专题02 实数（易错必刷35题 5种题型专项训练）-2024-2025学年八年级数学上学期期末考点大串讲（北京版）

专题02 实数（易错必刷35题 5种题型专项训练） 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 · 平方根的概念和性质 · 算数平方根 · 立方根及其性质 · 无理数 · 实数及其性质与运算 一、平方根的概念和性质（5个小题） 1．已知的平方根是，的立方根是2，求的算术平方根. 【答案】3 【分析】此题考查了算术平方根、立方根等知识，根据平方根和立方根的意义得到，解得，求出的值，根据算术平方根的意义求出答案即可. 【详解】解：∵的平方根是，的立方根是2， ∴， 解得， ∴， ∵， ∴的算术平方根为3 2．已知的平方根是，的立方根是2，求的算术平方根． 【答案】9 【分析】根据题意，得到，求得，计算的值，最后计算算术平方根． 本题考查了算术平方根即正的平方根，，则x叫做a的平方根，，则x叫做a的立方根，熟练掌握平方根、算术平方根，立方根的定义是解题的关键． 【详解】因为的平方根是，的立方根是2， 所以， 解得， 所以， 所以． 3．已知，，求和的值． 【答案】， 【分析】先利用完全平方公式变形求得，再利用完全平方公式求得，在求其平方根即可． 【详解】解：∵， ∴，即． ∵， ∴， 解得：． ∵， ∴． 【点睛】本题考查了完全平方公式以及平方根，熟练掌握完全平方公式的结构特征是解题的关键． 4．求下列的值： (1)． (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先将的系数化为，再利用平方根的定义计算可得； （2）两边都除以，再利用立方根的定义得出的值，从而得出答案． 本题考查立方根、平方很，解答本题的关键是明确它们各自的含义． 【详解】（1）， ， 则， ； （2）， ， 则， 解得． 5．已知的平方根为，的算术平方根为 (1)求，的值； (2)求的平方根． 【答案】(1)，的值分别为7，2 (2) 【分析】（1）运用立方根和算术平方根的定义求解即可； （2）先将a、b的值代入求值，然后再根据平方根的定义即可解答． 【详解】（1）解：∵的平方根为， ∴，解得， ∵的算术平方根为5， ∴，即 ∴． 综上所述：，的值分别为7，2； （2）解：∵， ∴， ∴的平方根为，即． 【点睛】本题主要考查了平方根、算术平方根等知识点，平方根、算术平方根的定义求得a、b的值是解答本题的关键． 二、算数平方根（8个小题） 6．下列各数中没有算术平方根的是（    ） A． B．0 C． D． 【答案】D 【分析】本题考查算术平方根的概念．根据“负数没有算术平方根”求解即可． 【详解】解：∵，，负数没有算术平方根， ∴没有算术平方根， 故选：D． 7．下列运算正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查平方根和算术平方根，二次根式加法运算，熟练掌握平方根和算术平方根的定义是解题关键．根据平方根和算术平方根的定义，二次根式加法运算法则，解答即可． 【详解】解：A、，原计算错误，不符合题意； B、，原计算正确，符合题意； C、，原计算错误，不符合题意； D、，计算错误，不符合题意； 故选：B． 8．已知正方形的面积是17，则它边长的长度在（    ） A．5与6之间 B．4与5之间 C．3与4之间 D．2与3之间 【答案】B 【分析】由正方形的面积等于边长的平方，故根据已知的面积开方即可求出正方形的边长为由可得的取值范围． 【详解】解：设正方形的边长为a， ∵正方形的面积是17， 故选：B． 【点睛】本题主要考查了正方形的性质，以及平方根的定义和估算无理数的大小，根据题意得出正方形的边长是解此题的关键． 9．如图，数轴上表示的数对应的点为A点，若点B为在数轴上到点A的距离为1个单位长度的点，则点B所表示的数是（　　） A． B． C．或 D．