第27讲与圆有关的位置关系 讲义 -2025年中考数学一轮考点探究（广东）

第27讲　与圆有关的位置关系 (6年5考,3~10分) 【知识清单】 知识点1 与圆有关的位置关系 图1 点与圆的位置关系 (设圆的半径为r, 平面内任一点到 圆心的距离为d) 直线与圆的位置关系 (设圆的半径为r,圆心 到直线的距离为d) 知识点2 切线 切线的性质:圆的切线⑦ 于过切点的半径(或直径)  切线的判定 切线长定理:从圆外一点可以引圆的两条切线,它们的切线长⑧ ,这一点和圆心的连线⑨ 两条切线的夹角,如图2,过☉O外一点P可引两条切线PA,PB,则PA=⑩ ,PO平分∠APB  图2 知识点3 三角形的内心 【参考答案】知识清单 ①>　②=　③<　④>　⑤=　⑥<　⑦垂直　⑧相等 ⑨平分　⑩PB　与三角形各边相切的圆　三角形内切圆的圆心　各边　角平分线 【自我诊断】 1.(2023·珠海一模)已知的☉O的半径为3 cm,点P到圆心O的距离OP=2 cm,则点P ( ) A.在☉O外 B.在☉O上 C.在☉O内 D.无法确定 2.如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,AB=5,cos A=,以B为圆心,r为半径作☉B,当r=3时,☉B与AC的位置关系是 ( ) A.相离 B.相切 C.相交 D.无法确定 3.(2023·惠州一模)如图,PA,PB切☉O于点A,B,C是☉O上一点,且∠P=36°,则∠ACB= ( ) A.54° B.72° C.108° D.144° 【参考答案】自我诊断 1.C　2.B　3.B 【核心突破】 题型1 切线的性质 例题1 如图,△ABC是☉O的内接三角形,∠BAC=75°,∠ABC=45°.连接AO并延长,交☉O于点D,连接BD.过点C作☉O的切线,与BA的延长线相交于点E. (1)求证:AD∥EC. (2)若AB=12,求线段EC的长. 方法总结 　　切线的性质的运用技巧: 1.已知切线,一般要连接过切点的半径. 2.这类题往往还会涉及圆的基本性质、三角函数、三角形与四边形的性质与判定. 变式特训 如图,△ABC是☉O的内接三角形,过点C作☉O的切线交BA的延长线于点F,AE是☉O的直径,连接EC. (1)求证:∠ACF=∠B. (2)若AB=BC,AD⊥BC于点D,FC=4,FA=2,求AD·AE的值. 题型2 切线的判定 例题2 如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,AE 平分∠BAC交BC于点E,点D在AB上,DE⊥AE.☉O是Rt△ADE的外接圆,交AC于点F. (1)求证:BC是☉O的切线. (2)若☉O的半径为5,AC=8,求S△ADE. 方法总结 　　证明圆的切线的两种方法: 1.有切点,连半径,证垂直; 2.无切点,作垂直,证半径. 变式特训 如图,在矩形ABCD中,以BC边为直径作半圆O,OE⊥OA交CD边于点E,对角线AC与半圆O的另一个交点为P,连接AE. (1)求证:AE是半圆O的切线. (2)若PA=3,PC=9,求的长. 【参考答案】例题1　【自主解答】(1)证明:如图1,连接OC. ∵CE与☉O相切于点C, ∴∠OCE=90°. ∵∠ABC=45°, ∴∠AOC=90°. ∵∠AOC+∠OCE=180°, ∴AD∥EC. (2)如图2,过点A作AF⊥EC交EC于点F. ∵∠BAC=75°,∠ABC=45°, ∴∠ACB=60°, ∴∠D=∠ACB=60°, ∴sin∠ADB==, ∴AD==8, ∴OA=OC=4. ∵AF⊥EC,∠OCE=90°,∠AOC=90°, ∴四边形OAFC是矩形. 