2.4 一元二次方程的实际应用-【一战成名新中考】2025辽宁中考数学·一轮复习·基础夯实练（讲册）

参考答案与重难题解析·辽宁数学　 基 础 夯 实 练 ⑤ bc ad 　 ⑥ bn an 　 ⑦x-1　 ⑧x+1　 ⑨x-2　 ⑩ a±b c 　 􀃊􀁉􀁓 ad±bc bd 　 􀃊􀁉􀁔(x-2)(x-1)　 􀃊􀁉􀁕(x+1)(x-1)　 􀃊􀁉􀁖(x+2)(x-2) 2 对点练习 1. x≠5　 2. x= 1 3. (1) - 4a 5b ;(2) - 1 2 ;(3)2;(4) 1 a+2 ;(5) 1 a-2 ;(6) -x 4. 解:原式= x-3 x-1 · x2 -9-2x+10 x2 -9 = x -3 x-1 · (x-1) 2 (x+3)(x-3) = x -1 x+3 , 由题意得 x≠1,且 x≠±3,∴ 当 x= 2 时,原式= 2-1 2+3 = 1 5 . 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 第二章　 方程(组)与不等式(组) 命题点 1　 一次方程(组)及其解法 要点归纳 ①2(x+2)= 20-5(x-1)　 ②2x+4 = 20-5x+5 ③2x+5x= 20+5-4　 ④7x= 21　 ⑤x= 3　 ⑥1 ⑦由①-②,得-3x= 3,解得 x= -1 对点练习 1. C　 2. 2　 变式 1 2　 变式 2 1 3. 解:代入消元法:由②得 x= 3y+6③, 把③代入①得 2(3y+6) +y= 5, 解得 y= -1,把 y= -1 代入③得 x= 3, 则方程组的解为 x= 3, y= -1;{ 加减消元法:由①×3+②得 7x= 21, 解得 x= 3, 把 x= 3 代入②得 y= -1, 则方程组的解为 x= 3, y= -1.{ 命题点 2　 一次方程(组)的实际应用 要点归纳 ①(100-x)　 ②10x+(100-x)×1= 235　 ③x= 15,则 100-x= 85 ④这个月该公司销售甲种特产 15 吨,销售乙种特产 85 吨 ⑤ a+b= 100, 10a+b= 235{ 对点练习 1. 90%x-y= 20%y, 80%x-y= 10{ 2. 1 12 x+ 1 24 x= 1　 拓展 1 7　 拓展 2 9 3. 7. 2 km / h,2. 6 km / h　 4. x+y= 24, 4×5x= 12y{ 命题点 3　 一元二次方程及其解法 要点归纳 ①a≠0　 ②a≠0　 ③两个不相等　 ④两个相等 ⑤- b 2a 　 ⑥没有　 ⑦- b a 　 ⑧ c a 对点练习 1. 16;36,6 2. 解:(1)由原方程得 x2 -2x= 4, 则 x2 -2x+1 = 4+1,即(x-1) 2 = 5, ∴ x-1 = ± 5 , ∴ x1 = 1+ 5 ,x2 = 1- 5 ; (2)b2 -4ac= ( -5) 2 -4×2×2 = 9>0, ∴ x= 5± 9 4 = 5±3 4 , ∴ x1 = 2,x2 = 1 2 . 3. (1)a<4 且 a≠0;(2)4;(3)a>4;(4)a≤4 4. 4 命题点 4　 一元二次方程的实际应用 ①a(1+x) 2 　 ②a(1-x) 2 　 ③80(1-x) 2 = 54 ④(a-2x)(b-2x)　 ⑤(a-x)(b-x)　 ⑥x· m-x 2 ⑦x· m+1-x 2 　 ⑧(a-2x)(b-2x)　 ⑨2 m ⑩(40-2x)(26-x)= 144×6　 􀃊􀁉􀁓ax　 􀃊􀁉􀁔ax2 　 􀃊􀁉􀁕(1+x) 􀃊􀁉􀁖(1+x) 2 对点练习 1. 10　 2. B 命题点 5　 分式方程及其应用 要点归纳 ①(x-2)　 ②3 = -(x+1) -(x-2)　 ③3 = -x-1-x+2 ④x= -1　 ⑤当 x= -1 时,x-2≠0　 ⑥x= -1　 ⑦ 600 x ⑧x+10　 ⑨ 350 x+10 　 ⑩ 600 x = 2× 350 x+10 　 􀃊􀁉􀁓x= 60　 􀃊􀁉􀁔经检验, x= 60 是原分式方程的解,且符合题意　 􀃊􀁉􀁕则 B 种书包每个 的进价为 x+10 = 70　 􀃊􀁉􀁖A 种书包每个进价为 60 元,B 种书 包每个进价为 70 元　 􀃊􀁉􀁗 6 3x 　 􀃊􀁉􀁘4x　 􀃊􀁉􀁙 10 4x 　 􀃊􀁉􀁚 6 3x + 20 60 = 10 4x 􀃊􀁉􀁛C　 􀃊􀁊􀁒 1 3 　 􀃊􀁊􀁓 1 3 　 􀃊􀁊􀁔 1 2 　 􀃊􀁊􀁕 1 2 　 􀃊􀁊􀁖 1 3 + 1 3 × 1 2 　 􀃊􀁊􀁗 1 3 + 1 3 × 1 2 + 1 2x = 1　 􀃊􀁊􀁘x = 1　 􀃊􀁊􀁙经检验,x = 1 是原分式方程的 解,且符合实际　 􀃊􀁊􀁚乙队的施工速度快 对点练习 1. (1)4;(2)3 或 4;(3)0<m<2;(4)0;(5)2 或 0 2. 