湖南省常德市第一中学2024-2025学年高二上学期第二次月水平检测数学试题

常德市一中高二年级第二次月水平检测 数 学 试 题 时间:120分钟 分值：150分 命题人：高二备课组 审题人：高二备课组 一、单选题（本大题共8小题，共40分．在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项） 1. 已知椭圆上一点P到椭圆一个焦点的距离为3，到另一焦点距离为7，则m等于（ ） A. 5 B. 10 C. 15 D. 25 2. 经过圆的圆心且与直线垂直的直线方程是（ ） A. B. C. D. 3．已知双曲线C：－＝1（a>0，b>0）的离心率为，则C的渐近线方程为( ) A． B． C． D． 4. 已知空间向量，，满足，，，，则与的夹角为（ ） A. B. C. D. 5．已知过抛物线焦点的直线交于，两点，点，在的准线上的射影分别为点，，线段的垂直平分线的倾斜角为，若，则（ ） A． B．1 C．2 D．4 6. 直线分别与轴，轴交于A，B两点，点在圆上，则面积的取值范围是（ ） A. B. C. D. 7. 我们把平面内与直线垂直的非零向量称为直线的法向量，在平面直角坐标系中，过点的直线的一个法向量为，则直线的点法式方程为：，化简得.类比以上做法，在空间直角坐标系中，经过点的平面的一个法向量为，则该平面的方程为（） A. B. C. D. 8．已知抛物线过点，圆如图，过圆心的直线l与抛物线和圆分别交于P，Q，M，N，则的最小值为（   ） A．4 B．5 C．6 D．9 二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．） 9. 直线，圆，下列结论正确的是（） A. 直线恒过定点 B. 直线与圆必有两个交点 C. 直线与圆的相交弦长的最大值为 D. 当时，圆上存在3个点到直线距离等于1 10．已知O为坐标原点，是抛物线上两点，F为其焦点，若F到准线的距离为2，则下列说法正确的有（ ） A．周长的最小值为 B．若，则最小值为4 C．若直线过点F，则直线的斜率之积恒为 D．若外接圆与抛物线C的准线相切，则该圆面积为 11. 如图，在棱长为4的正方体中，E，F，G分别为棱的中点，点P为线段上的动点（包含端点），则（ ） A. 存在点P，使得平面 B. 对任意点P，平面平面 C. 两条异面直线和所成的角为 D. 点到直线的距离为4 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分．） 12．抛物线的顶点为坐标原点，焦点在轴正半轴上.为上一点，且比到轴的距离多，则抛物线的标准方程为 . 13. 已知椭圆的左､右焦点分别为，若为椭圆上一点，的内切圆的半径为，则椭圆的离心率为______. 14．已知点S，A，B，C均在半径为4的球O的表面上，且平面，，，，点M在上，当直线与平面所成的角最大时， ． 四、解答题（本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 15. 已知的三个顶点分别是，，. （1）求边上的高所在的直线方程； （2）若直线过点，且与直线平行，求直线的方程； 16. 已知直线与椭圆相交于不同的两点. （1）求实数的取值范围； （2）若，其中为坐标原点，求实数的值. 17. 已知直线，半径为的圆与相切，圆心在轴上且在直线的上方. （1）求圆的方程； （2）设过点的直线被圆截得的弦长等于，求直线的方程. 18. 如图，在四棱锥中，底面为菱形，，，且分别为的中点． （1）求证：平面； （2）若平面与平面的夹角的余弦值为，求直线与平面所成角的正弦值； （3）在平面内是否存在点，满足？若存在，请求出点的轨迹长度；若不存在，请说明理由． 19．“工艺折纸”是一种把纸张折成各种不同形状物品的艺术活动，在我国源远流长．某些折纸活动蕴含丰富的数学知识，例如：如图用一张圆形纸片，按如下步骤折纸： 步骤1：设圆心是E，在圆内异于圆心处取一定点，记为F； 步骤2：把纸片折叠，使圆周正好通过点F，此时圆周上与点F重合的点记为A； 步骤3：把纸片展开，并留下一道折痕，记折痕与AE的交点为P； 步骤4：不停重复步骤2和3，就能得到越来越多的折痕和越来越多的点P． 现取半径为8的圆形纸片，设点F到圆心E的距离为4，按上述方法折纸．以线段FE的中点为原点，的方向为x轴的正方向建立平面直角坐标系xOy，记动点P的轨迹为曲线C．    (1)求曲线C的方程： (2)若点Q为曲线C上的一点，过点Q作曲线C的切线交圆于不同的两点M，N． （ⅰ）试探求点Q到点的距离是否为定值？若为定值，求出该定值；若不为定值，请说明理由； （ⅱ）求面积的最大值． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 参 考 答 案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 答案 D D C B B A B A ABD BD ABD 12 13. 14. 8.【详解】因为抛物线过点，则，则， 即抛物线的标准方程，焦点坐标，准线方程为； 圆：圆心为，半径1， 故直线PQ过抛物线的焦点，设直线PQ的方程为，； 联立，整理可得，所以， 再由焦半径公式可得 则， 所以 ； 当且仅当，即时等号成立，即的最小值为 11.解：A： 当与重合时，由题可知，， 四边形为平行四边形，故，又平面，平面，则平面，故A正确； B： 连接，平面，平面，， 又， 故， 又平面，平面， 又平面，故对任意点P，平面平面，故B正确； C： 由正方体的结构特征可知，异面直线和所成的角即为和所成的角，由图可知为，故C错误； D： 由正方体的特征可得， ， 所以点到直线的距离，故D正确； 14．设的外接圆的圆心为，半径为，设的中点为， 外接球的球心为，连接，则平面，， 因为平面，故，故四点共面， 而平面，故，故，故四边形为矩形. 而，故，故. 在中，， 故，故，故，故， 因为平面，故为直线与平面所成的角， 当长度最小时，最大值，此时，故. 故答案为： 15. 【答案】（1）； （2）. 16. 【答案】（1）或（2）或 17. 【答案】（1） （2）或 18. 【解析】 【小问1详解】 如图：连接，中，为等边三角形． 为中点，，且， 底面为菱形，所以，等边三角形． 为中点，，且， ， 平面，平面， 【小问2详解】 由（1）知：， 如图：以为原点，所在直线分别为轴，轴，轴，建立如图所示的空间直角坐标系．， 分别为的中点，， ，， ， 设平面的一个法向量为，则． 则，所以，取，则， 平面的一个法向量为．平面的一个法向量为， 则， 平面的一个法向量为，设直线与平面所成角为， ． 即直线与平面所成角的正弦值为． （3）存在点，使． 理由如下：点在以线段中点为球心，2为半径的球面上．， 设平面的一个法向量为，则． 则，则，取，则． 平面的一个法向量为．点到平面的距离为． ，记，在平面内存在点，且点的轨迹是半径为的一个圆， 即点的轨迹长度为． 19．（1）由题意可知：， 则， 可知动点P的轨迹是以为焦点的椭圆，且， 所以曲线C的方程为. （2）①联立方程，消去y可得， 因为直线与曲线C相切，则， 整理可得，则原方程为，解得， 将代入直线，可得， 可知，且， 则，不为定值； ②由题意可知：圆的圆心为，半径，    因为到直线的距离， 可得， 因为，则，可得， 则面积， 可知当，即时，取到最大值. 学科网（北京）股份有限公司 $$