专题04 全等三角形-【好题汇编】备战2024-2025学年八年级数学上学期期末真题分类汇编（北京专用，北京版）

专题04 全等三角形 【经典基础题】 · 题型01 全等三角形的判定与性质（SSS） · 题型02 全等三角形的判定与性质（SAS） · 题型03 全等三角形的判定与性质（ASA或AAS） · 题型04 全等三角形的判定与性质（HL） 【优选提升题】 · 题型01 全等三角形的判定与性质 · 题型02 三角形综合问题 · 题型03 新定义 全等三角形的判定与性质（SSS） 51．（23-24八年级上·北京西城·期末）已知：如图，． 求作：射线，使，且点C在直线的下方． 作法：①在射线上取一点P，过点P作射线的垂线，与射线相交于点M； ②在的延长线上取一点N，使； ③以点O为圆心，长为半径画弧， 再以点M为圆心，长为半径画弧，两弧在直线下方相交于点C； ④作射线． 所以射线即为所求作的射线． (1)使用直尺和圆规，依作法补全图形（保留作图痕迹）； (2)完成下面的证明． 证明：连接，． ∵，， ∴．（ ）（填推理的依据） ∴ ． ∵， ∴． 在和中， ∴．（ ）（填推理的依据） ∴ ． ∴， 即． 52．（23-24八年级上·北京昌平·期末）已知：如图，，是线段上两点，，，．求证：． 53．（23-24八年级上·北京东城·期末）已知：如图，点，，，在一条直线上，，，．求证：． 全等三角形的判定与性质（SAS） 54．（23-24八年级上·北京海淀·期末）如图，在中，，，作直线，使得．过点B作于D，在的延长线上取点E，使． 连接，． (1)依题意补全图形； (2)若，求（用含的式子表示）； (3)用等式表示线段之间的数量关系，并证明． 55．（23-24八年级上·北京海淀·期末）小明用自制工具测量花瓶内底的宽．他将两根木条，的中点连在一起（即，），如图所示放入花瓶内底．此时，只需测量点 与点 之间的距离，即为该花瓶内底的宽，请证明你的结论． 56．（23-24八年级上·北京顺义·期末）已知：如图，中，，点D在边上，连接，过点C作于点E，过点A作，交直线CE于点F． (1)若，求证：； (2)在（1）条件下，取线段的中点H，连接，用等式表示的数量关系，并证明． 57．（23-24八年级上·北京通州·期末）如图，是等边三角形，点在边上，以为边作等边，点、点在直线两侧，连接．求证：．    58．（23-24八年级上·北京西城·期末）如图，是等边三角形．点是延长线上的一个动点，连接，点在的垂直平分线上，且平分，连接，，过点作于点． (1)当时，的值为 ； (2)给出下面四个结论： ①点一定在的垂直平分线上； ②点一定是线段的中点； ③当时，； ④点运动过程中，的大小始终不变． 上述结论中，所有正确结论的序号是 ． 59．（23-24八年级上·北京西城·期末）如图，点C、D在上，，，，、相交于点G． (1)求证：； (2)求证：． 60．（23-24八年级上·北京通州·期末）如图，在中，，点在上，连接，并延长至点，连接，使． (1)作的平分线，交于点（用尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）； (2)在（）的条件下，连接，求证：． 61．（23-24八年级上·北京通州·期末）如图，在的网格中，线段的端点都在格点（网格中横线与竖线的交点）上． (1)在图中作线段（线段的端点都在格点上），使得，垂足为； (2)在（）的条件下，猜想线段、之间的数量关系，并说明理由（根据需要可以自己标注字母）． 62．（23-24八年级上·北京顺义·期末）小明在学习《直角三角形的性质》的过程中产生了一个猜想：“在直角三角形中，角所对的直角边是斜边的一半．”并进行了如下的探究，请完善小明的探究过程． (1)结合图形，将小明猜想的命题写成已知、求证： 已知：________________________________________． 求证：． (2)补全上述猜想的证明过程． 证明：作线段的垂直平分线，交于点D，交于点E，连接．（在图中用尺规作图，并保留作图痕迹） ∵直线是线段的垂直平分线， ∴．（________________________________）（填推理依据）． ∴．（________________________________）（填推理依据）． ∵， ∴． ∵中，，， ∴．（________________________________）（填推理依据）． ∴． ∴． ∵，， ∴． 在和中， ， ∴（________________________________）（填推理依据）． ∴， ∵直线DE是线段AB的垂直平分线， ∴________． ∴． 63．（23-24八年级上·北京丰台·期末）如图，在中，，点，在边上，． 求证：．    64．（23-24八年级上·北京平谷·期末）已知：如图，，，求证：． 65．（23-24八年级上·北京·期末）如图，点F，C在上，，，，求证： 66．（23-24八年级上·北京石景山·期末）如图，，交于点O，，． 求证：． 全等三角形的判定与性质（ASA或AAS） 67．（23-24八年级上·北京房山·期末）如图所示，在中，，，平分交于点，于点，若的周长为，则的长为 cm． 68．（23-24八年级上·北京通州·期末）如图，在中，，，点在线段上，连接，点在的延长线上且． (1)求证：； (2)点关于直线的对称点为，连接、、，用等式表示线段、、之间的数量关系，并说明理由． 69．（23-24八年级上·北京通州·期末）我们研究了三角形有关边、角和主要线段的性质后，小龙同学给添加一个条件：如图，，小龙同学通过观察、猜想、动手测量，发现始终有，但不能说明道理，请你帮助说明其中的理由． 70．（23-24八年级上·北京平谷·期末）阅读下面材料： 已知，在中，，，点D是射线上任意一点，连接，过点C作，垂足为点E，交于点F，过点B作交的延长线于点G．    (1)如图1，当，点D是边中点时，求的长； (2)当点D在的延长线上时，根据题意补全图形2，用等式表示线段、和的数量关系，并证明． 全等三角形的判定与性质（HL） 71．（23-24八年级上·北京通州·期末）如图，，要根据“”证明，应添加的直接条件是 . 72．（23-24八年级上·北京海淀·期末）如图，四边形中，于点F，交于点E，连接，平分． (1)求证：； (2)若，求的长． 全等三角形的判定与性质 73．（23-24八年级上·北京西城·期末）如图，为等腰三角形，，，连接，．只需添加一个条件即可证明，这个条件可以是 （写出一个即可）． 74．（23-24八年级上·北京东城·期末）如图，B，E，C，F四个点在一条直线上．，，请添加一个条件使，则添加的条件可以是 ． 75．（23-24八年级上·北京平谷·期末）如图，在和中，若，且，请你添加一个适当的条件，使．