直线与圆、圆与圆的位置关系限时训练--2025届高三数学二轮复习

直线与圆、圆与圆的位置关系 一、单项选择题 1．(★★)(2023·临沂模拟)设圆x2＋y2－2x－2y－2＝0的圆心为C，直线l过点(0,3)，且与圆C交于A，B两点，若|AB|＝2，则直线l的方程为(　　) A．3x＋4y－12＝0 B．3x＋4y－12＝0或4x＋2y＋1＝0 C．x＝0 D．x＝0或3x＋4y－12＝0 2．(★★)(2024·宜昌模拟)已知圆C1：x2＋y2－2x＋my＋1＝0(m∈R)的面积被直线x＋2y＋1＝0平分，圆C2：(x＋2)2＋(y－3)2＝25，则圆C1与圆C2的位置关系是(　　) A．外离 B．相交 C．内切 D．外切 3．(★★)(2023·武汉模拟)已知圆C1：(x－3)2＋(y＋2)2＝1与圆C2：(x－7)2＋(y－1)2＝50－a，若圆C1与圆C2有且仅有一个公共点，则实数a等于(　　) A．14 B．34 C．14或45 D．14或34 4．(★★)(2023·大连模拟)若x，y满足x2＋y2－2x＋4y－20＝0，则x2＋y2的最小值是(　　) A.－5 B．5－ C．30－10 D．无法确定 5．(★★)(2023·西安模拟)一条光线从点(－2，－3)射出，经y轴反射后与圆(x＋3)2＋(y－2)2＝1相切，则反射光线所在直线的斜率为(　　) A．－或 B．－或－ C．－或 D．－或－ 6．(★★)(2023·南昌模拟)已知直线l：mx＋y－m－1＝0与圆x2＋y2＝16交于A，B两点，过A，B分别作l的垂线与x轴交于C，D两点，则当|AB|最小时，|CD|等于(　　) A．4 B．4 C．8 D．8 二、多项选择题 7．(★★)(2023·晋阳模拟)若直线l：y＝kx＋1与圆C：(x－2)2＋(y－1)2＝2相切，则直线l与圆D：(x－2)2＋y2＝1的位置关系可能是(　　) A．相交 B．相切 C．相离 D．不确定 8．(★★)(2023·郑州模拟)在平面直角坐标系中，已知圆x2＋y2＝4上有且仅有四个点到直线12x－5y＋c＝0的距离为1，则实数c的取值可能是(　　) A．14 B．－13 C．12 D．－10 9．(★★)(2024·潍坊模拟)若关于x的方程x＋－b＝0有唯一解，则实数b的取值可能是(　　) A. B．1 C．－ D. 10．(★★)(2023·长沙模拟)过点P(－1,0)的直线l与圆C：x2＋y2－4y－12＝0交于A，B两点，线段MN是圆C的一条动弦，且|MN|＝2，则(　　) A．|AB|的最小值为2 B．△ABC面积的最大值为8 C．△ABC面积的最大值为 D．|＋|的最小值为6－2 三、填空题 11．(★★)(2024·沈阳模拟)过点P(1，－2)作圆C：(x－1)2＋y2＝1的两条切线，切点分别为A，B，则AB所在直线的方程为________． 12．(★★)(2023·南通模拟)过直线2x＋y＋4＝0和圆x2＋y2＋2x－4y＋1＝0的交点，面积最小的圆的方程为____________________________． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 直线与圆、圆与圆的位置关系 一、单项选择题 1．(★★)(2023·临沂模拟)设圆x2＋y2－2x－2y－2＝0的圆心为C，直线l过点(0,3)，且与圆C交于A，B两点，若|AB|＝2，则直线l的方程为(　　) A．3x＋4y－12＝0 B．3x＋4y－12＝0或4x＋2y＋1＝0 C．x＝0 D．x＝0或3x＋4y－12＝0 答案　D 解析　由x2＋y2－2x－2y－2＝0可得(x－1)2＋(y－1)2＝4，则圆心C的坐标为(1,1)，半径为2， 当直线l的斜率不存在，即直线l的方程为x＝0时，代入圆的方程得y2－2y－2＝0，解得y1＝1＋，y2＝1－，此时|AB|＝1＋－(1－)＝2，符合题意； 当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为y＝kx＋3，即kx－y＋3＝0， 因为|AB|＝2，所以圆心C到直线l的距离为＝1， 则＝1，解得k＝－， 故此时直线l的方程为y＝－x＋3，即3x＋4y－12＝0. 