2.1一次方程(组)及其解法-【一战成名新中考】2025辽宁中考数学·一轮复习·分层作业本（练册）

分层作业本·辽宁数学 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 第二章　 方程(组)与不等式(组) 　 第 二 章 方 程 ︵ 组 ︶ 与 不 等 式 ︵ 组 ︶ 命题点 1　 一次方程(组)及其解法 考向 1　 等式的性质 1. [2024 新人教七上 P117 第 1 题改编]若 a= b,则下 列选项中错误的是 ( C ) 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 A. a+3 = b+3 B. 2 3 a= 2 3 b C. 5a+4 = 5b-4 D. 1 2 a-5 = 1 2 b-5 2. 学科融合 在物理学中,导体中的电流 I 跟导体 两端的电压 U、导体的电阻 R 之间有以下关 系:I= U R ,去分母得 IR =U,那么其变形的依据 是 ( B ) A. 等式的性质 1 B. 等式的性质 2 C. 分式的基本性质 D. 不等式的性质 2 3. [2024 新北师七上 P146 第 6 题改编]小红学习了 等式的性质后,在甲、乙两台天平的左右两边 分别放入“ ■” “ ●” “ ▲” 三种物体,如图所 示,天平都保持平衡. 若设“■”与“●”的质量 分别为 x,y,则下列关系式正确的是 ( C ) 第 3 题图 A. x= y B. x= 2y C. x= 4y D. x= 5y 考向 2　 一次方程(组)及其解法 4. 若 mx-4y= 3x-7 是二元一次方程,则 m 满足 的条件是 ( D ) A. m≠-2 B. m≠0 C. m≠-1 D. m≠3 5. 下面是解方程 1 + 4( 2x- 3) = 5x- ( 1 - 3x) 的 过程: 去括号,得 1+8x-12 = 5x-1-3x,① 移项,得 8x-5x+3x= -1-1+12,② 即 6x= 10,③ 两边都除以 6,得 x= 5 3 . ④ 以上解题过程中,最先出现错误的步骤是 ( A ) A. ① B. ② C. ③ D. ④ 6. [2024 新人教七上 P118 第 3 题改编]小玉想找一 个解为 x= -6 的方程,那么她可以选择 ( B ) A. 2x-1 = x+7 B. 1 2 x= 1 3 x-1 C. 2(x+5)= -4-x D. 3x= x+7 7. [2024 大连期中]用代入法解二元一次方程组 x+2y= 4①, 3x-5y= -10②{ 时,最好的变式是 ( B ) A. 由①得 y= 4 -x 2 B. 由①得 x= 4-2y C. 由②得 y= 10 +3x 5 D. 由②得 x= -10+5y 3 变式 利用加减消元法解方程组 x+2y=4 ①, 3x-5y=-10 ②,{ 则下列做法正确的是 ( C ) A. 要消去 x,可以将①×5+②×2 B. 要消去 y,可以将①×2+②×5 C. 要消去 x,可以将①×3-② D. 要消去 y,可以将①×5-②×2 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 11 班级: 　 姓名: 分层作业本·辽宁数学 　 第 二 章 方 程 ︵ 组 ︶ 与 不 等 式 ︵ 组 ︶ 8. 多解法 ∙∙∙ [2024 大连三模]解方程: x+2y= 3, 3y-x= 2.{ 解: x+2y=3①, 3y-x=2②,{ ①+②,得 5y=5,解得 y=1, 把 y=1 代入①式,得 x+2×1=3,解得 x=1, ∴方程组的解为 x=1, y=1.{ 【更多解法见参考答案】 考向 3　 一次方程(组)解的应用 9. 若 x= 1 是方程 x+a= 0 的解,则 a 的值为 ( D ) A. -2 B. 1 C. 0 D. -1 10. [2023 鞍山期末]关于 x 的方程 2a-5 = x+a 与 方程 1- 2 3 x= 5 的解相同,则 a 的值是 ( A ) A. -1 B. -6 C. -9 D. -11 变式 1 若关于 x,y 的二元一次方程组 x+y= 4, □ = 2{ 的 解为 x= 1, y= 3,{ 则“□”可以表示为 ( ) 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　A. x B. x2 -3y C. y-x D. x-y 变式 2 [ 2024 台 湾 改 编 ] 若 二 元 一 次 方 程 组 