添加的条件是： （写出一个即可）．    76．（23-24八年级上·北京朝阳·期末）如图，点P在的内部，点C，D分别在，上，且，只添加一个条件即可证明和全等，这个条件不可以是（   ） A． B．平分 C．平分 D． 77．（23-24八年级上·北京通州·期末）根据下列条件：①，，；②，，；③，，；④，，，其中不能唯一确定的形状和大小的是（    ） A． B． C． D． 78．（23-24八年级上·北京海淀·期末）如图，点E，C，F，B在一条直线上，，添加下列条件判定的是（    ） A． B． C． D． 79．（23-24八年级上·北京门头沟·期末）如图，，点在上，添加一个条件使，该条件是 ． 80．（23-24八年级上·北京昌平·期末）如图，．请你添加一个条件，使．你添加的条件是 （要求：不再添加辅助线，只需填一个答案即可） 81．（23-24八年级上·北京海淀·期末）如图所示的网格是正方形网格，顶点是网格线交点的三角形称为格点三角形．如图1，为格点三角形． (1)__________； (2)在图2和图3中分别画出一个以点，为顶点，与全等，且位置互不相同的格点三角形． 82．（23-24八年级上·北京平谷·期末）在证明等腰三角形的性质定理时，甲、乙、丙三位同学各添加一条辅助线，方法如下图所示，你能用哪位同学添加辅助线的方法完成证明，请选择一种方法补全证明过程． 等腰三角形的性质定理：等腰三角形两个底角相等（简写成“等边对等角”）． 已知：如图，在中，，求证：． 甲同学的方法： 证明：作的平分线交于点D． 乙同学的方法： 证明：作于点E． 丙同学的方法： 证明：取中点F，连接． 83．（23-24八年级上·北京房山·期末）如图，在和中，，请添加一个条件______，使得；并写出证明的过程． 84．（23-24八年级上·北京大兴·期末）已知：如图，，，，连接，，，过点作于点．过点作的高线，交的延长线于点．    (1)求证：； (2)求的度数． 85．（23-24八年级上·北京石景山·期末）如图，在中，，，为射线上一点（不与点重合），连接并延长到点，使得，连接．过点作的垂线交直线于点．        (1)如图1，点在线段上，且． ①请补全图形； ②判断，，之间的数量关系，并证明． (2)如图2，若点在线段的延长线上，请画出图形，直接写出，，之间的数量关系． (3)基于上面的题目，请提出一个变式或拓展探究性的问题． 86．（23-24八年级上·北京顺义·期末）已知：如图，在中，点D是中点，平分．求证：． 下面是这道题的两种添加辅助线的方法，选择其中一种，完成证明过程． 方法一 证明：如图，过点D作于点E，于点F． 方法二 证明：如图，延长至点E，使得，连接． 87．（23-24八年级上·北京通州·期末）如图，在中，，，，是的边上的高，为垂足，且，.    (1)试判断的形状，并说明理由； (2)求的长. 88．（23-24八年级上·北京石景山·期末）如图，点在同一条直线上，，，要使，还需添加一个条件，这个条件可以是 ；根据你添加的条件，本题中判定两个三角形全等所用的方法为 ． 89．（23-24八年级上·北京昌平·期末）已知命题“两个三角形全等，则它们的面积相等”为真命题，则这个命题的逆命题为 命题（用“真”，“假”填空） 三角形综合问题 90．（23-24八年级上·北京丰台·期末）如图，与均为等腰直角三角形，，点是线段的中点，点在线段上（不与点，重合），连接，． 给出下面四个结论： ①；②；③；④． 上述结论中，所有正确结论的序号是(   )    A．③④ B．①②③ C．①②④ D．①②③④ 91．（23-24八年级上·北京顺义·期末）已知：如图，是边长为4的等边三角形，点D是射线上的动点（不与点B，C重合），是的外角的平分线，以点A为顶点，为一边，作，交射线于点F，连接．下列结论一定成立的是 （只填序号）．      点D在线段上    点D在线段的延长线上 ①；        ②是等边三角形； ③；        ④的周长的最小值为． （23-24八年级上·北京东城·期末）如图1，中，，，点D在上，连接，在的上方作，且，连接．作点A关于的对称点F，连接，交于点M．    (1)补全图形，连接并写出 （用含的式子表示）； (2)当时，如图2． ①求证：； ②直接写出与的数量关系： ． （23-24八年级上·北京西城·期末）在中，，点D在的内部，，． (1)如图1，线段的延长线交于点E，且． ①求的度数； ②用等式表示线段，，之间的数量关系，直接写出结果； (2)如图2，点F在线段的延长线上，连接交射线于点M，且M为的中点．求证：． 95．（23-24八年级上·北京东城·期末）已知等边，点为边上一点，连接，在的右侧作射线，使，延长交射线于点，连接，作于点． (1)如图1，当点为中点时，_______，的值为_______； (2)如图2，当点在上运动时． ①直接写出的度数； ②用等式表示线段，，之间的数量关系，并证明． 96．（23-24八年级上·北京房山·期末）如图，在中，，平分，于点，若，，求的长． 97．（23-24八年级上·北京丰台·期末）如图，在中，，，在线段上取一点，便得，连接，在线段延长线上取一点，使得，． (1)求的度数（用含的式子表示）； (2)延长线段至点，使得，连接交于点，依题意补全图形，用等式表示线段与的数量关系，并证明． 98．（23-24八年级上·北京昌平·期末）已知：如图，线段、点是线段上方一动点，且，线段和线段关于直线对称，过点作，与线段的延长线交于点，点和点关于直线对称，作射线交于点，交于点. (1)当，时，求的长. (2)请用等式表示线段与之间的数量关系，并证明. (3)当线段的长取最大值时，的值为__________. 新定义 99．（23-24八年级上·北京昌平·期末）给出如下定义：两条线段相交于一点（交点不与端点重合），连接不同线段的两个端点，再连接另两个端点所得图形称为“8字形”．如图，线段与交于点，连接和，所得图即为“8字形”． (1)下列四个图形中，含有“8字形”的有：____________． (2)如图1，与交于点，连接和，和的延长线交于点，满足，． ①当时，判断与的数量关系，并证明； ②如图2，当时，求证：． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！8 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！9 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题04 全等三角形 【经典基础题】 · 题型01 全等三角形的判定与性质（SSS） · 题型02 全等三角形的判定与性质（SAS） · 题型03 全等三角形的判定与性质（ASA或AAS） · 题型04 全等三角形的判定与性质（HL） 【优选提升题】 · 题型01 全等三角形的判定与性质 · 题型02 三角形综合问题 · 题型03 新定义 全等三角形的判定与性质（SSS） 51．