湖南师大附中梅溪湖中学2024-2025学年九年级上学期第三次月考数学试卷

2024-2025学年湖南师大附中梅溪湖中学九年级（上） 第三次月考数学试卷 一.选择题（共10小题，共30分） 1．（3分）下列各数中，是无理数的是（　　） A．2 B． C．0 D． 2．（3分）贵州地处中国西南内陆地区腹地，其矿产资源十分丰富，是矿产资源大省．2024年5月，我省原煤产量达到12460000吨，12460000可以用科学记数法记为（　　） A．1246×104 B．124.6×105 C．12.46×106 D．1.246×107 3．（3分）不等式2x≥﹣4的解集在数轴上表示为（　　） A． B． C． D． 4．（3分）“中国梦，我的梦”这句话中，“梦”字出现的频率是（　　） A． B． C． D． 5．（3分）如图，点B、C、D在同一直线上，若△ABC≌△CDE，AB＝9，BC＝4，则DE＝（　　） A．4 B．4.5 C．5 D．5.5 6．（3分）下列运算正确的是（　　） A．a6÷a3＝a3 B．4a﹣3a＝1 C．a5+a5＝a10 D．a2•a4＝a8 7．（3分）如图，在⊙O中，弦AB的长为8，圆心O到AB的距离OE＝4，则⊙O的半径长为（　　） A．4 B． C．5 D． 8．（3分）如图，PA，PB分别与⊙O相切于A，B两点，C是优弧B上的一个动点，若∠P＝50°，则∠ACB的度数为（　　） A．50° B．65° C．55° D．60° 9．（3分）已知二次函数y＝ax2+bx+c的图象如图所示，该抛物线的对称轴为直线x＝1，则下列结论不正确的是（　　） A．ac＜0 B．关于x的方程ax2+bx+c＝0的两根是x1＝﹣1，x2＝3 C．当x＞0时，y随x的增大而减小 D．2a+b＝0 10．（3分）如图，已知抛物线与x轴交于A，B两点，与y轴交于C点，则△ABC的外心坐标为（　　） A． B．（0，2） C． D． 二.填空题（共6小题，共18分） 11．（3分）反比例函数的图象分布在第二、四象限内，则k的取值范围为 　 　． 12．（3分）已知圆锥的底面圆周长为2π，母线为4，则该圆锥侧面积为 　 　． 13．（3分）关于x的一元二次方程x2﹣x+c＝0有两个相等的实数根，则c的值为 　 　． 14．（3分）如图，BC切⊙O于C，AB过圆心O点，AC是弦，∠B＝40°，则∠A＝　 　． 15．（3分）如图，如果△ACP∽△ABC，∠A＝100°，∠B＝20°，那么∠APC的度数是 　 　． 16．（3分）在平面直角坐标系中，反比例函数的部分图象如图所示，AB⊥y轴于点B，点P在x轴上，若△ABP的面积为2，则k的值为 　 　． 三.解答题（共9小题，共72分） 17．（6分）计算：（π﹣2024）0﹣2﹣+|1﹣|． 18．（6分）解方程组：． 19．（8分）已知反比例函数y1＝与一次函数y2＝ax+b的图象交于点A（1，4）和点B（m，﹣2）． （1）求这两个函数的表达式； （2）观察图象，直接写出y1＞y2时自变量x的取值范围． 20．（8分）如图，D是等边三角形ABC内一点，将线段AD绕点A顺时针旋转60°，得到线段AE，连接CD，BE． （1）求证：△AEB≌△ADC； （2）连接DE，若∠ADC＝96°，求∠BED的度数． 21．（8分）某校为落实“双减”工作，增强课后服务的吸引力，充分用好课后服务时间，为学有余力的学生拓展学习空间，成立了5个活动小组（每位学生只能参加一个活动小组）：A．音乐；B．体育；C．美术；D．阅读；E．人工智能．为了解学生对以上活动的参与情况，随机抽取部分学生进行了调查统计，并根据统计结果，绘制了如图所示的两幅不完整的统计图． 