妹在“六一”收到红包的年增长率是多少？ 【答案】2020年到2022年甜甜和她妹妹在“六一”收到红包的年增长率为． 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，设甜甜和她妹妹在“六一”收到红包的年增长率是，依题意得，求解即可，掌握一元二次方程的应用是解题的关键． 【详解】解：设甜甜和她妹妹在“六一”收到红包的年增长率是，依题意得： ， 解得：（舍去）， ∴， 答：2020年到2022年甜甜和她妹妹在“六一”收到红包的年增长率为． 55．（2024·广西南宁·模拟预测）某商场一种商品的进价为30元/件，售价为40元/件，经统计销量发现，该商品平均每天可以销售48件．商场为尽快减少该商品的库存，决定对该商品进行降价促销活动． (1)对该商品进行了两次降价后的售价为32.4元/件，求平均每次降价的百分率． (2)经调查，若该商品每件降价1元，则每天可多销售8件．若商场销售该商品想要每天获得504元的利润，则每件应降价多少元？ 【答案】(1)平均每次降价的百分率为 (2)每件应降价元 【分析】此题主要考查了一元二次方程应用， （1）设每次降价的百分率为x，根据“售价40元/件进行了两次降价后的售价为32.4元/件”列出方程求解即可． （2）设每天要想获得504元的利润，每件商品应降价元，由销售问题的数量关系建立方程求出其解即可． 【详解】（1）解：设平均每次降价的百分率为， ， 解得：，（舍去）， 答：平均每次降价的百分率为． （2）解：设每天要想获得元的利润，，则每件商品应降价y元，由题意，得， 解得：，， 又∵商场为尽快减少该商品的库存， ∴， 答：每件应降价元． 👉题型16 一元二次方程的实际应用-几何问题 56．（2024·贵州贵阳·一模）被誉为“蕴藏着人类上古文明密码的哲学之书”的古老苗绣，在贵州文旅市场和时尚行业中，展现出匠人匠心的“针”功夫．小星奶奶手绣了一幅长为、宽为的矩形绣品(如图所示)，为了完好保存绣品，计划将其塑封，塑封时需四周留白(上下左右宽度相同)，且塑封后整幅图的面积为，设留白部分的宽度为，则可列方程为（  ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了一元二次方程解实际问题，根据题意，塑封的长为，宽为，根据塑封后的面积可列式求解． 【详解】解：根据题意，塑封后的长为，宽为，面积为， ∴列方程为： 故选：D ． 57．（2024·辽宁·模拟预测）如图，公园原有一块长、宽 的矩形空地．后来在这块空地中划出不同区域种植不同品种的鲜花，中间铺设同样宽度的石子路将各区域间隔开．已知各区域鲜花面积的和为，求所铺设的石子路的宽度． 【答案】所铺设的石子路的宽度为 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 设铺设的石子路的宽度为，根据种植花卉的面积为，即可得出关于的一元二次方程，解之取其较小值即可得出结论． 【详解】解：设所铺设的石子路的宽度为． 根据题意，得． 解得（不合题意，舍去）． 答：所铺设的石子路的宽度为． 58．（2024·浙江绍兴·模拟预测）根据以下素材，完成探索任务． 探索果园土地规划和销售利润问题 素材1 某农户承包了一块长方形果园，图1是果园的平面图，其中米，米．准备在它的四周铺设道路，上下两条横向道路的宽度都为米，左右两条纵向道路的宽度都为米，中间部分种植水果．已知道路的路面造价是每平方米50元；出于货车通行等因素的考虑，横向道路宽度不超过24米，且不小于10米． 素材2 该农户发现某一种草莓销售前景比较不错，经市场调查，草莓培育一年可产果，已知每平方米的草莓销售平均利润为100元；果园每年的承包费为25万元，期间需一次性投入33万元购进新苗，每年还需25万元的养护、施肥、运输等其余费用． 问题解决 任务1 解决果园中路面宽度的设计对种植面积的影响． （1）请直接写出纵向道路宽度的取值范围． （2）若中间种植的面积是44800平方米，则路面设置的宽度是否符合要求． 任务2 解决果园种植的预期利润问题．（净利润草莓销售的总利润路面造价费用果园承包费用新苗购置费用其余费用） （3）经过1年后，农户是否可以达到预期净利润400万元？请说明理由． 【答案】（1）； （2）路面设置的宽度符合要求； （3）可以，理由见解析． 【分析】本题考查了一元一次不等式组的应用，一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． （1）由“横向道路宽度不超过24米，且不小于10米”，可得出的取值范围； （2）根据种植的面积是，可列出关于的一元二次方程，可得出的值，结合（1）的结论，即可得出路面设置的宽度符合要求； （3）假设经过1年后，农户可以达到预期净利润400万元，可列出关于的一元二次方程，解之可得出的值，结合（1）的结论，可得出符合题意，假设成立． 