或 【答案】D 【分析】分点B在点A的左边和右边两种情况计算OB的长即可. 【详解】解：若点B在点A的左边时，OB=，所以点B所表示的数是；若点B在点A的右边时，OB=，所以点B所表示的数是；所以点B所表示的数是或，故选D. 【点睛】本题考查了数轴上两点间的距离和实数在数轴上的表示，解题的关键是求得OB的长，明确实数与数轴上的点是一一对应关系. 10．若实数x，y满足，则代数式的值为 ． 【答案】2 【分析】根据二次根式及平方的非负性得出，再代入求解即可． 【详解】解：∵，，， ∴， 解得， 则． 故答案为：2． 【点睛】题目主要考查二次根式及平方的非负性、代数式求值，熟练掌握相关知识的非负性是解题关键． 11．如图，将面积为5的正方形放在数轴上，以表示-1的点为圆心，以正方形的边长为半径作圆，交数轴于点，两点，则点，表示的数分别为 ． 【答案】， 【分析】根据算术平方根的定义以及数轴的定义解答即可． 【详解】解：∵正方形的面积为5， ∴圆的半径为， ∴点A表示的数为，点B表示的数为． 故答案为：，． 【点睛】本题考查了实数与数轴，熟记算术平方根的定义是解答本题的关键． 12．小明用计算器求了一些正数的平方，记录如下表. 下面有四个推断： ① ②一定有个整数的算术平方根在之间 ③对于小于的两个正数，若它们的差等于，则它们的平方的差小于 ④比大 所有合理推断的序号是 . 【答案】D 【分析】此题考查了乘方运算，算术平方根，平方差公式；根据表格中的信息可知和其对应的算术平方根的值，然后依次判断各题即可． 【详解】解：根据表格中的信息知： ，故①正确； 根据表格中的信息知：， ∴正整数或或， ∴一定有个整数的算术平方根在之间，故②正确； ∵由题意设且， 由，， ∴对于小于的两个正数，若它们的差等于，则它们的平方的差小于，故③正确； ∵，，，故④正确； ∴合理推断的序号是①②③④． 故答案为：①②③④． 13．一个数值转换器如图所示： (1)满足输入条件的x的取值范围是_________； (2)输出y的最小值是_________； (3)若，求满足题意的x值． 【答案】(1)，且x为整数 (2) (3)22、23 【分析】本题考查了算术平方根，解一元一次不等式，解决本题的关键是熟记算术平方根． （1）根据算术平方根的非负性求解即可； （2）根据题意得到求出，得到当时，y有最小值，然后代数求解即可； （3）根据题意得到，然后求解即可． 【详解】（1）∵ ∴，且x为整数； （2） ∴ ∴ ∵，且x为整数； ∴当时，y有最小值 ∴ ∴输出y的最小值是； （3）∵ ∴ ∴ ∴ ∵x为整数 ∴，23． 三、立方根及其性质（7个小题） 14．若，则x+1的平方根是 ． 【答案】/3和-3/-3和3 【分析】根据平方根的定义求得的值，进而根据平方根的意义即可求得答案，平方根：如果一个数的平方等于，那么这个数就叫的平方根，其中属于非负数的平方根称之为算术平方根．立方根：如果一个数的立方等于，那么这个数叫做的立方根． 【详解】解：∵ ∴ ，的平方根是 故答案为： 【点睛】本题主要考查了平方根和立方根的定义，解决本题的关键是要熟练根据平方根的意义和平方根的定义进行求解． 15．实数与互为倒数，则a的值是 ． 【答案】/ 【分析】本题考查了倒数，立方根，掌握如果一个数的立方等于，那么这个数叫做的立方根是解题关键．先求出的立方根，再求出它的倒数，然后根据立方根的定义，即可求出a的值． 【详解】解：， 的倒数为， 与互为倒数， ， ， 故答案为：． 16．某区环保局将一个长为分米，宽为分米，高为分米的长方体废水池中的满池废水注入正方体贮水池净化，该贮水池将这些废水刚好装满，则正方体贮水池的棱长为 分米． 【答案】 【分析】根据题意列出算式进行计算，最后将结果用科学记数法表示即可． 【详解】解：正方体贮水池的棱长为： （分米）． 故答案为：． 【点睛】本题考查用科学记数法表示较大的数，求一个数的立方根，一般形式为，其中，n可以用整数位数减去1来确定．用科学记数法表示数，一定要注意a的形式，以及指数n的确定方法． 17．