（23-24八年级上·北京西城·期末）已知：如图，． 求作：射线，使，且点C在直线的下方． 作法：①在射线上取一点P，过点P作射线的垂线，与射线相交于点M； ②在的延长线上取一点N，使； ③以点O为圆心，长为半径画弧， 再以点M为圆心，长为半径画弧，两弧在直线下方相交于点C； ④作射线． 所以射线即为所求作的射线． (1)使用直尺和圆规，依作法补全图形（保留作图痕迹）； (2)完成下面的证明． 证明：连接，． ∵，， ∴．（ ）（填推理的依据） ∴ ． ∵， ∴． 在和中， ∴．（ ）（填推理的依据） ∴ ． ∴， 即． 【答案】(1)见解析 (2)线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等；；；；； 【分析】本题考查了垂直平分线的判定和性质，全等三角形的判定和性质，作辅助线构造全等三角形是解题关键． （1）根据已知作法作图即可； （2）由题意可知，垂直平分，得到，证明，得到，即可证明结论． 【详解】（1）解：补全图形如图所示； （2）解：如图，连接、， ∵，， ∴．（线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等） ∴． ∵， ∴． 在和中， ， ∴， ∴． ∴， 即， 故答案为：线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等；；；；；． 52．（23-24八年级上·北京昌平·期末）已知：如图，，是线段上两点，，，．求证：． 【答案】见详解 【分析】本题考查了全等三角形的判定，掌握全等三角形的五种判定方法是解题关键．利用“”证明即可． 【详解】证明：， ， . 在和中， ， ． 53．（23-24八年级上·北京东城·期末）已知：如图，点，，，在一条直线上，，，．求证：． 【答案】见解析 【分析】本题考查了全等三角形的判定及性质，先根据线段的和得出，再利用证明，然后根据全等三角形的性质即可得证． 【详解】证明： 即 在和中 全等三角形的判定与性质（SAS） 54．（23-24八年级上·北京海淀·期末）如图，在中，，，作直线，使得．过点B作于D，在的延长线上取点E，使． 连接，． (1)依题意补全图形； (2)若，求（用含的式子表示）； (3)用等式表示线段之间的数量关系，并证明． 【答案】(1)见解析 (2) (3)，证明见解析 【分析】本题考查等腰直角三角形的性质、全等三角形的判定与性质、线段垂直平分线的性质等知识，添加合适的辅助线构造全等三角形是解答的关键． （1）根据题中要求补全图形即可； （2）根据等腰直角三角形的性质得到，进而根据图形进行角度的运算即可； （3）在延长线上取点F，使，连接，根据线段垂直平分线的性质和等腰三角形的性质证得，进而得到，证明得到，进而可得结论． 【详解】（1）解：依题意，补全图形如图所示： （2）解：∵于D， ∴． ∵， ∴． ∵， ∴． ∵， ∴． （3）解：． 证明：如图，在延长线上取点F，使，连接． ∵，， ∴，则， ∴． ∵， ∴． ∴． ∵， ∴． ∵， ∴． ∴． ∵， ，， ∴． 55．（23-24八年级上·北京海淀·期末）小明用自制工具测量花瓶内底的宽．他将两根木条，的中点连在一起（即，），如图所示放入花瓶内底．此时，只需测量点 与点 之间的距离，即为该花瓶内底的宽，请证明你的结论． 【答案】C；D；证明见解析 【分析】 本题主要考查了三角形全等的应用，解题的关键是熟练掌握三角形全等的判定方法，数形结合． 【详解】解：C，D；理由如下： 连接，如图所示： 在和中， ， ∴， ∴， ∴点与点的距离为该花瓶内底的宽． 56．（23-24八年级上·北京顺义·期末）已知：如图，中，，点D在边上，连接，过点C作于点E，过点A作，交直线CE于点F． (1)若，求证：； (2)在（1）条件下，取线段的中点H，连接，用等式表示的数量关系，并证明． 【答案】(1)证明见解析 (2)，证明见解析 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，等腰直角三角形的性质与判定，勾股定理等等： （1）证明得到，即可证明； （2）如图所示，连接，设交于G，先由等腰直角三角形的性质得到，证明，得到，可推出，由勾股定理得到，再由，可得． 【详解】（1）证明：∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， 又∵， ∴； （2）解：，证明如下： 如图所示，连接，设交于G， ∵，，点H为线段的中点， ∴， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴． 57．（23-24八年级上·北京通州·期末）如图，是等边三角形，点在边上，以为边作等边，点、点在直线两侧，连接．求证：．    【答案】见解析 【分析】本题主要考查全等三角形的判定和性质以及平行线的判定和等边三角形的性质，利用数形结合的思想解答是解题的关键．根据等边三角形的性质证明，再由全等三角形的性质证明，即可证明结论． 【详解】证明：是等边三角形，等边， ， ， ， ， 在和中， ， ， ， ， ， ， ， ． 58．（23-24八年级上·北京西城·期末）如图，是等边三角形．点是延长线上的一个动点，连接，点在的垂直平分线上，且平分，连接，，过点作于点． (1)当时，的值为 ； (2)给出下面四个结论： ①点一定在的垂直平分线上； ②点一定是线段的中点； ③当时，； ④点运动过程中，的大小始终不变． 上述结论中，所有正确结论的序号是 ． 【答案】(1)2 (2)②④ 【分析】（1）当时，首先证明为等腰直角三角形，易得，再结合等边三角形的性质即角平分线的定义可得，然后根据“直角三角形中，30度角所对的直角边等于斜边的一半”可得，即可求得的值； （2）给定条件无法确定，故无法确定点一定在的垂直平分线上，结论①不正确；连接，由垂直平分线的性质可得，再证明，由全等三角形的性质可得，进而可得，然后根据等腰三角形“三线合一”的性质可证明点是线段的中点，故结论②正确；当时，可确定，故此时不成立，结论③不正确；证明，而，易得，即点运动过程中，的大小始终不变，故结论④正确． 【详解】（1）解：如下图， 当时， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵为等边三角形， ∴，， 又∵平分， ∴， ∴在中，， ∴． 