江苏省南通市崇川区启秀中学 2024-2025学年九年级上学期月考数学试卷（12月份）

2024-2025学年江苏省南通市崇川区启秀中学九年级（上） 月考数学试卷（12月份） 一.选择题（共10小题，每小题3分，共30分） 1．（3分）4sin60°的值为（　　） A．3 B．1 C． D． 2．（3分）∠BAC放在正方形网格纸的位置如图，则tan∠BAC的值为（　　） A． B． C． D． 3．（3分）如图，在△ABC中，点D，E分别在AB，AC边上，DE∥BC，若AD：DB＝3：1，则AE：AC＝（　　） A．3：1 B．3：4 C．3：5 D．2：3 4．（3分）如图，下列条件不能判定△ADB∽△ABC的是（　　） A．∠ABD＝∠ACB B．∠ADB＝∠ABC C．AB2＝AD•AC D． 5．（3分）《墨经》中有：“景到，在午有端，与景长，说在端”，大约在两千四百年前，墨子和他的学生做的世界上第1个小孔成像的实验．如图所示的实验中，若物距为10cm，像距为18cm，蜡烛火焰倒立的像的高度是6cm，则蜡烛火焰的高度是（　　）cm． A． B．4 C． D．5 6．（3分）如图，下列两个四边形若相似，则下列结论不正确的是（　　） A．∠α＝100° B．x＝ C．y＝ D．x＝7 7．（3分）近视眼镜的度数y（度）与镜片焦距x（米）之间有如图所示的反比例函数关系，若配制一副度数小于200度的近视眼镜，则焦距x的取值范围是（　　） A．x＞5 B．0＜x＜5 C．0＜x＜0.5 D．x＞0.5 8．（3分）如图，矩形ABCD的顶点A和对称中心都在双曲线上，若矩形ABCD的面积为8，则k的值为（　　） A．8 B． C． D．4 9．（3分）如图，在矩形ABCD中，AB＝6，BC＝8，点E、F分别是BD、CD边上一点，连接AE、AF，BD交AF于点G，若BE＝3，∠EAF＝∠ABD，则DG的长为（　　） A． B． C． D． 10．（3分）如图，正三角形ABC的边长为3+，在三角形中放入正方形DEMN和正方形EFPH，使得D、E、F在边CB上，点P、N分别在边CA、AB上，设两个正方形的边长分别为m，n，则这两个正方形的面积和的最小值为（　　） A． B． C．3 D． 二.填空题（共8小题第11.12.题每题3分，13-18每题4分） 11．（3分）已知a：b＝2：3，那么的值是 　 　． 12．（3分）在Rt△ABC中，∠C＝90°，若cosA＝，则sinA的值为 　 　． 13．（4分）如图，点D、E分别是△ABC边AB、AC上的点，且DE∥BC，BD＝2AD，那么＝ 　 　． 14．（4分）如图，在矩形ABCD中，若AE＝2，AC＝10，，则AB的长为 　 　． 15．（4分）如图，△ABC为等边三角形，点D，E分别在边BC，AB上，∠ADE＝60°．若BD＝4DC，DE＝2.4，则AD的长为 　 　． 16．（4分）如图，矩形OABC的面积为40，它的对角线OB与双曲线y＝相交于点D，且OD：DB＝3：1，则＝ 　 　． 17．（4分）如图，四边形ABCD是正方形，点E在CB的延长线上，连接AE，AF⊥AE交CD于点F，连接EF，点H是EF的中点，连接BH，则下列结论中： ①BE＝DF； ②∠BEH＝∠BAH； ③； ④若AB＝4；DF＝1，则△BEH的面积为． 其中正确的是 　 　．（将所有正确结论的序号填在横线上） 18．（4分）如图，等腰△ABC中，AB＝AC＝3，BC＝2，BC边上的高AO，点D为射线AO上一点，一动点P从点A出发，沿AD﹣DC运动，到达点C停止，动点P在AD上运动速度为3个单位每秒，动点P在CD上运动速度为1个单位每秒，则当AD＝ 　 　时，运动时间最短． 三.解答题（共8小题） 19．（10分）计算： （1）tan45°﹣sin60°•cos30°； （2）若α是锐角，且sinα＝，求cosα的值． 20．（10分）若（tanA﹣）2+（tanB﹣）2＝0，∠A，∠B为△ABC的内角，试确定三角形的形状． 21．（12分）已知：△ABC三个顶点的坐标分别为A（2，2），B（4，1），C（1，5）． （1）以点O为位似中心，在第一象限将△ABC放大为原来的2倍，得到△A1B1C1，请在网格中画出△A1B1C1； （2）若点P（x，y）是△ABC内任意一点，点P在△A1B1C1内的对应点为P1，则点P1的坐标为 　 　； （3）请用无刻度直尺将线段AB三等分． 