又∵OA=OC, ∴四边形OAFC是正方形, ∴CF=AF=4. ∵∠BAD=90°-∠D=30°, ∴∠EAF=180°-90°-30°=60°. ∵tan∠EAF==, ∴EF=AF=12, ∴CE=CF+EF=12+4. 变式特训　【解析】(1)证明:如图,连接OC. ∵FC是☉O的切线,AE是☉O的直径, ∴∠OCF=∠ACE=90°. ∴∠ACF+∠ACO=∠ECO+∠ACO=90°, ∴∠ACF=∠ECO. 又∵OE=OC, ∴∠OEC=∠ECO. 根据圆周角定理可得∠OEC=∠B. ∴∠ACF=∠B. (2)由(1)可知∠ACF=∠B, ∵∠AFC=∠CFB, ∴△AFC∽△CFB, ∴=, ∴FB=. ∵FC=4,FA=2, ∴FB===8, ∴AB=FB-AF=8-2=6, ∴AB=BC=6. 又∵△AFC∽△CFB, ∴=, ∴CA===3. 如图,连接BE. ∵∠ACD=∠AEB,∠ADC=∠ABE=90°, ∴△ACD∽△AEB, ∴=, ∴AD·AE=AB·AC=6×3=18. 例题2　【自主解答】(1)证明:如图,连接OE. ∵OA=OE,∴∠1=∠3, ∵AE平分∠BAC, ∴∠1=∠2, ∴∠2=∠3, ∴OE∥AC, ∴∠OEB=∠C=90°, ∴BC是☉O的切线. (2)如图,过点E作EG⊥AB于点G. 在△ACE和△AGE中, ∴△ACE≌△AGE(AAS),∴AC=AG=8. ∵圆O的半径为5, ∴AD=10,OG=AG-AO=3, ∴EG==4, ∴S△ADE=AD·EG=×10×4=20. 变式特训　【解析】(1)证明:在矩形ABCD中,∠ABO=∠OCE=90°, ∵OE⊥OA,∴∠AOE=90°, ∴∠BAO+∠AOB=∠AOB+∠COE=90°, ∴∠BAO=∠COE, ∴△ABO∽△OCE,∴=. ∵OB=OC,∴=. ∵∠ABO=∠AOE=90°, ∴△ABO∽△AOE, ∴∠BAO=∠OAE. 如图,过点O作OF⊥AE于点F, ∴∠ABO=∠AFO=90°. 在△ABO与△AFO中, ∴△ABO≌△AFO(AAS), ∴OF=OB, ∴AE是半圆O的切线. (2)如图,连接PB,OP. ∵以BC边为直径作半圆O, ∴BP⊥AC,∴∠ABP=∠ACB, ∴△BPA∽△CBA, ∴=, 即AB2=AP·AC=3×12=36, ∴AB=6,∴BC==6, ∴BO=OC=3. ∵AB=AC,∴∠ACB=30°, ∴∠BOP=2∠ACB=60°, ∴的长==π. 【真题精粹】 考向1 点、直线与圆的位置关系 真题拓展 1.已知在平面直角坐标系中,点P的坐标为(3,4),若以原点O为圆心,5为半径作圆,则点P与☉O的位置关系是 ( ) A.点在圆内　　　　　　B.点在圆上 C.点在圆外 D.不能确定 考向2 切线的性质(6年3考) 2.如图,AB是☉O的直径,AB=4,E为线段OB上一点(不与点O,B重合),作CE⊥OB,交☉O于点C,垂足为点E,作直径CD,过点C的切线交DB的延长线于点P,AF⊥PC交PC的延长线于点F,连接CB. (1)求证:CB是∠ECP的平分线. (2)求证:CF=CE. (3)当=时,求劣弧BC的长度.(结果保留π) 考向3 切线的判定(6年4考) 3.(2020·广东22题8分)如图1,在四边形ABCD中,AD∥BC,∠DAB=90°,AB是☉O的直径,CO平分∠BCD. (1)求证:直线CD与☉O相切. (2)如图2,记(1)中的切点为E,P为优弧AE上一点,AD=1,BC=2,求tan∠APE的值. 4.(2019·广东24题9分)如图1,在△ABC中,AB=AC,☉O是△ABC的外接圆,过点C作∠BCD=∠ACB交☉O于点D,连接AD交BC于点E,延长DC至点F,使CF=AC,连接AF. (1)求证:ED=EC. (2)求证:AF是☉O的切线. (3)如图2,若点G是△ACD的内心,BC·BE=25,求BG的长. 