故答案为：2； （2）若点一定在的垂直平分线上， 则有，而题目条件无法确定，故结论①不正确； 连接，如下图， ∵点在的垂直平分线上， ∴， ∵平分， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴，即点是线段的中点，故结论②正确； 当时， ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， 故此时不成立，结论③不正确； 如下图， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 即点运动过程中，的大小始终不变，故结论④正确． 故答案为：②④． 【点睛】本题主要考查了等边三角形的性质、全等三角形的判定与性质、含30度角的直角三角形的性质、垂直平分线的性质、等腰三角形的性质、角平分线、三角形外角的定义和性质等知识，综合性较强，综合运用相关知识是解题关键． 59．（23-24八年级上·北京西城·期末）如图，点C、D在上，，，，、相交于点G． (1)求证：； (2)求证：． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质． （1）证明，即可得出结论； （2）由全等三角形的性质，得出，，再由等角对等边的性质，得到，即可得出结论． 【详解】（1）证明：∵， ∴， 即． 在和中， ∴． ∴． （2）证明：∵， ∴，， ∴． ∴， 即． 60．（23-24八年级上·北京通州·期末）如图，在中，，点在上，连接，并延长至点，连接，使． (1)作的平分线，交于点（用尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）； (2)在（）的条件下，连接，求证：． 【答案】(1)作图见解析； (2)证明见解析． 【分析】（）根据角平分线的作法作出即可； （）由，，得到，根据角平分线的定义可得，再利用“边角边”证明和全等，根据全等三角形对应角相等可得； 本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，作角平分线的作法，确定出全等三角形的条件是解题的关键． 【详解】（1）解：如图，即为所求； （2）证明：连接， ∵，， ∴， ∵是的平分线， ∴， 在和中， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 61．（23-24八年级上·北京通州·期末）如图，在的网格中，线段的端点都在格点（网格中横线与竖线的交点）上． (1)在图中作线段（线段的端点都在格点上），使得，垂足为； (2)在（）的条件下，猜想线段、之间的数量关系，并说明理由（根据需要可以自己标注字母）． 【答案】(1)作图见解析； (2)，理由见解析． 【分析】本题考查了网格作图，全等三角形的判定和性质， （1）构造全等三角形解决问题即可； （2）利用“”证明，即可得到； 掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键． 【详解】（1）解：如图，线段即为所求． 理由：由图可得，， ∴， ∵， ∴， 即， ∴， ∴； （2）解：． 理由： 在和中， ， ∴， ∴． 62．（23-24八年级上·北京顺义·期末）小明在学习《直角三角形的性质》的过程中产生了一个猜想：“在直角三角形中，角所对的直角边是斜边的一半．”并进行了如下的探究，请完善小明的探究过程． (1)结合图形，将小明猜想的命题写成已知、求证： 已知：________________________________________． 求证：． (2)补全上述猜想的证明过程． 证明：作线段的垂直平分线，交于点D，交于点E，连接．（在图中用尺规作图，并保留作图痕迹） ∵直线是线段的垂直平分线， ∴．（________________________________）（填推理依据）． ∴．（________________________________）（填推理依据）． ∵， ∴． ∵中，，， ∴．（________________________________）（填推理依据）． ∴． ∴． ∵，， ∴． 在和中， ， ∴（________________________________）（填推理依据）． ∴， ∵直线DE是线段AB的垂直平分线， ∴________． ∴． 【答案】(1)见解析 (2)画图见解析，证明见解析 【分析】（1）根据题意写出对应命题的已知和求证即可； （2）先作出线段的垂直平分线，再由线段垂直平分线的性质得到，进而得到，利用直角三角形两锐角互余推出，进而证明得到，则，由此即可证明． 【详解】（1）解：已知：在中，， 求证：． （2）证明：作线段的垂直平分线，交于点D，交于点E，连接． ∵直线是线段的垂直平分线， ∴．（线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等） ∴．（等边对等角） ∵， ∴． ∵中，，， ∴．（直角三角形两锐角互余） ∴． ∴． ∵，， ∴． 在和中， ， ∴． ∴， ∵直线是线段的垂直平分线， ∴． ∴． 【点睛】本题主要考查了写出命题的已知，求证，全等三角形的性质与判定，线段垂直平分线的性质，线段垂直平分线的尺规作图，等边对等角，直角三角形两锐角互余等等，正确根据题意作出辅助线是解题的关键． 63．（23-24八年级上·北京丰台·期末）如图，在中，，点，在边上，． 求证：．    【答案】见解析 【分析】本题考查了全等三角形的性质与证明，等腰三角形的性质，熟练掌握全等三角形的性质与证明是解题的关键； 根据等角对等边得出，再根据“”证，即可得出结论； 【详解】证明：在中，， ． 在和中， ． ． 64．（23-24八年级上·北京平谷·期末）已知：如图，，，求证：． 【答案】见解析 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，先证明，再利用证明∴，即可证明． 【详解】证明：∵， ∴，即， 在和中 ， ∴． ∴． 65．（23-24八年级上·北京·期末）如图，点F，C在上，，，，求证： 【答案】证明见解析 【分析】本题考查了三角形全等的判定与性质，熟练掌握三角形全等的判定与性质是解题关键．先证出，再利用定理证出，根据全等三角形的性质即可得证． 【详解】证明：∵点在上，， ∴，即， 在和中， ， ∴， ∴． 66．（23-24八年级上·北京石景山·期末）如图，，交于点O，，． 求证：． 【答案】见解析 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，先根据等角对等边证明，再证明即可． 【详解】证明：， ， 在和中， ， ， ． 全等三角形的判定与性质（ASA或AAS） 67．（23-24八年级上·北京房山·期末）如图所示，在中，，，平分交于点，于点，若的周长为，则的长为 cm． 