第16讲　二次函数的实际应用 讲义 -2025年中考数学一轮考点探究（广东）

第16讲　二次函数的实际应用 (仅2021考查,5分) 【自我诊断】 1.(人教九上P51探究3变式)如图,有一座抛物线形拱桥,拱桥桥洞上沿是抛物线形状,在正常水位时水面AB的宽为20 m,当水位上升3 m达到警戒水位时,水面CD的宽是10 m.如果水位以0.25 m/h的速度上涨,那么达到警戒水位后,再过 h水位达到拱桥最高点O.  2. 飞机着陆后滑行的距离y(单位:m)关于滑行时间t(单位:s)的函数表达式是y=60t-t2.在飞机着陆后滑行过程中,最后2 s滑行的距离是 m.  【参考答案】 1.4　2.6 【核心突破】 题型1 二次函数的实际应用　 例题1 如图1,这是一座抛物线形拱桥的侧面示意图.水面宽AB与桥长CD均为24 m,在距离D点6 m的E处,测得桥面到桥拱的距离EF为1.5 m,以桥拱顶点O为原点,桥面为x轴建立平面直角坐标系. (1)求桥拱顶部O离水面的距离. (2)如图2,桥面上方有3根高度均为4 m的支柱CG,OH,DI,过相邻两根支柱顶端的钢缆呈形状相同的抛物线,其最低点到桥面距离为1 m. ①求出其中一条钢缆所在抛物线的函数表达式; ②为庆祝节日,在钢缆和桥拱之间竖直装饰若干条彩带,求彩带长度的最小值. 变式1 某游乐场的圆形喷水池中心O有一雕塑OA,从A点向四周喷水,喷出的水柱呈抛物线形,且形状相同.如图,以水平方向为x轴,O为原点建立平面直角坐标系,点A在y轴上,x轴上的C,D为水柱的落水点,水柱所在抛物线(第一象限部分)的函数表达式为y=-(x-5)2+6. (1)求雕塑高OA. (2)求落水点C,D之间的距离. (3)若需要在OD上的点E处立雕塑EF,OE=10 m,EF=1.8 m,EF⊥OD.问顶部F是否会碰到水柱?请通过计算说明. 【参考答案】 例题【自主解答】(1)根据题意可知点F的坐标为6,-,可设拱桥侧面所在二次函数的表达式为y1=a1x2. 将F6,-代入y1=a1x2,得-=36a1, 解得a1=-, ∴y1=-x2. 当x=12时,y1=-×122=-6, ∴桥拱顶部O离水面的距离为6 m. (2)①由题意可知右边钢缆所在抛物线的顶点坐标为(6,1),可设其表达式为y2=a2(x-6)2+1, 将H(0,4)代入表达式,得4=a2(0-6)2+1, 解得a2=, ∴右边钢缆所在抛物线的表达式为y2=(x-6)2+1. ②设彩带的长度为L m, 则L=y2-y1=(x-6)2+1--x2=x2-x+4=(x-4)2+2, ∴当x=4时,L最小值=2. 答:彩带长度的最小值是2 m. 变式特训　【解析】(1)当x=0时,y=-(0-5)2+6=, ∴点A的坐标为0,, ∴雕塑高 m. (2)当y=0时,-(x-5)2+6=0, 解得x1=-1(舍去),x2=11, ∴点D的坐标为(11,0), ∴OD=11 m. ∵从A点向四周喷水,喷出的水柱呈抛物线形,且形状相同, ∴OC=OD=11 m,∴CD=OC+OD=22 m. (3)当x=10时,y=-(10-5)2+6=, ∴点10,在抛物线y=-(x-5)2+6上. 又∵≈1.83>1.8, ∴顶部F不会碰到水柱. 【真题精粹】 考向1 二次函数的实际应用 1.(2021·广东22题8分)端午节是我国入选世界非物质文化遗产的传统节日,端午节吃粽子是中华民族的传统习俗.市场上豆沙粽的进价比猪肉粽的进价每盒便宜10元,某商家用8000元购进的猪肉粽和用6000元购进的豆沙粽盒数相同.在销售过程中,该商家发现当猪肉粽每盒售价50元时,每天可售出100盒,每盒售价提高1元时,每天少售出2盒. (1)求猪肉粽和豆沙粽每盒的进价. (2)设猪肉粽每盒售价x(50≤x≤65)元,y表示该商家每天销售猪肉粽的利润(单位:元),求y关于x的函数解析式,并求最大利润. 真题拓展 2.某县是全国优质黄花的主产地,某加工厂加工黄花的成本为30元/千克,根据市场调查发现,当批发价定为48元/千克时,每天可销售500千克,为增大市场占有率,在保证盈利的情况下,工厂采取降价措施,批发价每千克降低1元,每天销量可增加50千克. (1)写出工厂每天的利润W元与降价x元之间的函数关系,当降价2元时,工厂每天的利润为多少元? (2)当降价多少元时,工厂每天的利润最大,最大为多少元? (3)若工厂每天的利润要达到9750元,并让利于民,则定价应为多少元? 【参考答案】 1.【解析】(1)设猪肉粽每盒进价a元,则豆沙粽每盒进价(a-10)元, 则=, 解得a=40,经检验a=40是方程的解, ∴猪肉粽每盒进价40元,豆沙粽每盒进价30元. 答:猪肉粽每盒进价40元,豆沙粽每盒进价30元. (2)由题意知,当x=50时,每天可售出100盒, 当猪肉粽每盒售价x(50≤x≤65)元时,每天可售[100-2(x-50)]盒, ∴y=x[100-2(x-50)]-40×[100-2(x-50)]=-2x2+280x-8000, 配方,得y=-2(x-70)2+1800. ∵当x<70时,y随x的增大而增大, ∴当x=65时,y取得最大值, ∴最大利润为-2×(65-70)2+1800=1750(元). 答:y关于x的函数解析式为y=-2x2+280x-8000(50≤x≤65),且最大利润为1750元. 2.【解析】(1)由题意得W=(48-30-x)(500+50x)=-50x2+400x+9000. 当x=2时,W=-50×22+400×2+9000=9600(元). 答:工厂每天的利润W元与降价x元之间的函数关系为W=-50x2+400x+9000,当降价2元时,工厂每天的利润为9600元. (2)由(1)得W=-50x2+400x+9000=-50(x-4)2+9800. ∵-50<0,∴当x=4时,W最大,最大为9800, 即当降价4元时,工厂每天的利润最大,最大为9800元. (3)-50x2+400x+9000=9750, 解得x1=3,x2=5. ∵让利于民,∴x1=3不符合题意,舍去, ∴定价应为48-5=43(元). 答:定价应为43元. 学科网（北京）股份有限公司 $$