1.5 分式及其运算-【一战成名新中考】2025辽宁中考数学·一轮复习·基础夯实练（讲册）

基础夯实练·辽宁数学 第 一 章 　 数 与 式 命题点 5　 分式及其运算(真卷 16(2)题;省样卷 16(2)题) 要点 1 分式的概念及性质 分式 (1)形式如 A B (A,B 表示两个整式);(2)B 中含有字母且 B≠0 最简分式 分子与分母没有公因式的分式 与分式有关 的“三个条件” (1)分式 A B 有意义的条件是:①　 B≠0　 ; (2)分式 A B 的值为 0 的条件是:②　 A=0 且 B≠0　 ; (3)使分式 A B ÷D C 有意义的条件是:③　 B≠0,C≠0,D≠0　 性 质 基本性质 分式的分子和分母同乘(或除以)一个不等于 0 的整式,分式的值不变 性质应用 (1) A B = A·M B·M (M≠0),该性质应用于分式的通分; (2) A B = A÷M B÷M (M≠0),该性质应用于分式的约分; (3)符号变化法则:分子、分母与分式本身的符号,改变其中任意两个,分 式的值不变,即 A B = -A -B = --A B = - A -B 􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀦂 􀦂 􀦂􀦂 对 点练 习 1. [北师八下 P109 例 1(2)改编]分式 2x-10 x-5 有意义的条件是　 x≠5　 . 2. [北师八下 P109 例 1(1)改编]分式 | x | -1 x+1 的值为 0 的条件是　 x=1　 . 要点 2 分式的运算 乘 除 运 算 (1)乘法: b a · d c = ④　 　 　 　 ; (2)除法: b a ÷ d c = b a · c d = ⑤　 　 　 ; (3)乘方:( b a ) n = ⑥　 　 　 ( n 为整 数) 分式乘除运算的关键是约分,即寻找分子、 分母的公因式,写出下列分式中分子、分母 的公因式: ①2x -2 x-1 :⑦　 x-1　 ;② x +1 x2 +2x+1 :⑧　 x+1　 ; ③ x2 -4x+4 x(x-2) :⑨　 x-2　 41 基础夯实练·辽宁数学 第 一 章 　 数 与 式 续表 加 减 运 算 (1)同 分 母 分 式 相 加 减: a c ± b c = ⑩　 　 　 　 ; (2) 异 分 母 分 式 相 加 减: a b ± c d = ad bd ±bc bd = 􀃊􀁉􀁓　 　 　 　 分式加减运算的关键是通分,即寻找最简公 分母,写出下列各组分式的最简公分母: ① 1 x-2 和 x x-1 :􀃊􀁉􀁔　 (x-2)(x-1) 　 ; ② 1 x-1 和 2x x2 -1 :􀃊􀁉􀁕　 (x+1)(x-1) 　 ; ③ 1 x2 -4 和 1 x2 -4x+4 :􀃊􀁉􀁖　 (x+2)(x-2) 2 　 注:若分子、分母是多项式,应先把分子、分母分解因式,然后确定最简公分母. 􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀦂 􀦂 􀦂􀦂 对 点练 习 3. 计算: (1) - 12a 2b 15ab2 = 　 　 　 　 ;　 　 (2) a -2b -2a+4b = 　 　 　 　 ;　 　 (3)2m -3 m-1 + 1 m-1 = 　 2　 ; (4) 2a a2 -4 - 1 a-2 = 　 　 　 　 ; (5)a +2 a-2 · a a2 +2a = 　 　 　 　 ; (6)1 -x x ÷x-1 x2 = 　 -x　 . 