福建省厦门第一中学2024-2025学年高二上学期12月月考数学试题

福建省厦门第一中学2024—2025学年度 第一学期12月适应性练习 高二年数学试卷 满分为150分，考试时间120分钟． 注意事项： 1. 答题前，考生务必在试题卷、答题卡规定的地方填写自己的准考证号、姓名。考生要认真核对答题卡上粘贴的条形码的“准考证号、姓名”与考生本人准考证号、姓名是否一致。 2. 回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3. 考试结束，考生必须将试题卷和答题卡一并交回。 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．已知为抛物线上一点，则抛物线的准线方程为 A． B． C． D． 2．已知直线经过，两点，直线的倾斜角为，那么与 A．垂直 B．平行 C．重合 D．相交但不垂直 3．已知是空间的一个基底，，，，若四点共面． 则实数的值为 A． B． C． D． 4．已知平行六面体的底面是矩形，，，， 且，则线段的长为 A．9 B． C． D． 5．已知等比数列的各项均为正数且公比大于1，前项积为，且，则使得的 的最小值为 A． B． C． D． 6．已知为直线上的动点，点满足，记的轨迹为，则 A．是一个半径为的圆 B．是一条与相交的直线 C．上的点到的距离均为 D．是两条平行直线 7．已知等差数列的公差为，集合，若，则 A．－1 B． C．0 D． 8．已知为双曲线的左、右焦点，过的直线分别交的左、右支于A、B两点，点在轴上，，则的离心率为 A． B． C．2 D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，有选错的得0分，部分选对的得部分分。 9．曲线，下列结论正确的有 A．若C表示椭圆，则且不等于0 B．若曲线C表示双曲线，则焦距是定值 C．若，则短轴长为 D．若，则渐近线为 10．已知数列的前项和为，且，则下列命题正确的是 A．若是递增数列，则数列的前项和为 B．若是递增数列，则数列的前项和为 C．若各项均为正数，则 D．存在无穷多个不同的数列，使得 11．“马鞍面”在建筑美学中有重要应用，将两个顶点重合开口方向相反，且拥有共同对称轴的两条抛物线、分别置于相互垂直的平面内，现固定一条抛物线不动，使另一抛物线平移，且满足其顶点始终位于上，则划过的曲面就是马鞍面（如右下图所示）.现用一个垂直于、共同对称轴的平面截其对应的马鞍面，则截面的形状可能为： （双曲线） （两条抛物线） A B C D 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分。 12．已知点，点，则点到直线的距离为 ． 13． 已知椭圆的左、右焦点分别为、，为上任意一点，为圆上任意一点，则的最小值为 ． 14．某集团公司有一下属企业A从事一种高科技产品的生产.A企业第一年年初有资金2000万元，将其投入生产，到当年年底资金增长了40%，预计以后每年资金年增长率与第一年的相同.集团公司要求A企业从第一年开始，每年年底上缴资金400万元，并将剩余资金全部投入下一年生产.设第n年年底A企业上缴资金后的剩余资金为万元.则 ． 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 15．（13分） 已知等比数列的前项和为，，且成等差数列． （1）求的通项公式； （2）若数列满足，求的前项和． 16．（15分） 已知椭圆的离心率，直线交于两点，其中，在轴上方．为坐标原点，△的面积为． （1）求的方程； （2）已知抛物线，交于两点，过作以为直径的圆的两条切线分别交直线于，求△的周长． 17．（15分） 如图，在四棱锥中，，，． 过的平面分别交线段于． （1）求证：； （2）若直线与平面所成角为，，， 求平面和平面夹角的余弦值． 18．（17分） 已知直线，直线，动点到轴的距离小于它到轴的距离，过分别作和的垂线，垂足分别为，为坐标原点，若四边形的面积为，设动点的轨迹为曲线． （1）求的方程； （2）若交轴正半轴于点，上一点和直线上一点满足△是以为底的等腰直角三角形， （i）求直线的斜率； （ii）若在第一象限，过且垂直于的直线和过且垂直于的直线交于，过且平行于的直线交于（在下方）．按照如下方式依次构造点：过且垂直于的直线和过且垂直于的直线交于，过且平行于的直线交于（在下方）． 