2.3 一元二次方程及其解法-【一战成名新中考】2025辽宁中考数学·一轮复习·分层作业本（练册）

分层作业本·辽宁数学 　 第 二 章 方 程 ︵ 组 ︶ 与 不 等 式 ︵ 组 ︶ 命题点 3　 一元二次方程及其解法 (省样卷 5 题,省模考 16(2)题) 考向 1　 一元二次方程的解法(省模考 16(2)题) 1. 易错 ∙∙ [2024 沈阳期中改编]已知关于 x 的一元二 次方程(k-2) x2 +3x+k2 -4 = 0 的常数项为 0, 则 k 的值为　 -2　 . 易错点拨:需注意一元二次方程的二次项系 数不为 0 2. [北师九上 P47 随堂练习第 1 题改编]已知一元二 次方程的两根分别为 x1 = 3,x2 = -4,则这个方 程可能为 ( A ) 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　A. (x-3)(x+4)= 0 B. (x+3)(x-4)= 0 C. (x+3)(x+4)= 0 D. (x-3)(x-4)= 0 3. [2024 大连一模]解方程:x2 +5x-4 = 0. 解:由题知 a=1,b=5,c=-4, Δ=b2-4ac=52-4×1×(-4)= 41>0, x= -b± b2-4ac 2a =-5± 41 2×1 , 解得 x1 = -5+ 41 2 ,x2 = -5- 41 2 . 4. [2024 葫芦岛二模改编]下面是某老师讲解一元 二次方程的解法时在黑板上的板书过程,请 认真阅读并完成任务. 解方程:2x2 -3x-5 = 0. 解:x2 - 3 2 x= 5 2 ,　 第一步 x2 - 3 2 x+( 3 4 ) 2 = 5 2 +( 3 4 ) 2,　 第二步 (x- 3 4 ) 2 = 49 16 ,　 第三步 x- 3 4 = ± 7 4 ,　 第四步 解得 x1 = 5 2 ,x2 = -1. 　 第五步 (1)任务一: ①该老师解方程的方法是 ( B ) A. 直接开平方法 B. 配方法 C. 公式法 D. 因式分解法 ②第二步变形的依据是　 等式的性质　 . (2)任务二: 解方程:x2 -4x-2 = 0. 解:(1)①B;②等式的性质; (2)x2-4x=2, x2-4x+4=2+4,(x-2) 2 =6, x-2=± 6 ,解得 x1 =2+ 6 ,x2 =2- 6 . 考向 2　 一元二次方程解的应用 5. 多解法 ∙∙∙ [2023 营口 14 题 3 分]若关于 x 的方程 x2 +mx-12 = 0 的一个根是 3,则此方程的另一 个根是　 -4　 . 6. 已知m,n 是一元二次方程 x2 +2x-5 = 0 的两个 根,则 m2 +mn+2m 的值为 ( D ) A. 10 B. -10 C. 3 D. 0 7. 易错 ∙∙ 若( x+y ) 2 +2 x+y = 3,则 x+y 的值为 ( A ) A. 1 B. 9 C. 9 或 1 D. -9 易错点拨:需注意二次根式非负数的性质 考向 3　 根的判别式(省样卷 5 题) 8. 如果关于 x 的一元二次方程 cx2 -ax-b = 0( c≠ 0)能用公式法求解,那么必须满足的条件是 ( B ) A. b2 -4ac≥0 B. a2 +4bc≥0 C. a2 -4bc>0 D. c2 -4ab<0 9. [2024 辽宁省样卷]关于一元二次方程 x2 - 2x- 1 = 0 的根的情况,下列说法正确的是 ( A ) A. 有两个不相等的实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 没有实数根 D. 只有一个实数根 变式 1 [2024 广安]若关于 x 的一元二次方程(m+ 1)x2 -2x+1 = 0 有两个不相等的实数根,则 m 的 取值范围是 ( ) 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　A. m<0 且 m≠-1 B. m≥0 C. m≤0 且 m≠-1 D. m<0 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 51 班级: 　 姓名: 分层作业本·辽宁数学 　 第 二 章 方 程 ︵ 组 ︶ 与 不 等 式 ︵ 组 ︶ 变式 2 若关于 x 的一元二次方程 x2 -2x+m= 0 无 实数根,则 m 的值可以为 ( ) 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　A. -1 B. 0 C. 1 D. 2 变式 3 已知一元二次方程的常数项被墨水污染, 3x2 +2x = 0,当此方程有实数根时,污染的常 数项可以是 ( ) A. 3 B. 2 C. 1 D. 0 10. 