要点 3 分式的化简与求值 ◆先化简 (1)因式分解:化简刚开始及过程中利用提公因式法、平方差公式、完全平方公式将可因 式分解的分子或分母化成乘积的形式,为通分、约分做准备􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍; (2)有括号先去括号:将括号内的异分母分式通分为同分母分式,再合并同类项,化为一 个分式; 注:合并同类项时注意先乘除,后加减. (3)有除法,除变乘; (4)进行乘法运算,约分; (5)化为最简分式(或不含括号的整式)􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍. ◆再求值 直接代值或先通过计算得到未知字母的值,再代入计算(注意代入的值不能使原分式无意义). 􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀦂 􀦂 􀦂􀦂 对 点练 习 4. 先化简,再求值:x -3 x-1 ·(1- 2x -10 x2 -9 ),其中 x 是 1,2,3 中的一个合适的数. 解:原式=x -3 x-1 ·x 2-9-2x+10 x2-9 =x-3 x-1 · (x -1) 2 (x+3)(x-3) = x-1 x+3 , 由题意得 x≠1,且 x≠±3,∴当 x=2 时,原式=2 -1 2+3 = 1 5 . 温馨提示:请完成分层作业本 P9-10 习题 51 参考答案与重难题解析·辽宁数学　 一战成名新中考·数学(2025 辽宁) 　 参考答案与重难题解析 　 　 　 基 础 夯 实 练 　 基础夯实练 第一章　 数与式 命题点 1　 实数的相关概念及大小比较 要点归纳 ①不循环　 ②-3 m　 ③盈利 50 元　 ④亏损 80 元 ⑤温度下降 3 ℃ 　 ⑥- 1 2 或 3 2 　 ⑦-a　 ⑧0　 ⑨0　 ⑩-1　 􀃊􀁉􀁓相等　 􀃊􀁉􀁔对称　 􀃊􀁉􀁕-a　 􀃊􀁉􀁖大　 􀃊􀁉􀁗a= -b　 􀃊􀁉􀁘1　 􀃊􀁉􀁙±1 􀃊􀁉􀁚 2 　 􀃊􀁉􀁛大　 􀃊􀁊􀁒>　 􀃊􀁊􀁓 = 　 􀃊􀁊􀁔>　 􀃊􀁊􀁕108 对点练习 1. (1)①⑤⑥⑦⑨􀃊􀁉􀁓􀃊􀁉􀁔􀃊􀁉􀁕􀃊􀁉􀁖;(2) ③④⑧⑩;(3) ②③⑨􀃊􀁉􀁓; (4)①②③④⑥⑦⑨􀃊􀁉􀁓;(5)②;(6)⑤⑧⑩􀃊􀁉􀁔􀃊􀁉􀁕􀃊􀁉􀁖 2. (1)F,B;(2)①-1,- 1 2 ,1, 2 ,3,π;②A,C,1,2,原点; ③ 1 2 , 1 2 ,-2,-3,3, 1 3 3. C　 4. | -3 | 　 - 1 3 　 5. a<-b<b<-a 6. (1)3. 7×104 ;(2) 5. 4× 1010 ;(3) 7. 6× 10-4 ;(4) 4. 5× 103 ; (5)1. 25×10-7 ;(6)5×10-4 7. (1)720 000;(2)0. 007 2;(3) -73 200 8. (1)246;(2)245. 6;(3)245. 64;(4)245. 64 命题点 2　 实数的运算 要点归纳 ①na　 ② 1 b 　 ③an 　 ④1　 ⑤ 1 ap 　 ⑥ 1 a 　 ⑦b-a 　 ⑧ 1 2 　 ⑨ 3 2 　 ⑩ 3 3 　 􀃊􀁉􀁓 2 2 　 􀃊􀁉􀁔 2 2 　 􀃊􀁉􀁕1　 􀃊􀁉􀁖 3 2 　 􀃊􀁉􀁗 1 2 　 􀃊􀁉􀁘 3 对点练习 1. (1)1;(2)12;(3)1;(4)1- 2 ;(5) -2;(6) 1 4 ;(7)1; (8)2;(9) - 2 2 2. 