直线与圆锥曲线的位置关系限时训练--2025届高三数学二轮复习

直线与圆锥曲线的位置关系 一、单项选择题 1．(★)(2024·大连模拟)双曲线－＝1与直线l：y＝－x＋m(m∈R)的公共点的个数为(　　) A．0 B．1 C．0或1 D．0或1或2 答案　C 解析　因为双曲线－＝1的渐近线方程为y＝±x， 所以当m＝0时，直线l：y＝－x与渐近线重合，此时直线与双曲线无交点； 当m≠0时，直线l与渐近线y＝－x平行，此时直线l与双曲线有一个交点． 2．(★★)(2023·天津模拟)已知过抛物线 C：y2＝2px(p>0)的焦点 F 且斜率为的直线与C交于A，B两点(点 A 在 x轴上方)，点M，则等于(　　) A. B．4 C. D．9 答案　D 解析　由题意可得F，故直线AB的方程为y＝，即x＝y＋， 由可得y2－py－p2＝0， 解得y＝3p或y＝－，又点 A 在 x 轴上方， 所以A，B， 又M， 所以|AM|＝＝p， |BM|＝＝p， 所以＝9. 3．(★★)(2023·武汉模拟)已知椭圆E：＋＝1(a>b>0)，斜率为的直线与椭圆E交于P，Q两点，P，Q在y轴左侧，且P点在x轴上方，点P关于坐标原点O对称的点为R，且∠PQR＝45°，则该椭圆的离心率为(　　) A. B. C. D. 答案　D 解析　如图所示，作QA∥x轴交PR于点A， 设直线PQ的方程为x＝2y＋m且P(x1，y1)，Q(x2，y2)，R(－x1，－y1)， 则x1<0，x2<0，y1>0， 联立方程组 整理得(a2＋4b2)y2＋4mb2y＋(m2－a2)b2＝0， 则y1＋y2＝， 可得x1＋x2＝2(y1＋y2)＋2m＝， kQP＝tan∠PQA＝， kQR＝＝＝－tan∠RQA， 由tan∠PQR＝＝＝1，可得kQR＝－， 所以kQR＝＝－＝－，可得a2＝6b2， 则椭圆的离心率e＝＝＝. 4.(★★★)(2023·扬州模拟)如图，已知椭圆C1和双曲线C2具有相同的焦点F1(－c,0)，F2(c,0)，A，B，C，D是它们的公共点，且都在圆x2＋y2＝c2上，直线AB与x轴交于点P，直线CP与双曲线C2交于点Q，记直线AC，AQ的斜率分别为k1，k2，若椭圆C1的离心率为，则k1k2的值为(　　) A．2 B. C. D．4 答案　B 解析　设椭圆的标准方程为＋＝1(a>b>0)，双曲线的标准方程为－＝1(s>0，t>0)， 则a2－b2＝s2＋t2＝c2，由＝，得4a2＝5c2，c2＝a2， 所以b2＝a2－c2＝a2，a2＝5b2，所以椭圆方程可化为x2＋5y2＝a2， 由两式相减得4y2＝a2－c2＝b2，y＝±b， 则x2＝c2－b2＝b2，x＝±b， 则A， 根据对称性可知A，C关于原点对称，A，B关于x轴对称， 则B，C，P， 则直线CP的方程为y＝＝. 将A代入－＝1， 得－＝1， 由 解得s2＝3b2或s2＝5b2， 而a2＝5b2，s<a，所以s2＝3b2， 所以t2＝4b2－3b2＝b2，所以双曲线方程可化为－＝1， 由 消去y并化简得76x2＋4bx－255b2＝0， 设Q(x0，y0)，解得x0＝b，y0＝－b， 所以Q， 所以k1＝kAC＝＝， k2＝kAQ＝＝，k1k2＝. 二、多项选择题 5．(★★)(2023·济南模拟)如图，过点P(2,0)作两条直线x＝2和l：x＝my＋2(m>0)分别交抛物线y2＝2x于A，B和C，D(其中A，C位于x轴上方)，直线AC，BD交于点Q.则下列说法正确的是(　　) A．C，D两点的纵坐标之积为－4 B．点Q在定直线x＝－2上 C．|PC|的最小值是2 D．