名师原创 已知矩形 ABCD 的长和宽分别是 关于 x 的方程 x2 - 4x +m + 2 = 0 的两个实 数根. (1)当 m= 　 2　 时,矩形 ABCD 是正方形,此 时正方形的边长为　 2　 . (2) 若 BC 的长为 3,则矩形 ABCD 的周长 为　 8　 . 考向 4　 根与系数的关系 11. [2024 鞍山模拟改编]已知一元二次方程 x2 + 2x-4= 0 的两个根为 x1,x2,则 x1 +x2 =　 -2　 , x1·x2 =　 -4　 . 变式 1 [2024 眉山]已知方程 x2 +x-2= 0 的两根分别 为 x1,x2,则 1 x1 + 1 x2 的值为　 　 　 　 . 变式 2 [2024 乐山]若关于 x 的一元二次方程 x2 + 2x+p= 0 两根为 x1,x2,且 1 x1 + 1 x2 = 3,则 p 的值为 ( ) 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　A. - 2 3 B. 2 3 C. -6 D. 6 变式 3 若一元二次方程 ax2 = b(ab>0)的两根分 别是 m-1 和 2m+3,则 b a 的值为 ( ) A. 16 B. 25 9 C. 25 D. 25 9 或 25 12. 欧几里得的《原本》记载,形如 x2 +bx = a2 的 方程的图解法是:画 Rt △ABC,使∠ACB = 90°,BC= a,AC = b 2 ,再在斜边 AB 上截取 AD = b 2 ,则该方程的一个正根是 ( D ) 第 12 题图 A. AC 的长 B. AD 的长 C. BC 的长 D. BD 的长 13. [2024 绥化]小影与小冬一起写作业,在解一 道一元二次方程时,小影在化简过程中写错 了常数项,因而得到方程的两个根是 6 和 1; 小冬在化简过程中写错了一次项的系数,因 而得到方程的两个根是- 2 和- 5,则原来的 方程是 ( B ) 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　A. x2 +6x+5 = 0 B. x2 -7x+10 = 0 C. x2 -5x+2 = 0 D. x2 -6x-10 = 0 14. [2024 鞍山二模]已知关于 x 的一元二次方程 x2 +(2m-1)x+m2 = 0 有实数根,若两根为 x1, x2,且 x21 +x22 = 7,求 m 的值. ∵ a=1,b=2m-1,c=m2, ∴Δ=(2m-1) 2-4×1×m2 =-4m+1≥0, ∴m≤ 1 4 . ∴m=-1. 􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀦂 􀦂 􀦂􀦂 加练链接 一元二次方程的解法加练扫描目录首页二维码免 费下载 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 61 参考答案与重难题解析·辽宁数学　 分 层 作 业 本 　 ∴ 方程组的解为 x= 1, y= 1.{ 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋解法 2　 代入消元法:由①得 x= 3-2y③, 将③代入②,得 3y-(3-2y)= 2, 解得 y= 1, 把 y= 1 代入③式,得 x= 3-2×1, 解得 x= 1, ∴ 方程组的解为 x= 1, y= 1.{ 9. D　 10. A　 　 变式 1 C　 变式 2 C　 变式 3 C 11. B　 【解析】 x-3y= 4m-13①, x+5y= 5②,{ ①+②得 2( x+y) = 4m-8, 将 x+y= 0 代入,得 4m-8 = 0,解得 m= 2. 12. -3　 【解析】∵ x∗y=ax-by, 2∗1=-4, -1∗3=9,{ ∴ 2a-b=-4①, -a-3b=9②,{ 解 得 a= -3, b= -2,{ ∴ x ∗ y = -3x + 2y, ∵ m∗n= -1, 2m∗ n 2 = 4,{ ∴ -3m+2n= -1③, -6m+n= 4④,{ ③×2-④,得 3n = - 6,解得 m= -1, n= -2,{ ∴ m+n= -3. 13. x= 2, y= -6{ 　 拓展 -1 14. 