22．（12分）如图，一次函数y＝kx+2的图象与反比例函数y＝的图象交于点P，点P在第一象限．PA⊥x轴于点A，PB⊥y轴于点B．一次函数的图象分别交x轴、y轴于点C、D，且S△PBD＝4，＝． （1）求点D的坐标； （2）求一次函数与反比例函数的解析式； （3）根据图象写出当x＞0时，一次函数的值大于反比例函数的值的x的取值范围． 23．（12分）如图，在矩形ABCD中，点E为CD的中点，连接BE，过点A作AF⊥BE，垂足为F． （1）求证：△ABF∽△BEC； （2）若，EF＝4，求AB的长． 24．（10分）随着人们对生活环境的要求逐渐提高，环境保护问题受到越来越多人的关注，环保宣传也随处可见．如图，小云想要测量窗外的环保宣传牌AB的高度，她发现早上阳光恰好从窗户的最高点C处射进房间的地板F处，中午阳光恰好从窗户的最低点处射进房间的地板E处，小云测得窗户距地面的高度OD＝1m，窗高CD＝1.5m，并测得OE＝1m，OF＝3m．请根据以上测量数据，求环保宣传牌AB的高度． 25．（12分）以平面上一点O为直角顶点，分别画出两个直角三角形，记作△AOB和△COD，其中∠ABO＝∠DCO＝30°． （1）点E、F、M分别是AC、CD、DB的中点，连接FM、EM． ①如图1，当点D、C分别在AO、BO的延长线上时，＝ 　 　； ②如图2，将图1中的△AOB绕点O沿顺时针方向旋转α角（0°＜α＜60°），其他条件不变，判断的值是否发生变化，并对你的结论进行证明； （2）如图3，若BO＝3，点N在线段OD上，且NO＝2．点P是线段AB上的一个动点，在将△AOB绕点O旋转的过程中，线段PN长度的最小值为 　 　，最大值为 　 　． 26．（12分）定义：三角形一边上的点将该边分为两条线段，且这两条线段的积等于这个点到该边所对顶点连线的平方，则称这个点为三角形该边的“好点”．如图1，△ABC中，点D是BC边上一点，连接AD，若AD2＝BD•CD，则称点D是△ABC中BC边上的“好点”． （1）如图2，△ABC的顶点是4×3网格图的格点，请仅用直尺画出AB边上的一个“好点”． （2）△ABC中，BC＝9，tanB＝，tanC＝，点D是BC边上的“好点”，求线段BD的长． （3）如图3，△ABC是⊙O的内接三角形，OH⊥AB于点H，连接CH并延长交⊙O于点D． ①求证：点H是△BCD中CD边上的“好点”． ②若⊙O的半径为9，∠ABD＝90°，OH＝6，请直接写出的值． 2024-2025学年江苏省南通市崇川区启秀中学九年级（上）月考数学试卷（12月份） 参考答案与试题解析 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 D D B D A D D D C D 一.选择题（共10小题，每小题3分，共30分） 1．（3分）4sin60°的值为（　　） A．3 B．1 C． D． 【分析】根据特殊锐角三角函数值达人计算即可． 【解答】解：原式＝4×＝3． 故选：D． 【点评】本题考查特殊角的三角函数值及实数的运算，掌握特殊角的三角函数值是解题关键． 2．（3分）∠BAC放在正方形网格纸的位置如图，则tan∠BAC的值为（　　） A． B． C． D． 【分析】连接CD，再利用勾股定理分别计算出AD、AC、BD的长，然后再根据勾股定理逆定理证明∠ADC＝90°，再利用三角函数定义可得答案． 【解答】解：连接CD，如图： ，CD＝，AC＝， ∵ ∴∠ADC＝90°， ∴tan∠BAC＝＝． 故选：D． 【点评】此题主要考查了勾股定理，勾股定理逆定理，以及锐角三角函数定义，关键是证明∠ADC＝90°． 3．（3分）如图，在△ABC中，点D，E分别在AB，AC边上，DE∥BC，若AD：DB＝3：1，则AE：AC＝（　　） A．3：1 B．3：4 C．3：5 D．2：3 【分析】根据平行线分线段成比例定理得到＝＝，然后根据比例的性质求AE：AC的值． 【解答】解：∵DE∥BC， ∴＝＝， ∴＝＝． 故选：B． 【点评】本题考查了平行线分线段成比例：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例． 4．（3分）如图，下列条件不能判定△ADB∽△ABC的是（　　） A．∠ABD＝∠ACB B．∠ADB＝∠ABC C．AB2＝AD•AC D． 【分析】根据相似三角形的判定定理求解即可． 