基础知识必备手册之高一数学新课标人教A版必修二（第二册）：专题十二 幂函数

一、幂函数的图象和性质 1．幂函数的定义：形如的函数称为幂函数，其中是自变量，α是实常数． 2．幂函数的图象和性质 幂函数y=x,，y=x2,y=x3,y=x-1的图象如图所示： (1)所有的幂函数在都有定义，并且图象都过点． (2)α＞0时，幂函数的图象通过原点，并且在区间[0，＋∞)上是增函数， (3)α＜0时，幂函数的图象在区间(0，＋∞)上是减函数．在第一象限内，当x从右边趋向于原点时，图象在y轴右方无限地逼近y轴；当x趋于＋∞时，图象在x轴上方无限地逼近x轴． (4)当α为奇数时，幂函数为奇函数；当α为偶数时，幂函数为偶函数． 【典型例题】 【典例1】如图所示,曲线C1与C2分别是函数y=xm和y=xn在第一象限内的图象,则下列结论正确的是　(　　) A.n<m<0 B.m<n<0 C.n>m>0 D.m>n>0 【答案】A 【解析】由图象可知,两函数在第一象限内递减,故m<0,n<0,且2m>2n,则m>n. 【典例2】已知函数:①y=2x;②y=log2x;③y=x-1;④y=.则下列函数图象(在第一象限部分)从左到右依次与函数序号的正确对应顺序是(　　) A.②①③④ B.②③①④ C.④①③② D.④③①② 【答案】D 【典例3】如图,函数y=,y=x,y=1的图象和直线x=1将平面直角坐标系的第一象限分成八个部分:(1)(2)(3)(4)(5)(6)(7)(8),则函数y=的图象经过的部分是(　　) A.(4)(7) B.(4)(8) C.(3)(7) D.(3)(8) 【答案】B 【解析】因为y==,-<0,所以函数y==的图象形状与函数y=x-1的图象类似,在第一象限内,其图象经过的部分可能是(3)(7)或(4)(8),当x=4时,1>>,所以当x∈(1,+∞)时,函数y=的图象在函数y=图象的上方,即经过第(8)部分. 【名师指南】 幂函数在第一象限内的图象特征(如右图）： (1)指数大于1,在第一象限为抛物线型(下凸). (2)指数等于1,在第一象限为上升的射线(去掉端点). (3)指数大于0小于1,在第一象限为抛物线型(上凸). (4)指数等于0,在第一象限为水平的射线(去掉端点). (5)指数小于0,在第一象限为双曲线