2.5 分式方程及其应用-【一战成名新中考】2025辽宁中考数学·一轮复习·分层作业本（练册）

分层作业本·辽宁数学 　 第 二 章 方 程 ︵ 组 ︶ 与 不 等 式 ︵ 组 ︶ 命题点 5　 分式方程及其应用(真卷 11 题;省样卷 6 题;省模考 13 题) 考向 1　 分式方程的解法(真卷 11 题;省样卷 6 题;省模考 13 题) 1. [2024 辽宁省样卷]解分式方程 2 x = 1 x-1 时,将方 程两边都乘同一个整式,得到一个一元一次 方程,这个整式是 ( D ) 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　A. x B. x-1 C. x(x+1) D. x(x-1) 2. [2024 辽宁 11 题 3 分]方程 5 x+2 =1 的解为　 x3　 . 变式 下列解为-1 的分式方程是 ( C ) A. 1 x-1 = 0 B. x+1 x2 -1 = 0 C. x2 -1 x-1 = 0 D. 2 x+1 = 1 x+2 3. [2024 铁岭二模]解方程: x+1 x-1 - 4 x2 -1 = 1. 解:方程两边同乘(x+1)(x-1), 得(x+1) 2-4=(x+1)(x-1), 化简,得 2x=2,解得 x=1, 检验:x=1 时,(x+1)(x-1)= 0, ∴ x=1 是增根,原分式方程无解. 考向 2　 分式方程解的应用 4. [人教八上 P158 第 5 题改编]小明准备完成题 目:“解方程: 2 + 1 x+2 = 0”,发现分母的内容 印刷不清,查阅答案后发现标准答案是 x = -1,请你帮助小明推断印刷不清的内容可能 是 ( A ) A. x-1 B. -x-1 C. x+1 D. x2 -1 5. [2024 铁岭期末]关于 x 的分式方程 mx-2 x+1 = -1 无解,则 m 的值是 ( D ) A. 1 B. 2 C. 0 或-1 D. -1 或-2 变式 1 已知关于 x 的分式方程x +2 x+3 = m x+3 有增根, 则 m 的值是 ( ) 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　A. -3 B. -2 C. -1 D. 0 变式 2 如果关于 x 的分式方程 1 x - m x+1 = 0 的解是 负数,那么实数 m 的取值范围是 ( ) A. m<1 且 m≠0 B. m<1 C. m>1 D. m<1 且 m≠-1 变式 3 [2024 牡丹江]若分式方程 x x-1 = 3- mx 1-x 的解 为正整数,则整数 m 的值为　 　 　 . 考向 3　 分式方程的实际应用 6. 真实情境 [2024 辽阳三模]全长 360 千米的吉图 珲铁路客运专线被誉为东北最美高铁线,它 不仅串起了一道道美丽的风景,更是丰富了 时下“说走就走”的旅行新常态. 该专线上,高 铁运行时速约为普快列车(俗称“绿皮车”)的 2 倍;若中途均不停车,高铁列车全程运行时间 比普快列车缩短 1. 5 小时,求普快列车的运行 速度.若设普快列车的运行速度是 x 千米 /时, 根据题意可列方程为 ( A ) A. 360 x -360 2x = 1. 5 B. 360 x +360 2x = 1. 5 C. 360 2x -360 x = 1. 5 D. 2x 360 -1. 5 = x 360 变式 《九章算术》是我国古代重要的数学专 著之一,其中记录的一道题译为:把一份文件 用慢马送到 900 里外的城市,需要的时间比规 定时间多 1 天;如果用快马送,所需的时间比 规定时间少 3 天. 已知快马的速度是慢马的 2 倍. 根据题意列方程为900 x+1 ×2 = 900 x-3 ,其中 x 表 示　 规定的时间　 . 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 91 班级: 　 姓名: 分层作业本·辽宁数学 　 第 二 章 方 程 ︵ 组 ︶ 与 不 等 式 ︵ 组 ︶ 7. 学科融合 实验室的一个容器内盛有 150 克食 盐水,其中含盐 10 克. 如何处理能将该容器内 食盐水含盐的百分比提高到原来的 3 倍. 晓华 根据这一情景中的数量关系列出方程 3× 10 150 = 10 150-x ,则未知数 x 表示的意义是 ( A ) 第 7 题图 A. 