第15讲　二次函数的图象与性质 讲义 -2025年九年级中考数学一轮考点探究（广东）

第15讲　二次函数的图象与性质 (6年6考,3~8分) 【知识清单】 知识点1 二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象与性质 定义 y=ax2+bx+c(a,b,c为常数,a≠0) a a>0 a<0 图象 性质 对称轴 1.对称轴为直线① 2.利用x=求解(其中x1,x2为关于对称轴对称的两点的横坐标) 顶点坐标 1.顶点坐标:② 2.将一般式配方为顶点式y=a(x-h)2+k,则顶点坐标为③ 增减性 1.在对称轴左侧,即当x<-时,y随x的增大而④ 2.在对称轴右侧,即当x>-时,y随x的增大而⑤ 1.在对称轴左侧,即当x<-时,y随x的增大而⑥ 2.在对称轴右侧,即当x>-时,y随x的增大而⑦ 最值 当x=-时,y取最小值,最小值为　 当x=-时,y取最大值,最大值为　 知识点2 二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象与a,b,c的关系 抛物线与a,b,c的关系 知识点3 二次函数表达式的确定 二次函数表达式的三种形式 待定系数法求表达式 知识点4 二次函数图象的变换 抛物线的平移 抛物线的翻折 与中心对称 知识点5 二次函数与一元二次方程的关系 二次函数与一元二次方程的关系 【参考答案】 ①x=-　②-,　③(h,k)　④减小　⑤增大　⑥增大　⑦减小　⑧向上　⑨向下　⑩越小　越大　正半轴　负半轴　>　=　< 【自我诊断】 1.(人教九上P37练习题变式)二次函数y=-1图象的顶点坐标是 ( ) A.(2,-1) B.(2,1) C.(-2,-1) D.(-2,1) 2.(北师九下P40例2变式)二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示,那么下列判断正确的是 ( ) A.a>0,b<0,c<0 B.a>0,b>0,c>0 C.a<0,b<0,c<0 D.a<0,b>0,c<0 3.一个二次函数的图象的顶点坐标是(2,4),且过另一点(0,-4),则该二次函数的解析式为 ( ) A.y=-2(x+2)2+4 B.y=-2(x-2)2+4 C.y=2(x+2)2-4 D.y=2(x-2)2-4 4.(北师九下P30随堂练习第1题变式)已知y=(m+2)+2是y关于x的二次函数,那么m的值为 .  【参考答案】 1.C　2.D　3.B　4.2 【核心突破】 题型1 二次函数多结论判断 例题1 已知二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象如图所示,有下列5个结论:①abc>0;②b2<4ac;③2c<3b;④a+2b>m(am+b)(m≠1);⑤若方程|ax2+bx+c|=1有四个根,则这四个根的和为2.其中正确的结论有 ( ) A.2个 B.3个 C.4个 D.5个 方法总结 二次函数中a,b,c符号的判断: 二次函数y=ax2+bx+c(a,b,c为常数,a≠0) 1.a决定开口方向和大小.当a>0时,抛物线开口向上;当a<0时,抛物线开口向下.|a|决定开口 大小,|a|越大,开口反而越小. 2.a和b共同决定对称轴的位置.当a与b同号时(即ab>0),对称轴在y轴左侧; 当a与b异号时(即ab<0),对称轴在y轴右侧.(简称:左同右异). 3.c决定抛物线与y轴的交点,抛物线与y轴交于点(0,c). 4.当x=1时,y=a+b+c;当x=-1时,y=a-b+c;当x=2时,y=4a+2b+c;当x=-2时,y=4a-2b+c. 5.要确定2a+b和2a-b的符号,需将-与1,-1进行比较. 6.比较函数值的大小,当开口向上时,离对称轴越近,函数值越小,反之越大;当开口向下时,离对称轴越近,函数值越大,反之越小. 变式1 二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的部分图象如图所示.已知图象经过点(-1,0),其对称轴为直线x=1.