11.6二次根式的乘除法同步练习 2024-2025学年北京版数学八年级上册

11.6二次根式的乘除法 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、单选题 1．下列二次根式中，是最简二次根式的是（   ） A． B． C． D． 2．下列各式中，为最简二次根式的是(    ) A． B． C． D． 3．下列二次根式中，是最简二次根式的是（ ） A． B． C． D． 4．在根式、、、、中，最简二次根式有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 5．化成最简二次根式为（　　） A．0.5 B． C． D． 6．下列各式计算正确的是（   ） A． B． C． D． 7．下列二次根式中，是最简二次根式的是（    ） A． B． C． D． 8．下列二次根式中是最简二次根式的是（    ） A． B． C． D． 9．下列二次根式中，是最简二次根式的是（　　） A． B． C． D． 10．在二次根式、、、、中，最简二次根式的个数是（　　）个 A．2 B．3 C．4 D．5 11．把化为最简二次根式得（  ） A． B． C． D． 12．下列二次根式中，是最简二次根式的是（    ） A． B． C． D． 二、填空题 13．你认识下列运算吗？ ①×②③3×④×在运算过程中用了二次根式乘法公式的是 ，用了积的算术平方根的公式的是 ，这两个公式都用的运算是 ． 14．化简： ． 15．计算 ． 16．如果一个三角形的面积为，一边长为，那么这边上的高为 . 17．把a的根号外的因式移到根号内等于 ． 三、解答题 18．计算： （1）     （2） 19．随着我国科技不断进步，航天事业逐渐进入高速发展时代．2018年1月9日11点24分，我国在太原卫星发射中心用长征二号丁运载火箭以一箭双星的方式，成功将高景一号03、04星送入预定轨道，与同轨道的高景一号01、02星组网运行．这标志着我国首个0.5米高分辨率商业遥感卫星星座首期正式建成，实现新年开门红．二次根式的乘法在生活和高科技领域中有着广泛的应用．如图，在“长征二号”运载火箭中要将某一长方形部件变化成等面积的一个圆形，已知长方形的长是，宽是，则圆的半径应是多少？ 20．超速驾驶是造成交通事故的重要原因之一．交警部门一般会根据刹车后滑行的距离判断车辆的行驶速度，公式为，其中v表示车速（单位：），d表示刹车后滑行的距离（单位：m），f表示摩擦因数．若交警在处理某次交通事故时，测得，，已知该路段限速，那么该汽车超速了吗？请说明理由．（已知∶，，结果保留一位小数） 21．发现：数轴上从左至右排列的三个数，若每相邻的两个数相差为1，则中间的数的平方与两边的数的积的差为定值． 验证：（1）______，______，______． 探究：（2）设“发现”中的中间的数为n，请论证“发现”中的结论的正确性． 22．如果一个数的平方等于，那么这个数叫做的平方根．即：若，则．反之．如果一个数是的平方根，那么这个数的平方等于．即：若，则．例如： 根据平方根的定义可得：∵，∴． 根据平方根的定义可得：∵是的一个平方根，∴． 根据平方根的定义，利用上述符号及例子解决下列问题： (1)求下列各式中的值． ； ． (2)求证：． 证明：∵是的平方根， ∴． ∵（依据） ，（依据） ∴． 填写推理依据， 依据：__________________； 依据：__________________． 计算：． 参考答案： 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 C D A C C B D A D A 题号 11 12 答案 C C 1．