3(x-1)= 6 210 x 3. 540 x = 540 +60 x+20 4. 原计划每天挖掘隧道的长度 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 2 基础夯实练·辽宁数学 第 二 章 　 方 程 ︵ 组 ︶ 与 不 等 式 ︵ 组 ︶ 命题点 4　 一元二次方程的实际应用 类型 1　 变化率问题 设原来的量为 a,变化后的量为 b, (1)若连续两次增长,平均增长率为 x,则 b= ①　 a(1+x) 2 　 ; (2)若连续两次下降,平均下降率为 x,则 b= ②　 a(1-x) 2 　 . 例 1　 为执行国家药品降价政策,某药品经过两次降价后,每瓶零售价由 80 元降为 54 元,求平 均每次降价的百分率,设平均每次降价的百分率为 x,可列方程为③　 80(1-x)2 =54　 . 类型 2　 面积问题 (1)如图 1,设空白部分的宽为 x,则 S阴影 = ④　 (a-2x)(b-2x) 　 ; 图 1 　 　 图 2 　 　 图 3 　 　 图 4 (2)如图 2、图 3、图 4,设阴影道路的宽为 x,则 S空白 = ⑤　 (a-x)(b-x) 　 ; (3)如图 5,用总长为 m 米的篱笆围成一个矩形,矩形的一边靠墙,若平行于墙的一边长为 x 米(墙面长度大于 x 米),则所围成矩形的面积为 S = ⑥　 　 　 　 ;如图 6,当在边上留 1 米的门时,S= ⑦　 　 　 　 ; 图 5 　 　 　 图 6 　 　 　 图 7 (4)如图 7,将长为 a,宽为 b 的矩形 ABCD 的四个角都剪去一个边长为 x 的正方形后做成一 个无盖的盒子,则该盒子的底面积 S= ⑧　 (a-2x)(b-2x) 　 . 例 2　 如图 8 所示,某小区计划在一个“长为 40 m,宽为 26 m”的矩形场地 ABCD 上修建三条 同样宽的道路,使其中两条与 AB 平行,另一条与 AD 平行,其余部分种草. 若使每一块 草坪的面积都是 144 m2,则道路的宽是⑨　 2 m　 . 图 8 　 　 　 　 　 　 图 9 【拓展】将图 8 中的三条道路分别向上、向左和向右平移到图 9 的位置,若设道路的宽为x m, 则可列方程为􀃊􀁉􀁒　 (40-2x)(26-x)= 144×6　 . 22 基础夯实练·辽宁数学 第 二 章 　 方 程 ︵ 组 ︶ 与 不 等 式 ︵ 组 ︶ 类型 3　 “传播”问题 (1)细胞分裂:现有 a 个细胞,若每轮分裂中每一个细胞可分裂成 x 个细胞,则第一轮分裂后 的细胞总数为􀃊􀁉􀁓　 ax　 ,第二轮分裂后的细胞总数为􀃊􀁉􀁔　 ax2 　 ; (2)病毒传染:有一个人患流感,若每轮传染中平均一个人传染了 x 个人,则第一轮后共 有􀃊􀁉􀁕　 (1+x) 　 个人患流感,第二轮后共有􀃊􀁉􀁖　 (1+x) 2 　 个人患流感; (3)植物主干分支:一种植物的主干长出 a 个支干,每个支干又长出同样数目的小分支,则主 干、支干和小分支的总数为(1+a+a2)个. 􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀦂 􀦂 􀦂􀦂 对 点练 习 1. [人教九上 P19 探究 1 改编]有一个人患了流感,经过两轮传染后共有 121 个人患了流 感,则每轮传染中平均一个人传染了　 10　 个人. 类型 4　 “循环”问题 (1)握手问题:有 n 个人相互之间只握一次手,则每个人需要握手(n-1)次,总握手次数 为 n(n-1) 2 ; (2)单循环赛问题:有 n 支球队参加比赛,每个球队都要和其他球队进行比赛,且相同的 两支球队只进行一场比赛,则每支球队需要进行( n- 1) 场比赛,总的比赛场次为 n(n-1) 2 场; (3)互赠礼物问题:一个班级有 n 名同学,每两名同学之间都要互相赠送一个礼物,则每 个同学需赠送礼物(n-1)个,总的礼物个数为 n(n-1) . 􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀦂 􀦂 􀦂􀦂 对 点练 习 2. [人教九上 P17 第 9 题改编]参加一次商品交易会的每两家公司之间都签订了一份合 同,所有公司共签订了 45 份合同,设有 x 家公司参加,则依题意列方程为 ( B ) A. 1 2 x(x+1)= 45　 　 B. 1 2 x(x-1)= 45　 　 C. x(x+1)= 45　 　 D. x(x-1)= 45 温馨提示:请完成分层作业本 P17-18 习题 32