1.3 二次根式及其运算(含无理数的估值)-【一战成名新中考】2025辽宁中考数学·一轮复习·基础夯实练（讲册）

基础夯实练·辽宁数学 第 一 章 　 数 与 式 命题点 3　 二次根式及其运算(含无理数的估值)(省样卷 11 题) 要点 1 平方根、算术平方根、立方根的对比 名称 a(a>0) a(a= 0) a(a<0) 总结 平方根 ± a 0 无 正 数 有 两 个 平 方 根, 它 们 互 为 ①　 相反数　 ;平方根等于本身的数 是②　 　 　 　 算术平方根 a 0 无 算术平方根等于本身的数是③　 0和1　 立方根 3 a 0 ④　 3 a 　 任意一个实数只有一个立方根,且与 原数同号;立方根等于本身的数是 ⑤　 -1、0、1　 注:①∵ (±10) 2 = 100,∴ 100 的平方根是±10. 附表:百以内的完全平方数及其平方根 完全平方数 0 1 4 9 16 25 36 49 64 81 100 平方根 0 ±1 ±2 ±3 ±4 ±5 ±6 ±7 ±8 ±9 ±10 ②∵ 43 = 64,∴ 64 的立方根是 4. 附表:千以内的完全立方数(含对应的负数)及其立方根【2022 年版课标变化】 完全立方数 0 1 8 27 64 125 216 343 512 729 1 000 立方根 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 完全立方数 — -1 -8 -27 -64 -125 -216 -343 -512 -729 -1 000 立方根 — -1 -2 -3 -4 -5 -6 -7 -8 -9 -10 要点 2 二次根式 二次根式 一般地,式子 a (a≥0)叫作二次根式,a 是被开方数 有意义的条件 被开方数 a⑥　 ≥　 0 最简二次根 式的条件 ①被开方数不含分母;②被开方数中不含能开得尽方的因数或因式 同类二次根式 化为最简二次根式后,被开方数相同的几个二次根式称为同类二次根 式. 如: 12 (化简后为 2 3 )与 3 就是同类二次根式 性质 (1)双重非负性: a≥0(a≥0);(2)( a ) 2 = ⑦　 a　 (a≥0); (3) a2 = | a | = a(a≥0), -a(a<0),{ 注:只有当 a≥0 时, a 2 =( a ) 2; (4) ab = a· b (a≥0,b≥0); (5) a b = a b (a≥0,b>0) ü þ ý ï ï ï ï 北师独有 8 基础夯实练·辽宁数学 第 一 章 　 数 与 式 续表 运算 (1)乘法运算: a· b = ⑧　 ab 　 (a≥0,b≥0); (2)除法运算: a b = a b 或 a ÷ b = ⑨　 a÷b 　 (a≥0,b>0); (3)加、减运算本质:同类二次根式运算 步骤一:化简为最简二次根式;步骤二:合并同类二次根式. 切记: a + b≠ a+b (a>0,b>0); (4)混合运算:先乘除,再加减;有括号先算括号里的(或先去掉括号) 易错警示:二次根式运算的最终结果应化为最简􀪍􀪍二次根式 非负数 (1)常见非负数: | a | (a 是任意实数),a2n(a 是任意实数,n 为正整数), a (a≥0); (2)若 a2 + | b | + c = 0,则 a= 0,b= 0,c= 0 􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀦂 􀦂 􀦂􀦂 对 点练 习 1. x 取何值时,下列式子有意义? (1) x-4 :　 x≥4　 ;　 　 (2) 2 -x x-1 :　 x>1　 ;　 　 (3) x -1 2-x :　 x≥1 且 x≠2　 . 2. 计算: (1)( 3 ) 2 = 　 3　 ; (2) ( -3) 2 = 　 3　 ; (3) - ( -3) 2 = 　 -3　 ; (4) 12 - 3 = 　 3 　 ; (5) 2 × 3 = 　 6 　 ; (6) 4 3 ÷ 1 3 = 　 2　 ; (7)( 3 + 2 ) × 6 = 　 3 2 +2 3 　 ;　 　 　 　 (8)( 3 - 2 ) ×( 3 + 2 )= 　 1　 . 要点 3 无理数的估值 (1)关键点:m2 <a<n2(m>0,a>0,n>0)→m< a <n; (2)确定无理数在哪两个整数之间 例 1　 估计 7的值在 (　 　 ) 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　A. 0 和 1 之间 B. 1 和 2 之间 C. 2 和 3 之间 D. 3 和 4 之间 解题步骤 备注 ①先对无理数平方 ( 7 ) 2 = 7 ②找出平方后与所得数字相邻 的两个开得尽方的整数比较 大小 ⑩　 4　 <7<􀃊􀁉􀁓　 9　 ③对两个整数开方即可 􀃊􀁉􀁔　 2　 < 7 <􀃊􀁉􀁕　 3　 ①熟记常见的平方数:1,4,9, 16,25,36,…; ②若无理数为 n a形式,需先转 化为 an2 再估值,不容易出错 【答案】􀃊􀁉􀁖　 C　 (3)确定无理数离哪个整数较近 例 2　 下列整数中,与 7最接近的是 (　 　 ) A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 9 基础夯实练·辽宁数学 第 一 章 　 数 与 式 解题步骤 图示理解法 ①确定无理数在哪两个相邻整 数之间 2< 7 <3 ②求这两个整数的平均数 1 2 ×(2+3)= 􀃊􀁉􀁗　 2. 