根据图中信息，解答下列问题： （1）①此次调查一共随机抽取了 　 　名学生； ②补全条形统计图（要求在条形图上方注明人数）； ③扇形统计图中圆心角α＝　 　度； （2）若该校有2800名学生，估计该校参加D组（阅读）的学生人数； （3）学校计划从E组（人工智能）的甲、乙、丙、丁四位学生中随机抽取两人参加市青少年机器人竞赛，请用树状图法或列表法求出恰好抽中甲、乙两人的概率． 22．（8分）根据以下素材，探索解决问题． 测量旗杆的高度 素材1 可以利用镜子测量旗杆的高度．如图，小陈同学从镜子E中刚好可以看见旗杆的顶端C，测得BE＝2.4m． 说明：小陈同学GB、旗杆CD与标杆PQ均垂直于地面，小陈同学的眼睛G离地面的距离GB＝1.6m． 素材2 可以利用标杆测量旗杆的高度．如图，点G，P，C在同一直线上，标杆PQ＝3m，测得BQ＝3.5m，QD＝14m． 问题解决 任务1 完善测量数据 在素材1中，小陈同学还要测量图中哪条线段的长度（旗杆无法直接测量），才能求出旗杆的高度？若把该线段的长度记为a，请你用含a的式子表示出旗杆的高度． 任务2 推理计算高度 利用素材2求出旗杆的高度． 23．（8分）如图，已知Rt△ABC中，∠C＝90°，BD平分∠ABC，交AC于点D，O是AB边上一点，⊙O经过点B，D，与AB交于点E． （1）求证：AC是⊙O的切线； （2）若BC＝3，AC＝4，求AE的长． 24．（10分）定义：矩形PAOB的顶点P在第一象限，A，B在坐标轴上，若函数与边PA，PB分别交于M，N两点，当MN∥AB时，则称该函数为关于点P的Sora函数，P为Sora点． （1）如图1，若一次函数y＝kx+b是点P（2，2）的Sora函数，求k的值； （2）如图2，求证：反比例函数是任意一点P（m，n）（mn＞4）的Sora函数； （3）如图3，对于二次函数是关于P（8，6）的Sora函数，其交y轴于C点，直线MN交x轴于D点，交y轴与E点，其中EC＝ED，若以E为圆心，EC长为半径的圆交直线CM于点F，求△EFC的面积． 25．（10分）已知⊙O的直径AB，CD互相垂直，G为弧BD上一点，连接CG，AG分别交AB，CD于E，F两点，连接DG． （1）连接AD，求证：△CGF∽△AGD； （2）如图1，若E为OB中点，求与； （3）如图2，若，△AOF，△DGF的面积分别为S1，S2，，试求y关于x的函数解析式． 2024-2025学年湖南师大附中梅溪湖中学九年级（上）第三次月考数学试卷 参考答案与试题解析 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 B D． A B A A B B C A 一.选择题（共10小题，共30分） 1．（3分）下列各数中，是无理数的是（　　） A．2 B． C．0 D． 【分析】根据无理数的概念进行判定即可． 【解答】解：2、0、是有理数，是无理数， 故选：B． 【点评】本题考查了无理数的定义，熟知无限不循环小数叫无理数，初中范围内常见的无理数有三类：①π类，如2π，等；②开方开不尽的数，如，等；③虽有规律但却是无限不循环的小数，如0.1010010001…（两个1之间依次增加1个0），0.2121121112…（两个2之间依次增加1个1）等是解题的关键． 2．（3分）贵州地处中国西南内陆地区腹地，其矿产资源十分丰富，是矿产资源大省．2024年5月，我省原煤产量达到12460000吨，12460000可以用科学记数法记为（　　） A．1246×104 B．124.6×105 C．12.46×106 D．1.246×107 【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数． 