【详解】解：（1）横向道路宽度不超过24米，且不小于10米，即 解得： 纵向道路宽度的取值范围为 故答案为：； （2）根据题意可得： 整理得： 解得：， 符合题意 路面设置的宽度符合要求； 故答案为：路面设置的宽度符合要求； （3）经过1年后，农户可以达到预期净利润400万元，理由如下： 假设经过1年后，农户可以达到预期净利润400万元， 根据题意得： 整理得： 解得：， 符合题意 假设成立，即经过1年后，农户可以达到预期净利润400万元． 👉题型17 一元二次方程的实际应用-营销问题 59．（2024·山西大同·模拟预测）阅读与思考 下面是小明在数学笔记本上记录的父亲工厂里实际出现过的一个问题，请认真阅读，并帮助小明解答小明父亲给的以下任务： 小明父亲的工厂里加工一款纪念品，每件成本为元，投放景区内进行销售，售价不得低于成本价且利润率不高于，销售一段时间后市场调研发现，每天的销售数量y（件）与销售单价x（元/件）满足一次函数关系，部分数据如下表所示： 销售单价x（元/件） … … 每天销售数量y（件） … … （1）直接写出y与x的函数关系式； （2）当销售单价为多少元时，每天获利最大？最大利润是多少元？ （3）若每天销售所得利润为元，那么销售单价应定为多少元？ 任务一：要解决小明父亲提出的问题，主要运用的数学思想是________； A．公理化思想    B．统计思想    C．函数思想    D．分类思想 任务二：请帮助小明解决相关的3个问题． 【答案】任务一：C；任务二：（1）；（2）当销售单价为元时，每天获利最大，最大利润是元；（3）若每天销售所得利润为元，那么销售单价应定为元 【分析】任务一：根据（1）的问题“y与x的函数关系式”，以及后面的最大利润问题，得知要解决小明父亲提出的问题，主要运用的数学思想是函数思想，即可作答； 任务二：（1）根据“y与x满足一次函数关系”，利用待定系数法求解即可； （2）设每天获利w元，列出二次函数关系式，由二次函数性质即可解答； （3）根据题意得把代入利润函数中，解方程即可得到答案； 【详解】解：任务一：由题意可得， 主要运用函数的数学思想， 故选：C； 任务二：（1）设，将，代入得， ，解得：， ∴， ∵售价不得低于成本价且利润率不高于， ∴，解得：， ∴； （2）设利润为w，由题意可得， ∵，， ∴随增大而增大， ∴当时最大， ∴， ∴当销售单价为元时，每天获利最大，最大利润是元； （3）当时， ， 解得：，（不符合题意舍去）， ∴若每天销售所得利润为元，那么销售单价应定为元； 【点睛】本题考查一次函数，一元二次方程和二次函数的应用，解题的关键是读懂题意，列出函数关系式和一元二次方程． 60．（2024·湖南长沙·模拟预测）某景区新开发一款纪念品，每件成本为30元，投放景区内进行销售，规定销售单价不低于成本且不高于52元，并且为整数；销售一段时间调研发现，每天的销售数量y(单位：件)与销售单价x(单位：元/件)满足一次函数关系，部分数据如表所示： 销售单价x/(元/件) … 35 40 45 … 每天销售数量y/件 … 90 80 70 … (1)【探究】 根据上表中的数据，请判断和 (k，b为常数)哪一个能正确反映每天的销售数量y与销售单价x的函数关系？并求出y关于x的解析式； (2)【应用】 若每天销售所得利润为1200元，那么销售单价应定为多少元？ 【答案】(1)能正确反映每天的销售数量y与销售单价x的函数关系， (2)销售单价应定为50元 【分析】（1）依题意，能正确反映每天的销售数量y与销售单价x的函数关系：，用待定系数法可得； （2）由题意：每天销售所得利润为1200元，列出方程，解方程并由销售单价不低于成本且不高于52元，即可得出结论； 本题考查了一元二次方程的应用、一次函数的应用等知识，解题的关键是：（1）正确求出函数关系式；（2）找准等量关系，正确列出一元二次方程． 【详解】（1）解：依题意，能正确反映每天的销售数量y与销售单价x的函数关系： 把，代入得： ， 解得， ； （2）根据题意得：， 解得：，， 规定销售单价不低于成本且不高于52元， ， 答：销售单价应定为50元； 👉题型18 一元二次方程的实际应用-动态几何问题 61．（2021·安徽·三模）我国古代著作《四元玉鉴》记载“买椽多少”问题：“六贯二百一十钱，遺人去买几株椽，每株脚钱三文足，无钱准与一株椽”，其大意为：现请人代买一批椽，这批椽的价钱为6210文，如果每株椽的运费是3文，那么少拿一株椽后，剩下的椽的运费恰好等于一株椽的价格，求这批椽的数量有多少株？ 