【解答】解：∵∠ABD＝∠ACB，∠A＝∠A， ∴△ADB∽△ABC， 故A不符合题意； ∵∠ADB＝∠ABC，∠A＝∠A， ∴△ADB∽△ABC， 故B不符合题意； ∵AB2＝AD•AC， ∴＝， 又∠A＝∠A， ∴△ADB∽△ABC， 故C不符合题意； 根据＝，不能判定△ADB∽△ABC， 故D符合题意； 故选：D． 【点评】此题考查了相似三角形的判定，熟记全等三角形的判定定理是解题的关键． 5．（3分）《墨经》中有：“景到，在午有端，与景长，说在端”，大约在两千四百年前，墨子和他的学生做的世界上第1个小孔成像的实验．如图所示的实验中，若物距为10cm，像距为18cm，蜡烛火焰倒立的像的高度是6cm，则蜡烛火焰的高度是（　　）cm． A． B．4 C． D．5 【分析】“相似三角形对应高线的比等于相似比”，据此即可求解． 【解答】解：已知物距为10cm，像距为18cm，蜡烛火焰倒立的像的高度是6cm，设蜡烛火焰的高度是x cm， 由相似三角形的性质得， 解得， 即蜡烛火焰的高度是， 故选：A． 【点评】本题考查了相似三角形的性质的应用，解答本题的关键要明确：相似三角形对应高线的比等于相似比． 6．（3分）如图，下列两个四边形若相似，则下列结论不正确的是（　　） A．∠α＝100° B．x＝ C．y＝ D．x＝7 【分析】根据相似图形的对应角相等，对应边的比相等得到答案． 【解答】解：∠α＝360°＝50°﹣120°﹣90°＝100°，A正确； x＝＝，B正确，D错误， 故选：D． 【点评】本题考查了相似多边形的性质，牢记相似多边形的对应角相等，对应边的比也相等． 7．（3分）近视眼镜的度数y（度）与镜片焦距x（米）之间有如图所示的反比例函数关系，若配制一副度数小于200度的近视眼镜，则焦距x的取值范围是（　　） A．x＞5 B．0＜x＜5 C．0＜x＜0.5 D．x＞0.5 【分析】根据题意，设反比例函数解析式为，待定系数法求解析式，进而将y＝200代入，结合函数图象即可求解． 【解答】解：设反比例函数解析式为， 将（0.4，250）代入得，k＝100， ∴反比例函数解析式为：， 当y＝200时，x＝＝0.5． ∴配制一副度数小于200度的近视眼镜，则焦距x的取值范围是x＞0.5， 故选：D． 【点评】本题考查了反比例函数的应用，熟练掌握反比例函数的性质是解题的关键． 8．（3分）如图，矩形ABCD的顶点A和对称中心都在双曲线上，若矩形ABCD的面积为8，则k的值为（　　） A．8 B． C． D．4 【分析】延长DA交y轴于点E，设点A坐标为（m，n），根据中心对称性质得到矩形中心点坐标（，），利用矩形面积建立4k﹣2mn＝8，求出k值即可． 【解答】解：如图，延长DA交y轴于点E， ∵四边形ABCD是矩形，设点A坐标为（m，n）， ∴矩形中心的纵坐标为， ∴矩形中心的坐标为（，）， ∴BC＝2（）＝， ∵矩形ABCD的面积为8， ∴（）•n＝8，即4k﹣2mn＝8， ∴2k＝8， ∴k＝4． 故选：D． 【点评】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征、反比例函数k值的几何意义、矩形的性质，熟练掌握反比例函数性质是关键． 9．（3分）如图，在矩形ABCD中，AB＝6，BC＝8，点E、F分别是BD、CD边上一点，连接AE、AF，BD交AF于点G，若BE＝3，∠EAF＝∠ABD，则DG的长为（　　） A． B． C． D． 【分析】连接AC，交BD于点O，先证明∠BAE＝∠CAF，∠ACF＝∠BAC＝∠ABD，进而可得△ABE∽△ACF，由，求出CF＝5，DF＝1，再由△ABE∽△ACF，得，即可求出DG的长． 【解答】解：在矩形ABCD中，AB＝6，BC＝8，点E、F分别是BD、CD边上一点，连接AC，交BD于点O； ∴AB＝CD＝6，∠BAD＝90°， 在直角三角形ABD中，， ∴OA＝OB＝OC＝OD＝5， ∴∠ABD＝∠BAC， ∵∠EAF＝∠ABD， ∴∠BAC＝∠EAF， ∴∠BAE+∠EAC＝∠CAF+∠CAE， ∴∠BAE＝∠CAF． ∵AB∥CD， ∴∠ACF＝∠BAC＝∠ABD， ∴△ABE∽△ACF， ∴，即， 解得：CF＝5， ∴DF＝CD﹣CF＝6﹣5＝1， ∵AB∥CD， ∴△ABG∽△FDG， ∴， ∴， 解得：， 故选：C． 