解:(1) ∵ 甲看错了方程①中的 a,得到方程组的解为 x= -3, y= -1,{ ∴ x= -3, y= -1{ 满足方程②, ∴ -3×4+b= -2, ∴ b= 10; ∵ 乙看错了方程②中的 b,得到方程组的解为 x= 5, y= 4,{ ∴ x= 5, y= 4{ 满足方程①, ∴ 5a-5×4 = 15, ∴ a= 7; (2)由(1)得原方程组为 7x-5y= 15①, 4x-10y= -2②,{ ①×2-②得 10x= 32,解得 x= 16 5 , 把 x= 16 5 代入①得 7× 16 5 -5y= 15,解得 y= 37 25 , ∴ 原方程组的解为 x= 16 5 , y= 37 25 . ì î í ï ï ï ï 命题点 2　 一次方程(组)的实际应用 1. C　 2. C　 3. D　 4. C　 5. D 6. C　 【解析】设每天少织 x 尺布,∵ 第一天织了五尺布,最 后一天仅织了一尺布,30 天完工,∴ 5- 29x = 1,解得 x = 4 29 ,∴ 5+5- 4 29 +5- 8 29 +…+1 = (5+1) ×30 2 = 90(尺) . 7. D　 8. x+y= 88, x-y= 16{ 　 9. 36 10. 2009　 【解析】设这位参与者的出生年份对应的四位数 是 x,选取的数字为 m,(10m+4. 6) ×10+1 978-x = 915, ∴ 100m+46+1 978-x= 915,∴ x = 1 109+100m,∵ 此时中 学生的出生时间应该在 2000 年后,∴ m= 9,∴ x = 2 009, 故这次参与者的出生年份是 2009. 11. 解:设小明所在的班级胜 x 场, 负 y 场, 依题意得 x+y= 5, 2x+y= 9,{ 解得 x= 4, y= 1,{ 答:小明所在的班级胜 4 场,负 1 场. 12. 解:(1)0. 4x;y;0. 8x;0. 8y; (2)设每餐含甲原料 x 克,乙原料 y 克恰好能满足运动 员的需要, 根据题意得 0. 4x+y= 32, 0. 8x+0. 8y= 40,{ 解得 x= 30, y= 20,{ 答:每餐含甲原料 30 克,乙原料 20 克恰好能满足运动 员的需要. 命题点 3　 一元二次方程及其解法 1. -2　 2. A 3. 解:由题知 a= 1,b= 5,c= -4, Δ= b2 -4ac= 52 -4×1×( -4)= 41>0, x= -b± b2 -4ac 2a = -5± 41 2×1 , 解得 x1 = -5+ 41 2 ,x2 = -5- 41 2 . 4. 解:(1)①B;②等式的性质; (2)x2 -4x= 2, x2 -4x+4 = 2+4, (x-2) 2 = 6, x-2 = ± 6 , 解得 x1 = 2+ 6 ,x2 = 2- 6 . 5. -4　 【解析】解法 1:将 x = 3 代入 x2 +mx-12 = 0 中,得 9+ 3m-12 = 0,解得 m = 1,即原方程为 x2 +x-12 = 0,解得 x = -4 或 x= 3,故方程的另一个根为-4. 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋解法 2:设一元二次方程的另一根为 x = a,则根据一元 二次方程根与系数的关系得 x1 ·x2 = 3a = - 12,解得 a= -4. 6. D　 7. A　 8. B 9. A　 【解析】由 x2 -2x-1 = 0 得 Δ = b2 -4ac = 8>0,∴ 一元二 次方程 x2 -2x-1 = 0 有两个不相等的实数根. 变式 1 A　 变式 2 D　 变式 3 D 10. (1)2,2;(2)8 11. -2,-4　 变式 1 1 2 变式 2 A　 【解析】∵ 关于 x 的一元二次方程 x2 +2x+p = 0 的两根为 x1 ,x2 ,∴ x1 +x2 = -2,x1x2 = p,∵ 1 x1 + 1 x2 = 3,∴ x1 +x2 x1x2 = 3,即 -2 p = 3,解得 p= - 2 3 . 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 11 参考答案与重难题解析·辽宁数学　 分 层 作 业 本 变式 3 B 12. D 13. B　 【解析】设原来的方程为 ax2 +bx+c = 0(a≠0),由题 知,- b a = 6+1 = 7, c a = -2×( -5)= 10,∴ b = -7a,c= 10a, ∴ 原来的方程为 ax2 -7ax+10a= 0,则 x2 -7x+10 = 0. 14. 