直线与椭圆的位置关系限时训练-2025届高三数学二轮复习

直线与椭圆的位置关系 一、单项选择题 1．(★)已知直线2kx－y＋1＝0与椭圆＋＝1恒有公共点，则实数m的取值范围为(　　) A．(1,9] B．[1，＋∞) C．[1,9)∪(9，＋∞) D．(9，＋∞) 答案　C 解析　由题意得直线2kx－y＋1＝0恒过定点P， 直线2kx－y＋1＝0与椭圆＋＝1恒有公共点，即点P在椭圆内或椭圆上， ∴＋≤1，即m≥1，又m≠9， ∴实数m的取值范围为[1,9)∪(9，＋∞)． 2．(★)已知椭圆C：＋y2＝1的左、右焦点分别是F1，F2，过F1的直线l：y＝x＋m与椭圆C交于A，B两点，则△ABF2的面积是(　　) A. B. C. D. 答案　A 解析　由题意可得F1(－1,0)，F2(1,0)，则直线l：y＝x＋1. 联立整理得3y2－2y－1＝0， 设A(x1，y1)，B(x2，y2)， 则y1＋y2＝，y1y2＝－， 从而|y1－y2|＝＝. 因为|F1F2|＝2， 所以△ABF2的面积是|F1F2|·|y1－y2|＝×2×＝. 3．(★★)(2023·常州模拟)已知椭圆＋＝1(a>b>0)，点F为左焦点，点P为下顶点，平行于FP的直线l交椭圆于A，B两点，且AB的中点为M，则椭圆的离心率为(　　) A. B. C. D. 答案　B 解析　∵FP的斜率为－，FP∥l. ∴直线l的斜率为－. 设A(x1，y1)，B(x2，y2)， 由得－＝－， 即＝－， ∵AB的中点为M， ∴x1＋x2＝2，y1＋y2＝1， ∴－＝－， ∴a2＝2bc， ∴b2＋c2＝2bc， ∴b＝c， ∴a＝c， ∴椭圆的离心率为. 4．(★★★)(2024·青岛模拟)已知P为椭圆＋＝1上的一个动点，过点P作圆M：(x－1)2＋y2＝1的一条切线，切点为A，切线与椭圆的另一个交点为Q，若点A平分线段PQ，且直线PQ的斜率为负数，则直线MA的斜率为(　　) A．4 B．3 C．2 D. 答案　C 解析　如图， 设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，A(x0，y0)，直线PQ的斜率为k(k<0)， 因为点A平分线段PQ， 所以 因为P，Q为椭圆＋＝1上的点， 所以 两式相减得(x1＋x2)(x1－x2)＋(y1＋y2)(y1－y2)＝0， 所以×2x0＋×2y0·＝0， 所以x0＋4y0k＝0，又MA⊥PQ， 所以kMA＝－＝＝， 所以x0＝，过点A作AH⊥x轴于点H， 则cos∠AMH＝，所以tan∠AMH＝2， 所以直线MA的斜率为2. 二、多项选择题 5．(★★)(2023·深圳模拟)已知直线x＝my－1经过椭圆C：＋＝1(a>b>0)的一个焦点F，且与C交于不同的两点A，B，椭圆C的离心率为，则下列结论正确的有(　　) A．椭圆C的短轴长为 B．弦|AB|的最小值为3 C．存在实数m，使得以AB为直径的圆恰好过点(1,0) D．若3＝，则m＝± 答案　BCD 解析　依题意可知，直线x＝my－1经过定点(－1,0)，所以c＝1.又椭圆C的离心率为＝，所以a＝2，则b＝，所以椭圆C的短轴长为2b＝2，所以A选项不正确； 当m＝0时，弦AB即为椭圆C的一条通径，且|AB|＝＝3，所以B选项正确； 椭圆C的长轴长为2a＝4，所以|AB|∈[3,4)，当|AB|＝3时，点(1,0)在以AB为直径的圆外，当|AB|趋近于4时，点(1,0)在以AB为直径的圆内，因此，存在实数m，使得以AB为直径的圆恰好过点(1,0)，所以C选项正确； 由3＝，得2＝，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则2y1＝－y2， 联立整理得(3m2＋4)y2－6my－9＝0， Δ>0恒成立，则y1＋y2＝，y1y2＝. 因为2y1＝－y2，所以解得m＝±，所以D选项正确． 6．(★★★)(2023·扬州模拟)已知F为椭圆C：＋＝1的左焦点，直线l：y＝kx(k≠0)与椭圆C交于A，B两点，AE⊥x轴，垂足为E，BE与椭圆C的另一个交点为P，则下列结论正确的是(　　) A.