无论CD旋转到什么位置，始终有∠CQP＝∠BQP 答案　AB 解析　设点C(x1，y1)，D(x2，y2)， 将直线l的方程x＝my＋2代入抛物线方程y2＝2x得，y2－2my－4＝0，则y1y2＝－4，故A正确； 由题得A(2,2)，B(2，－2)， 直线AC的方程为y－2＝(x－2)，直线BD的方程为y＋2＝(x－2)， 消去y得x＝， 将y1y2＝－4代入上式得x＝－2， 故点Q在定直线x＝－2上，故B正确； 因为|PC|＝＝＝， 当x1＝1时，(|PC|)min＝，故C错误； 因为|PA|＝|PB|，但|QA|≠|QB|，所以∠CQP≠∠BQP，故D错误． 6．(★★)(2024·衡水模拟)已知椭圆＋＝1(0<b<2)的左、右焦点分别为F1，F2，过点F1的直线l交椭圆于A，B两点，若|AF2|＋|BF2|的最大值为5，则(　　) A．椭圆的短轴长为2 B．当|AF2|＋|BF2|最大时，|AF2|＝|BF2| C．离心率为 D．|AB|的最小值为3 答案　ABD 解析　依题意，a＝2，设椭圆的半焦距为c，由椭圆的定义可知，|AF1|＋|AF2|＝2a＝4，|BF1|＋|BF2|＝2a＝4， ∴|AF1|＋|AF2|＋|BF1|＋|BF2|＝|AB|＋|AF2|＋|BF2|＝8， 当|AF2|＋|BF2|最大为5时，|AB|最小为3，D选项正确； 即椭圆的通径为3， 令x＝－c，代入椭圆方程得，＋＝1， ∴y＝±b， ∴椭圆的通径为2|y|＝b＝3，b2(4－c2)＝9， 又a2＝b2＋c2＝4， ∴c2＝4－b2，代入上式，解得b2＝3，b＝，∴椭圆的短轴长为2，A选项正确； 当|AF2|＋|BF2|最大时，|AB|最小，即直线AB过点F1，A，B关于x轴对称， ∴|AF2|＝|BF2|，B选项正确； c2＝4－b2＝1，c＝1，e＝＝，C选项错误． 三、填空题 7．(★★)(2023·洛阳模拟)已知抛物线C：y2＝2x的焦点为F，过点F分别作两条直线l1，l2，直线l1与抛物线C交于A，B两点，直线l2与抛物线C交于D，E两点，若l1与l2的斜率的平方和为2，则|AB|＋|DE|的最小值为________． 答案　8 解析　设A(x1，y1)，B(x2，y2)，D(x3，y3)，E(x4，y4)， 设直线l1：x＝my＋，l2：x＝ny＋(m≠0，n≠0)，联立直线l1和抛物线方程得y2－2my－1＝0，由根与系数的关系，得y1＋y2＝2m，同理，可得y3＋y4＝2n. 因为|AB|＝x1＋x2＋1＝m(y1＋y2)＋2，|DE|＝n(y3＋y4)＋2， 所以|AB|＋|DE|＝2(m2＋n2)＋4，已知＋＝2，m2＋n2＝(m2＋n2)·＝≥2，当且仅当m2＝n2＝1时，等号成立， 所以|AB|＋|DE|＝2(m2＋n2)＋4≥8. 8．(★★★)(2023·南通模拟)海上有三个两两相距180千米的岸台A，B，C，三个岸台同时发射电磁波，远离岸台A，B，C的船只S同时接收到了来自岸台A，B的电磁波信号，而接收到岸台C的信号比接收到岸台A，B的信号早了200微秒(已知1微秒等于10－6秒，且电磁波在空气中1微秒传播距离为300米)，则船只S与岸台C的距离为________千米． 