【答案】 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，勾股定理，等腰直角三角形的性质，由，得到，进而得到，由，，得到是等腰直角三角形，利用勾股定理即可求出，，从而得到，判断出是等腰直角三角形是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 即， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， 设，则， ∵的周长为， ∴， 即， ∴， ∴，， ∴， ∵， ∴， 故答案为：． 68．（23-24八年级上·北京通州·期末）如图，在中，，，点在线段上，连接，点在的延长线上且． (1)求证：； (2)点关于直线的对称点为，连接、、，用等式表示线段、、之间的数量关系，并说明理由． 【答案】(1)证明见解析； (2)，理由见解析． 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，平行线的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，根据题意，正确作出辅助线构造全等三角形是解题的关键． （）由，得到，由得到，根据，即可求证； （）：过点作，证明，得到，，由勾股定理得到，根据即可求证； 【详解】（1）证明：∵，， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴； （2）解：． 理由：过点作，交于点M， ∵点关于直线的对称点为点， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∵在中，， ∴， ∴， 故． 69．（23-24八年级上·北京通州·期末）我们研究了三角形有关边、角和主要线段的性质后，小龙同学给添加一个条件：如图，，小龙同学通过观察、猜想、动手测量，发现始终有，但不能说明道理，请你帮助说明其中的理由． 【答案】证明见解析 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，过点作于点，根据“”可证明，即可得到，掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键． 【详解】证明：如图，过点作于点， ∵， ∴， 在和中， ∵， ∴， ∴． 70．（23-24八年级上·北京平谷·期末）阅读下面材料： 已知，在中，，，点D是射线上任意一点，连接，过点C作，垂足为点E，交于点F，过点B作交的延长线于点G．    (1)如图1，当，点D是边中点时，求的长； (2)当点D在的延长线上时，根据题意补全图形2，用等式表示线段、和的数量关系，并证明． 【答案】(1)； (2)图见解析；，证明见解析． 【分析】本题考查勾股定理，全等三角形的判定与性质．熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键． （1）先由勾股定理求得，再证明，得，即可求解； （2）根据题意画出图形，再证明，得，即可得出结论． 【详解】（1）解：∵点D是边中点，，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 在与中， ， ∴， ∴． （2）解：如图，   ，理由： ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 在与中， ， ∴， ∴． ∴， ∵， ∴． 全等三角形的判定与性质（HL） 71．（23-24八年级上·北京通州·期末）如图，，要根据“”证明，应添加的直接条件是 . 【答案】 【分析】本题主要考查全等三角形的判定，熟练掌握全等三角形的判定是解题的关键．根据“”所需要的条件即可得到答案． 【详解】解：和有一条公共直角边， 根据“”证明，应添加的直接条件是． 故答案为：． 72．（23-24八年级上·北京海淀·期末）如图，四边形中，于点F，交于点E，连接，平分． (1)求证：； (2)若，求的长． 【答案】(1)见解析； (2)4． 【分析】本题考查了角平分线的性质，直角三角形全等的判定与性质，掌握这些知识是解题的关键． （1）利用角平分线的性质定理即可证明； （2）证明，得，由即可求解． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∵平分， ∴， 又∵， ∴； （2）解：在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴． 全等三角形的判定与性质 73．（23-24八年级上·北京西城·期末）如图，为等腰三角形，，，连接，．只需添加一个条件即可证明，这个条件可以是 （写出一个即可）． 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题考查了全等三角形判定定理，根据已知一角一边相等，可添加相等角的另一边相等，求解即可． 【详解】添加条件为：； ∵， ∴，即， ∵，， ∴， 故答案为：． 74．（23-24八年级上·北京东城·期末）如图，B，E，C，F四个点在一条直线上．，，请添加一个条件使，则添加的条件可以是 ． 【答案】答案不唯一，如等 【分析】本题主要考查了三角形全等的判定方法；判定两个三角形全等的一般方法有：、、、、．添加时注意：、不能判定两个三角形全等，不能添加，根据已知结合图形及判定方法选择条件是正确解答本题的关键． 【详解】解：要使，已知，， 可以添加，运用来判定其全等； 也可添加一组角，运用来判定其全等； 添加，运用来判定其全等． 故答案为：（答案不唯一）． 75．（23-24八年级上·北京平谷·期末）如图，在和中，若，且，请你添加一个适当的条件，使．添加的条件是： （写出一个即可）．    【答案】（答案不唯一） 【分析】本题考查全等三角形的判定，直角三角形的性质，对顶角性质． 先证明，又因为，根据全等三角形的判定定理，在与中只需要再加一对对应边相等即可使，所此求解即可． 【详解】解：如图，    ∵， ∴， ∴， ∵， ∴ ∵， ∴， ∴当添加时，则在与中， ， ∴ 故答案为：（答案不唯一）． 76．（23-24八年级上·北京朝阳·期末）如图，点P在的内部，点C，D分别在，上，且，只添加一个条件即可证明和全等，这个条件不可以是（   ） A． B．平分 C．平分 D． 【答案】C 【分析】本题考查了全等三角形的判定，熟练掌握三角形全等的判定方法是解题的关键． 【详解】解：A、，可根据判定，故A不符合题意； B、平分，可根据判定，故B不符合题意 C、平分，不能判定，故C不符合题意； D、，可根据判定，故D不符合题意． 故选：C． 77．