求证：是定值． 19．（17分） 若无穷数列的满足对于给定的正整数，对均成立， 则称数列是可均分数列． （1）若各项均为正整数的递增数列是可均分数列，且，求； （2）若“是等差数列”是“是可均分数列”的充要条件，求； （3）若既是可均分数列，也是可均分数列，满足：， 求证：是可均分数列． （注：） 厦门一中2024-2025学年高二（上）12月适应性练习数学试题 第4页 （共4页） 学科网（北京）股份有限公司 $$ 福建省厦门第一中学2023级高二（上）12月适应性练习 数学参考答案与评分标准 一、选择题：本大题考查基础知识和基本运算．每小题5分，满分40分． 1．C 2．A 3．A 4．C 5．D 6．C 7．B 8．A 8．解析：因为，所以△△，设，则， 设，则，，因为平分，由角平分线定理可知，， 所以，所以，由定义知，即，，① 又由得，所以，即是等边三角形， 所以，在中，由余弦定理知， 即，化简得，把①代入上式得，所以离心率为．故选：A． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，有选错的得0分，部分选对的得部分分。 9．ACD 10．BCD 11．AC 11．解析：设，记在中，，对顶点先向轴负方向运动了个单位，即先向轴正方向运动了个单位到；接下来顶点向轴负方向运动了个单位，沿轴正方向观察，相当于平面向上平移了个单位，向轴负方向运动后横坐标由变为 ，，即：， ①当时，原式可退化为：，表示两条相交直线； ②时，原方程为：表示一对双曲线.故选：AC. 三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。 12． 13． 14． 14．解析：第n+1年年底剩余资金为， 故，又，故 四、解答题：共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．解法一：（1）由成等差数列知，， 即， 2分 所以，即， 4分 因为是等比数列，所以公比， 6分 又因为，所以，所以的通项公式为； 7分 （2）由（1）知，，所以， 9分 所以 ， 所以的前项和． 13分 解法二：（1）（1）由成等差数列知，， 即， 2分 令，则，所以，即， 4分 因为是等比数列，所以公比， 6分 又因为，所以， 经检验，此时，，符合题意， 所以的通项公式为； 7分 （2）同解法一． 解法三：（1）（1）由成等差数列知，， 即， 2分 当时，，相减得，， 3分 设的公比为，则，所以或， 4分 若，则，此时不合题意； 5分 若，则又因为，所以， 经检验，此时，，符合题意， 所以的通项公式为； 7分 （2）同解法一． 16．解：（1）由知，又的离心率，所以，得， 2分 由△的面积为，知，所以，代入得， 因为在轴上方，所以，所以点的坐标为或． 4分 ①当的坐标为时，的斜率，的方程为； ②当的坐标为时，的斜率，的方程为； 综上，直线的方程为或． 6分 （2）若的方程为，则由得，， 与只有一个公共点，不符合题意； 7分 所以的方程为，设，的中点为， 由得，所以，， 9分 所以，故以为直径的圆的半径为， 又，所以，即， 11分 故到直线的距离为，等于圆的半径，故直线与圆相切，设切点为 12分 设过的圆的两条切线分别与圆切于点，则△的周长为 ， 14分 又，， 故△的周长为． 15分 解法二：同解法一得， 11分 显然，过斜率不存在的直线不与圆相切， 设过且与圆相切的直线的方程为，即， 12分 所以到过的切线的距离，解得，或， 14分 故两条切线的方程为和，令代入得， 故不妨设，则△的周长为 ． 15分 17．解法一：（1）如图，取中点， 1分 因为，，所以四边形是平行四边形， 所以，且，又因为， 所以在△中，， 所以，即，即， 2分 又因为，，平面，所以平面， 3分 又因为平面，所以，即； 4分 因为，平面，平面，所以平面， 又因为平面，平面平面，所以，所以； 6分 （2）如图，设中点为，因为，所以， 由（1）知平面，过作，则两两垂直，以为原点，为轴正方向建立如图所示的空间直角坐标系， 7分 所以， 因为平面，，所以平面， 所以，且为直线与平面所成角，所以， 所以，又因为，所以，所以， 9分 因为，，所以，且， 所以为中点，所以，所以， 10分 又，设平面的法向量为， 由得取，则， 所以平面的一个法向量为， 12分 易知，平面的一个法向量为， 13分 设平面和平面的夹角为，则， 即面和平面夹角的余弦值为． 