1.4 代数式、整式与因式分解-【一战成名新中考】2025辽宁中考数学·一轮复习·基础夯实练（讲册）

基础夯实练·辽宁数学 第 一 章 　 数 与 式 解题步骤 图示理解法 ①确定无理数在哪两个相邻整 数之间 2< 7 <3 ②求这两个整数的平均数 1 2 ×(2+3)= 􀃊􀁉􀁗　 2. 5　 ③若平均数的平方小于该无理 数的平方,则该无理数更接近 较大的那个整数 ∵ 2. 52 = 6. 25,6. 25<7, ∴ 7 离􀃊􀁉􀁘　 3　 更近 【答案】􀃊􀁉􀁙　 C　 注:常见无理数的近似值: 2 ≈1. 414, 3 ≈1. 732, 5 ≈2. 236,黄金分割比 5 -1 2 ≈0. 618. 温馨提示:请完成分层作业本 P5-6 习题 命题点 4　 代数式、整式与因式分解 (真卷 5 题;省样卷 4 题;省模考 5,11 题) 要点 1 列代数式及求值 代数式 用基本运算符号将数或表示数的字母连接所成的式子,称为代数式. 单独的一 个数或一个字母也是代数式 列代 数式 关键是找出问题中的数量关系. 牢记一些公式,如:路程=速度×时间,总价=数量 ×单价,售价=标价×折扣;抓住关键词语,如:大、小、多、少、倍、分、增长、下降等 易错警示:多项式后面带单位时,要用括号括起来,如:(x+y)人 代数式 求值 直接代入法:把已知字母的值代入代数式,并按原来的运算顺序计算求值. 如: 已知 a= 2,则 2a+3 = 7 整体代入法: ①观察已知条件和所求代数式的关系; ②将所求代数式变形后与已知代数式成倍数关系,一般会用到提公因式法、平 方差公式、完全平方公式; ③把已知代数式看成一个整体代入所求代数式中求值; ④整体代入法的常见变形: a. a2 +b2 =(a+b) 2 -2ab=(a-b) 2 +2ab;　 b. 4ab=(a+b) 2 -(a-b) 2; c. a2 +b2 = 1 2 [(a+b) 2 +(a-b) 2]; d. x2 + 1 x2 =(x+ 1 x ) 2 -2 =(x- 1 x ) 2 +2 􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀦂 􀦂 􀦂􀦂 对 点练 习 1. [北师七上 P82 第 1 题改编]用代数式表示: (1)某班共有 x 名学生,其中女生人数占 45%,那么男生人数是　 (1-45%)x　 ; (2)若一个两位整数的个位数字是 a,十位数字是 b( b≠0),则这个两位数应表示 为　 a+10b　 . 01 基础夯实练·辽宁数学 第 一 章 　 数 与 式 􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀦂 􀦂 􀦂􀦂 2. 若 x-2y= 3,则代数式 2x-4y-4 的值是　 2　 . 变式 已知代数式 x-2y-1 的值是-3,则代数式 2 024-x+2y 的值是　 2 026　 . 3. [人教八上 P112 习题第 7 题改编] 已知 a + b = 5, ab = 3,则 a2b + ab2 = 　 15 　 , a - b= 　 ± 13 　 . 变式 若 a- 1 a = 6 ,则 a2 + 1 a2 = 　 8　 . 要点 2 简单数列推理 (1)正整数型:若一列正整数:1,2,3,…,依照此规律,则第 n(n≥1)个数是 n,这 n(n≥1) 个数的和为 n(n+1) 2 ; (2)奇偶型:若一列数:1,3,5,7,9,…,依照此规律,则第 n(n≥1)个数是 2n-1,这 n(n≥ 1)个数的和为 n2; 若一列数:2,4,6,8,…,依照此规律,则第 n(n≥1)个数是 2n,这 n(n≥1)个数的和为 n2+n; (3)正负交替型:若一列数:-1,1,-1,1,-1,…,依照此规律,则第 n(n≥1)个数是(-1) n; 若一列数:1,-1,1,-1,1,…,依照此规律,则第 n(n≥1)个数是(-1) n+1; (4)平方型:若一列数:1,4,9,16,…,依照此规律,则第 n(n≥1)个数是 n2; (5)固定累加型:若一列数:4,7,10,…,依照此规律,则第 n(n≥1)个数是 3n+1; (6)乘积型:若一列数:2,6,12,20,…,依照此规律,则第 n(n≥1)个数是 n(n+1); (7)差值固定累加型:若一列数:1,3,6,10,…,依照此规律,则第 n(n≥1)个数是n(n +1) 2 ; (8)循环规律型:若坐标系中一点绕原点 O 顺时针旋转,每次旋转 60°,则旋转 6 次为一个 循环;每次旋转 90°,则旋转 4 次为一个循环;每次旋转 45°,则旋转 8 次为一个循环. 