【解答】解：12460000＝1.246×107． 故选：D． 【点评】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值． 3．（3分）不等式2x≥﹣4的解集在数轴上表示为（　　） A． B． C． D． 【分析】求出不等式的解集，再根据“大于向右，小于向左，不包括端点用空心，包括端点用实心”的原则将解集在数轴上表示出来． 【解答】解：解不等式得x≥﹣2， 表示在数轴上如图： 故选：A． 【点评】本题考查了解一元一次不等式，在数轴上表示不等式的解集，熟练掌握解一元一次不等式的步骤是解题的关键． 4．（3分）“中国梦，我的梦”这句话中，“梦”字出现的频率是（　　） A． B． C． D． 【分析】由“中国梦，我的梦”这6个数中，“梦”字有2个，根据频率的定义即可得． 【解答】解：∵在“中国梦，我的梦”这6个数中，“梦”字有2个， ∴“梦”字出现的频率是＝， 故选：B． 【点评】本题主要考查频数与频率，频率是指每个对象出现的次数与总次数的比值（或者百分比）．即频率＝频数÷数据总数． 5．（3分）如图，点B、C、D在同一直线上，若△ABC≌△CDE，AB＝9，BC＝4，则DE＝（　　） A．4 B．4.5 C．5 D．5.5 【分析】根据全等三角形的性质可得BC＝DE，即可获得答案． 【解答】解：∵△ABC≌△CDE，BC＝4， ∴BC＝DE＝4， 故选：A． 【点评】本题主要考查了全等三角形性质，熟练掌握全等三角形对应边相等的性质是解题的关键． 6．（3分）下列运算正确的是（　　） A．a6÷a3＝a3 B．4a﹣3a＝1 C．a5+a5＝a10 D．a2•a4＝a8 【分析】根据同底数幂的乘除法法则、合并同类项的方法进行解题即可． 【解答】解：A、a6÷a3＝a3，故该项正确，符合题意； B、4a﹣3a＝a，故该项不正确，不符合题意； C、a5+a5＝2a5，故该项不正确，不符合题意； D、a2•a4＝a6，故该项不正确，不符合题意； 故选：A． 【点评】本题考查同底数幂的乘除法、合并同类项，熟练掌握运算法则是解题的关键． 7．（3分）如图，在⊙O中，弦AB的长为8，圆心O到AB的距离OE＝4，则⊙O的半径长为（　　） A．4 B． C．5 D． 【分析】利用垂径定理，勾股定理求解即可． 【解答】解：∵OE⊥AB， ∴AE＝EB＝4， ∴OA＝＝＝4． 故选：B． 【点评】本题考查垂径定理，勾股定理等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． 8．（3分）如图，PA，PB分别与⊙O相切于A，B两点，C是优弧B上的一个动点，若∠P＝50°，则∠ACB的度数为（　　） A．50° B．65° C．55° D．60° 【分析】连接OA，OB，根据切线的性质得∠OAP＝∠OBP＝90°，再利用四边形的内角和计算出∠AOB的度数，最后根据圆周角定理计算∠ACB的度数． 【解答】解：连接OB，OA， ∵PA，PB分别与⊙O相切于A，B两点， ∴OB⊥PB，OA⊥PA， ∴∠OBP＝∠OAP＝90°， ∴∠AOB＝180°﹣∠P＝180°﹣50°＝130°， ∴∠ACB＝， 故选：B． 【点评】本题考查了切线的性质，圆周角定理，掌握其性质定理是解决此题的关键． 9．（3分）已知二次函数y＝ax2+bx+c的图象如图所示，该抛物线的对称轴为直线x＝1，则下列结论不正确的是（　　） A．ac＜0 B．关于x的方程ax2+bx+c＝0的两根是x1＝﹣1，x2＝3 C．当x＞0时，y随x的增大而减小 D．2a+b＝0 【分析】根据抛物线的开口方向，对称轴，与x轴、y轴的交点，逐一判断． 