【点评】本题考查相似三角形的判定和性质，矩形的性质，勾股定理，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型． 10．（3分）如图，正三角形ABC的边长为3+，在三角形中放入正方形DEMN和正方形EFPH，使得D、E、F在边CB上，点P、N分别在边CA、AB上，设两个正方形的边长分别为m，n，则这两个正方形的面积和的最小值为（　　） A． B． C．3 D． 【分析】设正方形DEMN、正方形EFPH的边长分别为m、n，它们的面积和为S，根据等边三角形的性质得∠A＝∠B＝60°，利用含30度的直角三角形三边的关系得BD＝DN＝m，CF＝PF＝n，则m+m+n+n＝3+，所以所以n＝3﹣m，S＝m2+n2＝m2+（3﹣m）2＝2（m﹣）2，接着确定m的取值范围为6﹣3≤m≤3﹣3，然后根据二次函数的性质求出S的最小值． 【解答】解：设正方形DEMN、正方形EFPH的边长分别为m、n，它们的面积和为S， ∵△ABC为等边三角形， ∴∠A＝∠B＝60°，AB＝3+， 在Rt△BDN中，BD＝DN＝m， 在Rt△CPF中，CF＝PF＝n， ∵BD+DE+EF+CF＝AB， ∴m+m+n+n＝3+， ∴m+n＝3， ∴n＝3﹣m， ∴S＝m2+n2＝m2+（3﹣m）2＝2（m﹣）2， 当点M落在AC上，则正方形DEMN的边长最小，正方形EFPH的边长最大，如图， 在Rt△BDN中，BD＝DN，BN＝DN， ∴DN+DN＝3+，解得DN＝3﹣3， 在Rt△CPF中，CF＝PF， ∴（3﹣3）+3﹣3+EF+PF＝3， 解得PF＝6﹣9， ∴6﹣3≤m≤3﹣3， ∴当m＝时，S最小，S的最小值为． 故选：D． 【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质：在判定两个三角形相似时，应注意利用图形中已有的公共角、公共边等隐含条件，以充分发挥基本图形的作用，寻找相似三角形的一般方法是通过作平行线构造相似三角形；利用相似比计算相应线段的长．也考查了正方形的性质、等边三角形的性质和二次函数的性质． 二.填空题（共8小题第11.12.题每题3分，13-18每题4分） 11．（3分）已知a：b＝2：3，那么的值是 　　． 【分析】由已知可知，代入计算即可求值． 【解答】解：∵a：b＝2：3， ∴， ∴＝＝＝， 故答案为：． 【点评】本题考查了比例的性质，根据题意正确得出a、b的关系是解题关键． 12．（3分）在Rt△ABC中，∠C＝90°，若cosA＝，则sinA的值为 　　． 【分析】根据勾股定理以及锐角三角函数的定义进行计算即可． 【解答】解：令Rt△ABC中，∠A、∠B、∠C所对的边分别为a、b、c， ∵∠C＝90°，cosA＝＝， 可设b＝5k，c＝13k， ∴a＝＝12k， ∴sinA＝＝， 故答案为：． 【点评】本题考查同角的三角函数的关系，掌握勾股定理，锐角三角函数的定义是正确解答的前提． 13．（4分）如图，点D、E分别是△ABC边AB、AC上的点，且DE∥BC，BD＝2AD，那么＝ 　　． 【分析】根据相似三角形面积的比等于相似比的平方，找出AD、AB的关系即可． 【解答】解：∵BD＝2AD， ∴＝， ∵DE∥BC ∴△ADE∽△ABC ∴＝（）2＝． 故答案为：． 【点评】本题主要考查了相似三角形的判定和性质，掌握相似三角形面积的比等于相似比的平方是解决问题的关键． 14．（4分）如图，在矩形ABCD中，若AE＝2，AC＝10，，则AB的长为 　6　． 【分析】根据矩形的性质得AE∥BC，∠ABC＝90°，即可得出∠EAF＝∠BCF，并根据勾股定理求出BC，再根据∠AFE＝∠BFC，得出△AEF∽△CBF，然后根据相似三角形对应边相等得出比例式，求出BC，再利用勾股定理求解． 【解答】解：∵四边形ABCD是矩形， ∴AE∥BC，∠ABC＝90°， ∴∠EAF＝∠BCF． ∵∠AFE＝∠BFC， ∴△AEF∽△CBF， ∴， ∴＝， ∴BC＝8， ∴AB＝＝＝6． 故答案为：6． 【点评】本题主要考查了矩形的性质，勾股定理，相似三角形的性质和判定等，相似三角形的对应边成比例是求线段长的常用方法． 15．（4分）如图，△ABC为等边三角形，点D，E分别在边BC，AB上，∠ADE＝60°．若BD＝4DC，DE＝2.4，则AD的长为 　3　． 【分析】先根据“两角对应相等，两三角形相似”证明△BDE∽△CAD，则可得，即可求解． 