【答案】这批椽的数量为46株 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，根据“少拿一株椽后，剩下的椽的运费恰好等于一株椽的价格”列方程求解即可． 【详解】解：设这批椽有x株， 依题意得                           整理得 解得（不合题意，舍去） 答：这批椽的数量为46株 62．（2024·甘肃武威·二模）如图，、、、为矩形的个顶点，，，动点从点出发，沿方向运动，动点同时从点出发，沿方向运动，如果点、的运动速度均为，经过多长时间、两点之间的距离是？ 【答案】秒或秒 【分析】可设运动秒时，它们相距，根据题意表示出，的长，再根据勾股定理列出方程求解即可． 本题主要考查了勾股定理与一元二次方程，根据勾股定理列出关于的方程及正确求得方程的解是解决本题的关键． 【详解】解：设运动秒时，它们相距，则，，依题意有 ， 解得，． 故运动秒或秒时，它们相距． 63．（2023·贵州黔东南·一模）如图，在中，， ， ，点由点出发以的速度向终点匀速移动，同时点由点出发以/的速度向终点匀速移动，当一个点到达终点时另一个点也随之停止移动． (1)当点移动时间为秒时，的面积为多少？ (2)点移动多少秒时，的面积为？ (3)在点、的运动过程中，的面积是否会达到？为什么？ 【答案】(1) (2)秒或秒 (3)不会达到，理由见解析 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，三角形的面积公式，灵活运用这些性质解决问题是解题的关键． 由三角形的面积公式可求解； 设点移动经过秒，的面积为，列出方程可求解； 列出方程，由，可得的面积不会达到． 【详解】（1）解：当点移动时间为秒时，，， ∴， ∴的面积； （2）解：设点移动经过秒，的面积为，由题意可得∶ ， ∴或， 答∶点移动经过秒或秒，的面积为； （3）解：的面积不会达到．理由如下∶ 设点移动经过秒，的面积为，由题意可得∶ ， ， ∴， ∴方程无解， ∴的面积不会达到． 👉题型19 以真实问题情境为背景考查一元二次方程的实际应用 64．（20224金华市模拟）电影《热辣滚烫》是2024贺岁档的最大惊喜，自上映以来，全国票房连创佳绩．据不完全统计，某市第一天票房收入约867万元，第三天累计票房收入约达到3046万元，设票房收入每天平均增长率为x，下面所列方程正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了列二元一次方程，根据题意可得出第二天票房收入约万元，第三天票房收入约万元，再根据第三天累计票房收入约达到3046万元，把三天的票房相加则可得出答案． 【详解】解：设票房收入每天平均增长率为x，某市第一天票房收入约867万元， 则第二天票房收入约万元，第三天票房收入约万元， 根据第三天累计票房收入约达到3046万元，可得出： ， 故选：D． 65．（2024临川市模拟）“八月十五谓中秋，民间以月饼相送，取团圆之意”．每年中秋节前是购买月饼的高峰期，年中秋节前期某商场在销售一种月饼时发现，如果以元的单价销售，则每天可售出，如果销售单价每增加元，则每天的销售量会减少．该商场为使每天的销售额达到元，销售单价应为多少?设销售单价应为元，依题意可列方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查由实际问题抽象出一元二次方程，解答本题的关键是明确题意，列出相应的方程．根据销售单价应为元，得销售单价增加元，根据销售单价每增加元，则每天的销售量会减少，销售量减少，再利用该商场每天的销售额达到元，可以列出相应的一元二次方程，从而可以解答本题． 【详解】解：∵销售单价应为元， ∴销售单价增加元， ∵销售单价每增加元，则每天的销售量会减少， ∴销售量减少， 由题意可得：， 故选：C． 66．（2024·山西大同·二模）2023年12月6日，中央广播电视总台2024龙年春晚吉祥物“龙辰辰”正式发布亮相．其从我国历史出土文物中提取“龙”的要素作为设计特色，精美别致，充满了趣味和古韵．某批发商场在春节前以60元的进价购进了一批龙辰辰玩偶，计划以每个80元销售．春节来临之际，为了让顾客得到实惠，现决定降价销售．已知玩偶销售量（单位：个）与每个玩偶的降价（单位：元）之间满足一次函数关系，其图象如图所示． (1)求与之间的函数关系式； (2)设商场销售个玩偶所获利润为（单位：元），请直接写出与之间的函数关系式：_____； (3)若商场要想获利2600元，且让顾客获得更大实惠，这种玩偶每个应降价多少元？ 