的平方根是±3，的立方根是2，则的值是 ． 【答案】 【分析】先根据平方根和立方根的概念，求出和的值，联立方程组即可求出x、y的值，代入即可求解本题． 【详解】解：∵的平方根是±3， ∴=9，① ∵的立方根是2， ∴=8，② ②-①得：x=-1， 将x=-1代入①式得：y=10， 故； 故答案为：． 【点睛】本题考查的是平方根和立方根的概念，解决本题需要掌握平方根和立方根的概念，同时要掌握二元一次方程组的求解． 18．下表是a与的几组对应值： a … 1 1000 1000000 … … x 1 y 100 … (1)表格中________，________； (2)借助表格解决下列问题： ①若，则________； ②若，，则________（用含有b的代数式表示c）； ③当时，直接写出与a的大小关系． 【答案】(1)； (2)①；②；③当，；当时，；当， 【分析】本题考查了立方根的定义； （1）根据立方根定义直接计算即可； （2）观察表格得到规律，①被开方数扩大1000倍，，立方根扩大10倍；②立方根扩大10倍，则被开方数扩大1000倍；③根据表格规律进行分类讨论即可． 由定义推导并找到规律是解题的关键． 【详解】（1）解：， ，； （2）①与比较，被开方数扩大到1000倍， 立方根扩大到10倍 故答案为： ； ②立方根从边长，扩大到10倍， 被开方数扩大到倍 故答案为：； ③由题意得： 当， 当时， 当， 19．计算：． 【答案】． 【分析】本题主要考查了实数的混合运算，依次根据有理数乘方，算术平方根，立方根和去绝对值进行化简，再根据实数的加减混合运算法则计算即可，熟练掌握运算法则是解题的关键． 【详解】解：原式 ． 20．已知某正数有两个不同的平方根分别是和，的立方根是，是的整数部分，求的平方根． 【答案】 【分析】本题考查了估算无理数的大小，平方根，准确熟练地进行计算是解题的关键．根据平方根和立方根的意义可得：，，从而可得，，，然后估算出的值的范围，从而求出的值，然后把，，的值代入式子中进行计算，即可解答． 【详解】解：正数的平方根是和，的立方根是， ，， 解得：，， ， ， 的整数部分是5， ， ， 的平方根是． 四、无理数（5个小题） 21．下列各数中属于无理数的是　　 A． B． C． D． 【答案】C 【分析】分别根据无理数、有理数的定义进行判定即可得出答案． 【详解】，是有理数， 是无理数， 故选C． 【点睛】本题考查了无理数的定义.牢记无限不循环小数为无理数是解题的关键. 22．估计的值在（    ） A．3到4之间 B．4到之间 C．5到6之间 D．6到7之间 【答案】A 【分析】本题考查了估算无理数的大小，无理数的估算常用夹逼法，用有理数夹逼无理数是解题的关键． 用夹逼法估算无理数的大小即可得出答案． 【详解】解：， ， ， 故选：A． 23．在，，，0，，，，中，无理数有 个． 【答案】3 【分析】无理数就是无限不循环小数．理解无理数的概念，一定要同时理解有理数的概念，有理数是整数与分数的统称．即有限小数和无限循环小数是有理数，而无限不循环小数是无理数．由此即可判定． 【详解】解：，， 则无理数有：，，共有3个． 故答案为：3． 【点睛】此题主要考查了无理数的定义，其中初中范围内学习的无理数有：，等；开方开不尽的数；以及像，等有这样规律的数． 24．已知，且为两个连续整数，则 ．的小数部分是 ． 【答案】 9 【分析】本题主要考查了无理数的估算、无理数的小数部分等知识点，正确估算成为解题的关键． 先利用估算以及已知条件可得，进而确定以及的小数部分． 【详解】解：∵， ∴，即， ∴的小数部分是． 故答案为：9，． 25．已知，都是实数，且是27的立方根，是的整数部分，求的值． 【答案】 【分析】根据立方根的意义求出，再根据是的整数部分，求出，再代入计算即可． 【详解】解：是27的立方根， ∴， 解得，， ∵，是的整数部分， ∴， ． 【点睛】本题考查了立方根的意义和无理数的估算，解题关键是根据题意求出字母的值． 五、实数及其性质与运算（10个小题） 26．