答案　24 解析　以CA所在直线为x轴，以线段CA的垂直平分线为y轴，建立平面直角坐标系如图， |AB|＝|BC|＝|CA|＝180，A(90,0)，C(－90,0)， 船只S距离岸台C比岸台A，B近200×300＝60 000(米)，即60千米， 即船只S到岸台C比到岸台A的距离近60千米，即|SA|－|SC|＝60， 则船只S在以C，A为焦点的双曲线的左支上，设双曲线的方程为－＝1(a>0，b>0)，则2a＝60，2c＝180，故b2＝c2－a2＝5 400， 则船只S的位置所在的双曲线的方程为－＝1(x<0)， 又因为船只S到岸台A，B的距离相等，所以船只S也在线段AB的垂直平分线上， 设线段AB的中点为D，则∠DCA＝30°，kCD＝tan 30°＝， 则线段AB的垂直平分线CD的方程为y＝(x＋90)，即x＝y－90， 联立 解得或(舍)， 故S(－54,12)， 所以船只S到岸台C的距离为|CS|＝＝24(千米)． 四、解答题 9．(★★)(2023·南京模拟)已知双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，双曲线C的右顶点A在圆O：x2＋y2＝1上，且·＝－3. (1)求双曲线C的标准方程； (2)若动直线l与双曲线C恰有1个公共点，且与双曲线C的两条渐近线分别交于点M，N，求△OMN(O为坐标原点)的面积． 解　(1)设双曲线C的半焦距为c， 由点A(a,0)在圆O：x2＋y2＝1上，得a＝1， 由·＝(－c－1,0)·(c－1,0)＝－3，得c＝2， 所以b2＝c2－a2＝3， 所以双曲线C的标准方程为x2－＝1. (2)设直线l与x轴相交于点D，双曲线C的渐近线方程为y＝±x， 当直线l的斜率不存在时，直线l的方程为x＝±1，|OD|＝1，|MN|＝2， 得S△OMN＝|MN||OD|＝×2×1＝； 当直线l的斜率存在时，设其方程为y＝kx＋m，显然k≠0，则D， 把直线l的方程与双曲线C：x2－＝1的方程联立，得(3－k2)x2－2kmx－m2－3＝0， 由直线l与双曲线C有且只有一个公共点， 且与双曲线C的两条渐近线分别相交可知，直线l与双曲线的渐近线不平行， 所以3－k2≠0，且m≠0， 于是得 得m2＝k2－3, 设直线l与y＝x交于点M(x1，y1)，与y＝－x交于点N(x2，y2)， 由得y1＝， 同理，得y2＝， 所以S△OMN＝|OD||y1－y2|＝××＝＝. 综上，△OMN的面积为. 10．(★★)(2023·厦门模拟)已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的左焦点为F(－2,0)，不过坐标原点O且不平行于坐标轴的直线l与椭圆C有两个交点A，B，线段AB的中点为Q，直线OQ的斜率与直线l的斜率的乘积为定值－. (1)求椭圆C的方程； (2)若过点F的直线m交椭圆C于点M，N，且满足·＝，求直线m的方程． 解　(1)由题意，椭圆C的左焦点为F(－2,0)，所以c＝2， 设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由题意可得＋＝1，＋＝1， 则＋＝0，即＝－. 因为kOQ·kl＝－，所以－＝－，即a2＝3b2，又a2＝b2＋c2，所以a2＝6，b2＝2， 所以椭圆C的方程为＋＝1. (2)当直线m的斜率存在时，设直线m：y＝k(x＋2)，点M(x3，y3)，N(x4，y4)， 联立方程组 整理得(3k2＋1)x2＋12k2x＋12k2－6＝0， 可得x3＋x4＝－，x3x4＝， 所以|MN|＝·|x3－x4|＝·＝， 点O到直线m的距离d＝， 因为·＝， 即||||cos∠MON＝·， 所以||||sin∠MON＝，即S△MON＝， 又因为S△MON＝|MN|·d＝·， 所以·＝，即k＝±， 所以直线m的方程为y＝±(x＋2)． 当直线m的斜率不存在时，直线m的方程为x＝－2，此时S△MON＝，满足题目条件． 综上可得，直线m的方程为x±y＋2＝0或x＝－2. 