（23-24八年级上·北京通州·期末）根据下列条件：①，，；②，，；③，，；④，，，其中不能唯一确定的形状和大小的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了全等三角形的判定，根据全等三角形的判定方法逐项进行判断即可求解，掌握全等三角形的判定方法是解题的关键． 【详解】解：已知三角形的三边确定时，由可知是唯一确定的，故该选项不符合题意； 已知三角形的两边及其夹角确定时，由可知是唯一确定的，故该选项不符合题意； 已知三角形的两边及一边的对角确定时，可知此时这个三角形是不确定的，故该选项符合题意； 已知直角三角形的斜边和一条直角边确定时，由可知是唯一确定的，故该选项不符合题意； 故选：． 78．（23-24八年级上·北京海淀·期末）如图，点E，C，F，B在一条直线上，，添加下列条件判定的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了平行线的性质，全等三角形的判定．熟练掌握平行线的性质，全等三角形的判定是解题的关键． 根据全等三角形的判定条件进行判断作答即可． 【详解】解：∵， ∴， 当时，，此时无法证明，故A符合要求； 当时，，故B不符合要求； 当时，则，，故C不符合要求； 当时，，故D不符合要求； 故选：A． 79．（23-24八年级上·北京门头沟·期末）如图，，点在上，添加一个条件使，该条件是 ． 【答案】（答案不唯一） 【分析】根据已知条件和全等三角形的判定方法，添加合适的条件即可，此题考查了全等三角形的判定，熟练掌握全等三角形的判定方法是解题的关键． 【详解】解：由图可知，，， 当时，， 当时，， 故答案为：（答案不唯一） 80．（23-24八年级上·北京昌平·期末）如图，．请你添加一个条件，使．你添加的条件是 （要求：不再添加辅助线，只需填一个答案即可） 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题考查了全等三角形的判定，掌握全等三角形的五种判定方法是解题关键．由题意可知，，，根据全等三角形的判定定理添加条件即可． 【详解】解：由题意可知，，， 若，则， 若，则， 若，则， 故答案为：（或，或）． 81．（23-24八年级上·北京海淀·期末）如图所示的网格是正方形网格，顶点是网格线交点的三角形称为格点三角形．如图1，为格点三角形． (1)__________； (2)在图2和图3中分别画出一个以点，为顶点，与全等，且位置互不相同的格点三角形． 【答案】(1)90 (2)见解析 【分析】本题考查了勾股定理与网格，全等三角形的判定， （1）由勾股定理分别求出，，，再利用勾股定逆定理，得出是直角三角形，即可得到的度数； （2）根据三条边分别对应相等的两个三角形全等画图即可． 【详解】（1）解：由勾股定理，，，， ， 是直角三角形， ， 故答案为：； （2）解：如图，和即为所求作． 82．（23-24八年级上·北京平谷·期末）在证明等腰三角形的性质定理时，甲、乙、丙三位同学各添加一条辅助线，方法如下图所示，你能用哪位同学添加辅助线的方法完成证明，请选择一种方法补全证明过程． 等腰三角形的性质定理：等腰三角形两个底角相等（简写成“等边对等角”）． 已知：如图，在中，，求证：． 甲同学的方法： 证明：作的平分线交于点D． 乙同学的方法： 证明：作于点E． 丙同学的方法： 证明：取中点F，连接． 【答案】见解析 【分析】 本题主要考查了全等三角形的判定和性质．选甲，根据 证明，即可；选乙，根据 证明，即可；选丙，根据 证明，即可． 【详解】 解：选甲，证明如下： ∵平分， ∴， 在和中 ∴． ∴． 选乙：证明如下： ∵， ∴和均是直角三角形， 在和中 ∵， ∴， ∴． 选丙，证明如下： ∵点F为的中点， ∴， 在和中， ∵， ∴， ∴． 83．（23-24八年级上·北京房山·期末）如图，在和中，，请添加一个条件______，使得；并写出证明的过程． 【答案】或或，证明见解析． 【分析】本题考查了全等三角形的判定，由已知条件：及公共边，要使，可添加或或，根据全等三角形的判定即可求证，掌握全等三角形的判定方法是解题的关键． 【详解】解：若添加条件为：，证明如下： 在和中， ∵， ∴； 若添加条件为：，证明如下： 在和中， ∵， ∴ 若添加条件为：，证明如下： ∵， ∴和为直角三角形， 在和中， ∵， ∴． 84．（23-24八年级上·北京大兴·期末）已知：如图，，，，连接，，，过点作于点．过点作的高线，交的延长线于点．    (1)求证：； (2)求的度数． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定方法，是解答本题的关键． （1）根据题意，得到，，从而得到，由此得到证明． （2）根据已知条件，得到，即，又，，从而得到，进而得到，由此得到答案． 【详解】（1）证明：根据题意得：，， ， ， ， ， ， ， ， 在和中， ， ． （2）解：， ， ， 由（1）得：，， ， ， 在和中， ， ， ． 85．（23-24八年级上·北京石景山·期末）如图，在中，，，为射线上一点（不与点重合），连接并延长到点，使得，连接．过点作的垂线交直线于点．        (1)如图1，点在线段上，且． ①请补全图形； ②判断，，之间的数量关系，并证明． (2)如图2，若点在线段的延长线上，请画出图形，直接写出，，之间的数量关系． (3)基于上面的题目，请提出一个变式或拓展探究性的问题． 【答案】(1)①见解析；②，证明见解析 (2)画图见解析， (3)见解析 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定与性质； （1）①根据题意画出图形即可；②作交的延长线于，证明得到，，从而得到，证明得到，即可得证； （2）根据题意画出图形，作交的延长线于，证明得到，，从而得到，证明得到，即可得证； （3）根据（1）（2）小问写出一个变式性题目即可． 【详解】（1）解：①补全图形如图所示： ； ②， 证明：如图，作交的延长线于， ， 则， 在和中， ， ， ，， ， ， ， ， ， ， ， 在和中， ， ， ， ； （2）解：画出如图所示： ， 关系：， 作交的延长线于， 则， 在和中， ， ， ，， ， ， ， ， ， ， ， 在和中， ， ， ， ； （3）解：若点在线段上，且时，、、之间的数量关系是什么？ 86．（23-24八年级上·北京顺义·期末）已知：如图，在中，点D是中点，平分．求证：． 下面是这道题的两种添加辅助线的方法，选择其中一种，完成证明过程． 方法一 证明：如图，过点D作于点E，于点F． 方法二 证明：如图，延长至点E，使得，连接． 【答案】证明见解析 【分析】本题主要考查了等腰三角形的性质与判定，角平分线的定义和性质，全等三角形的性质与判定等等： 方法一：先由角平分线的性质得到，进而分别证明，得到，，则可得到，即可利用三线合一定理证明结论； 方法二：证明，得到，再由角平分线的定义推出，得到，则，即可利用三线合一定理证明结论． 