【解答】解：∵△ABC为等边三角形， ∴∠B＝∠C＝60°，BC＝AC． ∵∠ADB＝∠ADE+∠BDE＝∠CAD+∠C，∠ADE＝∠C， ∴∠BDE＝∠CAD， ∴△BDE∽△CAD， ∴． ∵BD＝4DC， ∴， ∴， ∵DE＝2.4， ∴． 故答案为：3． 【点评】本题主要考查了等边三角形的性质和相似三角形的判定和性质，正确记忆相关性质是解题关键． 16．（4分）如图，矩形OABC的面积为40，它的对角线OB与双曲线y＝相交于点D，且OD：DB＝3：1，则＝ 　　． 【分析】过D作DM⊥OA，DF⊥OC，则矩形ABCO与矩形MDNO相似，然后根据相似图形的面积比等于相似比的平方，和反比例函数系数k的几何意义确定出k的值，设出A（a，0）则B（a，a），E（a，），然后根据相似比得出结论． 【解答】解：由题意设D的坐标为（xD，yD）， ∵OD：DB＝3：1， ∴点B坐标为（xD，yD）， ∴矩形OABC的面积＝|xD×yD|＝40， ∵双曲线y＝﹣在第一象限， ∴k＝xD•yD＝， ∴E点坐标为（xD，），B点坐标（xD，）， ∴＝＝． 故答案为：． 【点评】本题考查相似图形的判定与性质，矩形的性质以及反比例函数系数k的几何意义，关键是证明矩形ABCO与矩形MDNO相似． 17．（4分）如图，四边形ABCD是正方形，点E在CB的延长线上，连接AE，AF⊥AE交CD于点F，连接EF，点H是EF的中点，连接BH，则下列结论中： ①BE＝DF； ②∠BEH＝∠BAH； ③； ④若AB＝4；DF＝1，则△BEH的面积为． 其中正确的是 　①②③　．（将所有正确结论的序号填在横线上） 【分析】①证明△ABE≌ADF，便可判断①的正误； ②由①的全等三角形得AE＝AF，根据等腰三角形的三线合一性质得∠AHG＝90°，最后根据三角形的内角和定理可得∠BEH与∠BAH的关系，便可判断②的正误； ③证明△AGH∽△EGB，得，再证△AGE∽△HGB，得∠ABH＝45°，过H作HK⊥BC于点K，由三角形的中位线定理得CF＝2HK，由等腰直角三角形得BH＝HK，进而便可求得，即可判断③的正误； ④先由全等三角形得BE，再根据三角形的中位线定理求得HK，最后由三角形的面积公式求得△BEH的面积，便可判断④的正误． 【解答】解：①∵四边形ABCD是正方形， ∴AB＝AD，∠ADC＝∠BAD＝∠ABC＝90°， ∴∠ABE＝90°＝∠ADE， ∵AE⊥AF， ∴∠EAF＝∠BAD＝90°， ∴∠BAE＝∠DAF， ∴△ABE≌△ADF（ASA）， ∴BE＝DF， 故①的结论正确； ②∵△ABE≌△ADF， ∴AE＝AF， ∵H点EF的中点， ∴AH⊥EF， ∴∠AHG＝∠EBG＝90°， ∵∠AGH＝∠BGE， ∴∠BEH＝∠BAH， 故②的结论正确； ③∵∠AGH＝∠EGB，∠AHG＝∠EBG＝90°， ∴△AGH∽△EGB， ∴， ∵∠AGE＝∠HGB， ∴△AGE∽△HGB， ∴∠AEG＝∠HBG， ∵AE＝AF，∠EAF＝90°， ∴∠AEF＝45°， ∴∠HBG＝45°， ∴∠CBH＝45°， 过H作HK⊥BC于点K， ∴HK∥CF， ∵H是EF的中点， ∴HK是△CEF的中位线， ∴CF＝2HK， ∵∠HBK＝45°， ∴BH＝HK， ∴， 故③的结论正确； ④∵AB＝4；DF＝1， ∴BE＝DF＝1，CF＝4﹣1＝3， ∴HK＝CF＝， ∴， 故④的结论错误； ∴正确的是：①②③． 故答案为：①②③． 【点评】本题主要考查了正方形的性质，全等三角形的性质与判定，等腰直角三角形的性质，三角形的中位定理，相似三角形的性质与判定，三角形的面积公式，关键是证明三角形全等与相似． 18．（4分）如图，等腰△ABC中，AB＝AC＝3，BC＝2，BC边上的高AO，点D为射线AO上一点，一动点P从点A出发，沿AD﹣DC运动，到达点C停止，动点P在AD上运动速度为3个单位每秒，动点P在CD上运动速度为1个单位每秒，则当AD＝ 　　时，运动时间最短． 【分析】如图，作DH⊥AB于H，CM⊥AB于M，交AO于D′．运动时间t＝+＝+CD，由AHD∽△AOB，推出DH＝AD，可得AD+CD＝CD+DH，推出当C，D，H共线且和CM重合时，运动时间最短． 