综上所述，直线l的方程为x＝0或3x＋4y－12＝0. 2．(★★)(2024·宜昌模拟)已知圆C1：x2＋y2－2x＋my＋1＝0(m∈R)的面积被直线x＋2y＋1＝0平分，圆C2：(x＋2)2＋(y－3)2＝25，则圆C1与圆C2的位置关系是(　　) A．外离 B．相交 C．内切 D．外切 答案　B 解析　因为圆C1的面积被直线x＋2y＋1＝0平分，所以圆C1的圆心在直线x＋2y＋1＝0上， 所以1＋2×＋1＝0，解得m＝2， 所以圆C1的圆心为(1，－1)，半径为1. 因为圆C2的圆心为(－2,3)，半径为5， 所以|C1C2|＝＝5， 因为5－1<|C1C2|<5＋1，所以圆C1与圆C2的位置关系是相交． 3．(★★)(2023·武汉模拟)已知圆C1：(x－3)2＋(y＋2)2＝1与圆C2：(x－7)2＋(y－1)2＝50－a，若圆C1与圆C2有且仅有一个公共点，则实数a等于(　　) A．14 B．34 C．14或45 D．14或34 答案　D 解析　圆C1：(x－3)2＋(y＋2)2＝1的圆心为C1(3，－2)，半径r1＝1， 圆C2：(x－7)2＋(y－1)2＝50－a的圆心为C2(7,1)，半径r2＝， |C1C2|＝＝5， 因为圆C1与圆C2有且仅有一个公共点，故圆C1与圆C2内切或外切， 故|1－r2|＝5或1＋r2＝5，从而r2＝6或r2＝4， 所以r2＝＝6或r2＝＝4，解得a＝14或a＝34， 所以实数a等于14或34. 4．(★★)(2023·大连模拟)若x，y满足x2＋y2－2x＋4y－20＝0，则x2＋y2的最小值是(　　) A.－5 B．5－ C．30－10 D．无法确定 答案　C 解析　配方得(x－1)2＋(y＋2)2＝25，圆心坐标为(1，－2)，半径r＝5，所以的最小值为半径减去原点到圆心的距离，即5－，故可求得x2＋y2的最小值为30－10. 5．(★★)(2023·西安模拟)一条光线从点(－2，－3)射出，经y轴反射后与圆(x＋3)2＋(y－2)2＝1相切，则反射光线所在直线的斜率为(　　) A．－或 B．－或－ C．－或 D．－或－ 答案　D 解析　圆(x＋3)2＋(y－2)2＝1的圆心为(－3,2)，半径为1，根据光的反射原理知，反射光线的反向延长线必过点(－2，－3)关于y轴的对称点(2，－3)，易知反射光线所在直线的斜率存在，设为k，则反射光线所在直线的方程为y＋3＝k(x－2)，即kx－y－2k－3＝0， 由反射光线所在直线与圆(x＋3)2＋(y－2)2＝1相切，可得＝1，整理得12k2＋25k＋12＝0，解得k＝－或k＝－. 6．(★★)(2023·南昌模拟)已知直线l：mx＋y－m－1＝0与圆x2＋y2＝16交于A，B两点，过A，B分别作l的垂线与x轴交于C，D两点，则当|AB|最小时，|CD|等于(　　) A．4 B．4 C．8 D．8 答案　D 解析　∵直线l：mx＋y－m－1＝0过定点P(，1)，当|AB|最小时，OP⊥AB， ∴此时圆心到直线l的距离d＝|OP|＝2， ∴|AB|min＝2×＝4， ∵kOP＝＝， ∴此时直线l的斜率k＝－， 即直线l的倾斜角为120°， 如图，过点D作DE⊥CA交直线AC于点E，则|DE|＝|AB|＝4， 在Rt△CDE中，∠DCE＝30°， ∴|CD|＝ ＝2|DE|＝8. 二、多项选择题 7．(★★)(2023·晋阳模拟)若直线l：y＝kx＋1与圆C：(x－2)2＋(y－1)2＝2相切，则直线l与圆D：(x－2)2＋y2＝1的位置关系可能是(　　) A．相交 B．相切 C．相离 D．