【解答】解：A、由抛物线开口方向可知a＜0，由抛物线与y轴交点位置可知c＞0， ∴ac＜0，A选项正确，不符合题意； B、根据抛物线的轴对称性可知抛物线与x轴分别交于（3，0）和（﹣1，0）， ∴方程ax2+bx+c＝0的两根是x1＝﹣1，x2＝3，B选项正确，不符合题意； C、抛物线的对称轴是直线x＝1，故0＜x＜1时，y随x的增大而增大，x＞1时，y随x的增大而减小，C选项不正确，符合题意； D、抛物线的对称轴是直线，变形可得2a+b＝0，D选项正确，不符合题意． 故选：C． 【点评】本题考查了二次函数的性质，熟练掌握二次函数的性质是关键． 10．（3分）如图，已知抛物线与x轴交于A，B两点，与y轴交于C点，则△ABC的外心坐标为（　　） A． B．（0，2） C． D． 【分析】设△ABC的外心P的坐标为（0，h），根据二次函数图象与坐标轴的交点的坐标特征分别求出OA、OC，根据勾股定理列出方程，解方程得到答案． 【解答】解：∵抛物线y＝﹣x2+4关于y轴对称， ∴△ABC的外心在y轴上， 设△ABC的外心P的坐标为（0，h），连接AP， 对于二次函数y＝﹣x2+4，当x＝0时，y＝4， 当y＝0时，x＝±3， 则OC＝4，OA＝3， 在Rt△AOP中，AP2＝OA2+OP2，即（4﹣h））2＝32+h2， 解得：h＝， ∴△ABC的外心P的坐标为（0，）， 故选：A． 【点评】本题考查的是三角形的外接圆与外心，熟记三角形的外心的概念、二次函数的性质是解题的关键． 二.填空题（共6小题，共18分） 11．（3分）反比例函数的图象分布在第二、四象限内，则k的取值范围为 　k＜1　． 【分析】依据题意，根据反比例函数的性质可得不等式：k﹣1＜0，进而可以得解． 【解答】解：由题意得，k﹣1＜0， ∴k＜1． 故答案为：k＜1． 【点评】本题主要考查了反比例函数的图象与性质，熟知反比例函数的图象与系数的关系是解题的关键． 12．（3分）已知圆锥的底面圆周长为2π，母线为4，则该圆锥侧面积为 　4π　． 【分析】圆锥的侧面积＝底面周长×母线长，把相应数值代入即可求解． 【解答】解：圆锥的侧面积＝×2π×4＝4π． 故答案为：4π． 【点评】本题考查了圆锥计算，关键是圆锥侧面积公式的应用． 13．（3分）关于x的一元二次方程x2﹣x+c＝0有两个相等的实数根，则c的值为 　　． 【分析】根据一元二次方程x2﹣x+c＝0有两个相等的实数根可知Δ＝0，即1﹣4c＝0，即可解得答案． 【解答】解：∵一元二次方程x2﹣x+c＝0有两个相等的实数根， ∴Δ＝0，即1﹣4c＝0， 解得c＝； 故答案为：． 【点评】本题考查一元二次方程根的判别式，解题的关键是掌握一元二次方程有两个相等的实数根，则Δ＝0． 14．（3分）如图，BC切⊙O于C，AB过圆心O点，AC是弦，∠B＝40°，则∠A＝　25°　． 【分析】根据切线的性质，得到∠OCB＝90°，进而得到∠COB＝50°，根据等边对等角结合三角形的外角，求出∠A的度数． 【解答】解：BC切⊙O于C，AB过圆心O点，AC是弦，∠B＝40°， ∴OC⊥BC，OA＝OC， ∴∠OCB＝90°，∠OAC＝∠OCA， ∴∠COB＝50°， ∴∠A＝∠COB＝25°， 故答案为：25°． 【点评】本题考查切线的性质，圆周角定理，解题的关键是熟练掌握切线的性质及圆周角定理的应用． 15．（3分）如图，如果△ACP∽△ABC，∠A＝100°，∠B＝20°，那么∠APC的度数是 　60°　． 【分析】由三角形内角和定理求出∠ACB＝60°，由相似三角形的对应角相等，得到∠APC＝∠ACB＝60°． 【解答】解：∵∠A＝100°，∠B＝20°， ∴∠ACB＝180°﹣∠A﹣∠B＝60°， ∵△ACP∽△ABC， ∴∠APC＝∠ACB＝60°． 