下列说法正确的有（    ） ①无限小数都是无理数；②无理数都是无限小数；③带根号的数都是无理数；④两个无理数的和还是无理数；⑤数轴上的点与实数一一对应． A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】A 【分析】利用有理数，无理数，数轴的相关概念对每个选项进行逐一判断即可得出结论． 【详解】解：无限的不循环小数是无理数， 的结论不正确； 无理数是无限的不循环小数，都是无限小数， 的结论正确； 带根号且开不尽放 方的数都是无理数， 的结论不正确； ， 两个无理数的和不一定是无理数， 的结论不正确； 数轴上的点与实数一一对应， 的结论正确； 综上，正确的结论有：， 故选：A． 【点睛】本题主要考查了实数的概念，实数的运算，数轴的相关性质，利用有理数，无理数，数轴的相关概念对每个选项进行逐一判断是解题的关键． 27．已知在实数a，b，c，d，e，f中a，b互为倒数，c，d互为相反数，e是绝对值，f的算术平方根是8.求的值． 【答案】 【分析】根据题意易得，然后可进行求解． 【详解】解：由题意得：， ∴=． 【点睛】本题主要考查倒数，绝对值，相反数及算术平方根、立方根，熟练掌握倒数，绝对值，相反数及算术平方根、立方根是解题的关键． 28．下列关于的叙述中，错误的是（    ） A．面积为7的正方形的边长是 B．是无理数 C．在数轴上存在表示的一个点 D．的小数部分是 【答案】D 【分析】根据算术平方根的意义，无理数的定义，实数与数轴的关系，无理数的估算方法逐项分析即可． 【详解】解：A．面积为7的正方形的边长是，正确； B．是无理数，正确； C．在数轴上存在表示的一个点，正确； D．∵，∴的整数部分是2，∴的小数部分是，故不正确； 故选：D． 【点睛】本题考查了算术平方根的意义，无理数的定义，实数与数轴的关系，无理数的估算，熟练掌握无理数的估算方法是解答本题的关键． 29．如图，长方形ABCD的边AD长为2，边AB长为1，AD在数轴上，以原点D为圆心，对角线BD的长为半径画弧，交正半轴于一点，则这个点表示的实数是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】以原点D为圆心，对角线BD的长为半径画弧，交正半轴于一点，则原点到交点的长度=BD，由此可得出结论. 【详解】解：∵长方形ABCD的边AD长为2，边AB长为1， ∴， ∴这个点表示的实数是：， 故答案为A. 【点睛】本题考查勾股定理和数轴的简单应用.关键认识到原点到交点的长度是圆弧半径的长，也就是长方形对角线的长度. 30．的绝对值是 ． 【答案】 【详解】解：∵＞0 ∴的绝对值是 故答案为： 【点睛】本题主要考查绝对值的性质：正数的绝对值是它本身，负数的绝对值是它的相反数，0的绝对值是0，熟练地掌握绝对值的性质是解决问题的关键. 31．将1，，，，按如图方式排列．若规定表示第排从左向右第个数，则所表示的数是 ；与表示的两数之积是 ． 【答案】 2 【分析】此题主要考查了数字的变化规律．根据数的排列方法可知，第一排：1个数，第二排2个数．第三排3个数，第四排4个数，第排有个数，从第一排到排共有：个数，根据数的排列方法，每五个数一个轮回，根据题目意思找出第排第个数到底是哪个数后再计算． 【详解】解：表示第7排从左向右第3个数， ， ， 则所表示的数是； 从图示中知道，所表示的数是； 第19排最后一个数的序号是：，则表示的是第个数， ， 表示的数是． 与表示的两数之积是：． 故答案为：；． 32．计算： (1)； (2)． 【答案】(1)0 (2) 【分析】（1）利用立方根的定义，算术平方根的定义进行计算即可； （2）利用绝对值的性质进行计算即可． 【详解】（1）解：原式； （2）解：原式． 【点睛】本题考查实数的运算，熟练掌握相关运算法则是解题的关键． 33．一个数值转换器如图所示：    (1)当输入的值为16时，输出的值是______； (2)若输入有效的值后，始终输不出值，则所有满足要求的的值为______； (3)若输出的值是，请直接写出两个满足要求的的值． 