5.(2018·广东24题9分)如图,在四边形ABCD中,AB=AD=CD,以AB为直径的☉O经过点C,连接AC,OD交于点E. (1)求证:OD∥BC. (2)若tan∠ABC=2,求证:DA与☉O相切. (3)在(2)的条件下,连接BD交☉O于点F,连接EF,若BC=1,求EF的长. 6.(2021·广东24题10分)如图,在四边形ABCD中,AB∥CD,AB≠CD,∠ABC=90°,点E,F分别在线段BC,AD上,且EF∥CD,AB=AF,CD=DF. (1)求证:CF⊥FB. (2)求证:以AD为直径的圆与BC相切. (3)若EF=2,∠DFE=120°,求△ADE的面积. 【参考答案】1.B 2.【解析】(1)证明:如图,连接AC. ∵AB为直径,∴∠ACB=90°. ∵∠1+∠2=90°,∠2+∠3=90°, ∴∠1=∠3. 又∵CP为切线, ∴∠OCP=90°. ∵DC为直径, ∴∠DBC=90°, ∴∠4+∠DCB=90°,∠DCB+∠D=90°, ∴∠4=∠D. 又∵=, ∴∠3=∠D, ∴∠1=∠4, ∴CB是∠ECP的平分线. (2)证明:∵∠ACB=90°, ∴∠5+∠4=90°,∠ACE+∠1=90°. 由(1)得∠1=∠4, ∴∠5=∠ACE. 在Rt△AFC和Rt△AEC中, ∴△AFC≌△AEC(AAS),∴CF=CE. (3)如图,延长CE交DB于点Q. ==. 设CF=3x,CP=4x, 由(2)得CF=CE=3x. ∵CB是∠QCP的平分线, CB⊥PQ, ∴CP=CQ=4x, ∴EQ=4x-3x=x. ∵CE⊥EB,∠CBQ=90°,∠1+∠CQB=90°,∠1+∠2=90°, ∴∠2=∠CQB,∴△CEB∽△BEQ, ∴=, ∴EB2=CE·EQ,即3x·x=EB2, ∴EB=x. 在△CEB中,tan∠CBE===, ∴∠CBE=60°, ∴∠CBE=180°-60°-60°=60°. ∵AB=4,∴OB=2, ∴的长度为π×2=π. 3.【解析】(1)证明:作OE⊥CD于点E,如图1所示, 则∠OEC=90°. ∵AD∥BC,∠DAB=90°, ∴∠OBC=180°-∠DAB=90°, ∴∠OEC=∠OBC. ∵CO平分∠BCD, ∴∠OCE=∠OCB, 在△OCE和△OCB中, ∴△OCE≌△OCB(AAS), ∴OE=OB. 又∵OE⊥CD, ∴直线CD与☉O相切. (2)作DF⊥BC于点F,连接BE,如图2所示, 则四边形ABFD是矩形, ∴AB=DF,BF=AD=1, ∴CF=BC-BF=2-1=1. ∵AD∥BC,∠DAB=90°, ∴AD⊥AB,BC⊥AB, ∴AD,BC是☉O的切线. 由(1)得CD是☉O的切线, ∴ED=AD=1,EC=BC=2, ∴CD=ED+EC=3, ∴DF===2, ∴AB=DF=2, ∴OB=. ∵CO平分∠BCD, ∴CO⊥BE, ∴∠BCH+∠CBH=∠CBH+∠ABE=90°, ∴∠ABE=∠BCH. ∵∠APE=∠ABE, ∴∠APE=∠BCH, ∴tan∠APE=tan∠BCH==. 4.【解析】(1)证明:∵AB=AC, ∴∠ABC=∠ACB. 又∵∠ACB=∠BCD,∠ABC=∠ADC, ∴∠BCD=∠ADC, ∴ED=EC. (2)证明:如图,连接OA. ∵AB=AC,∴=, ∴OA⊥BC. ∵CA=CF, ∴∠CAF=∠CFA, ∴∠ACD=∠CAF+∠CFA=2∠CAF. ∵∠ACB=∠BCD,∴∠ACD=2∠ACB, ∴∠CAF=∠ACB,∴AF∥BC, ∴OA⊥AF,∴AF为☉O的切线. (3)∵∠ABE=∠CBA,∠BAD=∠BCD=∠ACB, ∴△ABE∽△CBA,∴=, ∴AB2=BC·BE. ∵BC·BE=25,∴AB=5. 