3.1 代数式及整式的认识 教学设计 2024--2025学年北师大版七年级数学上册

第八讲 代数式及整式的认识 第8讲 讲 代数式及整式的认识 概述 适用学科 初中数学 适用年级 初中一年级 适用区域 北师大版区域 课时时长（分钟） 120 知识点 1、字母表示数 2、代数式的定义 3、列代数式及用代数式表示数量关系 4、代数式的值 5、代数式应用综合 6、单项式的有关概念 7、多项式的有关概念 8、整式 教学目标 1、掌握代数式的定义，并能辨别代数式. 2、掌握代数式的书写规则，能根据实际情况列代数式，并能解释代数式的实际意义. 教学重点 用代数式把数和数量关系简明的表示出来，并能化简、求值. 教学难点 探索具体事物之间的关系或变化规律，并用符号进行表示.. 教学过程 一、导入 1、通过回顾小学数学的加法及乘法运算律的字母表示得出，字母可以表示任何数. 2、字母表示数的书写规律： ①数字和字母相乘或字母和字母相乘时，乘号“×”可以用“”表示，或者省略，例如：“”可以表示为“”或. ②数字和字母相乘时，数字在字母前。例如：“”表示为””. ③字母前不能是带分数. ④字母和数字相除时，通常写成分数形式. ⑤若代数式是字母和数字之间的加减并且后边带有单位时，该代数式要加括号.例如： 3、 像等式子，它们都是运算符号把数和字母连接而成的，像这样的式子叫做代数式（algebraic expression).单独一个数或一个字母也是代数式. 4、 用具体数值代替代数式中的字母，就可以求出代数式的值. 5、 列代数式，并求值. 例：（1）某公园的门票价格是：成人票每张10元，学生票每张5元.一个旅游团有成人人、学生人，那么旅游团应付多少门票费？ （2）如果该旅游团有37个成人、15个学生，那么他们应付多少门票费？ 解答：（1）该旅游团应付的门票费是元. （2）把代入代数式，得 因此，他们应付445元门票费. 二、知识讲解 知识点1 用字母表示数 1、（1）用字母表示数的运算律 （2）用字母表示数可以简明的表达公式。 （3）用字母表示数可以简明的表达问题中的数量关系。 （4）用字母可表示方程的未知数。 2、用字母表示数的书写规范。 ① 数与字母、字母与字母相乘时省略乘号，数与字母相乘时数字在前； ② 出现多个字母时，字母按照26个字母顺序排列； ③ 相同字母相乘时应写成幂的形式； ④ 1或-1与字母相乘时，1通常省略不写； ⑤ 式子中出现除法运算时，一般按分数形式来写，带分数与字母相乘时，把带分数化成假分数. ⑥式子后面有单位且式子是和或差的形式时，应把式子用括号括起来，如（3+a）m，[4+2(m-1)]kg。 知识点2 代数式的概念 1、概念：用基本运算符号（包括加、减、乘、除、乘方及以后要学的开方）把数或表示数的字母连接而成的式子叫做代数式，单独一个数字或字母也是代数式； 2、判断一个式子是不是代数式时，可用简便方法，抓住特征，只要不含“=”、“≥”、“≤”、“＜”、“＞”、“≠”符号的式子都是代数式。 知识点3列代数式及代数式的意义 1、列代数式抓住“多”“少”“和”“差”“积”“倍”“比”“除”“除以”等等 2、解释一个代数式的意义可联系生活，创造问题情景。 3、列式要点： ①要抓住关键词语，明确它们的意义以及它们之间的关系，如和、差、积、商及大、小、多、少、倍、分、倒数、相反数等； ②理清语句层次明确运算顺序； ③牢记一些概念和公式． 4、代数式书写规范 （1）数字与字母相乘，字母与字母相乘，乘号一般不写成“×”，而是在两个因数之间的垂直居中位置写上实心的圆点“·”或省略不写，并且数字放在字母的前面。特别地，1或-1与字母相乘时省略1；数字与数字相乘时，中间的乘号不能用“• ”代替，更不能省略不写；两个字母相乘时，中间的乘号可以省略不写，字母无顺序性(一般按字母表顺序)。 （2）结果是相同因子的相乘时要用乘方表示。 （3）数字或字母与括号相乘可省略乘号，数字和字母要写在括号前；括号与括号相乘可省略乘号。 （4）除号写成分数线，含有字母的除法运算中，最后结果要写成分数形式，分数线相当于除号。 （5）当字母和带分数相乘时，要把带分数化成假分数。 （6）如果代数式后面带有单位名称，是乘除运算结果的直接将单位名称写在代数式后面，若代数式是带加减运算且须注明单位的，要把代数式括起来，后面注明单位。 知识点4 代数式的值 用具体数值代替代数式里的字母，按照代数式指明的运算，计算出结果，叫做代数式的值。 