5x-3y= 28, y= -3x{ 的解为 x=a, y= b,{ 则 a+b 的值为 ( ) A. -28 B. -14 C. -4 D. 14 变式 3 已知 x,y 满足方程组 x+m= 4, y-5=m,{ 则无论 m 取 何值,x,y 恒有关系式的是 ( ) A. x+y= 1 B. x+y= -1 C. x+y= 9 D. x-y= 9 11. [2024 盘锦期中改编]若关于 x,y 的二元一次 方程组 x-3y= 4m-13, x+5y= 5{ 的解满足 x+y = 0,则 m 的值为 ( B ) A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 12. 新定义 规定新运算:x∗y=ax-by,其中 a,b 是 常数. 已知 2∗1=-4, -1∗3=9,{ 则当 m∗n=-1, 2m∗ n 2 =4 ì î í ï ï ïï 时,m+n =　 -3　 . 13. 已知关于 x,y 的二元一次方程组 3x-5y=36, bx+ay=-8{ 与 方程组 2x+5y= -26, ax-by= -4{ 有相同的解,则这两个 方程组的相同解为　 　 　 　 　 . 拓展 (a+2b) 2 025 的值为　 1　 . 14. 已知方程组 ax-5y= 15①, 4x-by= -2②,{ 由于甲看错了方 程①中的 a,得到方程组的解为 x= -3, y= -1;{ 乙看 错了方程②中的 b,得到方程组的解为 x= 5, y= 4.{ (1)求 a,b 的值; (2)求原方程组正确的解. 解:(1)∵甲看错了方程①中的 a,得到方程组的解 为 x=-3, y=-1,{ ∴ x=-3, y=-1{ 满足方程②, ∴-3×4+b=-2,∴ b=10; ∵乙看错了方程②中的 b,得到方程组的解为 x=5, y=4,{ ∴ x=5, y=4{ 满足方程①, ∴5a-5×4=15,∴ a=7; (2)由(1)得原方程组为 7x-5y=15①, 4x-10y=-2②,{ ①×2-②得 10x=32,解得 x=16 5 , 把 x=16 5 代入①得 7×16 5 -5y=15,解得 y=37 25 , ∴原方程组的解为 x=16 5 , y=37 25 . ì î í ï ï ï ï 􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂 􀤂 􀤂 􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂 􀤂 􀦂 􀦂 􀦂􀦂 加练链接 转化思想见专项培优练 P3 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 21 参考答案与重难题解析·辽宁数学　 分 层 作 业 本 4. D　 【解析】当 x= 1 时,ax3 +bx-1 =a+b-1 = 2 025,解得 a+ b= 2 026,当 x= -1 时,ax3 +bx-1 = -a-b-1 = -(a+b) -1 = -2 026-1 = -2 027. 5. B　 【解析】当 x= -1 时,6x5 +5x4 +4x3 +3x2 +2x+1 = -3,∵ 由于将式中某一项前的“ +”号看为“ -”号,误求得代数式 的值为 5,∴ 计算结果比正确值大 5-( -3)= 8,∴ 8÷2 = 4, ∴ 错误项的系数为 4,∴ 小明同学看错符号的项是 4x3 . 6. D　 7. B　 8. 28　 9. 55 10. D　 【解析】观察题图中的数据可以得出:a= 100÷2 = 50, b= 100-1 = 99,c= 100b-a= 100×99-50 = 9 850. 11. D　 【解析】这列数为:1,1,2,3,5,8,13,21,34,…,可以发 现每 3 个数为一组,每一组前 2 个数为奇数,第 3 个数为 偶数,∵ 2 024÷3= 674……2,即前 2 024 个数共有 674 组, 且余 2 个数,奇数的个数为:674×2+2= 1 350(个) . 12. (1)6,37;(2) n(n+2) +1 = (n+1) 2 = n+1(n≥1)或 (n-1)(n+1) +1 = n2 =n(n≥2) . 13. B　 14. B　 15. -9　 16. D　 17. D　 18. D 19. (a-1) 2 　 20. a(a+1) 2 　 21. C　 22. 9 23. 