如图,连接AG, ∴∠BAG=∠BAD+∠DAG, ∠BGA=∠GAC+∠ACB. ∵点G为△ACD的内心,∴∠DAG=∠GAC. 又∵∠BAD=∠BCD=∠ACB, ∴∠BAD+∠DAG=∠GAC+∠ACB, ∴∠BAG=∠BGA, ∴BG=AB=5. 5.【解析】(1)证明:如图1,连接OC. 在△OAD和△OCD中, ∵ ∴△OAD≌△OCD(SSS), ∴∠ADO=∠CDO. 又∵AD=CD, ∴DE⊥AC. ∵AB为☉O的直径, ∴∠ACB=90°, ∴BC⊥AC, ∴OD∥BC. (2)证明:∵tan∠ABC==2, ∴设BC=a,则AC=2a, ∴AD=AB==a. ∵OE∥BC,且AO=BO, ∴OE=BC=a,AE=CE=AC=a. 在△AED中,DE==2a, 在△AOD中,AO2+AD2=2+(a)2=a2, OD2=(OE+DE)2=a+2a2=a2, ∴AO2+AD2=OD2, ∴∠OAD=90°, ∴DA与☉O相切. (3) 如图2,连接AF. ∵AB是☉O的直径, ∴∠AFD=∠BAD=90°. ∵∠ADF=∠BDA, ∴△AFD∽△BAD, ∴=, 即DF·BD=AD2①. 又∵∠AED=∠OAD=90°,∠ADE=∠ODA, ∴△AED∽△OAD, ∴=,即OD·DE=AD2②. 由①②可得DF·BD=OD·DE,即=. 又∵∠EDF=∠BDO, ∴△EDF∽△BDO. ∵BC=1, ∴AB=AD=,OD=,ED=2,BD=,OB=, ∴=,即=, 解得EF=. 6.【解析】(1)证明:∵CD=DF, ∴∠DCF=∠DFC. ∵EF∥CD,∴∠DCF=∠EFC, ∴∠DFC=∠EFC, ∴∠DFE=2∠EFC. ∵AB=AF,∴∠ABF=∠AFB. ∵CD∥EF,CD∥AB,∴AB∥EF, ∴∠EFB=FBA,∠EFB=∠AFB, ∴∠AFE=2∠BFE. ∵∠AFE+∠DFE=180°, ∴2∠BFE+2∠EFC=180°, ∴∠BFE+∠EFC=90°, ∴∠BFC=90°, ∴CF⊥BF. (2)证明:如图1,取AD的中点O,过点O作OH⊥BC于点H,连接并延长CO,交BA的延长线于点G. ∴∠OHC=90°=∠ABC, ∴OH∥AB, ∵AB∥CD, ∴OH∥AB∥CD, ∴∠G=∠DCO. ∵O是AD的中点, ∴H是BC的中点, ∴OH是△BCG的中位线, ∴OH=BG. ∵∠AOG=∠DOC,OA=OD, ∴△AOG≌△DOC(AAS), ∴AG=CD, ∴OH=BG=(AB+AG)=(AF+DF)=AD. ∵OH⊥BC, ∴以AD为直径的圆与BC相切. (3)如图2,过点D作DM⊥EF,交EF的延长线于点M. 由(1)知∠DFE=2∠EFC, ∵∠DFE=120°, ∴∠CFE=60°, 在Rt△CEF中,EF=2,∠ECF=90°-∠CFE=30°, ∴CF=2EF=4, ∴CE==2. ∵AB∥EF∥CD,∠ABC=90°, ∴∠ECD=∠CEF=90°, 又∵DM⊥EF,∴∠M=90°, ∴∠M=∠ECD=∠CEF=90°, ∴四边形CEMD是矩形,∴DM=CE=2. 过点A作AN⊥EF于点N, ∴四边形ABEN是矩形, ∴AN=BE, 由(1)知∠CFB=90°, ∵∠CFE=60°,∴∠BFE=30°. 在Rt△BEF中,EF=2, ∴BE=EF·tan 30°=, ∴AN=, ∴S△ADE=S△AEF+S△DEF =EF·AN+EF·DM =EF(AN+DM) =×2×+2 =. 学科网（北京）股份有限公司 $$