不确定 答案　AC 解析　由圆C的方程知其圆心C(2,1)，半径为. 因为直线l与圆C相切，所以＝，解得k＝±1. 由圆D的方程知其圆心D(2,0)，半径r＝1，圆心D到直线l的距离d＝. 当k＝1时，d＝>1，即d>r，此时直线l与圆D相离； 当k＝－1时，d＝<1，即d<r，此时直线l与圆D相交． 综上所述，直线l与圆D相交或相离． 8．(★★)(2023·郑州模拟)在平面直角坐标系中，已知圆x2＋y2＝4上有且仅有四个点到直线12x－5y＋c＝0的距离为1，则实数c的取值可能是(　　) A．14 B．－13 C．12 D．－10 答案　CD 解析　设与直线12x－5y＋c＝0平行且与该直线距离为1的直线的方程为12x－5y＋m＝0， 则＝1， 解得m＝c＋13或m＝c－13， 所以直线12x－5y＋c＋13＝0,12x－5y＋c－13＝0均与圆x2＋y2＝4相交， 而圆的圆心为(0,0)，半径为2， 所以解得－13<c<13. 9．(★★)(2024·潍坊模拟)若关于x的方程x＋－b＝0有唯一解，则实数b的取值可能是(　　) A. B．1 C．－ D. 答案　AD 解析　由题意知1－x2≥0，即－1≤x≤1， 问题等价于＝b－x在x∈[－1,1]上有唯一解， y＝表示圆心为(0,0)，半径为1的圆的上半部分， 而y＝b－x表示斜率为－1的直线，如图所示， 问题等价于y＝与y＝b－x的图象有唯一交点， 当直线与半圆右上部相切时，有得b＝，此时y＝与y＝b－x的图象有唯一交点； 当直线过点(1,0)，(0,1)时，直线方程为y＝1－x，b＝1，由图知，当1≤b<时，y＝与y＝b－x的图象恒有两个交点； 当直线过点(－1,0)时，直线方程为y＝－1－x，b＝－1，由图知，当－1≤b<1时，y＝与y＝b－x的图象恒有一个交点； 综上，当－1≤b<1或b＝时，原方程有唯一解． 10．(★★)(2023·长沙模拟)过点P(－1,0)的直线l与圆C：x2＋y2－4y－12＝0交于A，B两点，线段MN是圆C的一条动弦，且|MN|＝2，则(　　) A．|AB|的最小值为2 B．△ABC面积的最大值为8 C．△ABC面积的最大值为 D．|＋|的最小值为6－2 答案　ACD 解析　∵x2＋y2－4y－12＝0， 即x2＋(y－2)2＝16， ∴圆心C(0,2)，半径r＝4， 由题意得P(－1,0)在圆C内，|PC|＝， 设圆心C到直线AB的距离为d，则0≤d≤， ∵|AB|＝2， ∴|AB|min＝2＝2，故A正确； S△ABC＝|AB|·d＝×2·d＝＝， ∵0≤d2≤5，∴当d2＝5时，(S△ABC)max＝，故B错误，C正确； 取MN的中点E，则CE⊥MN， 又|MN|＝2，则|CE|＝＝3， ∴点E的轨迹是以C(0,2)为圆心，3为半径的圆． ∵|＋|＝2||，且||min＝3－|PC|＝3－， ∴|＋|的最小值为6－2，故D正确． 三、填空题 11．(★★)(2024·沈阳模拟)过点P(1，－2)作圆C：(x－1)2＋y2＝1的两条切线，切点分别为A，B，则AB所在直线的方程为________． 答案　y＝－ 解析　点P(1，－2)，圆心为C(1,0)，则P，C，A，B四点共圆，且PC为直径，所以四边形PACB的外接圆圆心为(1，－1)，半径为1，所以四边形PACB的外接圆的方程为(x－1)2＋(y＋1)2＝1，与圆C的方程相减可得直线AB的方程为y＝－. 12．(★★)(2023·南通模拟)过直线2x＋y＋4＝0和圆x2＋y2＋2x－4y＋1＝0的交点，面积最小的圆的方程为____________________________． 答案　5x2＋5y2＋26x－12y＋37＝0 解析　设所求圆的方程为x2＋y2＋2x－4y＋1＋λ(2x＋y＋4)＝0， r＝＝， 当λ＝时，r最小，此时Smin＝， 故所求圆的方程为5x2＋5y2＋26x－12y＋37＝0. 学科网（北京）股份有限公司 $$