解:(1)原式= 4-3 3 + 3 -1+4× 3 2 = 4-3 3 + 3 -1+2 3 = 3; (2)原式= 1+ 1 3 ×3- 2 × 2 2 = 1+1-1 = 1. 命题点 3　 二次根式及其运算 (含无理数的估值) 要点归纳 ①相反数　 ②0　 ③0 和 1　 ④3 a 　 ⑤-1、0、1　 ⑥≥　 ⑦a ⑧ ab 　 ⑨ a÷b 　 ⑩4　 􀃊􀁉􀁓9　 􀃊􀁉􀁔2　 􀃊􀁉􀁕3　 􀃊􀁉􀁖C　 􀃊􀁉􀁗2. 5 􀃊􀁉􀁘3　 􀃊􀁉􀁙C 对点练习 1. (1)x≥4;(2)x>1;(3)x≥1 且 x≠2 2. (1)3;(2)3;(3) -3;(4) 3 ;(5) 6 ;(6)2;(7)3 2 +2 3 ; (8)1 命题点 4　 代数式、整式与因式分解 要点归纳 ①am+n 　 ②amn 　 ③ambm 　 ④am-n 　 ⑤ 1 ap 　 ⑥1 ⑦am+an+bm+bn　 ⑧a2 -b2 　 ⑨a2 ±2ab+b2 对点练习 1. (1)(1-45%)x;(2)a+10b　 2. 2　 变式 2 026 3. 15,± 13 　 变式 8 4. 2n-1 n2 +1 　 5. 30　 6. 3　 7. 3,-4　 8. C 9. (1)y(x-2y);(2)(4a-1) 2 ;(3)(3+x)(3-x) 10. 解法 1:原式= x2 +2x+1-x2 -x = x+1, 当 x= 2 024 时,原式= 2 024+1 = 2 025. 解法 2:原式= (x+1)(x+1-x) = x+1, 当 x= 2 024 时,原式= 2 024+1 = 2 025. 命题点 5　 分式及其运算 要点归纳 ①B≠0　 ②A= 0 且 B≠0　 ③B≠0,C≠0,D≠0　 ④ bd ac 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 1 参考答案与重难题解析·辽宁数学　 基 础 夯 实 练 ⑤ bc ad 　 ⑥ bn an 　 ⑦x-1　 ⑧x+1　 ⑨x-2　 ⑩ a±b c 　 􀃊􀁉􀁓 ad±bc bd 　 􀃊􀁉􀁔(x-2)(x-1)　 􀃊􀁉􀁕(x+1)(x-1)　 􀃊􀁉􀁖(x+2)(x-2) 2 对点练习 1. x≠5　 2. x= 1 3. (1) - 4a 5b ;(2) - 1 2 ;(3)2;(4) 1 a+2 ;(5) 1 a-2 ;(6) -x 4. 解:原式= x-3 x-1 · x2 -9-2x+10 x2 -9 = x -3 x-1 · (x-1) 2 (x+3)(x-3) = x -1 x+3 , 由题意得 x≠1,且 x≠±3,∴ 当 x= 2 时,原式= 2-1 2+3 = 1 5 . 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 第二章　 方程(组)与不等式(组) 命题点 1　 一次方程(组)及其解法 要点归纳 ①2(x+2)= 20-5(x-1)　 ②2x+4 = 20-5x+5 ③2x+5x= 20+5-4　 ④7x= 21　 ⑤x= 3　 ⑥1 ⑦由①-②,得-3x= 3,解得 x= -1 对点练习 1. C　 2. 2　 变式 1 2　 变式 2 1 3. 