故答案为：60°． 【点评】本题考查相似三角形的性质，三角形内角和定理，关键是掌握相似三角形的对应角相等． 16．（3分）在平面直角坐标系中，反比例函数的部分图象如图所示，AB⊥y轴于点B，点P在x轴上，若△ABP的面积为2，则k的值为 　﹣4　． 【分析】连接OA，根据平行线间的距离相等得出S△AOB＝S△ABC＝8，然后根据反比例函数性质k的几何意义即可求得k＝﹣16． 【解答】解：∵AB⊥y轴， ∴AB∥x轴， ∴S△AOB＝S△ABP＝2， ∵S△AOB＝|k|， ∴|k|＝4， ∵反比例函数y＝在第二象限， ∴k＝﹣4， 故答案为：﹣4． 【点评】本题考查了反比例函数系数k的几何意义，明确△AOB的面积＝△ABC的面积是解题的关键． 三.解答题（共9小题，共72分） 17．（6分）计算：（π﹣2024）0﹣2﹣+|1﹣|． 【分析】利用零指数幂，算术平方根及立方根的定义，绝对值的性质计算即可． 【解答】解：原式＝1﹣2×+2+﹣1 ＝1﹣1+2+﹣1 ＝+1． 【点评】本题考查实数的运算，熟练掌握相关运算法则是解题的关键． 18．（6分）解方程组：． 【分析】先利用加减消元法求出y的值，再利用代入消元法求出x的值即可． 【解答】解：， ①﹣②得：3y＝6， 解得：y＝2， 把y＝2代入②得：x﹣2＝﹣3， 解得：x＝﹣1， 则方程组的解为． 【点评】此题考查了解二元一次方程组，熟知解二元一次方程组的代入消元法与加减消元法是解题的关键． 19．（8分）已知反比例函数y1＝与一次函数y2＝ax+b的图象交于点A（1，4）和点B（m，﹣2）． （1）求这两个函数的表达式； （2）观察图象，直接写出y1＞y2时自变量x的取值范围． 【分析】（1）由点A的坐标，利用反比例函数图象上点的坐标特征，即可求出反比例函数表达式，由点B的纵坐标结合反比例函数图象上点的坐标特征，即可求出点B的坐标，根据点A、B的坐标利用待定系数法，即可求出一次函数表达式； （2）根据两函数图象的上下位置关系，即可找出当x＞0时，y1＞y2的自变量x的取值范围． 【解答】解：（1）∵反比例函数y1＝的图象经过点A（1，4）， ∴k＝1×4＝4， ∴反比例函数的表达式为y1＝． ∵点B（m，﹣2）在反比例函数的图象上， ∴m＝＝﹣2， ∴点B的坐标为（﹣2，﹣2）． ∵一次函数的图象经过点A、B，将这两个点的坐标代入y2＝ax+b， 得，解得：， ∴一次函数的表达式为y2＝2x+2． （2）观察函数图象可知：当x＜﹣2或0＜x＜1时，反比例函数图象在一次函数图象上方， 综上所述，y1＞y2的自变量x的取值范围为x＜﹣2或0＜x＜1． 【点评】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题、反比例函数图象上点的坐标特征以及待定系数法求一次函数解析式，解题的关键是：（1）利用待定系数法求出函数表达式；（2）根据两函数图象的上下位置关系，找出不等式的解集． 20．（8分）如图，D是等边三角形ABC内一点，将线段AD绕点A顺时针旋转60°，得到线段AE，连接CD，BE． （1）求证：△AEB≌△ADC； （2）连接DE，若∠ADC＝96°，求∠BED的度数． 【分析】（1）由等边三角形的性质得AB＝AC，∠BAC＝60°，由旋转得AE＝AD，∠EAD＝60°，则∠BAE＝∠CAD＝60°﹣∠BAD，即可根据全等三角形的判定定理“SAS”证明△AEB≌△ADC； （2）由AE＝AD，∠EAD＝60°，证明△AED是等边三角形，得∠AED＝60°，由全等三角形的性质得∠AEB＝∠ADC＝96°，则∠BED＝∠AEB﹣∠AED＝36°． 