蒸发掉的水量 B. 加入的食盐量 C. 增加的水量 D. 减少的食盐量 8. [2024 辽阳期中]定义一种新运算“∗”:a∗b = ab a+b ,如:2∗3 = 6 5 ,则下列结论:①a∗a = a 2 ; ②5∗x= 2 的解是 x = 3;③4∗( -x) = 3∗6 的 解是 x= -4;④若(x+1) ∗(x-1) = 0,则 x = 1. 其中错误是　 ②④　 . (填序号) 9. [2024 威海]某公司为节能环保,安装了一批 A 型节能灯,一年用电 16 000 千瓦·时. 后购进 一批相同数量的 B 型节能灯,一年用电9 600 千瓦·时.一盏 A 型节能灯每年的用电量比一 盏 B 型 节 能 灯 每 年 用 电 量 的 2 倍 少 32 千瓦·时. 求一盏 A 型节能灯每年的用电量. 解:设一盏 B型节能灯每年的用电量为 x 千瓦·时,则 一盏 A型节能灯每年的用电量为(2x-32)千瓦·时, 根据题意得 16 000 2x-32 = 9 600 x ,解得 x=96, 经检验,x=96 是所列方程的解,且符合题意, ∴2x-32=2×96-32=160. 答:一盏 A 型节能灯每年的用电量为 160 千瓦·时. 10. [2024 大连月考]“文房四宝”是中国独有的书 法绘画工具,即笔、墨、纸、砚,文房四宝之名, 起源于南北朝时期. 大连某中学为了落实双 减政策,丰富学生的课后服务活动,开设了 书法社团,计划为学生购买 A,B 两种型号 “文房四宝”共 40 套,已知某文化用品店每 套 A 型号的“文房四宝”的标价比 B 型号的 “文房四宝”的标价高 30%,若按标价购买需 花费 4 300 元,其中购买 B 型号“文房四宝” 花费 3 000 元. (1)求每套 B 型号的“文房四宝”的标价; (2)若经过与店主协商,考虑到购买较多,店 主同意该中学按 A 型号“文房四宝” 九 折,B 型号“文房四宝” 八折的优惠价购 入,则购买原定数量的 A,B 型号“文房 四宝”共需花费多少元? 解:(1)设每套 B型号的“文房四宝”的标价为 x 元, 则每套 A型号的“文房四宝”的标价为 1. 3x 元. 根据题意得 4 300-3 000 1. 3x +3 000 x =40, 解得 x=100. 经检验,x=100 是分式方程的解,且符合题意. 答:每套 B 型号的“文房四宝”的标价为 100 元; (2)由(1)得:每套 A 型号的“文房四宝”的标价为 1. 3×100=130(元), ∴购买 A型号的“文房四宝”共4 300-3 000 130 =10(套), 购买 B 型号的“文房四宝”共3 000 100 =30(套), 打折后,A型号的“文房四宝”需花费 10×130×0. 9= 1 170(元), 打折后,B型号的“文房四宝”需花费 30×100×0. 8 = 2 400(元), ∴购买原定数量的 A,B 型号“文房四宝”共需花费 1 170+2 400=3 570(元) . 答:购买原定数量的 A,B 型号“文房四宝”共需花 费 3 570 元. 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 02 参考答案与重难题解析·辽宁数学　 分 层 作 业 本 变式 3 B 12. D 13. B　 【解析】设原来的方程为 ax2 +bx+c = 0(a≠0),由题 知,- b a = 6+1 = 7, c a = -2×( -5)= 10,∴ b = -7a,c= 10a, ∴ 原来的方程为 ax2 -7ax+10a= 0,则 x2 -7x+10 = 0. 14. 解:依题意可知该一元二次方程 x2 +(2m-1) x+m2 = 0 有 实数根, ∴ Δ≥0, ∵ a= 1,b= 2m-1,c=m2 , ∴ Δ= (2m-1) 2 -4×1×m2 = -4m+1≥0, ∴ m≤ 1 4 . ∵ x1 ,x2 为一元二次方程的两个实数根,∴ 根据一元二 次方程根与系数的关系可得:x1 +x2 = 1-2m,x1x2 =m2 , ∴ x21 +x22 = (x1 +x2 ) 2 -2x1x2 = 7,即(1-2m) 2 -2m2 = 7, 解得 m= -1 或 3, ∵ m≤ 1 4 , ∴ m= -1. 