要点 3 代数推理【2022 年版课标新增内容】 课标例题:设 abcd 是一个四位数,求证:若 a+b+c+d 可以被 3 整除,则这个数可以被 3 整除. 证明:abcd= 1 000a+100b+10c+d = (999a+99b+9c) + (a+b+c+d),显然(999a+99b+9c)能 被 3 整除,因此,如果(a+b+c+d)能被 3 整除,那么 abcd 就能被 3 整除. 􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀦂 􀦂 􀦂􀦂 对 点练 习 4. 按规律排列的一组数据: 1 2 , 3 5 , 1 2 , 7 17 , 9 26 ,11 37 ,…,则第 n(n≥1)个数是　 　 　 　 . 5. [北师七上 P99 第 1(2)题改编]按如图所示的方式摆放餐桌和椅子,图①中共有 6 把椅 子,图②中共有 10 把椅子,…,按此规律,则图⑦中椅子把数是　 30　 . 图① 　 　 图② 　 　 图③ 第 5 题图 11 基础夯实练·辽宁数学 第 一 章 　 数 与 式 要点 4 整式的相关概念 单 项 式 概念 数或字母的积的式子,单独的一个数或一个字母也是单项式 系数 单项式中的数字因数 次数 一个单项式中,所有字母的指数的和 例: 叫作五次单项式 多 项 式 概念 几个单项式的和 项 多项式中的每个单项式叫作多项式的项,其中不含 字母的项叫作常数项 次数 多项式中次数最高项的次数 例: 叫作三次三项式 整式 单项式和多项式统称为整式 􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀦂 􀦂 􀦂􀦂 对 点练 习 6. 单项式-3πx3 的次数是　 3　 . 7. 多项式 x2 -4-3xy2 的次数是　 3　 ,常数项是　 -4　 . 要点 5 整式的运算 整式的 加减法 (1)同类项:所含字母相同,并且相同字母的指数也相同的项,叫作同类项. 例 如:8n 与 5n,2a2b 与-7a2b 是同类项(几个常数项也是同类项); (2)把同类项合并成一项叫作合并同类项. 整式加减的本质就是先去括号,再 合并同类项. 例如:8n+5n= 13n,-7a2b+2a2b= -5a2b 幂的 运算 (1)同底数幂的乘法:am·an = ①　 am+n 　 (m,n 都是整数); (2)幂的乘方:(am) n = ②　 amn 　 (m,n 都是整数); (3)积的乘方:(ab)m = ③　 ambm 　 (m 是整数); (4)同底数幂的除法:am÷an = ④　 am-n 　 (a≠0,m,n 都是整数,且 m>n); (5)负指数幂:a-p = ⑤　 　 　 　 (a≠0,p 为整数); (6)零指数幂:a0 = ⑥　 1　 (a≠0) 整式的 乘法 (1) 单 项 式 与 单 项 式 相 乘: - 2am · an = -2a2mn; (2)单项式与多项式相乘:m(a+b+c)= ma+ mb+mc; (3)多项式与多项式相乘:(a+b)(m+n)= ⑦　 am+an+bm+bn　 ; (4)乘法公式: ①平方差公式: a+b( ) a-b( ) =⑧　 a2-b2　 ; ②完全平方公式: a±b( ) 2 =⑨　 a2±2ab+b2　 21 基础夯实练·辽宁数学 第 一 章 　 数 与 式 续表 整式的 除法 (1)单项式除以单项式:a3m2 ÷(-2am)= - 1 2 a2m; (2)多项式除以单项式:(3a2b-ab2 +b)÷b= 3a2-ab+1 整式混 合运算 的顺序 先算乘方,再算乘除,最后算加减,有括号先算括号里面的,整式运算的结果是 单项式或多项式 注:数的运算律在整式的运算中依然成立. 􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀦂 􀦂 􀦂􀦂 对 点练 习 8. 