【解答】解：如图，作DH⊥AB于H，CM⊥AB于M，交AO于D′． ∵运动时间t＝+＝+CD， ∵AB＝AC，AO⊥BC， ∴BO＝OC＝1， ∵∠DAH＝∠BAO，∠DHA＝∠AOB＝90°， ∴△AHD∽△AOB， ∴＝， ∴DH＝AD， ∴AD+CD＝CD+DH， ∴当C，D，H共线且和CM重合时，运动时间最短， ∵OA＝＝2，•BC•AO＝•AB•CM， ∴CM＝， ∴AM＝＝， ∵AD′＝3MD′，设MD′＝m，则AD′＝3m， 则有：9m2﹣m2＝， ∴m＝或﹣（舍弃）， ∴AD′＝， 故答案为． 【点评】本题考查勾股定理，相似三角形的判定和性质，垂线段最短等知识，解题的关键是学会用转化的思想思考问题，属于中考填空题中的压轴题． 三.解答题（共8小题） 19．（10分）计算： （1）tan45°﹣sin60°•cos30°； （2）若α是锐角，且sinα＝，求cosα的值． 【分析】（1）代入原式特殊角的三角函数值，即可计算； （2）由sinα＝＝，令BC＝x，AB＝3x，由勾股定理求出AC＝＝2x，即可求出cosα的值． 【解答】解：（1）原式＝1﹣× ＝1﹣ ＝； （2）如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝∠α， ∵sinα＝＝， ∴令BC＝x，AB＝3x， ∴AC＝＝2x， ∴cosα＝＝＝． 【点评】本题考查同角三角函数关系，特殊角的三角函数值，关键是掌握锐角的正弦、余弦定义，熟记特殊角的三角函数值． 20．（10分）若（tanA﹣）2+（tanB﹣）2＝0，∠A，∠B为△ABC的内角，试确定三角形的形状． 【分析】根据非负数的性质和特殊角的三角函数值计算． 【解答】解：由，得，则， ∴∠C＝180°﹣∠A﹣∠B＝90度． ∴△ABC为直角三角形． 【点评】本题考查特殊角三角函数值的计算，特殊角三角函数值计算在中考中经常出现，题型以选择题、填空题为主． 【相关链接】非负数的性质（之一）：有限个非负数的和为零，那么每一个加数也必为零，即若a1，a2，…，an为非负数，且a1+a2+…+an＝0，则必有a1＝a2＝…＝an＝0． 21．（12分）已知：△ABC三个顶点的坐标分别为A（2，2），B（4，1），C（1，5）． （1）以点O为位似中心，在第一象限将△ABC放大为原来的2倍，得到△A1B1C1，请在网格中画出△A1B1C1； （2）若点P（x，y）是△ABC内任意一点，点P在△A1B1C1内的对应点为P1，则点P1的坐标为 　（2x，2y）　； （3）请用无刻度直尺将线段AB三等分． 【分析】（1）根据位似的性质作图即可． （2）根据位似的性质可得答案． （3）取格点M，N，P，Q，连接MP，NQ，分别交AB于点G，H，此时，，即点G，H 将线段AB三等分． 【解答】解：（1）如图，△A1B1C1即为所求. （2）由题意得，点P1的坐标为 （2x，2y）． 故答案为：（2x，2y）． （3）如图，点G，H 将线段AB三等分． 【点评】本题考查作图﹣位似变换，熟练掌握位似的性质是解答本题的关键． 22．（12分）如图，一次函数y＝kx+2的图象与反比例函数y＝的图象交于点P，点P在第一象限．PA⊥x轴于点A，PB⊥y轴于点B．一次函数的图象分别交x轴、y轴于点C、D，且S△PBD＝4，＝． （1）求点D的坐标； （2）求一次函数与反比例函数的解析式； （3）根据图象写出当x＞0时，一次函数的值大于反比例函数的值的x的取值范围． 【分析】（1）在y＝kx+2中，只要x＝0得y＝2即可得点D的坐标为（0，2）． （2）由AP∥OD得Rt△PAC∽Rt△DOC，又＝，可得＝＝，故AP＝6，BD＝6﹣2＝4，由S△PBD＝4可得BP＝2，把P（2，6）分别代入y＝kx+2与y＝可得一次函数解析式为：y＝2x+2反比例函数解析式为：y＝ （3）当x＞0时，一次函数的值大于反比例函数的值的x的取值范围由图象能直接看出x＞2． 【解答】解：（1）在y＝kx+2中，令x＝0得y＝2， ∴点D的坐标为（0，2） （2）∵AP∥OD， ∴∠CDO＝∠CPA，∠COD＝∠CAP， ∴Rt△PAC∽Rt△DOC， ∵＝，即＝， ∴＝＝， ∴AP＝6， 又∵BD＝6﹣2＝4， ∴由S△PBD＝BP•BD＝4，可得BP＝2， ∴P（2，6）（4分）把P（2，6）分别代入y＝kx+2与y＝可得 一次函数解析式为：y＝2x+2， 反比例函数解析式为：y＝； （3）由图可得x＞2． 【点评】考查反比例函数和一次函数解析式的确定、图形的面积求法、相似三角形等知识及综合应用知识、解决问题的能力．有点难度． 23．