【详解】证明：方法一：如图，过点D作于点E，于点F， ∵平分，，， ∴， 又∵ ∴， ∴， ∵点D是中点， ∴， ∴， ∴， ∴，即， 又∵点D是中点， ∴； 方法二：如图，延长至点E，使得，连接， ∵点D是中点， ∴， 又∵，， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∴， 又∵点D是中点， ∴． 87．（23-24八年级上·北京通州·期末）如图，在中，，，，是的边上的高，为垂足，且，.    (1)试判断的形状，并说明理由； (2)求的长. 【答案】(1)是直角三角形； (2)． 【分析】本题考查勾股定理，勾股定理逆定理的应用． （1）根据勾股定理先求出，再利用勾股定理的逆定理判断即可； （2）由是的边上的高，利用面积法计算即可． 【详解】（1）解：∵在中，，，， 根据勾股定理， ∵， ∴是直角三角形； （2）解：∵是的边上的高， ∴， ∴． 88．（23-24八年级上·北京石景山·期末）如图，点在同一条直线上，，，要使，还需添加一个条件，这个条件可以是 ；根据你添加的条件，本题中判定两个三角形全等所用的方法为 ． 【答案】 （答案不唯一） （答案不唯一） 【分析】本题考查了全等三角形的判定、平行线的性质，由得出，再由即可证明，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：添加条件：， ， ， 在和中， ， ， 故答案为：（答案不唯一），（答案不唯一）． 89．（23-24八年级上·北京昌平·期末）已知命题“两个三角形全等，则它们的面积相等”为真命题，则这个命题的逆命题为 命题（用“真”，“假”填空） 【答案】假 【分析】本题考查了命题及其逆命题，全等三角形的性质，正确写出逆命题是解题关键． 【详解】解：命题“两个三角形全等，则它们的面积相等”的逆命题为“两个三角形面积相等，则这两个三角形全等”， 两个三角形面积相等，这两个三角形不一定全等， 这个命题的逆命题为假命题， 故答案为：假． 三角形综合问题 90．（23-24八年级上·北京丰台·期末）如图，与均为等腰直角三角形，，点是线段的中点，点在线段上（不与点，重合），连接，． 给出下面四个结论： ①；②；③；④． 上述结论中，所有正确结论的序号是(   )    A．③④ B．①②③ C．①②④ D．①②③④ 【答案】B 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质和判定，等腰直角三角形的性质，三角形三边关系，解答的关键是证明三角形全等； 根据，得出即即可判断①正确；结合与均为等腰直角三角形，可证明即可得出根据即可判断出故②正确；根据是线段的中点，`得出，即可判断③正确；三角形三边关系可得即可判断出④错误； 【详解】解：与均为等腰直角三角形，， 故①正确； 在与中 故②正确； 点是线段的中点， 故③正确； 故④错误； 故选：B． 91．（23-24八年级上·北京顺义·期末）已知：如图，是边长为4的等边三角形，点D是射线上的动点（不与点B，C重合），是的外角的平分线，以点A为顶点，为一边，作，交射线于点F，连接．下列结论一定成立的是 （只填序号）．      点D在线段上    点D在线段的延长线上 ①；        ②是等边三角形； ③；        ④的周长的最小值为． 【答案】①②④ 【分析】本题主要考查了等边三角形的性质与判定，全等三角形的性质与判定，勾股定理等等，当点D在线段上 时，利用证明，得到， 即可证明是等边三角形，则，进而可证明，得到，如图所示，过点A作于H，则，利用勾股定理求出，由于的周长，则当点D与点H重合时，的周长最小，最小值为；当点D在线段的延长线上，同理可得，，证明，得到，，则是等边三角形，得到，进而推出，由的周长，推出的周长，据此可得答案． 【详解】解：当点D在线段上 时， ∵是等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∵是的外角的平分线， ∴， ∴， ∴，故①成立； ∴， ∴是等边三角形，故②成立； ∴， ∵， ∴， ∴， 如图所示，过点A作于H，则， ∴， ∵的周长， ∴的周长， ∴当最小时，的周长最小， ∴当点D与点H重合时，的周长最小，最小值为，故④成立； 当点D在线段的延长线上， 同理可得，， ∴ ∴， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∵， ∴，故③不一定成立； ∵的周长， ∴的周长， ∵， ∴的周长； 综上所述，，是等边三角形，的周长的最小值为， ∴一定成立的是①②④， 故答案为：①②④． （23-24八年级上·北京东城·期末）如图1，中，，，点D在上，连接，在的上方作，且，连接．作点A关于的对称点F，连接，交于点M．    (1)补全图形，连接并写出 （用含的式子表示）； (2)当时，如图2． ①求证：； ②直接写出与的数量关系： ． 【答案】(1)补全图形见解析， (2)①见解析；② 【分析】本题考查三角形全等的判定与性质、三角形内角和定理，三角形相似的判定与性质，熟练掌握三角形全等的判定与性质和三角形相似的判定性质是解题的关键； （1）根据三角形内角和定理可得到，再利用对称的性质得到，即可得到答案； （2）①连接，，根据、都是等边三角形，易证得，进而得到，再根据点A关于的对称点是点F，可得到； ②取，证，进而证，再证，即可得结论． 【详解】（1）解：如图，    中，，， 点A关于的对称点F， ∴； 故答案为：． （2）解：连接，，    ，，，， 是等边三角形，是等边三角形， ，，， ． 即， ， ， ， ， ， 点A关于的对称点是点F， ， ∴， ， ． ②如图    取， 由①可得，，， ， ，，， ，， ； 在和中， ， ， ， ∴， ， ． 故答案为：． （23-24八年级上·北京西城·期末）在中，，点D在的内部，，． (1)如图1，线段的延长线交于点E，且． ①求的度数； ②用等式表示线段，，之间的数量关系，直接写出结果； (2)如图2，点F在线段的延长线上，连接交射线于点M，且M为的中点．求证：． 【答案】(1)①45度；② (2)见解析 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，三角形内角和为180度， （1）①通过证明可得，再由等边对等角及三角形内角和为180度即可求解；②根据可得，再由线段的转换即可求解； （2）延长到点N，使，在上截取，通过证明，可得，再证明，可得，由等边对等角及角的转换可得，即可求解； 熟练掌握知识点，并添加适当的辅助线是解题的关键． 