【总结】 代数式的值是由其所含的字母的取值所确定的，并随字母取值的变化而变化，字母取不同的值时，代数式的值可能不同，也可能相同． 知识点5单项式的有关概念 （1）单项式：字母与数字的积、字母与字母的积，这样的式子叫做单项式，单独的一个数或一个字母也是单项式. （2）单项式的系数：单项式中数与字母相乘,通常把数字因数叫做系数; 若一个单项式只含有字母因数，那么它的系数就是1或－1；若单项式是单独一个数，则系数就是它本身． （3）单项式的次数：一个单项式中，所有字母的指数的和叫做这个单项式的次数.单独一个数的次数是0. （4）不要把π当成字母． 知识点6 多项式的有关概念 （1） 多项式的定义： 几个单项式的和叫做多项式 （2） 多项式的项及系数 在多项式中，每个单项式叫做多项式的项；多项式中所含单项式的个数叫做这个多项式的项数，其中不含字母的项叫做常数项 （3）多项式的次数 一个多项式中，多项式里次数最高项的次数就是多项式的次数 知识点7 整式 单项式与多项式统称为整式 三、例题精析 考点一：用字母表示数 例题1 1、用字母表示下列问题中的数量关系： （1）为落实“阳光体育”工程，某校计划购买m个篮球和n个排球，已知篮球每个80元，排球每个60元，购买这些篮球和排球的总费用为　　　　　元； （2）在运动会中，一班总成绩为m分，二班比一班总成绩的还多5分，则二班的总成绩为　　　　； （3）某商店压了一批商品，为尽快售出，该商店采取如下销售方案：将原来每件m元，加价50%，再做两次降价处理，第一次降价30%，第二次降价10%.经过两次降价后的价格为　　　　　　　元. 例题2 2、用字母表示图中阴影部分的面积： 　　 　　（1）　　　　　　（2） 例题3 3、如图是一组有规律的图案，第一个图案由4个▲组成，第二个图案由7个▲组成，第三个图案由10个▲组成，第四个图案由13个▲组成，……，则第n（n为正整数）个图案由　　　　个▲组成. 考点一：代数式的定义 例题1 1、下列代数式中，符合书写规则的是（ ） A．x B．x÷y C．m×2 D．3 例题2 2、有下列式子：x2，m－n>1，p＋q，ab，s＝πR2，2020，代数式有（　　） A.3个 B.4个 C.5个 D.6个 例题3 3、代数式3a+2b的叙述正确的是（ ） A．a的3倍与b的和的2倍 B.a与b的和的3倍和2倍 C. a的3倍与b的2倍 的积 D. a的3倍与b的2倍 的和 考点二：用代数式表示数量关系 例题1 1、已知a是两位数，b是一位数，把a接写在b的后面，就成为一个三位数．这个三位数可表示成（ ） A．10b+a B．ba C．100b+a D．b+10a 例题2 2、有一个两位数，十位数字为a，个位数字为b，若将十位数字和个位数字调换，那么新的两位数可表示为（ ） A．ba B．10b+b C．10b+a D．10a+b 例题3 3、下列各题中，错误的是（ ） A．x的5倍与y的和的一半，用代数式表示为5x+ B．代数式5（x+y）的意义是5与（x+y）的积 C．代数式x2+y2的意义是x，y的平方和 D．比x的2倍多3的数，用代数式表示为2x+3 考点三：列代数式 例题1 1、某商店举办促销活动，促销的方法是将原价x元的衣服以（x﹣10）元出售，则下列说法中，能正确表达该商店促销方法的是（ ） A．原价减去10元后再打8折 B．原价打8折后再减去10元 C．原价减去10元后再打2折 D．原价打2折后再减去10元 例题2 2、如图，是变压器中的L型硅钢片，其面积为 A． B． C． D． 例题3 3、小明身上带着a元钱去商店里买学习用品，付给售货员b（b＜a）元，找回c元，则小明身上还有_________元 （用含有a、b、c来表示） 考点四：代数式的值 例题1 1、当x=7，y=3时，代数式x²-2xy+y²的值是（ ） A.100 B.10 C.16 D.36 例题2 2、若代数式2+3x的值是5，则代数式4+6x﹣9的值是（ ） A.10 B.1 C.﹣4 D.﹣8 例题3 3、如果,那么代数式的值为（ ）． A． B． C． D． 例题4 4、按图所示的程序流程计算，若开始输入的值为x=3，则最后输出的结果是 ． 考点五：代数式应用综合 用 意义的量 例题1 1、如图，在长方形中挖去两个三角形． （1）用含、的式子表示图中阴影部分的面积； （2）当，时求图中阴影部分的面积． 