【答案】(1) (2) (3)这种玩偶每个应降价10元 【分析】本题主要考查了一次函数的实际应用，一元二次方程的实际应用，列函数关系式： （1）利用待定系数法求解即可； （2）根据利润（售价进价降价）销售量求解即可； （3）根据（2）所求列出方程求解即可． 【详解】（1）解；设与之间的函数关系式为， 将和代入中，得， 解得． ∴与之间的函数关系式为． （2）解：由题意得， ； （3）根据题意，得， 解得，． ∵要让顾客获得更大实惠， ∴． 答：这种玩偶每个应降价10元． 67．（24-25九年级上·贵州毕节·期中）在2024国际射联射击世界杯总决赛上，中国射击运动员谢瑜以环的优异成绩摘得男子10米气手枪金牌，激励着千千万万的青少年坚定理想、奋力拼搏．谢瑜的家乡贵州省某地盛产核桃，某农户2022年种植核桃80公顷，他逐年扩大规模，到2024年，核桃种植面积达到了公顷． (1)求该农户这两年种植核桃公顷数的年均增长率； (2)某销售核桃的干果店经市场调查发现，当核桃售价为20元/时，每天能售出，售价每降低1元、每天可多售出，为了尽快减少库存，该店决定降价促销，已知核桃的平均成本价为12元/，若要使该店销售核桃每天获利1750元，则售价应降低多少元？ 【答案】(1) (2)3元 【分析】本题主要考查了一元二次方程的实际应用： （1）设该农户这两年种植核桃公顷数的年均增长率为x．根据两年时间种植面积由80公顷变为公顷列出方程求解即可； （2）设售价应降低y元，则每千克的利润为元，销售量为，再由总利润为1750列出方程求解即可． 【详解】（1）解：设该农户这两年种植核桃公顷数的年均增长率为x． 由题意，得， 解得（舍去）． 答：该农户这两年种植核桃公顷数的年均增长率为． （2）解：设售价应降低y元． 由题意，得， 整理得 解得． ∵要尽快减少库存， ∴． 答：售价应降低3元． 68．（2024芜湖市模拟）2024巴黎奥运会吉祥物“”玩偶一经开售，就深受大家的喜爱，某商店以每个20元的价格购进该吉祥物玩偶，以每个35元的价格出售时，平均每天可售出30个，为扩大销售，该商店准备适当降价出售，经过一段时间测算，每个吉祥物每降低1元，平均每天可以多售出3个． (1)若该吉祥物玩偶的销售单价为32元，则当天的销售量为________个； (2)若该商店想每天销售该玩偶的利润为450元，那么每个玩偶应售价多少元？ 【答案】(1)39 (2)每个玩偶应售价30元 【分析】本题考查了有理数混合运算的应用，一元二次方程的应用．熟练掌握有理数混合运算的应用，一元二次方程的应用是解题的关键． （1）根据每件玩偶降价3元，则当天的销售量为，计算求解即可； （2）设每件玩偶应降价元，依题意得，，计算求出满足要求的解，然后作答即可． 【详解】（1）解：由题意可得：（元）； （2）解：设每件商品应降价元， 依题意得，， 整理得，， 解得，或， ∵为扩大销售，该商店准备适当降价出售， ∴不符合题意； ∴当平均每天的利润为元，则每个玩偶售价为30元． 👉题型20 以数学文化为背景考查一元二次方程的实际应用 69．（2024·山西大同·三模）古今中外，许多数学家曾研究过一元二次方程的几何解法，以方程，即为例．三国时期数学家赵爽在其所著的《勾股圆方图注》中记载的方法是：构造图1，其中，大正方形的面积是，它又等于四个矩形的面积加上中间小正方形的面积，即，据此易得．公元9世纪，阿拉伯数学家阿尔·花拉子米采用的方法是：构造图2，其中，大正方形的面积为，它又等于，据此可得．上述求解过程中所用的数学思想方法是（    ） A．分类讨论思想 B．数形结合思想 C．函数方程思想 D．转化思想 【答案】B 【分析】本题考查了一元二次方程的几何应用，根据题干中给出的信息即可得出答案，掌握数形结合思想是解题的关键． 【详解】解：根据题干中给出的信息可知，所用的思想为数形结合思想， 故选：B． 70．（2023·宁夏银川·二模）伊斯兰数学家塔比伊本库拉在其著作《以几何方法证明代数问题》中讨论了二次方程的几何解法．例如：可以用如图来解关于的方程，其中为长方形，为正方形，且，，则几何图形中的某条线段就是方程的一个正根，则这个方程的正根是线段    【答案】/ 【分析】设正方形的边长为，则，根据，可得，所以，进而可得是方程的其中一个正根． 【详解】解：设正方形的边长为， 则， ， ， ， 则方程的其中一个正根为． 故答案为：． 【点睛】本题考查了一元二次方程，数学常识，正方形的性质，解决本题的关键是理解一元二次方程定义． 71．（2020·江苏南通·中考真题）1275年，我国南宋数学家杨辉在《田亩比类乘除算法》中提出这样一个问题：直田积八百六十四步，只云阔不及长一十二步．问阔及长各几步．意思是：矩形面积864平方步，宽比长少12步，问宽和长各几步．若设长为x步，则可列方程为 ． 