C 【分析】本题考查最简二次根式的判定条件：①被开方数中不含能开得尽方的因数或因式；②被开方数的因数是整数，因式是整式．根据最简二次根式的判定条件逐项判断即可． 【详解】解：A、被开方数含有分母，不是最简二次根式，不符合题意； B、被开方数含有开得尽的因数，不是最简二次根式，不符合题意； C、是最简二次根式，符合题意； D、被开方数含有分母，不是最简二次根式，不符合题意； 故选：C． 2．D 【分析】判定一个二次根式是不是最简二次根式的方法，就是逐个检查最简二次根式的两个条件是否同时满足，同时满足的就是最简二次根式，否则就不是． 【详解】解：A、，故A错误； B、，故B错误； C、，故C错误； D、被开方数不含分母；被开方数不含能开得尽方的因数或因式，故D正确； 故选：D． 【点睛】本题考查了满足最简二次根式的两个条件：1、被开方数是整数或整式；2、被开方数不能再开方，掌握这个知识点是解题关键． 3．A 【分析】根据最简二次根式的定义：（1）被开方数不含分母；（2）被开方数中不含能开得尽方的因数或因式，逐一判断即可解答． 【详解】解：A、是最简二次根式，故A符合题意； B、中含有因数4，故B不符合题意； C、中含有分母，故C不符合题意； D、中含有分母，故D不符合题意； 故选：A． 【点睛】本题考查了最简二次根式，熟练掌握最简二次根式的定义是解题的关键． 4．C 【分析】根据最简二次根式的定义即可求解． 【详解】在根式、、、、中，最简二次根式为、、共3个， 故选C． 【点睛】本题主要考查了最简二次根式，最简二次根式的条件：（1）被开方数的因数是整数或字母，因式是整式；（2）被开方数中不含有可化为平方数或平方式的因数或因式． 5．C 【分析】先把根式下的小数转化为分数的形式，再转化为最简二次根式即可． 【详解】根据二次根式的性质进行化简即可． 【解答】解： 故选： 【点睛】本题主要考查了最简二次根式的化简运算，熟悉掌握最简二次根式的概念是解题的关键． 6．B 【分析】根据二次根式的除法法则进行计算即可． 【详解】解：．，选项不正确，不符合题意； B．，选项正确，符合题意； C．，选项不正确，不符合题意； D．，选项不正确，不符合题意． 故选：B． 【点睛】本题考查了二次根式的乘除法，二次根式的性质与化简，准确熟练地进行计算是解题的关键． 7．D 【分析】此题考查了最简二次根式，利用最简二次根式定义判断即可，熟练掌握最简二次根式的定义是解题的关键． 【详解】解：、不是最简二次根式，不符合题意； 、不是最简二次根式，不符合题意； 、不是最简二次根式，不符合题意； 、是最简二次根式，符合题意； 故选：． 8．A 【分析】直接利用最简二次根式的定义分析得出答案即可． 【详解】解：A、是最简二次根式，本选项符合题意； B、，不是最简二次根式，本选项不合题意； C、，不是最简二次根式，本选项不合题意； D、，不是最简二次根式，本选项不合题意． 故选：A． 【点睛】本题主要考查了最简二次根式，正确把握定义：（1）被开方数不含分母；（2）被开方数中不含能开得尽方的因数或因式，是解题关键． 9．D 【分析】判定一个二次根式是不是最简二次根式的方法，就是逐个检查最简二次根式的两个条件是否同时满足，同时满足的就是最简二次根式，否则就不是． 【详解】A、原式= 被开方数含分母，不是最简二次根式，故本选项错误； B、原式=，被开方数含能开得尽方的因数，不是最简二次根式，故本选项错误； C、原式= 被开方数含能开得尽方的因数，不是最简二次根式，故本选项错误； D、符合最简二次根式的定义，故本选项正确. 【点睛】本题考查最简二次根式的定义．根据最简二次根式的定义，最简二次根式必须满足两个条件： （1）被开方数不含分母； （2）被开方数不含能开得尽方的因数或因式． 10．A 【分析】根据最简二次根式的概念：（1）被开方数不含分母；（2）被开方数中不含能开得尽方的因数或因式，解答即可． 