【解答】（1）证明：∵△ABC是等边三角形， ∴AB＝AC，∠BAC＝60°， 由旋转得AE＝AD，∠EAD＝60°， ∴∠BAE＝∠CAD＝60°﹣∠BAD， 在△AEB和△ADC中， ， ∴△AEB≌△ADC（SAS）． （2）解：∵AE＝AD，∠EAD＝60°， ∴△AED是等边三角形， ∴∠AED＝60°， ∵△AEB≌△ADC， ∴∠AEB＝∠ADC＝96°， ∴∠BED＝∠AEB﹣∠AED＝96°﹣60°＝36°， ∴∠BED的度数是36°． 【点评】此题重点考查等边三角形的判定与性质、旋转的性质、全等三角形的判定与性质等知识，证明∠BAE＝∠CAD，进而证明△AEB≌△ADC是解题的关键． 21．（8分）某校为落实“双减”工作，增强课后服务的吸引力，充分用好课后服务时间，为学有余力的学生拓展学习空间，成立了5个活动小组（每位学生只能参加一个活动小组）：A．音乐；B．体育；C．美术；D．阅读；E．人工智能．为了解学生对以上活动的参与情况，随机抽取部分学生进行了调查统计，并根据统计结果，绘制了如图所示的两幅不完整的统计图． 根据图中信息，解答下列问题： （1）①此次调查一共随机抽取了 　400　名学生； ②补全条形统计图（要求在条形图上方注明人数）； ③扇形统计图中圆心角α＝　108　度； （2）若该校有2800名学生，估计该校参加D组（阅读）的学生人数； （3）学校计划从E组（人工智能）的甲、乙、丙、丁四位学生中随机抽取两人参加市青少年机器人竞赛，请用树状图法或列表法求出恰好抽中甲、乙两人的概率． 【分析】（1）①由B组的人数除以所占百分比即可； ②求出A、C组的人数，补全条形统计图即可； ③由360°乘以C组所占的比例即可； （2）由该校共有学生人数乘以参加D组（阅读）的学生人数所占的比例即可； （3）画树状图，共有12种等可能的结果，其中恰好抽中甲、乙两人的结果有2种，再由概率公式求解即可． 【解答】（1）①调查人数：＝400（名）， 故答案为：400； ②A组的人数：400×15%＝60（名）， C组的人数：400﹣100﹣140﹣40﹣60＝60（名）， ③扇形统计图中圆心角α＝360°×＝54°， 故答案为：54°， （2）， 答：参加D组（阅读）的学生人数为980人； （3）树状图如下： ∵共有12中等可能的结果，其中恰好抽到A，C两人同时参赛的有两种， ∴P（恰好抽中甲、乙两人）＝． 【点评】本题考查的概率及其应用，掌握概率＝所求情况数与总情况数之比是解题的关键． 22．（8分）根据以下素材，探索解决问题． 测量旗杆的高度 素材1 可以利用镜子测量旗杆的高度．如图，小陈同学从镜子E中刚好可以看见旗杆的顶端C，测得BE＝2.4m． 说明：小陈同学GB、旗杆CD与标杆PQ均垂直于地面，小陈同学的眼睛G离地面的距离GB＝1.6m． 素材2 可以利用标杆测量旗杆的高度．如图，点G，P，C在同一直线上，标杆PQ＝3m，测得BQ＝3.5m，QD＝14m． 问题解决 任务1 完善测量数据 在素材1中，小陈同学还要测量图中哪条线段的长度（旗杆无法直接测量），才能求出旗杆的高度？若把该线段的长度记为a，请你用含a的式子表示出旗杆的高度． 任务2 推理计算高度 利用素材2求出旗杆的高度． 【分析】任务1：根据题意可得：∠GBE＝∠CDE＝90°，∠GEB＝∠CED，从而可得△GBE∽△CDE，然后利用相似三角形的性质进行计算，即可解答； 任务2：过点G作GA⊥CD，垂足为A，交PQ于点E，根据题意得：GE＝BQ＝3.5m，QD＝AE＝14m，∠GEP＝∠GAC＝90°，然后证明△GEP∽△GAC，从而利用相似三角形的性质进行计算即可解答． 