【答案】x（x﹣12）＝864． 【分析】由长和宽之间的关系可得出宽为（x-12）步，根据矩形的面积为864平方步，即可得出关于x的一元二次方程，此题得解． 【详解】解：∵长为x步，宽比长少12步， ∴宽为（x﹣12）步． 依题意，得：x（x﹣12）＝864． 【点睛】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程以及数学常识，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 72．（2023·陕西西安·三模）我国古代数学著作《九章算术》中记载了一个问题：“今有邑方不知大小，各开中门，出北门三十步有木，出西门七百五十步见木，问：邑方几何？”．其大意是：如图，一座正方形城池，为北门中点，从点往正北方向走30步到处有一树木，为西门中点，从点往正西方向走750步到D处正好看到处的树木，设正方形城池的边长为x步．根据题意整理成一元二次方程的一般形式 ． 【答案】 【分析】设正方形城池的边长为步， ，根据比例性质列方程即可． 【详解】解：设正方形城池的边长为步，则， ， ， ， ，即， ∴． ∴． 故答案为：． 【点睛】本题考查了一元二次方程和相似三角形的应用，构建三角形相似，利用相似比计算对应的线段长是解题的关键． 73．（2024铜山区二模）中国古代数学家杨辉的《田亩比数乘除减法》中记载：“直田积八百六十四步，只云阔不及长一十二步，问阔及长各几步？翻译成数学问题是：一块矩形田地的面积为864平方步，它的宽比长少12步，问它的长与宽各多少步？ 【答案】宽24步，长36步 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，设矩形的宽为x步，根据题意列方程求解，即可得到答案． 【详解】解：设矩形的宽为x步，则矩形的长为步， 依题意得：， 解得：或（舍去）， ， 矩形的宽为24步，则长为36步， 答：宽24步，长36步． 1．（2024·江苏宿迁·中考真题）规定：对于任意实数a、b、c，有，其中等式右面是通常的乘法和加法运算，如．若关于x的方程有两个不相等的实数根，则m的取值范围为（    ） A． B． C．且 D．且 【答案】D 【分析】此题考查了一元二次方程的定义和根的判别式，根据题意得到，再由有两个不相等的实数根得到，且，即可得到答案. 【详解】解：∵， ∴，即， ∵关于x的方程有两个不相等的实数根， ∴，且， 解得且， 故选：D． 2．（2024·四川德阳·中考真题）宽与长的比是的矩形叫黄金矩形，黄金矩形给我们以协调的美感，世界各国许多著名建筑为取得最佳的视觉效果，都采用了黄金矩形的设计．已知四边形是黄金矩形．，点是边上一点，则满足的点的个数为（    ） A．3 B．2 C．1 D．0 【答案】D 【分析】本题考查了矩形的性质，勾股定理，一元二次方程的解，熟练掌握勾股定理，利用判别式判断一元二次方程解的情况是解题的关键．设，，假设存在点，且，则，利用勾股定理得到，，，可得到方程，结合，然后根据判别式的符号即可确定有几个解，由此得解． 【详解】解：如图所示，四边形是黄金矩形，，， 设，，假设存在点，且，则， 在中，， 在中，， ， ，即， 整理得， ，又，即， ， ，， ， 方程无解，即点不存在． 故选：D． 3．（2024·山东泰安·中考真题）如图所示，是用图形“○”和“●”按一定规律摆成的“小屋子”．按照此规律继续摆下去，第 个“小屋子”中图形“○”个数是图形“●”个数的3倍． 【答案】12 【分析】本题主要考查了图形变化的规律、一元二次方程的应用等知识点，能根据所给图形发现“〇”和“●”的个数变化规律是解题的关键． 根据所给图形，依次求出“〇”和“●”的个数，发现规律，再利用规律列出一元二次方程求解即可． 【详解】解：由所给图形可知， 第1个“小屋子”中图形“〇”的个数为：，“●”的个数为：； 第2个“小屋子”中图形“〇”的个数为：，“●”的个数为：； 第3个“小屋子”中图形“〇”的个数为：，“●”的个数为：； 第4个“小屋子”中图形“〇”的个数为：，“●”的个数为：； …， 所以第n个“小屋子”中图形“〇”的个数为：，“●”的个数为：； 由题知，解得， 又n为正整数，则，即第12个“小屋子”中图形“〇”个数是图形“●”个数的3倍． 故答案为：12． 4．（2024·四川成都·中考真题）如图，在中，，是的一条角平分线，为中点，连接．若，，则 ．    【答案】 【分析】连接，过E作于F，设，，根据直角三角形斜边上的中线性质和等腰三角形的性质证得，，，进而利用三角形的外角性质和三角形的中位线性质得到，，证明，利用相似三角形的性质和勾股定理得到；根据角平分线的定义和相似三角形的判定与性质证明得到，进而得到关于x的一元二次方程，进而求解即可． 