5　 ③若平均数的平方小于该无理 数的平方,则该无理数更接近 较大的那个整数 ∵ 2. 52 = 6. 25,6. 25<7, ∴ 7 离􀃊􀁉􀁘　 3　 更近 【答案】􀃊􀁉􀁙　 C　 注:常见无理数的近似值: 2 ≈1. 414, 3 ≈1. 732, 5 ≈2. 236,黄金分割比 5 -1 2 ≈0. 618. 温馨提示:请完成分层作业本 P5-6 习题 命题点 4　 代数式、整式与因式分解 (真卷 5 题;省样卷 4 题;省模考 5,11 题) 要点 1 列代数式及求值 代数式 用基本运算符号将数或表示数的字母连接所成的式子,称为代数式. 单独的一 个数或一个字母也是代数式 列代 数式 关键是找出问题中的数量关系. 牢记一些公式,如:路程=速度×时间,总价=数量 ×单价,售价=标价×折扣;抓住关键词语,如:大、小、多、少、倍、分、增长、下降等 易错警示:多项式后面带单位时,要用括号括起来,如:(x+y)人 代数式 求值 直接代入法:把已知字母的值代入代数式,并按原来的运算顺序计算求值. 如: 已知 a= 2,则 2a+3 = 7 整体代入法: ①观察已知条件和所求代数式的关系; ②将所求代数式变形后与已知代数式成倍数关系,一般会用到提公因式法、平 方差公式、完全平方公式; ③把已知代数式看成一个整体代入所求代数式中求值; ④整体代入法的常见变形: a. a2 +b2 =(a+b) 2 -2ab=(a-b) 2 +2ab;　 b. 4ab=(a+b) 2 -(a-b) 2; c. a2 +b2 = 1 2 [(a+b) 2 +(a-b) 2]; d. x2 + 1 x2 =(x+ 1 x ) 2 -2 =(x- 1 x ) 2 +2 􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀦂 􀦂 􀦂􀦂 对 点练 习 1. [北师七上 P82 第 1 题改编]用代数式表示: (1)某班共有 x 名学生,其中女生人数占 45%,那么男生人数是　 (1-45%)x　 ; (2)若一个两位整数的个位数字是 a,十位数字是 b( b≠0),则这个两位数应表示 为　 a+10b　 . 01 2 一战成名新中考·数学(2025辽宁厂战成名 参考答案与重难题解析 基础夯实练 第一章数与式 命题点1实数的相关概念及大小比较 命题点3二次根式及其运算 要点归纳 (含无理数的估值) 基础夯实练 ①不循环②-3m③盈利50元④亏损80元 要点归纳 ⑤温度下降3℃⑥-或号 ①-a⑧0⑨00-1 ①相反数②0③0和1④a⑤-1.0,1⑥≥⑦a D相等2对称B-m9大5a=-b01±1 ⑧ab⑨√a÷b04①922B3C525 B29大②0>4=2>810 g0340C 对点练习 1.(1)①56⑦9D2B0:(2)8④80：(3)2③⑨D: 对点练习 (4)①2③④6⑦9①：(5)②：(6)58002B1 1.(1)x≥4：(2)x>1:(3)x≥1且x2 1 2()F,B:(2)①-1.21,2,3.m:②A,G1,2原点 2.(1)3:(2)3:(3)-3:(4)3;(5)6:(6)2:(7)32+23: 311 (8)1 1 222,-3.33 命题点4代数式、整式与因式分解 1 3C41-3135a<-c-a 要点归纳 6.(1)3.7×10:(2)5.4×10:(3)7.6×10:(4)4.5×10: ①am②a"8a6④a51 ⑥1 (5)1.25×107:(6)5×10 7.(1)720000:(2)0.0072:(3)-73200 ⑦am+an+bm+bm⑧a2-2⑨a2±2ab+b 8.(1)246:(2)245.6:(3)245.64:(4)245.64 对点练习 命题点2实数的运算 1.(1)(1-45%)x:(2)a+1062.2变式2026 要点归纳 ①咖3④15}66-。8 3.15,±3变式8 2 42m-5.30637.3,-48C 2 ·065 m2+1 对点练习 9.(1)y(x-2y):(2)(4n-1)2:(3)(3+x)(3-x) 1(01:(212:(3)1:(41-2(5-2:(6(71: 10.解法1：原式=x2+2x+1-x2-x =x+1. 82,9号 当x=2024时，原式=2024+1=2025 2解：()原式=4-33+3-1+4x月 解法2：原式=(x+1)(x+1-x) =x+1, =4-33+/3-1+2W3 当x=2024时.原式=2024+1=2025 =3: 命题点5分式及其运算 （2)原武=1+写3-万x号 要点归纳 =1+1-1 =1. 0B02A=0且B≠0③B≠0，C40,D≠0④ 参考答案与重难题解析·辽宁数学/