＋的最小值为3 B．△ABE面积的最大值为 C．直线BE的斜率为k D．∠PAB为锐角 答案　BC 解析　对于A，设椭圆C的右焦点为F′，连接AF′，BF′，如图所示， 则四边形AF′BF为平行四边形， ∴|AF|＋|BF|＝|AF|＋|AF′|＝2a＝4， ∴＋ ＝(|AF|＋|BF|) ＝≥， 当且仅当|BF|＝2|AF|时等号成立，故A错误； 对于B，由得x＝， ∴|yA－yB|＝， ∴△ABE的面积S＝|xA||yA－yB|＝＝≤， 当且仅当k＝±时等号成立，故B正确； 对于C，设A(x0，y0)，则B(－x0，－y0)，E(x0,0)， 故直线BE的斜率kBE＝＝·＝k，故C正确； 对于D，设P(m，n)，直线PA的斜率为kPA，直线PB的斜率为kPB， 则kPAkPB＝·＝， 又点P和点A在椭圆C上， ∴＋＝1，① ＋＝1，② ①－②得＝－，易知kPB＝kBE＝k， 则kPA·k＝－，得kPA＝－， ∴kPAkAB＝·k＝－1， ∴∠PAB＝90°，故D错误． 三、填空题 7．(★★)(2023·衡水模拟)已知椭圆C：＋y2＝1的上顶点为B，右焦点为F，直线l与椭圆C交于M，N两点，若椭圆C的右焦点F恰好为△BMN的垂心，则直线l的方程为__________________． 答案　3x－3y－4＝0 解析　易知B(0,1)，F(1,0)，直线BF的斜率为－1，从而直线l的斜率为1. 设直线l的方程为y＝x＋m，M(x1，y1)，N(x2，y2)， 联立整理得3x2＋4mx＋2(m2－1)＝0. 根据根与系数的关系得x1＋x2＝－，x1x2＝， 由于右焦点F恰好为△BMN的垂心，故·＝0， 于是·＝(1－x2)x1－y2(y1－1)＝x1＋y2－x1x2－y1y2 ＝x1＋x2＋m－x1x2－(x1＋m)(x2＋m) ＝－2x1x2＋(1－m)(x1＋x2)＋m－m2 ＝－2·＋(1－m)＋m－m2＝0，解得m＝1或m＝－. 当m＝1时，点B即为直线l与椭圆C的交点，不合题意； 当m＝－时，经检验，知l和椭圆C相交，符合题意． ∴当且仅当直线l的方程为y＝x－时，点F是△BMN的垂心． 故所求直线l的方程为3x－3y－4＝0. 8．(★★★)(2023·周口模拟)已知椭圆＋y2＝1的上、下顶点分别为B1，B2，过点A的直线交椭圆于M，N两点，记＝k1，＝k2，则＝___________. 答案　3 解析　如图，B1(0,1)，B2(0，－1)， 设M(x1，y1)，N(x2，y2)，直线MN的斜率为k， 则直线MN为y＝kx＋， 联立 得x2＋k2x2＋kx－＝0， 则x1＋x2＝，x1x2＝， 设直线B1M：y＝k1x＋1，直线B2N：y＝k2x－1， 联立 得M， 联立 得N， 由x1x2＝， 得＝， 解得(k－k1)(k－k2)＝＋k2，① 由x1＋x2＝， 得＋＝， 解得＝，② ①×②得k2＋2k－3k1＝2k， 即k2＝3k1，则＝3. 四、解答题 9．(★★)(2024·佛山模拟)已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，离心率为，且经过点. (1)求椭圆C的方程； (2)动直线l：y＝x＋m与椭圆C相切，点M，N是直线l上的两点，且F1M⊥l，F2N⊥l，求四边形F1MNF2的面积． 解　(1)由题意可得e＝＝，a2－b2＝c2， 将点代入椭圆C的方程，得＋＝1，解得a＝2，b＝，c＝1， ∴椭圆C的方程为＋＝1. (2)联立整理得7x2＋8mx＋4m2－12＝0， ∵直线l与椭圆C相切， ∴Δ＝64m2－28(4m2－12)＝0， 解得m＝±， 由对称性可取直线y＝x＋， ∵焦点F1(－1,0)，F2(1,0)， ∴|MF1|＝，则|NF2|＝，|NF2|－|MF1|＝，|MN|＝＝， ∴四边形F1MNF2的面积S＝|MN|·(|MF1|＋|NF2|)＝××＝. 10．