有下列结论:①abc<0;②4a+2b+c<0;③8a+c<0;④若抛物线经过点(-3,n),则关于x的一元二次方程ax2+bx+c-n=0(a≠0)的两根分别为-3,5.其中正确的个数为 ( ) A.1 B.2 C.3 D.4 题型2 求二次函数的解析式 例题2 抛物线上部分点的横坐标、纵坐标的对应值如下表: x -2 -1 0 0.5 1 2 3 y 0 4 6 6.25 6 4 0 请选择合适的方法,求此拋物线的函数表达式. 变式2 1.已知二次函数的图象经过点A(-1,0),B(3,0),C(0,-3). (1)求此二次函数的解析式. (2)求此函数图象的顶点坐标,并指出x取何值时,该函数的y随x的增大而减小. 2. 如图,二次函数y=ax2+bx的图象经过点A(2,4)与点B(6,0). (1)求a,b的值. (2)C是该二次函数图象上A,B两点之间的一动点,其横坐标为x(2<x<6).写出四边形OACB的面积S关于点C的横坐标x的函数表达式,并求S的最大值. 【参考答案】 例题1　A 变式特训　C 例题2　【自主解答】观察表格中x,y的值,可知(0,6),(1,6)是对称点, ∴抛物线的对称轴是直线x=, ∴顶点坐标为,. 设抛物线的函数表达式为y=ax-2+, 将(0,6)代入,得6=a0-2+, 解得a=-1, ∴此抛物线的函数表达式为y=-x-2+. 变式特训 1.【解析】(1)设二次函数的解析式为y=a(x+1)(x-3). ∵抛物线经过点C(0,-3), ∴-3=a(0+1)(0-3), 解得a=1, ∴y=(x+1)(x-3), ∴二次函数的解析式为y=x2-2x-3. (2)∵y=x2-2x-3=(x-1)2-4, ∴对称轴是直线x=1,顶点坐标是(1,-4). ∵抛物线开口向上, ∴当x<1时,该函数的y随x的增大而减小. 2.(1)将A(2,4)与B(6,0)代入y=ax2+bx, 得 解得 (2)如图,过点A作x轴的垂线,垂足为D(2,0),连接CD,CB,过C作CE⊥AD,CF⊥x轴,垂足分别为E,F, ∵S△OAD=OD·AD=×2×4=4, S△ACD=AD·CE=×4×(x-2)=2x-4, S△BCD=BD·CF=×4×-x2+3x=-x2+6x, 则S=S△OAD+S△ACD+S△BCD=4+2x-4-x2+6x=-x2+8x, ∴S关于x的函数表达式为S=-x2+8x(2<x<6). ∵S=-x2+8x=-(x-4)2+16, ∴当x=4时,四边形OACB的面积S有最大值,最大值为16. 【真题精粹】 考向1 二次函数的图象与性质 1.(2023·广东10题3分)如图,抛物线y=ax2+c经过正方形OABC的三个顶点A,B,C,点B在y轴上,则ac的值为 ( ) A. -1 B.-2 C.-3 D.-4 真题拓展 2.在同一平面直角坐标系中,函数y=ax2+bx与y=ax+b的图象不可能是 ( ) A B C D 考向2 二次函数图象的几何变换(6年2考) 3.(2020·广东7题3分)把函数y=(x-1)2+2的图象向右平移1个单位长度,平移后的图象的函数解析式为 ( ) A.y=x2+2 B.y=(x-1)2+1 C.y=(x-2)2+2 D.y=(x-1)2-3 4.(2021·广东12题4分)把抛物线y=2x2+1向左平移1个单位长度,再向下平移3个单位长度,得到的抛物线的解析式为 .  真题拓展 5.把二次函数y=-x2的图象向左平移1个单位长度,然后向上平移3个单位长度,则平移后的图象对应的二次函数的关系式为 ( ) A.y=-(x+1)2+3 B.y=-(x+1)2-3 C.y=-(x-1)2-3 D.y=-(x-1)2+3 考向3 二次函数的图象与系数的关系(仅2020.T10考查) 6.(2020·广东10题3分)如图,抛物线y=ax2+bx+c的对称轴是直线x=1,下列结论:①abc>0;②b2-4ac>0;③8a+c<0;④5a+b+2c>0.其中正确的有 ( ) A.4个 B.3个 C.2个 D.1个 【参考答案】 1.B　2.D　3.C　4.y=2x2+4x　5.A　6.B 学科网（北京）股份有限公司 $$