命题点 4　 一元二次方程的实际应用 1. B　 2. x2 +22 = (x+0. 5) 2 　 3. D　 4. C　 5. C 6. x(x-1)= 210 7. (1)a+1;a+7;a+8;(2)552 8. 解:设这个旅行团的人数为 x 人, 则人均旅游费用为 1 000-20(x-25)= 1 500-20x, 由题意得 x(1 500-20x)= 27 000, 整理得 x2 -75x+1 350 = 0, 解得 x1 = 30,x2 = 45. 当 x= 30 时,1 500- 20x = 1 500- 20× 30 = 900> 700,符合 题意; 当 x= 45 时,1 500-20x= 1 500-20×45 = 600<700,不符合 题意,舍去. 答:这个旅行团的人数为 30 人. 9. 解:(1)设原计划每天摊铺沥青 x 米,则实际每天摊铺沥 青(x+120)米 根据题意得 30x= 12(x+120), 解得 x= 80. 答:原计划每天摊铺沥青 80 米; (2)设镶上的木质框架的宽为 y 米, 由题意得(3×2+3y)(2+2y)= 3×2×2× 33 25 , 解得 y1 = 0. 2,y2 = -3. 2(舍去) . 答:镶上的木质框架的宽为 0. 2 米. 命题点 5　 分式方程及其应用 1. D　 2. x= 3　 变式 C 3. 解:方程两边同乘(x+1)(x-1), 得(x+1) 2 -4 = (x+1)(x-1), 化简,得 2x= 2, 解得 x= 1, 检验:x= 1 时,(x+1)(x-1)= 0, ∴ x= 1 是增根,原分式方程无解. 4. A　 5. D 　 变式 1 C　 【解析】分式方程 x+2 x+3 = m x+3 去分母,得 x+ 2 = m,∵ 分式方程 x+2 x+3 = m x+3 有增根,∴ x+3 = 0,解得 x = -3,把 x= -3 代入,得-3+2 =m,解得 m= -1. 变式 2 A 变式 3 -1　 【解析】 x x-1 = 3- mx 1-x ,化简得 x x-1 = 3+ mx x-1 ,去 分母得 x= 3(x- 1) +mx,移项合并得( 2+m) x = 3,解得 x= 3 2+m ,由方程的解是正整数,得 x 为正整数且 x≠1, 即 2+m= 1,解得 m= -1. 6. A 变式 规定的时间　 【解析】设规定时间为 x 天,则快马 所需的时间为(x-3)天,慢马所需的时间为( x+1)天,由 题意得 900 x+1 ×2 = 900 x-3 ,∴ x 表示规定的时间. 7. A　 8. ②④ 9. 解:设一盏 B 型节能灯每年的用电量为 x 千瓦·时,则一 盏 A 型节能灯每年的用电量为(2x-32)千瓦·时, 根据题意得 16 000 2x-32 = 9 600 x ,解得 x= 96, 经检验,x= 96 是所列方程的解,且符合题意, ∴ 2x-32 = 2×96-32 = 160. 答:一盏 A 型节能灯每年的用电量为 160 千瓦·时. 10. 解:(1)设每套 B 型号的“文房四宝”的标价为 x 元,则 每套 A 型号的“文房四宝”的标价为 1. 3x 元. 根据题意得 4 300-3 000 1. 3x +3 000 x = 40, 解得 x= 100. 经检验,x= 100 是分式方程的解,且符合题意. 答:每套 B 型号的“文房四宝”的标价为 100 元; (2)由(1)得,每套 A 型号的“文房四宝”的标价为 1. 3× 100 = 130(元), ∴ 购买 A 型号的“文房四宝”共 4 300-3 000 130 = 10(套), 购买 B 型号的“文房四宝”共 3 000 100 = 30(套), 打折后,A 型号的“文房四宝” 需花费:10 × 130 × 0. 9 = 1 170(元), 打折后,B 型号的“文房四宝” 需花费:30 × 100 × 0. 8 = 2 400(元), ∴ 购买原定数量的 A, B 型号 “ 文房四宝” 共需花费 1 170+2 400 = 3 570(元) . 答:购买原定数量的 A,B 型号“文房四宝” 共需花费 3 570 元. 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 21