【详解】（1）①∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴； ②，理由如下： ∵， ∴， ∵， ∴； （2）延长到点N，使，在上截取， ∵M为的中点， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 95．（23-24八年级上·北京东城·期末）已知等边，点为边上一点，连接，在的右侧作射线，使，延长交射线于点，连接，作于点． (1)如图1，当点为中点时，_______，的值为_______； (2)如图2，当点在上运动时． ①直接写出的度数； ②用等式表示线段，，之间的数量关系，并证明． 【答案】(1)，； (2)①；②，证明见解析 【分析】本题考查的是等边三角形的性质，等腰三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，含的直角三角形的性质，作出合适的辅助线是解本题的关键； （1）利用等边三角形的性质证明，，从而可得结论； （2）①利用三角形的内角和定理可得答案；②如图，在上截取，连接，证明，可得，再证明即可． 【详解】（1）解：如图，当点为中点时，等边， ∴，，， ∴是的垂直平分线， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：60，； （2）①∵，， ∴由八字形可得：， ②，理由如下： 如图，在上截取，连接， ∵，，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 96．（23-24八年级上·北京房山·期末）如图，在中，，平分，于点，若，，求的长． 【答案】 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，全等三角形的判定和性质，平行线的性质，勾股定理，延长到，使，连接，延长交于点，过点作于点，由等腰三角形的性质得到，，再证明，得到，，由平行线的性质得到，利用勾股定理即可求解，读懂题意，正确作出辅助线是解题的关键． 【详解】解：如图，延长到，使，连接，延长交于点，过点作于点， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵平分， ∴，， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∵，， ∴，， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 97．（23-24八年级上·北京丰台·期末）如图，在中，，，在线段上取一点，便得，连接，在线段延长线上取一点，使得，． (1)求的度数（用含的式子表示）； (2)延长线段至点，使得，连接交于点，依题意补全图形，用等式表示线段与的数量关系，并证明． 【答案】(1) (2)，见解析 【分析】该题主要考查了全等三角形的性质和判定，平行线的性质和判定，等腰三角形的性质，解题的关键是掌握以上知识点； （1）根据，，得出，再根据，证明，在中，得出，再根据，即可得出． （2）依题意补全图形，在上取一点，使得，连接，在中，得出 ，，再根据，得出，故，证明和即可解答； 【详解】（1）解：，， ． ， ． 在中，， ． ， ． （2）解：依题意补全图形，如图． 数量关系：． 证明：在上取一点，使得，连接． 在中，，且， ． ， ． ． ， ． ，． ， ． ， ． ． ． ， ． ． ． 98．（23-24八年级上·北京昌平·期末）已知：如图，线段、点是线段上方一动点，且，线段和线段关于直线对称，过点作，与线段的延长线交于点，点和点关于直线对称，作射线交于点，交于点. (1)当，时，求的长. (2)请用等式表示线段与之间的数量关系，并证明. (3)当线段的长取最大值时，的值为__________. 【答案】(1) (2)，证明见详解 (3) 【分析】本题主要考查了轴对称的性质、平行线的性质、等腰三角形的判定与性质、勾股定理、线段垂直平分线的性质、全等三角形的判定与性质等知识点，熟练掌握以上知识点并灵活运用，添加适当的辅助线是解此题的关键． （1）根据轴对称的性质可得，由平行线的性质可得，从而得到，由等角对等边可得，由等腰三角形的性质可得，由勾股定理计算出，即可得解； （2）由轴对称的性质可得是线段的垂直平分线，从而得到，证明，得出，即可得证； （3）当时，的值最大，即的值最大，由可得此时的长达到最大值，设，则，证明为等腰直角三角形，结合勾股定理得出，从而得出，即可得出答案． 【详解】（1）解：线段，关于直线对称， ， ， ， ， ， ， ， ，，， ，即， ； （2）解：， 证明：点关于直线的对称点为， 是线段的垂直平分线， ， 在和中， ， ， ， ； （3）解：点关于直线的对称点为， 是线段的垂直平分线， ， ， ， 如图，作于， 线段，关于直线对称， ， ，， ， 当时，的值最大，即的值最大，由可得此时的长达到最大值， 如图，当时， ， 是等腰直角三角形， ， 设，则， 线段，关于直线对称， ， ， ， 是等腰直角三角形， ， ， ， 由（2）可得， ， ， 故答案为：． 新定义 99．（23-24八年级上·北京昌平·期末）给出如下定义：两条线段相交于一点（交点不与端点重合），连接不同线段的两个端点，再连接另两个端点所得图形称为“8字形”．如图，线段与交于点，连接和，所得图即为“8字形”． (1)下列四个图形中，含有“8字形”的有：____________． (2)如图1，与交于点，连接和，和的延长线交于点，满足，． ①当时，判断与的数量关系，并证明； ②如图2，当时，求证：． 【答案】(1)①④ (2)①，证明见详解 ②见详解 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，作辅助线构造全等三角形是解题关键． （1）根据“8字形”的定义逐一判断即可； （2）①利用“”证明，即可得到答案； ②方法一：在上截取，易证，再根据等角对等边的性质，即可证明结论； 方法二：在上取一点，使得，易证，再根据等角对等边的性质，即可证明结论； 方法三：在的延长线上取一点，使得，易证，即可证明结论． 【详解】（1）解：由“8字形”的定义可知，含有“8字形”的图形有①④， 故答案为：①④． （2）解：①，证明如下： ， ，，， ， ， 在和中， ， ， ； ②方法一： 证明：如图，在上截取， 在和中， ， ， ，， ， ， ； 方法二： 证明：如图，在上取一点，使得， 在和中 . ， ， ， ， ； 方法三： 证明：如图，在的延长线上取一点，使得， ， ，， 在和中， ， ， ． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！8 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！9 学科网（北京）股份有限公司 $$