【详解】解：连接，过E作于F，设，，    ∵，为中点， ∴，又， ∴，，， ∴，， ∵， ∴，则，又， ∴， ∴，， ∴， 则； ∵是的一条角平分线， ∴，又， ∴， ∴ ∴，则， ∴，即， 解得（负值已舍去）， 故答案为：． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质、直角三角形的性质、等腰三角形的性质、三角形的中位线性质、三角形的外角性质、角平分线的定义以及解一元二次方程等知识，是一道填空压轴题，有一定的难度，熟练掌握三角形相关知识是解答的关键． 5．（2024·四川凉山·中考真题）阅读下面材料，并解决相关问题： 下图是一个三角点阵，从上向下数有无数多行，其中第一行有1个点，第二行有2个点……第行有个点…… 容易发现，三角点阵中前4行的点数之和为10． (1)探索：三角点阵中前8行的点数之和为_____，前15行的点数之和为______，那么，前行的点数之和为______ (2)体验：三角点阵中前行的点数之和______（填“能”或“不能”）为500． (3)运用：某广场要摆放若干种造型的盆景，其中一种造型要用420盆同样规格的花，按照第一排2盆，第二排4盆，第三排6盆……第排盆的规律摆放而成，则一共能摆放多少排？ 【答案】(1)36；120； (2)不能 (3)一共能摆放20排． 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． （1）根据图形，总结规律，列式计算即可求解； （2）根据前n行的点数和是500，即可得出关于n的一元二次方程，解之即可判断； （2）先得到前n行的点数和是，再根据题意得出关于n的一元二次方程，解之即可得出n的值． 【详解】（1）解：三角点阵中前8行的点数之和为， 前15行的点数之和为， 那么，前行的点数之和为； 故答案为：36；120；； （2）解：不能， 理由如下： 由题意得， 得， ， ∴此方程无正整数解， 所以三角点阵中前n行的点数和不能是500； 故答案为：不能； （3）解：同理，前行的点数之和为， 由题意得， 得，即， 解得或（舍去）， ∴一共能摆放20排． 1．（2024·山东日照·中考真题）已知，实数是关于x的方程的两个根，若，则k的值为（    ） A．1 B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，对于一元二次方程，若是该方程的两个实数根，则，据此得到，再由得到，据此可得答案． 【详解】解：是关于x的一元二次方程的两个根， ． ， ， ∴ ， 解得， 经检验，是原分式方程的解， 故选：B． 2．（2024·山东济南·中考真题）若关于的方程有两个不相等的实数根，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式，一元二次方程的根与有如下关系：①，方程有两个不相等的实数根，②，方程有两个相等的实数根，③，方程没有实数根，由题意得出，计算即可得出答案． 【详解】解：∵关于的方程有两个不相等的实数根， ∴， 解得：， 故选：B． 3．（2024·山东潍坊·中考真题）已知关于的一元二次方程，其中满足，关于该方程根的情况，下列判断正确的是（    ） A．无实数根 B．有两个相等的实数根 C．有两个不相等的实数根 D．无法确定 【答案】C 【分析】本题本题主要考查了一元二次方程根的判别式，对于一元二次方程，若，则方程有两个不相等的实数根，若，则方程有两个相等的实数根，若，则方程没有实数根，据此先求出，再求出的符号即可得到结论． 【详解】解： ∵， ∴， ∴ ， ， ∴原方程有两个不相等的实数根， 故选：C． 4．（2024·甘肃兰州·中考真题）关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】此题考查了根的判别式，根据根的情况确定参数的取值，解题的关键是熟练掌握一元二次方程根的判别式，当方程有两个不相等的实数根时，；当方程有两个相等的实数根时，；当方程没有实数根时，． 【详解】解：∵关于的一元二次方程有两个相等的实数根， ∴， 解得：， 故选：． 5．（2024·吉林·中考真题）下列方程中，有两个相等实数根的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了一元二次方程的根，解一元二次方程，熟练掌握开平方法解方程是解题的关键． 分别对每一个选项运用直接开平方法进行解方程即可判断． 