解:原式= 4x2 -4xy+y2 -2(2x2 -xy+4xy-2y2 ) = 4x2 -4xy+y2 -4x2 -6xy+4y2 = -10xy+5y2 , 当 x= -1,y= -2 时, 原式= -10×( -1) ×( -2) +5×( -2) 2 = -20+5×4 = -20+20 = 0. 命题点 5　 分式及其运算 1. B　 2. D　 变式 C　 3. B 4. D　 【解析】 x2 x-1 - x x-1 = x 2 -x x-1 = x(x -1) x-1 = x; x2 x-1 + x x-1 = x 2 +x x-1 = x(x+1) x-1 ; x2 x-1 ÷ x x-1 = x 2 x-1 · x-1 x = x; x2 x-1 · x x-1 = x 3 (x-1) 2 ,则 所填的符号是-或÷. 5. C　 变式 1 C　 变式 2 C　 6. D 7. 解:原式= a a+1 · (a+1)(a-1) a2 + 1 a = a -1 a + 1 a = a a = 1. 8. 解:原式= ( 2x+2 x2 -1 +x 2 -1 x2 -1 )· (x-1) 2 x+1 = x 2 +2x+1 x2 -1 · (x-1) 2 x+1 = (x +1) 2 (x+1)(x-1) · (x-1) 2 x+1 = x-1. 9. 解:原式= (2y+x)(2y-x) (x+y) 2 ·2x(x +y) x-2y = -2x(x +2y) x+y = -2x 2 +4xy x+y , 当 x= 2 ,y= 2 2时, 原式= - 2×( 2 ) 2 +4× 2 ×2 2 2 +2 2 = -10 2 3 . 10. 解:原式= [ (x+2) 2 x(x+2) - 3 x ]· 2 x-1 = ( x+2 x - 3 x )· 2 x-1 = x -1 x · 2 x-1 = 2 x , 当 x= sin30°-1 = 1 2 -1 = - 1 2 时,原式= 2 - 1 2 = -4. 11. 解:原式= (x+1)(x-1) -3 x-1 · x-1 (x-2) 2 = x 2 -1-3 (x-2) 2 = (x +2)(x-2) (x-2) 2 = x +2 x-2 , 当 x= 1 或 x= 2 时,原分式无意义,∴ x= 3, 当 x= 3 时,原式= 3+2 3-2 = 5. 12. 解:原式= [ 2x+1 x+1 +(x -1)(x+1) x+1 ] ÷ x+2 (x+1) 2 = 2x +1+x2 -1 x+1 · (x+1) 2 x+2 = x 2 +2x x+1 · (x+1) 2 x+2 = x(x +2) x+1 · (x+1) 2 x+2 = x(x+1) = x2 +x, 解方程 x2 -x-2 = 0,得 x1 = 2,x2 = -1, 当 x= -1 或-2 时,原分式无意义,∴ x= 2, 当 x= 2 时,原式= 22 +2 = 6. 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 第二章　 方程(组)与不等式(组) 命题点 1　 一次方程(组)及其解法 1. C　 2. B　 3. C　 4. D　 5. A　 6. B　 7. B　 变式 C 8. 解:解法 1　 加减消元法: x+2y= 3①, 3y-x= 2②,{ ①+②,得 5y= 5,解得 y= 1, 把 y= 1 代入①式,得 x+2×1 = 3,解得 x= 1, 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 01 参考答案与重难题解析·辽宁数学　 分 层 作 业 本 　 ∴ 方程组的解为 x= 1, y= 1.{ 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋解法 2　 代入消元法:由①得 x= 3-2y③, 将③代入②,得 3y-(3-2y)= 2, 解得 y= 1, 把 y= 1 代入③式,得 x= 3-2×1, 解得 x= 1, ∴ 方程组的解为 x= 1, y= 1.{ 9. D　 10. A　 　 变式 1 C　 变式 2 C　 变式 3 C 11. B　 【解析】 x-3y= 4m-13①, x+5y= 5②,{ ①+②得 2( x+y) = 4m-8, 将 x+y= 0 代入,得 4m-8 = 0,解得 m= 2. 