【解答】解：任务1：在素材1中，小陈同学还要测量图中线段DE的长度，才能求出旗杆的高度，把该线段的长度记为a， 由题意得：∠GBE＝∠CDE＝90°，∠GEB＝∠CED， ∴△GBE∽△CDE， ∴＝， ∴＝， 解得：CD＝a， ∴旗杆的高度为a； 任务二：过点G作GA⊥CD，垂足为A，交PQ于点E， 由题意得：GB＝EQ＝AD＝1.6m，GE＝BQ＝3.5m，QD＝AE＝14m，∠GEP＝∠GAC＝90°， ∵∠PGE＝∠CGA， ∴△GEP∽△GAC， ∴＝， ∴＝， 解得：CA＝7， ∴CD＝AC+AD＝7+1.6＝8.6（m）， ∴旗杆的高度为8.6m． 【点评】本题考查了相似三角形的应用，列代数式，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键． 23．（8分）如图，已知Rt△ABC中，∠C＝90°，BD平分∠ABC，交AC于点D，O是AB边上一点，⊙O经过点B，D，与AB交于点E． （1）求证：AC是⊙O的切线； （2）若BC＝3，AC＝4，求AE的长． 【分析】（1）由等腰三角形的性质得出∠ODB＝∠OBD，由角平分线的性质得出∠OBD＝∠CBD，则∠ODB＝∠CBD，证出∠ADO＝∠ACB＝90°，则可得出结论； （2）由勾股定理求出AB＝5，证明△AOD∽△ABC，由相似三角形的性质得出，则可得出答案． 【解答】（1）证明：连接OD， ∵OB＝OD， ∴∠ODB＝∠OBD， ∵DB平分∠ABC， ∴∠OBD＝∠CBD， ∴∠ODB＝∠CBD， ∴OD∥BC， ∴∠ADO＝∠ACB＝90°， ∴OD⊥AC， ∵OD是半径， ∴AC是⊙O的切线； （2）解：设⊙O的半径为r， 在Rt△ABC中，， ∵OD∥BC， ∴△AOD∽△ABC， ∴， 即， 解得，， ∴AE＝AB﹣BE＝． 【点评】本题考查了切线的判定、勾股定理、相似三角形的判定与性质等知识，掌握切线的判定法，相似三角形的判定与性质是解决问题的关键． 24．（10分）定义：矩形PAOB的顶点P在第一象限，A，B在坐标轴上，若函数与边PA，PB分别交于M，N两点，当MN∥AB时，则称该函数为关于点P的Sora函数，P为Sora点． （1）如图1，若一次函数y＝kx+b是点P（2，2）的Sora函数，求k的值； （2）如图2，求证：反比例函数是任意一点P（m，n）（mn＞4）的Sora函数； （3）如图3，对于二次函数是关于P（8，6）的Sora函数，其交y轴于C点，直线MN交x轴于D点，交y轴与E点，其中EC＝ED，若以E为圆心，EC长为半径的圆交直线CM于点F，求△EFC的面积． 【分析】（1）可求得直线AB的解析式为：y＝﹣x+2，进而得出k＝﹣1； （2）可证得，进而得出△PMN∽△PAB，从而∠PMN＝∠PAB，从而MN∥AB； （3）可求得kDE∥kAB＝﹣，从而设E（0，3t），D（4t，0），从而得出CE＝DE＝5t，直线DE的解析式为：y＝﹣，从而得出C（0，﹣2t），M（4t﹣8，6），N（8，3t﹣6），将点C、M、N的坐标代入得出 ，从而得出t和b的值，从而得出M、E、C点坐标，进一步得出结果． 【解答】（1）解：∵P（2，2），四边形PAOB是矩形， ∴A（0，2），B（2，0）， ∴直线AB的解析式为：y＝﹣x+2， ∵MN∥AB， ∴k＝﹣1； （2）证明：由题意设M（，n），N（m，）， ∴PM＝m﹣，PN＝n﹣， ∴，， ∴， ∵∠MPN＝∠APB， ∴△PMN∽△PAB， ∴∠PMN＝∠PAB， ∴MN∥AB， ∴反比例函数是任意一点P（m，n）（mn＞4）的Sora函数； （3）解：如图， ∵二次函数是关于P（8，6）的Sora函数， ∴MN∥AB，B（8，0），A（0，6）， ∴kDE∥kAB＝﹣， ∴设E（0，3t），D（4t，0）， ∴CE＝DE＝5t，直线DE的解析式为：y＝﹣， ∴C（0，﹣2t）， ∴y＝﹣， 