解:依题意可知该一元二次方程 x2 +(2m-1) x+m2 = 0 有 实数根, ∴ Δ≥0, ∵ a= 1,b= 2m-1,c=m2 , ∴ Δ= (2m-1) 2 -4×1×m2 = -4m+1≥0, ∴ m≤ 1 4 . ∵ x1 ,x2 为一元二次方程的两个实数根,∴ 根据一元二 次方程根与系数的关系可得:x1 +x2 = 1-2m,x1x2 =m2 , ∴ x21 +x22 = (x1 +x2 ) 2 -2x1x2 = 7,即(1-2m) 2 -2m2 = 7, 解得 m= -1 或 3, ∵ m≤ 1 4 , ∴ m= -1. 命题点 4　 一元二次方程的实际应用 1. B　 2. x2 +22 = (x+0. 5) 2 　 3. D　 4. C　 5. C 6. x(x-1)= 210 7. (1)a+1;a+7;a+8;(2)552 8. 解:设这个旅行团的人数为 x 人, 则人均旅游费用为 1 000-20(x-25)= 1 500-20x, 由题意得 x(1 500-20x)= 27 000, 整理得 x2 -75x+1 350 = 0, 解得 x1 = 30,x2 = 45. 当 x= 30 时,1 500- 20x = 1 500- 20× 30 = 900> 700,符合 题意; 当 x= 45 时,1 500-20x= 1 500-20×45 = 600<700,不符合 题意,舍去. 答:这个旅行团的人数为 30 人. 9. 解:(1)设原计划每天摊铺沥青 x 米,则实际每天摊铺沥 青(x+120)米 根据题意得 30x= 12(x+120), 解得 x= 80. 答:原计划每天摊铺沥青 80 米; (2)设镶上的木质框架的宽为 y 米, 由题意得(3×2+3y)(2+2y)= 3×2×2× 33 25 , 解得 y1 = 0. 2,y2 = -3. 2(舍去) . 答:镶上的木质框架的宽为 0. 2 米. 命题点 5　 分式方程及其应用 1. D　 2. x= 3　 变式 C 3. 解:方程两边同乘(x+1)(x-1), 得(x+1) 2 -4 = (x+1)(x-1), 化简,得 2x= 2, 解得 x= 1, 检验:x= 1 时,(x+1)(x-1)= 0, ∴ x= 1 是增根,原分式方程无解. 4. A　 5. D 　 变式 1 C　 【解析】分式方程 x+2 x+3 = m x+3 去分母,得 x+ 2 = m,∵ 分式方程 x+2 x+3 = m x+3 有增根,∴ x+3 = 0,解得 x = -3,把 x= -3 代入,得-3+2 =m,解得 m= -1. 变式 2 A 变式 3 -1　 【解析】 x x-1 = 3- mx 1-x ,化简得 x x-1 = 3+ mx x-1 ,去 分母得 x= 3(x- 1) +mx,移项合并得( 2+m) x = 3,解得 x= 3 2+m ,由方程的解是正整数,得 x 为正整数且 x≠1, 即 2+m= 1,解得 m= -1. 6. A 变式 规定的时间　 【解析】设规定时间为 x 天,则快马 所需的时间为(x-3)天,慢马所需的时间为( x+1)天,由 题意得 900 x+1 ×2 = 900 x-3 ,∴ x 表示规定的时间. 7. A　 8. ②④ 9. 解:设一盏 B 型节能灯每年的用电量为 x 千瓦·时,则一 盏 A 型节能灯每年的用电量为(2x-32)千瓦·时, 根据题意得 16 000 2x-32 = 9 600 x ,解得 x= 96, 经检验,x= 96 是所列方程的解,且符合题意, ∴ 2x-32 = 2×96-32 = 160. 答:一盏 A 型节能灯每年的用电量为 160 千瓦·时. 10. 解:(1)设每套 B 型号的“文房四宝”的标价为 x 元,则 每套 A 型号的“文房四宝”的标价为 1. 3x 元. 根据题意得 4 300-3 000 1. 3x +3 000 x = 40, 解得 x= 100. 经检验,x= 100 是分式方程的解,且符合题意. 答:每套 B 型号的“文房四宝”的标价为 100 元; (2)由(1)得,每套 A 型号的“文房四宝”的标价为 1. 3× 100 = 130(元), ∴ 购买 A 型号的“文房四宝”共 4 300-3 000 130 = 10(套), 购买 B 型号的“文房四宝”共 3 000 100 = 30(套), 打折后,A 型号的“文房四宝” 需花费:10 × 130 × 0. 9 = 1 170(元), 打折后,B 型号的“文房四宝” 需花费:30 × 100 × 0. 8 = 2 400(元), ∴ 购买原定数量的 A, B 型号 “ 文房四宝” 共需花费 1 170+2 400 = 3 570(元) . 答:购买原定数量的 A,B 型号“文房四宝” 共需花费 3 570 元. 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 21