12. -3　 【解析】∵ x∗y=ax-by, 2∗1=-4, -1∗3=9,{ ∴ 2a-b=-4①, -a-3b=9②,{ 解 得 a= -3, b= -2,{ ∴ x ∗ y = -3x + 2y, ∵ m∗n= -1, 2m∗ n 2 = 4,{ ∴ -3m+2n= -1③, -6m+n= 4④,{ ③×2-④,得 3n = - 6,解得 m= -1, n= -2,{ ∴ m+n= -3. 13. x= 2, y= -6{ 　 拓展 -1 14. 解:(1) ∵ 甲看错了方程①中的 a,得到方程组的解为 x= -3, y= -1,{ ∴ x= -3, y= -1{ 满足方程②, ∴ -3×4+b= -2, ∴ b= 10; ∵ 乙看错了方程②中的 b,得到方程组的解为 x= 5, y= 4,{ ∴ x= 5, y= 4{ 满足方程①, ∴ 5a-5×4 = 15, ∴ a= 7; (2)由(1)得原方程组为 7x-5y= 15①, 4x-10y= -2②,{ ①×2-②得 10x= 32,解得 x= 16 5 , 把 x= 16 5 代入①得 7× 16 5 -5y= 15,解得 y= 37 25 , ∴ 原方程组的解为 x= 16 5 , y= 37 25 . ì î í ï ï ï ï 命题点 2　 一次方程(组)的实际应用 1. C　 2. C　 3. D　 4. C　 5. D 6. C　 【解析】设每天少织 x 尺布,∵ 第一天织了五尺布,最 后一天仅织了一尺布,30 天完工,∴ 5- 29x = 1,解得 x = 4 29 ,∴ 5+5- 4 29 +5- 8 29 +…+1 = (5+1) ×30 2 = 90(尺) . 7. D　 8. x+y= 88, x-y= 16{ 　 9. 36 10. 2009　 【解析】设这位参与者的出生年份对应的四位数 是 x,选取的数字为 m,(10m+4. 6) ×10+1 978-x = 915, ∴ 100m+46+1 978-x= 915,∴ x = 1 109+100m,∵ 此时中 学生的出生时间应该在 2000 年后,∴ m= 9,∴ x = 2 009, 故这次参与者的出生年份是 2009. 11. 解:设小明所在的班级胜 x 场, 负 y 场, 依题意得 x+y= 5, 2x+y= 9,{ 解得 x= 4, y= 1,{ 答:小明所在的班级胜 4 场,负 1 场. 12. 解:(1)0. 4x;y;0. 8x;0. 8y; (2)设每餐含甲原料 x 克,乙原料 y 克恰好能满足运动 员的需要, 根据题意得 0. 4x+y= 32, 0. 8x+0. 8y= 40,{ 解得 x= 30, y= 20,{ 答:每餐含甲原料 30 克,乙原料 20 克恰好能满足运动 员的需要. 命题点 3　 一元二次方程及其解法 1. -2　 2. A 3. 解:由题知 a= 1,b= 5,c= -4, Δ= b2 -4ac= 52 -4×1×( -4)= 41>0, x= -b± b2 -4ac 2a = -5± 41 2×1 , 解得 x1 = -5+ 41 2 ,x2 = -5- 41 2 . 4. 解:(1)①B;②等式的性质; (2)x2 -4x= 2, x2 -4x+4 = 2+4, (x-2) 2 = 6, x-2 = ± 6 , 解得 x1 = 2+ 6 ,x2 = 2- 6 . 5. -4　 【解析】解法 1:将 x = 3 代入 x2 +mx-12 = 0 中,得 9+ 3m-12 = 0,解得 m = 1,即原方程为 x2 +x-12 = 0,解得 x = -4 或 x= 3,故方程的另一个根为-4. 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋解法 2:设一元二次方程的另一根为 x = a,则根据一元 二次方程根与系数的关系得 x1 ·x2 = 3a = - 12,解得 a= -4. 6. D　 7. A　 8. B 9. A　 【解析】由 x2 -2x-1 = 0 得 Δ = b2 -4ac = 8>0,∴ 一元二 次方程 x2 -2x-1 = 0 有两个不相等的实数根. 变式 1 A　 变式 2 D　 变式 3 D 10. (1)2,2;(2)8 11. -2,-4　 变式 1 1 2 变式 2 A　 【解析】∵ 关于 x 的一元二次方程 x2 +2x+p = 0 的两根为 x1 ,x2 ,∴ x1 +x2 = -2,x1x2 = p,∵ 1 x1 + 1 x2 = 3,∴ x1 +x2 x1x2 = 3,即 -2 p = 3,解得 p= - 2 3 . 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 11