【详解】解：A、，故该方程无实数解，故本选项不符合题意； B、，解得：，故本选项符合题意； C、，，解得，故本选项不符合题意； D、，，解得，故本选项不符合题意． 故选：B． 6．（2024·内蒙古赤峰·中考真题）等腰三角形的两边长分别是方程的两个根，则这个三角形的周长为（　　） A．或 B．或 C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了解一元二次方程，等腰三角形的定义，三角形的三边关系及周长，由方程可得，，根据三角形的三边关系可得等腰三角形的底边长为，腰长为，进而即可求出三角形的周长，掌握等腰三角形的定义及三角形的三边关系是解题的关键． 【详解】解：由方程得，，， ∵， ∴等腰三角形的底边长为，腰长为， ∴这个三角形的周长为， 故选：． 7．（2024·贵州·中考真题）一元二次方程的解是（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】B 【分析】本题考查了解一元二次方程，利用因式分解法求解即可． 【详解】解∶ ， ∴， ∴或， ∴，， 故选∶B． 8．（2024·河北·中考真题）淇淇在计算正数a的平方时，误算成a与2的积，求得的答案比正确答案小1，则（    ） A．1 B． C． D．1或 【答案】C 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，解一元二次方程，熟练掌握知识点是解题的关键． 由题意得方程，利用公式法求解即可． 【详解】解：由题意得：， 解得：或（舍） 故选：C． 9．（2024·重庆·中考真题）重庆在低空经济领域实现了新的突破．今年第一季度低空飞行航线安全运行了200架次，预计第三季度低空飞行航线安全运行将达到401架次．设第二、第三两个季度安全运行架次的平均增长率为，根据题意，可列方程为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的实际应用，设第二、第三两个季度安全运行架次的平均增长率为，则第二季度低空飞行航线安全运行了架次，第三季度低空飞行航线安全运行了架次，据此列出方程即可． 【详解】解：设第二、第三两个季度安全运行架次的平均增长率为， 由题意得，， 故答案为：． 10．（2024·四川凉山·中考真题）已知，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了解一元二次方程，熟练掌握解一元二次方程的方法是解题的关键． 将代入，转化为解一元二次方程，，要进行舍解． 【详解】解：∵， ∴， 将代入 得，， 即：， ， ∴或， ∵， ∴舍， ∴， 故答案为：3． 11．（2024·四川南充·中考真题）已知m是方程的一个根，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了二元一次方程的解，以及已知式子的值求代数式的值，根据m是方程的一个根，可得出，再化简代数式，整体代入即可求解． 【详解】解：∵m是方程的一个根， ∴ ， 故答案为：． 12．（2024·四川遂宁·中考真题）已知关于的一元二次方程． (1)求证：无论取何值，方程都有两个不相等的实数根； (2)如果方程的两个实数根为，且，求的值． 【答案】(1)证明见解析； (2)或． 【分析】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，根与系数的关系，解一元二次方程，掌握一元二次方程根的判别式是解题的关键． （1）根据根的判别式证明恒成立即可； （2）由题意可得，，，进行变形后代入即可求解． 【详解】（1）证明：， ∵无论取何值，，恒成立， ∴无论取何值，方程都有两个不相等的实数根． （2）解：∵是方程的两个实数根， ∴，， ∴， 解得：或． 13．（2024·浙江·中考真题）已知关于x的方程有两个正整数根（m是整数）．的三边a，b，c满足：． (1)求m的值． (2)求的面积（结果允许保留双重根号）， 【答案】(1) (2)或 【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系以及勾股定理等知识点，本题解题的关键是分类对，的值进行讨论，并通过计算得出三角形的形状． （1）先求出方程的两个根， 然后根据这两个根都是正整数写出的可能的情况， 求出的值． （2）由（1）得出的的值， 然后代入将进行化简， 得出的值． 然后再根据三角形三边的关系来确定符合条件的的值， 用三角形的面积公式得出三角形的面积． 【详解】（1）解：关于x的方程有两个正整数根， ． 解方程得：， 即． ， ， ． （2）解：将代入两等式，化简得：． 当时，． 