(★★★)(2024·杭州模拟)如图所示，已知椭圆E：＋＝1(a>b>0)过点M(2，)，且满足a＝2b，O为坐标原点，平行于OM的直线l交椭圆E于两个不同的点A，B. (1)求椭圆E的方程； (2)若直线AM与x轴交于点C，证明：∠BMC的平分线所在直线与x轴垂直． (1)解　因为椭圆E：＋＝1(a>b>0)过点M(2，)， 所以＋＝1， 又因为a＝2b，所以＋＝1， 解得b2＝4，a2＝16，即椭圆E的方程为＋＝1. (2)证明　如图，设l：y＝x＋n， 联立 整理得x2＋2nx＋2n2－8＝0，又Δ＝4n2－8(n2－4)>0， 即n2<8，n≠0， 设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1＋x2＝－2n，x1x2＝2n2－8， 设直线MA，MB的斜率分别为k1，k2， 则k1＝，k2＝， 设直线MB与x轴交于点D， 因为k1＋k2 ＝， 又(y1－)(x2－2)＋(y2－)(x1－2) ＝(x2－2) ＋ ＝x1x2＋(n－2)(x1＋x2)－2(2n－2)＝2n2－8－2n(n－2)－2(2n－2)＝0，因此∠MDC＝∠MCD， 则∠BMC的平分线ME所在的直线方程为x＝2，显然与x轴垂直． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 直线与椭圆的位置关系 一、单项选择题 1．(★)已知直线2kx－y＋1＝0与椭圆＋＝1恒有公共点，则实数m的取值范围为(　　) A．(1,9] B．[1，＋∞) C．[1,9)∪(9，＋∞) D．(9，＋∞) 2．(★)已知椭圆C：＋y2＝1的左、右焦点分别是F1，F2，过F1的直线l：y＝x＋m与椭圆C交于A，B两点，则△ABF2的面积是(　　) A. B. C. D. 3．(★★)(2023·常州模拟)已知椭圆＋＝1(a>b>0)，点F为左焦点，点P为下顶点，平行于FP的直线l交椭圆于A，B两点，且AB的中点为M，则椭圆的离心率为(　　) A. B. C. D. 4．(★★★)(2024·青岛模拟)已知P为椭圆＋＝1上的一个动点，过点P作圆M：(x－1)2＋y2＝1的一条切线，切点为A，切线与椭圆的另一个交点为Q，若点A平分线段PQ，且直线PQ的斜率为负数，则直线MA的斜率为(　　) A．4 B．3 C．2 D. 二、多项选择题 5．(★★)(2023·深圳模拟)已知直线x＝my－1经过椭圆C：＋＝1(a>b>0)的一个焦点F，且与C交于不同的两点A，B，椭圆C的离心率为，则下列结论正确的有(　　) A．椭圆C的短轴长为 B．弦|AB|的最小值为3 C．存在实数m，使得以AB为直径的圆恰好过点(1,0) D．若3＝，则m＝± 6．(★★★)(2023·扬州模拟)已知F为椭圆C：＋＝1的左焦点，直线l：y＝kx(k≠0)与椭圆C交于A，B两点，AE⊥x轴，垂足为E，BE与椭圆C的另一个交点为P，则下列结论正确的是(　　) A.＋的最小值为3 B．△ABE面积的最大值为 C．直线BE的斜率为k D．∠PAB为锐角 三、填空题 7．(★★)(2023·衡水模拟)已知椭圆C：＋y2＝1的上顶点为B，右焦点为F，直线l与椭圆C交于M，N两点，若椭圆C的右焦点F恰好为△BMN的垂心，则直线l的方程为__________________． 8．(★★★)(2023·周口模拟)已知椭圆＋y2＝1的上、下顶点分别为B1，B2，过点A的直线交椭圆于M，N两点，记＝k1，＝k2，则＝___________. 四、解答题 9．(★★)(2024·佛山模拟)已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，离心率为，且经过点. (1)求椭圆C的方程； (2)动直线l：y＝x＋m与椭圆C相切，点M，N是直线l上的两点，且F1M⊥l，F2N⊥l，求四边形F1MNF2的面积． 10．(★★★)(2024·杭州模拟)如图所示，已知椭圆E：＋＝1(a>b>0)过点M(2，)，且满足a＝2b，O为坐标原点，平行于OM的直线l交椭圆E于两个不同的点A，B. (1)求椭圆E的方程； (2)若直线AM与x轴交于点C，证明：∠BMC的平分线所在直线与x轴垂直． 学科网（北京）股份有限公司 $$