学科网（北京）股份有限公司 $$ 直线与圆锥曲线的位置关系 一、单项选择题 1．(★)(2024·大连模拟)双曲线－＝1与直线l：y＝－x＋m(m∈R)的公共点的个数为(　　) A．0 B．1 C．0或1 D．0或1或2 2．(★★)(2023·天津模拟)已知过抛物线 C：y2＝2px(p>0)的焦点 F 且斜率为的直线与C交于A，B两点(点 A 在 x轴上方)，点M，则等于(　　) A. B．4 C. D．9 3．(★★)(2023·武汉模拟)已知椭圆E：＋＝1(a>b>0)，斜率为的直线与椭圆E交于P，Q两点，P，Q在y轴左侧，且P点在x轴上方，点P关于坐标原点O对称的点为R，且∠PQR＝45°，则该椭圆的离心率为(　　) A. B. C. D. 4.(★★★)(2023·扬州模拟)如图，已知椭圆C1和双曲线C2具有相同的焦点F1(－c,0)，F2(c,0)，A，B，C，D是它们的公共点，且都在圆x2＋y2＝c2上，直线AB与x轴交于点P，直线CP与双曲线C2交于点Q，记直线AC，AQ的斜率分别为k1，k2，若椭圆C1的离心率为，则k1k2的值为(　　) A．2 B. C. D．4 二、多项选择题 5．(★★)(2023·济南模拟)如图，过点P(2,0)作两条直线x＝2和l：x＝my＋2(m>0)分别交抛物线y2＝2x于A，B和C，D(其中A，C位于x轴上方)，直线AC，BD交于点Q.则下列说法正确的是(　　) A．C，D两点的纵坐标之积为－4 B．点Q在定直线x＝－2上 C．|PC|的最小值是2 D．无论CD旋转到什么位置，始终有∠CQP＝∠BQP 6．(★★)(2024·衡水模拟)已知椭圆＋＝1(0<b<2)的左、右焦点分别为F1，F2，过点F1的直线l交椭圆于A，B两点，若|AF2|＋|BF2|的最大值为5，则(　　) A．椭圆的短轴长为2 B．当|AF2|＋|BF2|最大时，|AF2|＝|BF2| C．离心率为 D．|AB|的最小值为3 三、填空题 7．(★★)(2023·洛阳模拟)已知抛物线C：y2＝2x的焦点为F，过点F分别作两条直线l1，l2，直线l1与抛物线C交于A，B两点，直线l2与抛物线C交于D，E两点，若l1与l2的斜率的平方和为2，则|AB|＋|DE|的最小值为________． 8．(★★★)(2023·南通模拟)海上有三个两两相距180千米的岸台A，B，C，三个岸台同时发射电磁波，远离岸台A，B，C的船只S同时接收到了来自岸台A，B的电磁波信号，而接收到岸台C的信号比接收到岸台A，B的信号早了200微秒(已知1微秒等于10－6秒，且电磁波在空气中1微秒传播距离为300米)，则船只S与岸台C的距离为________千米． 四、解答题 9．(★★)(2023·南京模拟)已知双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，双曲线C的右顶点A在圆O：x2＋y2＝1上，且·＝－3. (1)求双曲线C的标准方程； (2)若动直线l与双曲线C恰有1个公共点，且与双曲线C的两条渐近线分别交于点M，N，求△OMN(O为坐标原点)的面积． 10．(★★)(2023·厦门模拟)已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的左焦点为F(－2,0)，不过坐标原点O且不平行于坐标轴的直线l与椭圆C有两个交点A，B，线段AB的中点为Q，直线OQ的斜率与直线l的斜率的乘积为定值－. (1)求椭圆C的方程； (2)若过点F的直线m交椭圆C于点M，N，且满足·＝，求直线m的方程． 学科网（北京）股份有限公司 $$