【答案】(1) (2)0，1 (3)， 【分析】（1）根据运算规则即可求解； （2）根据0的算术平方根是0，1的算术平方根是1即可判断； （3）根据运算法则，进行逆运算即可求得无数个满足条件的数． 【详解】（1）解：当时，取算术平方根，不是无理数， 继续取算术平方根，不是无理数， 继续取算术平方根得，是无理数，所以输出的y值为； 故答案为：； （2）解：当，1时，始终输不出y值．因为0的算术平方根是0，1的算术平方根是1，一定是有理数； 故答案为：0，1； （3）解：25的算术平方根为5，5的算术平方根是， ∴，都满足要求． 【点睛】本题考查了算术平方根的计算和无理数的判断，正确理解给出的运算方法是关键． 34．阅读理解题： 定义：如果一个数的平方等于．记为，这个数叫做虚数单位．那么和我们所学的实数对应起来就叫做复数，表示为（a，b为实数），a叫这个复数的实部，b叫做这个复数的虚部，它的加，减，乘法运算与整式的加、减、乘法运算类似． 例如计算：． (1)填空：________，________． (2)若两个复数相等，则它们的实部和虚部必须分别相等，完成下面问题： 已知：，（x，y为实数），求x，y的值． 【答案】(1)，1 (2)， 【分析】（1）根据，结合，解答即可． （2）根据实部等于实部，虚部等于虚部，构造方程组解答即可． 本题考查了新知识的拓展学习，正确理解新知识，并转化成已学知识解答是解题的关键． 【详解】（1）解：根据题意，得， ∴，， 故答案为：，1． （2）解：， ∴， 解得 故x的值为，y的值为． 35．阅读下面的文字，解答问题：大家都知道是无理数，而且，即，无理数是无限不循环小数，因此的小数部分我们不可能全部地写出来，于是小明用来表示的小数部分，你同意小明的表示方法吗？事实上，小明的表示方法是有道理，因为的整数部分是1，将这个数减去其整数部分，差就是小数部分． 又例如：①，即的整数部分为1，小数部分为． ②，即的整数部分为2，小数部分为． 请解答： (1)的整数部分为_______，小数部分为_______； (2)设的整数部分为a，小数部分为b，求的值． 【答案】(1)2， (2)4 【分析】本题主要考查了无理数的整数部分、小数部分、二次根式的混合运算等知识点，掌握求无理数的取值范围是解题的关键． （1）先求出的取值范围，进而求出其整数部分和小数部分即可； （2）先求出的取值范围，进而确定的取值部分，然后确定的整数部分a和小数部分b，然后代入运用二次根式的混合运算法则计算即可． 【详解】（1）解：， ， 的整数部分为2，小数部分是． （2）解：， ，即， 的整数部分是， 小数部分是． ． $$专题02 实数（易错必刷35题 5种题型专项训练） 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 · 平方根的概念和性质 · 算数平方根 · 立方根及其性质 · 无理数 · 实数及其性质与运算 一、平方根的概念和性质（5个小题） 1．已知的平方根是，的立方根是2，求的算术平方根. 2．已知的平方根是，的立方根是2，求的算术平方根． 3．已知，，求和的值． 4．求下列的值： (1)． (2)． 5．已知的平方根为，的算术平方根为 (1)求，的值； (2)求的平方根． 二、算数平方根（8个小题） 6．下列各数中没有算术平方根的是（    ） A． B．0 C． D． 7．下列运算正确的是（    ） A． B． C． D． 8．已知正方形的面积是17，则它边长的长度在（    ） A．5与6之间 B．4与5之间 C．3与4之间 D．2与3之间 9．如图，数轴上表示的数对应的点为A点，若点B为在数轴上到点A的距离为1个单位长度的点，则点B所表示的数是（　　） A． B． C．或 D．或 10．若实数x，y满足，则代数式的值为 ． 11．