15分 解法二：（1）如图，延长与交于点， 1分 因为，且， 所以分别是的中点，所以， 又因为，所以在△中，， 所以，即，即， 2分 又因为，，平面， 所以平面， 3分 又因为平面，所以，即； 4分 因为，平面，平面，所以平面， 又因为平面，平面平面，所以，所以； 6分 （2）同解法一． 解法三：（1）如图，延长于，使得， 1分 则，因为，所以四边形是平行四边形， 所以，且，所以在△中，， 所以，所以， 2分 又因为，，平面，所以平面， 3分 又因为平面，所以，即； 4分 因为，平面，平面，所以平面， 又因为平面，平面平面，所以，所以； 6分 （2）同解法一． 18．解：（1）如图1，设，因为的斜率为，的斜率为，故，四边形为矩形， 又到直线的距离，故，同理， 所以四边形的面积为，所以， 2分 又因为到轴的距离小于它到轴的距离，所以，故，所以， 所以的方程为． 3分 图1 图2 图3 图4 （2）（i）设，令，代入，得, ①当在第一象限时，如图2所示，由于△是以为底的等腰直角三角形，易知在轴上方，，作轴，垂足为，则△≌△，故，故， 又则，即， 4分 从而，故，直线的斜率； 5分 ②当在第二象限时，如图3所示，由于△是以为底的等腰直角三角形，易知在轴下方，，作轴，垂足为，则△≌△，故，故， 又则，即，． 6分 从而，故，直线的斜率；． 7分 ③当在第三象限时，由对称性知，直线的斜率； ④当在第四象限时，由对称性知，直线的斜率； 综上可知，直线的斜率为或． 9分 （ii）因为在第一象限，由（i）知，，如图4，记， 设，，则由于时， 所以，对时，故， 10分 又由得， 故， 从而，（*） 12分 因为，故，所以直线的方程为，① 同理直线的方程为，②， 13分 由①，②得，， ， 故，即点在直线上， 15分 另一方面，设线段的中点为，则由（*）知，，即， 从而点也在直线上， 16分 故，均为直线与直线的交点，从而，重合，故是线段的中点， 因为，所以，故， 即是定值． 17分 解法二：（1）同解法一； （2）（i）令，代入，得, 易知直线的斜率存在且不为零，故可设直线的方程为， 则直线的方程为，则， 4分 由得，故， 5分 所以， 由得，即， 6分 故，所以， 7分 当时，，，所以，直线的斜率； 当时，，，所以，直线的斜率； 当时，，，所以，直线的斜率； 当时，，，所以，直线的斜率； 综上可知，直线的斜率为或． 9分 （ii）因为在第一象限，由（i）知，，如图4，记， 设，，则由于时， 所以，对时，设直线的方程为， 10分 又由得，故， 从而，（*） 12分 因为，故，所以直线的方程为，① 同理直线的方程为，②， 13分 由①，②得，，， ， 故，即点在直线上， 15分 另一方面，设线段的中点为，则由（*）知，，即， 从而点也在直线上， 16分 故，均为直线与直线的交点，从而，重合，故是线段的中点， 因为，所以，故， 即是定值． 17分 解法三：（1）同解法一； （2）（i）令，代入，得,设，则， 由得，故， 4分 由得， 5分 又，所以， 6分 所以， 即，易知，所以，即，所以， 7分 当时，，所以，，直线的斜率； 当时，，所以，，直线的斜率； 当时，，所以，，直线的斜率； 当时，，所以，，直线的斜率； 综上可知，直线的斜率为或． 9分 （ii）同解法一． 19．解：（1）因为是可均分数列，所以对均成立， 即， 1分 令，则，令，则， 2分 两式相减得，， 3分 又因为是各项均为正整数的递增数列，所以对任意， 所以等号当且仅当时成立， 又因为，所以． 4分 （2）当时，若是可均分数列，对，，所以， 所以为常数，故是等差数列； 5分 另一方面，若是等差数列，则对，，从而， 故是可均分数列； 所以，当时，“是等差数列”是“是可均分数列”的充要条件． 6分 当时，取，则是可均分数列， 但不是等差数列，“是等差数列”不是“是可均分数列”的充要条件． 综上，． 8分 （3）由于是可均分数列， 所以时，，即， 故时，，① ，② 10分 即，， ③ 由于是可均分数列，由（1）知时，，④ 11分 ③代入④可得，化简得， 13分 即时，，所以，设， 又由①令，得，所以， 从而，即， 14分 由①令，得，即， 从而，即， 故对，，即是公差为的等差数列，， 15分 故 ， 故对均成立，所以是可均分数列． 17分 厦门一中2023级高二（上）12月月考数学参考答案与评分标准 第4页 （共8页） 学科网（北京）股份有限公司 $$