【详解】解：，，， 最简二次根式有：、共两个． 故选：A． 【点睛】本题考查二次根，熟练掌握最简二次根的性质是解题关键． 11．C 【分析】被开方数含有分母，因此需将根号的分母化去． 【详解】. 故选C. 【点睛】本题化简二次根式的过程：分子、分母同乘以分母的有理化因式，使被开方数不含分母． 12．C 【分析】最简二次根式的概念：（1）被开方数不含分母；（2）被开方数中不含能开得尽方的因数或因式．根据最简二次根式的概念解答即可． 【详解】解：A选项被开方数是小数，可以化成分数，有分母，不符合题意； B选项的被开方数含分母，不符合题意； C选项是最简二次根式，符合题意； D选项的被开方数中有能开的尽方的因数，不符合题意； 故选：C． 【点睛】本题考查了最简二次根式的概念，熟练掌握最简二次根式的概念是解题的关键． 13． ①、④ ②、④ ④． 【详解】②中是求4x算术平方根的形式；③是三次根式与二次根式相乘；④； 故在运算过程中用了二次根式乘法公式的是①、④， 用了积的算术平方根的公式的是②、④， 两个公式都用的运算是④． 故答案是：(1). ①、④    (2). ②、④    (3). ④． 【点睛】正确理解二次根式乘法、积的算术平方根等概念是解答问题的关键． ①二次根式的乘法公式：， ②积的算术平方根公式： . 14．/ 【分析】利用二次根式的性质与化简进行计算，即可解答． 【详解】解：； 故答案为：． 【点睛】本题考查了二次根式的性质与化简，准确熟练地进行计算是解题的关键． 15． 【分析】根据二次根式的乘除法法则运算，即可求解． 【详解】解： ． 故答案为：． 【点睛】本题考查了二次根式的乘除，熟练掌握二次根式乘除的运算法则是解题的关键． 16．4 【详解】解：根据三角形的面积公式， 得这边上的高为． 故答案为： 17． 【分析】先判断a的符号，再移到根号内化简即可． 【详解】解：由题意可得出：a＞0， ∴a＝＝． 故答案为：． 【点睛】本题考查二次根式的化简，判断出a＞0是解题的关键． 18．(1) ;(2)1 【分析】（1）先化简二次根式，然后进行二次根式的加减计算；（2）利用完全平方公式，平方差公式进行计算. 【详解】（1）原式= . （2） . 【点睛】本题考查了二次根式的化简，及完全平方公式、平方差公式的运用 19． 【分析】本题主要考查了二次根式的应用，设圆的半径应是，根据圆的面积公式和长方形面积公式得到方程，解方程即可得到答案． 【详解】解：设圆的半径应是， 由题意得，， 解得或（舍去）， 答：圆的半径应是． 20．该汽车超速了，见解析 【分析】本题主要考查了二次根式乘法运算的应用，解题的关键是熟练掌握二次根式运算法则，根据二次根式性质进行运算即可． 【详解】解：该汽车超速了；理由： ∵，，， ∴ ． 故该汽车超速了． 21．（1）1，1，1；（2）结论正确，证明见解析 【分析】本条考查了整式的乘法运算，实数的混合运算及二次根式的乘法运算． （1）根据实数的混合运算法则即二次根式的乘法运算法则计算即可； （2）根据题意，设“发现”中的中间的数为n，则两边的数分别为，根即题意列出式子，计算验证即可． 【详解】解：（1）， ， ； （2）设“发现”中的中间的数为n，则两边的数分别为， 依题意，得． 22．(1)或或； (2)积的乘方；平方根的定义；． 【分析】（）把看成一个整体，然后利用平方根的定义即可求解； 先化简，把看成一个整体，然后利用平方根的定义即可求解； （）根据积的乘方和平方根的定义即可； 根据二次根式乘法法则进行即可计算． 【详解】（1）， ， 或； ， ， 或； （2）积的乘方；平方根的定义； 原式． 【点睛】此题考查了平方根和二次根式的乘法，解题的关键是正确理解平方根的定义和熟练掌握二次根式的乘法运算． 学科网（北京）股份有限公司 $$