如图，将面积为5的正方形放在数轴上，以表示-1的点为圆心，以正方形的边长为半径作圆，交数轴于点，两点，则点，表示的数分别为 ． 12．小明用计算器求了一些正数的平方，记录如下表. 下面有四个推断： ① ②一定有个整数的算术平方根在之间 ③对于小于的两个正数，若它们的差等于，则它们的平方的差小于 ④比大 所有合理推断的序号是 . 13．一个数值转换器如图所示： (1)满足输入条件的x的取值范围是_________； (2)输出y的最小值是_________； (3)若，求满足题意的x值． 三、立方根及其性质（7个小题） 14．若，则x+1的平方根是 ． 15．实数与互为倒数，则a的值是 ． 16．某区环保局将一个长为分米，宽为分米，高为分米的长方体废水池中的满池废水注入正方体贮水池净化，该贮水池将这些废水刚好装满，则正方体贮水池的棱长为 分米． 17．的平方根是±3，的立方根是2，则的值是 ． 18．下表是a与的几组对应值： a … 1 1000 1000000 … … x 1 y 100 … (1)表格中________，________； (2)借助表格解决下列问题： ①若，则________； ②若，，则________（用含有b的代数式表示c）； ③当时，直接写出与a的大小关系． 19．计算：． 20．已知某正数有两个不同的平方根分别是和，的立方根是，是的整数部分，求的平方根． 四、无理数（5个小题） 21．下列各数中属于无理数的是　　 A． B． C． D． 22．估计的值在（    ） A．3到4之间 B．4到之间 C．5到6之间 D．6到7之间 23．在，，，0，，，，中，无理数有 个． 24．已知，且为两个连续整数，则 ．的小数部分是 ． 25．已知，都是实数，且是27的立方根，是的整数部分，求的值． 五、实数及其性质与运算（10个小题） 26．下列说法正确的有（    ） ①无限小数都是无理数；②无理数都是无限小数；③带根号的数都是无理数；④两个无理数的和还是无理数；⑤数轴上的点与实数一一对应． A．个 B．个 C．个 D．个 27．已知在实数a，b，c，d，e，f中a，b互为倒数，c，d互为相反数，e是绝对值，f的算术平方根是8.求的值． 28．下列关于的叙述中，错误的是（    ） A．面积为7的正方形的边长是 B．是无理数 C．在数轴上存在表示的一个点 D．的小数部分是 29．如图，长方形ABCD的边AD长为2，边AB长为1，AD在数轴上，以原点D为圆心，对角线BD的长为半径画弧，交正半轴于一点，则这个点表示的实数是（　　） A． B． C． D． 30．的绝对值是 ． 31．将1，，，，按如图方式排列．若规定表示第排从左向右第个数，则所表示的数是 ；与表示的两数之积是 ． 32．计算： (1)； (2)． 33．一个数值转换器如图所示：    (1)当输入的值为16时，输出的值是______； (2)若输入有效的值后，始终输不出值，则所有满足要求的的值为______； (3)若输出的值是，请直接写出两个满足要求的的值． 34．阅读理解题： 定义：如果一个数的平方等于．记为，这个数叫做虚数单位．那么和我们所学的实数对应起来就叫做复数，表示为（a，b为实数），a叫这个复数的实部，b叫做这个复数的虚部，它的加，减，乘法运算与整式的加、减、乘法运算类似． 例如计算：． (1)填空：________，________． (2)若两个复数相等，则它们的实部和虚部必须分别相等，完成下面问题： 已知：，（x，y为实数），求x，y的值． 35．阅读下面的文字，解答问题：大家都知道是无理数，而且，即，无理数是无限不循环小数，因此的小数部分我们不可能全部地写出来，于是小明用来表示的小数部分，你同意小明的表示方法吗？事实上，小明的表示方法是有道理，因为的整数部分是1，将这个数减去其整数部分，差就是小数部分． 又例如：①，即的整数部分为1，小数部分为． ②，即的整数部分为2，小数部分为． 请解答： (1)的整数部分为_______，小数部分为_______； (2)设的整数部分为a，小数部分为b，求的值． $$