当y＝6时，﹣， ∴x＝4t﹣8， ∴M（4t﹣8，6）， 当x＝8时，y＝﹣＝3t﹣6， ∴N（8，3t﹣6）， ∴， ∴，（舍去）， ∴M（4，6），E（0，9），C（0，﹣6）， 设直线CM的解析式为：y＝kx+m， ∴， ∴， ∴y＝3x﹣6， 设点F（n，3n﹣6）， 由EF2＝CE2得， n2+（3n﹣6﹣9）2＝（9+6）2， ∴n＝或n＝0（舍去）， ∴S△ECF＝＝． 【点评】本题考查了求一次函数和二次函数的解析式，反比例函数的性质，相似三角形的判定和性质等知识，解决问题的关键是熟练掌握有关基础知识． 25．（10分）已知⊙O的直径AB，CD互相垂直，G为弧BD上一点，连接CG，AG分别交AB，CD于E，F两点，连接DG． （1）连接AD，求证：△CGF∽△AGD； （2）如图1，若E为OB中点，求与； （3）如图2，若，△AOF，△DGF的面积分别为S1，S2，，试求y关于x的函数解析式． 【分析】（1）由⊙O的直径AB，CD互相垂直，可得∠AGF＝∠AGD＝45°，而∠GCF＝∠GAD，故△CGF∽△AGD； （2）过G作GH⊥CD于H，由E为OB中点，知tanC＝＝，从而CG＝2DG，＝，设DH＝m，则GH＝2m，求出DG＝＝m，CD＝＝5m，知OC＝OA＝OD＝m，OF+HF＝m，再证△AOF∽△GHF，得＝，故OF＝m，可得DF＝DH+HF＝m+m＝m，CF＝OC+OF＝m+m＝m，故＝＝； （3）过G作GH⊥CD于H，由＝x，得tanC＝＝＝x，设GH＝n，则DH＝nx，同（2）思路可求出DG＝＝n，CG＝＝，CD＝＝，OF＝，DF＝OD﹣OF＝，再用三角形面积公式可得＝＝＝，故y＝． 【解答】（1）证明：∵⊙O的直径AB，CD互相垂直， ∴∠AOC＝∠AOD＝90°， ∴∠AGC＝∠AOC＝45°，∠AGD＝∠AOD＝45°， ∴∠AGF＝∠AGD， ∵， ∴∠GCF＝∠GAD， ∴△CGF∽△AGD； （2）解：过G作GH⊥CD于H，如图： ∵E为OB中点， ∴OE＝OB＝OC， ∴tanC＝＝， ∵CD是⊙O的直径， ∴∠CGD＝90°， ∴＝tanC＝，∠C＝90°﹣∠CDG， ∴CG＝2DG， ∵GH⊥CD， ∴∠DGH＝90°﹣∠CDG＝∠C， ∴tan∠DGH＝tanC＝，即＝， 设DH＝m，则GH＝2m， ∴DG＝＝m， ∴CG＝2DG＝2m， ∴CD＝＝5m， ∴OC＝OA＝OD＝m， ∴OH＝OD﹣DH＝m，即OF+HF＝m， ∵∠AOF＝90°＝∠GHF，∠AFO＝∠GFH， ∴△AOF∽△GHF， ∴＝， ∴＝， 解得OF＝m， ∴HF＝m﹣OF＝m， ∴DF＝DH+HF＝m+m＝m，CF＝OC+OF＝m+m＝m， ∴＝＝； 故＝，＝； （3）解：过G作GH⊥CD于H，如图： ∵＝x， ∴tanC＝＝＝x， ∵CD是⊙O的直径， ∴∠CGD＝90°， ∴＝tanC＝x，∠C＝90°﹣∠CDG， ∴DG＝x•CG， ∵GH⊥CD， ∴∠DGH＝90°﹣∠CDG＝∠C， ∴tan∠DGH＝tanC＝x，即＝x， 设GH＝n，则DH＝nx， ∴DG＝＝n， ∴CG＝＝， ∴CD＝＝， ∴OC＝OA＝OD＝， ∴OH＝OD﹣DH＝，即OF+HF＝， ∵∠AOF＝90°＝∠GHF，∠AFO＝∠GFH， ∴△AOF∽△GHF， ∴＝， ∴＝， 解得OF＝， ∴DF＝OD﹣OF＝， ∴＝＝＝， ∴y＝． 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $$