2.4 一元二次方程的实际应用-【一战成名新中考】2025辽宁中考数学·一轮复习·分层作业本（练册）

参考答案与重难题解析·辽宁数学　 分 层 作 业 本 变式 3 B 12. D 13. B　 【解析】设原来的方程为 ax2 +bx+c = 0(a≠0),由题 知,- b a = 6+1 = 7, c a = -2×( -5)= 10,∴ b = -7a,c= 10a, ∴ 原来的方程为 ax2 -7ax+10a= 0,则 x2 -7x+10 = 0. 14. 解:依题意可知该一元二次方程 x2 +(2m-1) x+m2 = 0 有 实数根, ∴ Δ≥0, ∵ a= 1,b= 2m-1,c=m2 , ∴ Δ= (2m-1) 2 -4×1×m2 = -4m+1≥0, ∴ m≤ 1 4 . ∵ x1 ,x2 为一元二次方程的两个实数根,∴ 根据一元二 次方程根与系数的关系可得:x1 +x2 = 1-2m,x1x2 =m2 , ∴ x21 +x22 = (x1 +x2 ) 2 -2x1x2 = 7,即(1-2m) 2 -2m2 = 7, 解得 m= -1 或 3, ∵ m≤ 1 4 , ∴ m= -1. 命题点 4　 一元二次方程的实际应用 1. B　 2. x2 +22 = (x+0. 5) 2 　 3. D　 4. C　 5. C 6. x(x-1)= 210 7. (1)a+1;a+7;a+8;(2)552 8. 解:设这个旅行团的人数为 x 人, 则人均旅游费用为 1 000-20(x-25)= 1 500-20x, 由题意得 x(1 500-20x)= 27 000, 整理得 x2 -75x+1 350 = 0, 解得 x1 = 30,x2 = 45. 当 x= 30 时,1 500- 20x = 1 500- 20× 30 = 900> 700,符合 题意; 当 x= 45 时,1 500-20x= 1 500-20×45 = 600<700,不符合 题意,舍去. 答:这个旅行团的人数为 30 人. 9. 解:(1)设原计划每天摊铺沥青 x 米,则实际每天摊铺沥 青(x+120)米 根据题意得 30x= 12(x+120), 解得 x= 80. 答:原计划每天摊铺沥青 80 米; (2)设镶上的木质框架的宽为 y 米, 由题意得(3×2+3y)(2+2y)= 3×2×2× 33 25 , 解得 y1 = 0. 2,y2 = -3. 2(舍去) . 答:镶上的木质框架的宽为 0. 2 米. 命题点 5　 分式方程及其应用 1. D　 2. x= 3　 变式 C 3. 解:方程两边同乘(x+1)(x-1), 得(x+1) 2 -4 = (x+1)(x-1), 化简,得 2x= 2, 解得 x= 1, 检验:x= 1 时,(x+1)(x-1)= 0, ∴ x= 1 是增根,原分式方程无解. 4. A　 5. D 　 变式 1 C　 【解析】分式方程 x+2 x+3 = m x+3 去分母,得 x+ 2 = m,∵ 分式方程 x+2 x+3 = m x+3 有增根,∴ x+3 = 0,解得 x = -3,把 x= -3 代入,得-3+2 =m,解得 m= -1. 变式 2 A 变式 3 -1　 【解析】 x x-1 = 3- mx 1-x ,化简得 x x-1 = 3+ mx x-1 ,去 分母得 x= 3(x- 1) +mx,移项合并得( 2+m) x = 3,解得 x= 3 2+m ,由方程的解是正整数,得 x 为正整数且 x≠1, 即 2+m= 1,解得 m= -1. 6. A 变式 规定的时间　 【解析】设规定时间为 x 天,则快马 所需的时间为(x-3)天,慢马所需的时间为( x+1)天,由 题意得 900 x+1 ×2 = 900 x-3 ,∴ x 表示规定的时间. 7. A　 8. ②④ 9. 解:设一盏 B 型节能灯每年的用电量为 x 千瓦·时,则一 盏 A 型节能灯每年的用电量为(2x-32)千瓦·时, 根据题意得 16 000 2x-32 = 9 600 x ,解得 x= 96, 经检验,x= 96 是所列方程的解,且符合题意, ∴ 2x-32 = 2×96-32 = 160. 答:一盏 A 型节能灯每年的用电量为 160 千瓦·时. 10. 解:(1)设每套 B 型号的“文房四宝”的标价为 x 元,则 每套 A 型号的“文房四宝”的标价为 1. 3x 元. 根据题意得 4 300-3 000 1. 3x +3 000 x = 40, 解得 x= 100. 经检验,x= 100 是分式方程的解,且符合题意. 答:每套 B 型号的“文房四宝”的标价为 100 元; (2)由(1)得,每套 A 型号的“文房四宝”的标价为 1. 3× 100 = 130(元), ∴ 购买 A 型号的“文房四宝”共 4 300-3 000 130 = 10(套), 购买 B 型号的“文房四宝”共 3 000 100 = 30(套), 打折后,A 型号的“文房四宝” 需花费:10 × 130 × 0. 9 = 1 170(元), 打折后,B 型号的“文房四宝” 需花费:30 × 100 × 0. 8 = 2 400(元), ∴ 购买原定数量的 A, B 型号 “ 文房四宝” 共需花费 1 170+2 400 = 3 570(元) . 答:购买原定数量的 A,B 型号“文房四宝” 共需花费 3 570 元. 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 21 分层作业本·辽宁数学 　 第 二 章 方 程 ︵ 组 ︶ 与 不 等 式 ︵ 组 ︶ 命题点 4　 一元二次方程的实际应用 1. [2023 大连 20 题改编]为了让学生养成热爱读 书的习惯,某学校抽出一部分资金用于购买 书籍. 已知 2022 年该学校用于购买图书的费 用为 5 000 元,2024 年用于购买图书的费用是 7 200 元,设 2022 ~ 2024 年买书资金的平均增 长率是 x,可列方程为 ( B ) 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　A. 5 000(1-x) 2 = 7 200 B. 5 000(1+x) 2 = 7 200 C. 7 200(1+x) 2 = 5 000 D. 7 200(1-x) 2 = 5 000 2. [2024 吉林]图①中有一首古算诗,根据诗中的 描述可以计算出红莲所在位置的湖水深度, 其示意图如图②,其中 AB = AB′,AB⊥B′C 于 点 C,BC= 0. 5 尺,B′C = 2 尺. 设 AC 的长度为 x 尺,可列方程为　 x2+22 =(x+0. 5) 2 　 . 图① 　 　 图② 第 2 题图 3. [北师九上 P57 第 8 题改编]如图,将一张长宽比 为 5 ∶3的矩形纸板的四角各剪去一个边长为 5 cm 的正方形,做成一个无盖的长方体包装 盒. 要使包装盒的容积为 200 cm3(纸板的厚 度忽略不计),问这张矩形纸板的长与宽分别 为多少厘米? 若设这张矩形纸板的长为 5x cm,则由题意可列出的方程是 ( D ) 第 3 题图　 　 A. 5(5x+2×5)(3x+2×5)= 200 B. 5(5x-5)(3x-5)= 200 C. 5(5x+2×5)(3x-2×5)= 200 D. 5(5x-2×5)(3x-2×5)= 200 4. [北师九上 P55 第 1 题改编]某旅游景点的商场 销售一款沈阳文创产品,平均每天可售出 100 件,每件获利 30 元. 为了尽快减少库存, 商场决定采取适当的降价措施. 调查发现,如 果这款文创产品的售价每降低 1 元,那么平均 每天可多售出 10 件. 商场要想平均每天获利 3 640 元,这款文创产品每件应降价多少元? 设这款文创产品每件降价 x 元,根据题意可列 方程为 ( C ) A. (30+x)(100-10x)= 3 640 B. (30+x)(100+10x)= 3 640 C. (30-x)(100+10x)= 3 640 D. (30-x)(100-10x)= 3 640 5. [2024 沈阳月考改编]某校“研学”活动小组在一 次野外实践时,发现一种植物的主干长出若 干数目的枝干,每个枝干又长出同样数目的 小分支. 已知 1 个主干长出的枝干和小分支的 总数是 56,则这种植物每个枝干长出小分支 的个数是 ( C ) A. 9 B. 8 C. 7 D. 6 6. 某读书小组在学校举行的图书共享仪式上互 赠图书,每个同学都把自己的图书向本组其 他成员赠送一本,全组共互赠了 210 本图书, 若设全组共有 x 名同学,依题意,可列出的方 程是　 x(x-1)= 210　 . 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 71 班级: 　 姓名: 分层作业本·辽宁数学 　 第 二 章 方 程 ︵ 组 ︶ 与 不 等 式 ︵ 组 ︶ 7. 真实情境 如图为 2024 年 10 月的月历表,在其 中用一个方框圈出 4 个数 (如图中虚框所 示),设这 4 个数从小到大依次为 a,b,c,d. (1)若用含有 a 的式子分别表示出 b,c,d,其 结果应为 b= 　 a+1　 ;c= 　 a+7　 ;d= 　 a +8　 ; (2)按这种方法所圈出的四个数中,ab 的最大 值为　 552　 . 第 7 题图 8. [2024 沈阳月考]沈阳是国家历史文化名城,清 朝发祥地,素有“一朝发祥地,两代帝王都”之 称. 现有阳光旅行社专门定制了一条来我市 的旅游线路, 收费标准: 如果人数不超过 25 人,人均旅游费用为 1 000 元;如果人数超 过 25 人,每增加 1 人,人均旅游费用降低 20 元,但人均旅游费用不得低于 700 元. 如果 该旅行社组织的一个来我市的旅行团共收取 了费用 27 000 元,求这个旅行团的人数. 解:设这个旅行团的人数为 x 人,则人均旅游费用为 1 000-20(x-25)= 1 500-20x, 由题意得 x(1 500-20x)= 27 000, 整理得 x2-75x+1 350=0, 解得 x1 =30,x2 =45. 当 x=30 时,1 500-20x=1 500-20×30=900>700,符 合题意; 当 x=45 时,1 500-20x=1 500-20×45=600<700,不 符合题意,舍去. 答:这个旅行团的人数为 30 人. 9. 真实情境 [2024 铁岭一模]京哈高速公路辽宁绥 中至盘锦改扩建工程已经施工,计划 2026 年 10 月底建成通车. 在施工中,某路段为了避免 冬季低温对沥青黏度带来的不利影响,原计 划 30 天的摊铺任务,仅用了 12 天就全部完 成. 实际每天摊铺的长度比原计划多 120 米. 第 9 题图 (1)求原计划每天摊铺沥青多少米; (2)如图是京哈高速公路辽宁段某服务区的 一幅旅游广告图,整幅图是在两张风景区 图片的基础上,四周及两张图中间镶以宽 度相等的木质框架而成. 若两张风景区图 片的长都为 3 米,宽都为 2 米,镶上木质 框架后整幅旅游广告图的面积是两张风 景区图片总面积的 33 25 . 求镶上的木质框架 的宽为多少米. 解:(1)设原计划每天摊铺沥青 x 米,则实际每天摊 铺沥青(x+120)米, 根据题意得 30x=12(x+120), 解得 x=80. 答:原计划每天摊铺沥青 80 米; (2)设镶上的木质框架的宽为 y 米, 由题意得(3×2+3y)(2+2y)= 3×2×2×33 25 , 解得 y1 =0. 2,y2 =-3. 2(舍去) . 答:镶上的木质框架的宽为 0. 2 米. 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 81