（12分）如图，在矩形ABCD中，点E为CD的中点，连接BE，过点A作AF⊥BE，垂足为F． （1）求证：△ABF∽△BEC； （2）若，EF＝4，求AB的长． 【分析】（1）由四边形ABCD是矩形，得到∠C＝90°，AB∥CD，从而有∠ABF＝∠BEC，根据AF⊥BE得∠AFB＝∠C＝90°，即可求证； （2）设CE＝m，由△ABF∽△BEC得出，则可得出答案． 【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是矩形， ∴∠C＝90°，AB∥CD， ∴∠ABF＝∠BEC， ∵AF⊥BE， ∴∠AFB＝90°， ∴∠AFB＝∠C， ∴△ABF∽△BEC； （2）解：设CE＝m， 在Rt△CBE中，， ∴BC＝3m， ∴BE＝m， ∵AB＝CD，点E为CD的中点， ∴AB＝2CE＝2m， ∵△ABF∽△BEC， ∴， ∴FB＝m， ∵FB+EF＝BE，且EF＝4， ∴， 解得m＝， ∴AB＝． 【点评】本题考查了矩形的性质，相似三角形的判定与性质，解题的关键是熟练掌握以上知识点的应用． 24．（10分）随着人们对生活环境的要求逐渐提高，环境保护问题受到越来越多人的关注，环保宣传也随处可见．如图，小云想要测量窗外的环保宣传牌AB的高度，她发现早上阳光恰好从窗户的最高点C处射进房间的地板F处，中午阳光恰好从窗户的最低点处射进房间的地板E处，小云测得窗户距地面的高度OD＝1m，窗高CD＝1.5m，并测得OE＝1m，OF＝3m．请根据以上测量数据，求环保宣传牌AB的高度． 【分析】首先根据DO＝OE＝0.8m，可得∠DEB＝45°，然后证明AB＝BE，再证明△ABF∽△COF，可得＝，然后代入数值可得方程，解出方程即可得到答案． 【解答】解：∵DO⊥BF， ∴∠DOE＝90°， ∵OD＝1m，OE＝1m， ∴∠DEB＝45°， ∵AB⊥BF， ∴∠BAE＝45°， ∴AB＝BE， 设AB＝EB＝x m， ∵AB⊥BF，CO⊥BF， ∴AB∥CO， ∴△ABF∽△COF， ∴＝， ＝， 解得：x＝10． 经检验：x＝10是原方程的解． 答：AB的高度是10m． 【点评】此题主要考查了相似三角形的判定与性质，解决问题的关键是求出AB＝BE，根据相似三角形的判定方法证明△ABF∽△COF． 25．（12分）以平面上一点O为直角顶点，分别画出两个直角三角形，记作△AOB和△COD，其中∠ABO＝∠DCO＝30°． （1）点E、F、M分别是AC、CD、DB的中点，连接FM、EM． ①如图1，当点D、C分别在AO、BO的延长线上时，＝ 　　； ②如图2，将图1中的△AOB绕点O沿顺时针方向旋转α角（0°＜α＜60°），其他条件不变，判断的值是否发生变化，并对你的结论进行证明； （2）如图3，若BO＝3，点N在线段OD上，且NO＝2．点P是线段AB上的一个动点，在将△AOB绕点O旋转的过程中，线段PN长度的最小值为 　　，最大值为 　　． 【分析】（1）①连接EF，由已知条件证明△EMF是直角三角形，并且可求出∠EMF＝30°，利用30°角的余弦值即可求出的值；②若△AOB绕点O沿顺时针方向旋转α角（0°＜α＜60°），其他条件不变，的值不发生变化，连接EF、AD、BC，由①的思路证明∠EMF＝30°即可； （2）过O作OE⊥AB于E，由已知条件求出当P在点E处时，点P到O点的距离最近为，当旋转到OE与OD重合时，NP取最小值为：OP﹣ON＝﹣2；当点P在点B处时，且当旋转到OB在DO的延长线时，NP取最大值OB+ON＝3+2． 【解答】解：（1）①如图1，连接EF， ∵点E、F、M分别是AC、CD、DB的中点， ∴EF，FM是分别是△ACD和△DBC的中位线， ∴EF∥AD，FM∥CB， ∵∠ABO＝∠DCO＝30°， ∴∠CDO＝60°， ∴∠EFC＝60°，∠MFD＝30°， ∴∠EFM＝90°， ∴△EFM是直角三角形， ∵EM∥CD， ∴∠EMF＝∠MFD＝30°， ∴cos30°＝＝， 故答案为：； ②结论：的值不变， 