下列计算正确的是 ( C ) A. a3 +a3 = 2a6 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 B. x2·x3 = x6 C. 6x3y6 ÷2xy2 = 3x2y4 D. (x-2y) 2 = x2 -2xy+4y2 要点 6 因式分解 概念 把一个多项式化成几个整式的积的形式 方 法 提公因式法 ma+mb+mc=m(a+b+c); 公因式的确定 系数:取各项系数的最大公约数 字母:取各项相同的字母 指数:取各项相同字母的最低次数 ì î í ï ï ï ï 公式法 a2 -b2 因式分解 平方差公式 􀜩 􀜨􀜑􀜑􀜑􀜑􀜑 (a+b)(a-b) a2 ±2ab+b2 因式分解 完全平方公式 􀜩 􀜨􀜑􀜑􀜑􀜑􀜑 (a±b) 2 一般步骤 一提(提公因式);二套(套乘法公式);三检验(检验是否分解彻底) 拓展十字相乘法:x2 +(a+b)x+ab=(x+a)(x+b). 如:x2 +5x+6 =(x+2)(x+3). 􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀦂 􀦂 􀦂􀦂 对 点练 习 9. 将下列各式进行因式分解. (1)xy-2y2 = 　 y(x-2y) 　 ;　 　 　 　 　 (2)16a2 -8a+1 = 　 (4a-1) 2 　 ; (3)9-x2 = 　 (3+x)(3-x) 　 . 10. 多解法 ∙∙∙ 先化简,再求值:(x+1) 2 -x(x+1),其中 x= 2 024. 解:解法一:原式=x2+2x+1-x2-x =x+1, 当 x=2 024 时,原式=2 024+1=2 025. 　 　 　 解法二:原式=(x+1)(x+1-x) =x+1, 当 x=2 024 时,原式=2 024+1=2 025. 温馨提示:请完成分层作业本 P7-8 习题 31 2 一战成名新中考·数学(2025辽宁厂战成名 参考答案与重难题解析 基础夯实练 第一章数与式 命题点1实数的相关概念及大小比较 命题点3二次根式及其运算 要点归纳 (含无理数的估值) 基础夯实练 ①不循环②-3m③盈利50元④亏损80元 要点归纳 ⑤温度下降3℃⑥-或号 ①-a⑧0⑨00-1 ①相反数②0③0和1④a⑤-1.0,1⑥≥⑦a D相等2对称B-m9大5a=-b01±1 ⑧ab⑨√a÷b04①922B3C525 B29大②0>4=2>810 g0340C 对点练习 1.(1)①56⑦9D2B0:(2)8④80：(3)2③⑨D: 对点练习 (4)①2③④6⑦9①：(5)②：(6)58002B1 1.(1)x≥4：(2)x>1:(3)x≥1且x2 1 2()F,B:(2)①-1.21,2,3.m:②A,G1,2原点 2.(1)3:(2)3:(3)-3:(4)3;(5)6:(6)2:(7)32+23: 311 (8)1 1 222,-3.33 命题点4代数式、整式与因式分解 1 3C41-3135a<-c-a 要点归纳 6.(1)3.7×10:(2)5.4×10:(3)7.6×10:(4)4.5×10: ①am②a"8a6④a51 ⑥1 (5)1.25×107:(6)5×10 7.(1)720000:(2)0.0072:(3)-73200 ⑦am+an+bm+bm⑧a2-2⑨a2±2ab+b 8.(1)246:(2)245.6:(3)245.64:(4)245.64 对点练习 命题点2实数的运算 1.(1)(1-45%)x:(2)a+1062.2变式2026 要点归纳 ①咖3④15}66-。8 3.15,±3变式8 2 42m-5.30637.3,-48C 2 ·065 m2+1 对点练习 9.(1)y(x-2y):(2)(4n-1)2:(3)(3+x)(3-x) 1(01:(212:(3)1:(41-2(5-2:(6(71: 10.解法1：原式=x2+2x+1-x2-x =x+1. 82,9号 当x=2024时，原式=2024+1=2025 2解：()原式=4-33+3-1+4x月 解法2：原式=(x+1)(x+1-x) =x+1, =4-33+/3-1+2W3 当x=2024时.原式=2024+1=2025 =3: 命题点5分式及其运算 （2)原武=1+写3-万x号 要点归纳 =1+1-1 =1. 0B02A=0且B≠0③B≠0，C40,D≠0④ 参考答案与重难题解析·辽宁数学/