解:代入消元法:由②得 x= 3y+6③, 把③代入①得 2(3y+6) +y= 5, 解得 y= -1,把 y= -1 代入③得 x= 3, 则方程组的解为 x= 3, y= -1;{ 加减消元法:由①×3+②得 7x= 21, 解得 x= 3, 把 x= 3 代入②得 y= -1, 则方程组的解为 x= 3, y= -1.{ 命题点 2　 一次方程(组)的实际应用 要点归纳 ①(100-x)　 ②10x+(100-x)×1= 235　 ③x= 15,则 100-x= 85 ④这个月该公司销售甲种特产 15 吨,销售乙种特产 85 吨 ⑤ a+b= 100, 10a+b= 235{ 对点练习 1. 90%x-y= 20%y, 80%x-y= 10{ 2. 1 12 x+ 1 24 x= 1　 拓展 1 7　 拓展 2 9 3. 7. 2 km / h,2. 6 km / h　 4. x+y= 24, 4×5x= 12y{ 命题点 3　 一元二次方程及其解法 要点归纳 ①a≠0　 ②a≠0　 ③两个不相等　 ④两个相等 ⑤- b 2a 　 ⑥没有　 ⑦- b a 　 ⑧ c a 对点练习 1. 16;36,6 2. 解:(1)由原方程得 x2 -2x= 4, 则 x2 -2x+1 = 4+1,即(x-1) 2 = 5, ∴ x-1 = ± 5 , ∴ x1 = 1+ 5 ,x2 = 1- 5 ; (2)b2 -4ac= ( -5) 2 -4×2×2 = 9>0, ∴ x= 5± 9 4 = 5±3 4 , ∴ x1 = 2,x2 = 1 2 . 3. (1)a<4 且 a≠0;(2)4;(3)a>4;(4)a≤4 4. 4 命题点 4　 一元二次方程的实际应用 ①a(1+x) 2 　 ②a(1-x) 2 　 ③80(1-x) 2 = 54 ④(a-2x)(b-2x)　 ⑤(a-x)(b-x)　 ⑥x· m-x 2 ⑦x· m+1-x 2 　 ⑧(a-2x)(b-2x)　 ⑨2 m ⑩(40-2x)(26-x)= 144×6　 􀃊􀁉􀁓ax　 􀃊􀁉􀁔ax2 　 􀃊􀁉􀁕(1+x) 􀃊􀁉􀁖(1+x) 2 对点练习 1. 10　 2. B 命题点 5　 分式方程及其应用 要点归纳 ①(x-2)　 ②3 = -(x+1) -(x-2)　 ③3 = -x-1-x+2 ④x= -1　 ⑤当 x= -1 时,x-2≠0　 ⑥x= -1　 ⑦ 600 x ⑧x+10　 ⑨ 350 x+10 　 ⑩ 600 x = 2× 350 x+10 　 􀃊􀁉􀁓x= 60　 􀃊􀁉􀁔经检验, x= 60 是原分式方程的解,且符合题意　 􀃊􀁉􀁕则 B 种书包每个 的进价为 x+10 = 70　 􀃊􀁉􀁖A 种书包每个进价为 60 元,B 种书 包每个进价为 70 元　 􀃊􀁉􀁗 6 3x 　 􀃊􀁉􀁘4x　 􀃊􀁉􀁙 10 4x 　 􀃊􀁉􀁚 6 3x + 20 60 = 10 4x 􀃊􀁉􀁛C　 􀃊􀁊􀁒 1 3 　 􀃊􀁊􀁓 1 3 　 􀃊􀁊􀁔 1 2 　 􀃊􀁊􀁕 1 2 　 􀃊􀁊􀁖 1 3 + 1 3 × 1 2 　 􀃊􀁊􀁗 1 3 + 1 3 × 1 2 + 1 2x = 1　 􀃊􀁊􀁘x = 1　 􀃊􀁊􀁙经检验,x = 1 是原分式方程的 解,且符合实际　 􀃊􀁊􀁚乙队的施工速度快 对点练习 1. (1)4;(2)3 或 4;(3)0<m<2;(4)0;(5)2 或 0 2. 3(x-1)= 6 210 x 3. 540 x = 540 +60 x+20 4. 原计划每天挖掘隧道的长度 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 2