证明：如图2，连接EF、AD、BC， ∵Rt△AOB中，∠AOB＝90°，∠ABO＝30°， ∴． ∵Rt△COD中，∠COD＝90°，∠DCO＝30°， ∴． ∴． ∵∠AOD＝90°+∠BOD，∠BOC＝90°+∠BOD， ∴∠AOD＝∠BOC． ∴△AOD∽△BOC． ∴，∠1＝∠2． ∵点E、F、M分别是AC、CD、DB的中点， ∴EF∥AD，FM∥CB，且，． ∴， ∠3＝∠ADC＝∠1+∠6，∠4＝∠5． ∵∠2+∠5+∠6＝90°， ∴∠1+∠4+∠6＝90°，即∠3+∠4＝90°． ∴∠EFM＝90°． ∵在Rt△EFM中，∠EFM＝90°，， ∴∠EMF＝30°． ∴； （2）如图3，过O作OE⊥AB于E， ∵BO＝3，∠ABO＝30°， ∴AO＝3，AB＝6， ∴AB•OE＝OA•OB， ∴OE＝， ∴当P在点E处时，点P到O点的距离最近为， 这时当旋转到OE与OD重合是，NP取最小值为：OP﹣ON＝﹣2； 如图4，当点P在点B处时，且当旋转到OB在DO的延长线时，NP取最大值OB+ON＝3+2， ∴线段PN长度的最小值为，最大值为． 故答案为；． 【点评】此题考查了旋转的性质、相似三角形的判定与性质、直角三角形的判定和性质三角形的中位线的判定和性质、梯形的中位线和性质以及三角函数的应用．此题难度较大，注意数形结合思想的应用，注意旋转前后的对应关系． 26．（12分）定义：三角形一边上的点将该边分为两条线段，且这两条线段的积等于这个点到该边所对顶点连线的平方，则称这个点为三角形该边的“好点”．如图1，△ABC中，点D是BC边上一点，连接AD，若AD2＝BD•CD，则称点D是△ABC中BC边上的“好点”． （1）如图2，△ABC的顶点是4×3网格图的格点，请仅用直尺画出AB边上的一个“好点”． （2）△ABC中，BC＝9，tanB＝，tanC＝，点D是BC边上的“好点”，求线段BD的长． （3）如图3，△ABC是⊙O的内接三角形，OH⊥AB于点H，连接CH并延长交⊙O于点D． ①求证：点H是△BCD中CD边上的“好点”． ②若⊙O的半径为9，∠ABD＝90°，OH＝6，请直接写出的值． 【分析】（1）根据题意知，CD2＝AD•BD，据此作图； （2）作AE⊥BC于点E，由，可利用方程求得BE＝3，CE＝6，AE＝4，设DE＝a， 需要分两种情况解答：①点D在点E左侧；②点D在点E右侧，根据三角形该边的“好点”的定义得到：AD2＝BD•CD，将相关线段的长度代入，列出方程，通过解方程求得答案； （3）①首先证得△AHC∽△DHB，则该相似三角形的对应边成比例：，即AH•BH＝CH•DH，然后利用等量代换推知BH2＝CH•DH，即点H是△BCD中CD边上的“好点”． ②．理由：如答图4，连接AD，BD．根据圆周角定理推知AD是直径，故AD＝18．然后由已知条件推知：OH是△ABD的中位线，则BD＝2OH＝12．在直角△ABD和直角△BDH中，由勾股定理求得线段AB和DH的长度，由①知，BH2＝CH•DH，代入求得CH＝；将CH、DH的长度代入所求的式子求值即可． 【解答】解：（1）如答图1，当CD⊥AB或点D是AB的中点是，CD2＝AD•BD； （2）作AE⊥BC于点E，由，可设AE＝4x， 则BE＝3x，CE＝6x， ∴BC＝9x＝9，∴x＝1， ∴BE＝3，CE＝6，AE＝4， 设DE＝a， ①如答图2，若点D在点E左侧， 由点D是BC边上的“好点”知，AD2＝BD•CD， ∴a2+42＝（3﹣a）（6+a），即2a2+3a﹣2＝0， 解得，a2＝﹣2（舍去）， ∴． ②如答图3，若点D在点E右侧， 由点D是BC边上的“好点”知，AD2＝BD•CD， ∴a2+42＝（3+a）（6﹣a），即2a2﹣3a﹣2＝0， 解得a1＝2，（舍去） ∴BD＝3+a＝3+2＝5． ∴或5． 方法二、设BD＝y， 则y（9﹣y）＝42+（3﹣y）2， 解得：y＝5或， ∴或5． （3）①如答图4，连接AD，BD， ∵∠CHA＝∠BHD，∠ACH＝∠DBH ∴△AHC∽△DHB， ∴，即AH•BH＝CH•DH， ∵OH⊥AB， ∴AH＝BH， ∴BH2＝CH•DH ∴点H是△BCD中CD边上的“好点”． ②． 理由如下：如答图4， ∵∠ABD＝90°， ∴AD是直径， ∴AD＝18． 又∵OH⊥AB， ∴OH∥BD． ∵点O是线段AD的中点， ∴OH是△ABD的中位线， ∴BD＝2OH＝12． 在直角△ABD中，由勾股定理知：AB＝＝＝6． ∴由垂径定理得到：BH＝AB＝3． 在直角△BDH中，由勾股定理知：DH＝＝＝3． 又由①知，BH2＝CH•DH，即45＝3CH，则CH＝． ∴＝＝，即． 第1页（共1页） 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