当时，a，b是方程的两根，显然此方程． 由韦达定理得：， ． 下分三种情况： ①当时， ， 是直角三角形，且， ∴． ②当时， ， ∴不能构成三角形，不合题意，故舍去． ③当时， ， ∴能构成三角形，符合题意． 从而． 综上，的面积为1或． 14．（2024·青海·中考真题）（1）解一元二次方程：； （2）若直角三角形的两边长分别是（1）中方程的根，求第三边的长． 【答案】（1）或 （2）第三边的长是或 【分析】本题考查解一元二次方程，勾股定理． （1）用因式分解法解即可； （2）分情况讨论，一是两根都是直角边，二是两根一个是直角边，一个是斜边，再用勾股定理分别计算即可． 【详解】解：（1） 或； （2）当两条直角边分别为3和1时， 根据勾股定理得，第三边为； 当一条直角边为1，斜边为3时， 根据勾股定理得，第三边为． 答：第三边的长是或． 15．（2024·广东广州·中考真题）关于的方程有两个不等的实数根． (1)求的取值范围； (2)化简：． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查的是一元二次方程根的判别式，分式的混合运算，掌握相应的基础知识是解本题的关键； （1）根据一元二次方程根的判别式建立不等式解题即可； （2）根据（1）的结论化简绝对值，再计算分式的乘除混合运算即可． 【详解】（1）解：∵关于的方程有两个不等的实数根． ∴， 解得：； （2）解：∵， ∴ ； 16．（2023·湖北黄石·中考真题）关于x的一元二次方程，当时，该方程的正根称为黄金分割数．宽与长的比是黄金分割数的矩形叫做黄金矩形，希腊的巴特农神庙采用的就是黄金矩形的设计；我国著名数学家华罗庚的优选法中也应用到了黄金分割数． (1)求黄金分割数； (2)已知实数a，b满足：，且，求ab的值； (3)已知两个不相等的实数p，q满足：，求的值． 【答案】(1) (2)2 (3)0 【分析】（1）依据题意，将代入然后解一元二次方程即可得解； （2）依据题意，将变形为，从而可以看作，是一元二次方程的两个根，进而可以得解； （3）依据题意，将已知两式相加减后得到，两个关系式，从而求得，进而可以得解． 【详解】（1）依据题意， 将代入得， 解得， ∵黄金分割数大于0， ∴黄金分割数为． （2）∵， ∴， 则． 又∵， ∴，是一元二次方程的两个根， 则， ∴． （3）∵，； ∴； 即； ∴． 又∵； ∴； 即． ∵，为两个不相等的实数， ∴， 则， ∴． 又∵， ∴， 即． 【点睛】本题考查的是一元二次方程根与系数的关系，解题的关键是掌握根与系数的关系，灵活运用所学知识解决问题． 17．（2023·内蒙古通辽·中考真题）阅读材料： 材料1：关于x的一元二次方程的两个实数根和系数a，b，c有如下关系：，． 材料2：已知一元二次方程的两个实数根分别为m，n，求的值． 解：∵m，n是一元二次方程的两个实数根， ∴． 则． 根据上述材料，结合你所学的知识，完成下列问题： (1)应用：一元二次方程的两个实数根为，则___________，___________； (2)类比：已知一元二次方程的两个实数根为m，n，求的值； (3)提升：已知实数s，t满足且，求的值． 【答案】(1)， (2) (3)的值为或． 【分析】（1）直接利用一元二次方程根与系数的关系求解即可； （2）利用一元二次方程根与系数的关系可求出，，再根据，最后代入求值即可； （3）由题意可将s、t可以看作方程的两个根，即得出，，从而由，求得或，最后分类讨论分别代入求值即可． 【详解】（1）解：∵一元二次方程的两个根为，， ∴，． 故答案为：，； （2）解：∵一元二次方程的两根分别为m、n， ∴，， ∴ ； （3）解：∵实数s、t满足， ∴s、t可以看作方程的两个根， ∴，， ∵ ， ∴或， 当时， ， 当时， ， 综上分析可知，的值为或． 【点睛】本题考查一元二次方程根与系数的关系，完全平方公式的变形计算，分式的混合运算．理解题意，掌握一元二次方程根与系数的关系：和是解题关键． 18．（2023·湖北·中考真题）已知关于x的一元二次方程． (1)求证：无论m取何值时，方程都有两个不相等的实数根； (2)设该方程的两个实数根为a，b，若，求m的值． 【答案】(1)证明见解析 (2)的值为1或 【分析】（1）根据一元二次方程根的判别式可进行求解； （2）根据一元二次方程根与系数的关系可进行求解． 【详解】（1）证明：∵， ∴无论取何值，方程都有两个不相等的实数根． （2）解：∵的两个实数根为， ∴． ∵， ∴，． ∴． 即． 解得或． ∴的值为1或． 【点睛】本题主要考查一元二次方程根的判别式及根与系数的关系，熟练掌握一元二次方程根的判别式及根与系数的关系是解题的关键． $$