例题2 2、某市区自2024年1月起，居民生活用水开始实行阶梯式计量水价，该阶梯式计量水价分为三级（如下表所示）： 月用水量（吨） 水价（元/吨） 第一级 20吨以下（含20吨） 1.6 第二级 20吨﹣30吨（含30吨） 2.4 第三级 30吨以上 3.2 例：某用户的月用水量为32吨，按三级计量应缴交水费为：1．6×20+2．4×10+3．2×2=62．4（元） （1）如果甲用户的月用水量为12吨，则甲需缴交的水费为 元； （2）如果乙用户缴交的水费为39．2元，则乙月用水量 吨； （3）如果丙用户的月用水量为a吨，则丙用户该月应缴交水费多少元？（用含a的代数式表示，并化简） 考点六：整式 例题1 1、指出下列各式中哪些是单项式？哪些是多项式？哪些是整式？ x2＋y2，－x，，10，6xy＋1，，m2n，2x2－x－5，，a7. 例题2 2、分别写出下列单项式的系数和次数. （1）－ab2；（2）；（3）. 例题3 3、写出下列各多项式的项数和次数，并指出是几次几项式. （1）x2－3x＋5； （2）a＋b＋c－d； （3）－a2＋a2b＋2a2b2. 例题4 4、已知－5xm＋104xm－4xmy2是关于x、y的六次多项式，求m的值，并写出该多项式. 例题5 5、若关于x的多项式－5x3－mx2＋（n－1）x－1不含二次项和一次项，求m、n的值. 例题6 6、如图，某居民小区有一块宽为2a米，长为b米的长方形空地，为了美化环境，准备在此空地的四个顶点处各修建一个半径为a米的扇形花台，在花台内种花，其余种草.如果建造花台及种花费用每平方米为100元，种草费用每平方米为50元.那么美化这块空地共需多少元？ 例题7 7、如图所示，这是由边长为1的等边三角形摆出的一系列图形，按这种方式摆下去，则第n个图形的周长是　　　　Ｗ. 四 、课堂运用 基础 1．给出下列数与式子：①2x-y+1，②，③2x+1=3, ④ 3＞2, ⑤ a, ⑥ 0.其中是代数式的有（ ） A.2个 B.3个 C.4个 D.6个 2、下列代数式的书写格式正确的是（ ） A． B. C. a×b÷c D.xyz3 3、代数式的意义是（ ） A.x与y的一半的差 B. x的一半与y的差 C. x与y的差的一半 D.以上答案均不对 4、说明（1-8％）a的实际意义（举一个实例即可）： ． 5、下列式子中哪些是单项式,哪些是多项式，哪些是整式? 6、判断下列代数式是否是单项式。如不是,请说明理由;如是,请指出它的系数和次数。 -3， a2b， ， a2-b2 ， 2x2+3x+5 πR2 7、多项式2a2b﹣ab2﹣ab的项数及次数分别是（　　） 　 A．3，3 B． 3，2 C． 2，3 D． 2，2 巩固 1、如果某种药降价40%后的价格是a元，则此药的原价是 () A．(1＋40%)a元 B．(1－40%)a元 C．元 D.元 2、图中表示阴影部分面积的代数式是（ ） A．ad+bc B．c（b﹣d）+d（a﹣c） C．ad+c（b﹣d） D．ab﹣cd 3、某文具店三月份销售铅笔100支，四、五两个月销售量连续增长．若月平均增长率为x，则该文具店五月份销售铅笔的支数是（ ） A．100（1+x） B．100（1+x）2 C．100（1+x2） D．100（1+2x） 5、有长为l的篱笆，利用他和房屋的一面墙围成如图形状的长方形园子，园子的宽为t，则所围成的园子面积为（ ） A． （l﹣2t）t B．（l﹣t）t C．（﹣t）t D．（l﹣）t 6、某单位全体员工在植树节义务植树240棵．原计划每小时植树a棵．实际每小时植树的棵数是原计划的1.2倍，那么实际比原计划提前了 小时完成任务（用含a的代数式表示）． 7、单项式的系数与次数之积为　　　　　　． 8、﹣x4y﹣4a2b+是由　　　　　　、　　　　　　、　　　　　　三项组成，它们的系数分别是　　　　　　，　　　　　　，　　　　　　． 拔高 1、当x=1时，代数式的值是7，则当x =－1时，这个代数式的值是（ ） A．7 B．3 C．1 D．－7 2、代数式的值为9，则的值为（ ） A．8 B．7 C．6 D．5 3、如果|x-y|=y-x，且|y|=3，则x+y= ． 4、，则=________． 5、已知，求的值 6、已知a、b互为相反数，c、d互为倒数，x的绝对值是3，求x-（a+b-cd）x+（a+b）2020+（-cd）2019的值。 7、有一个多项式为a8﹣a7b+a6b2﹣a5b3+…，按照此规律写下来，这个多项式的第六项是　　　　　　 8、若3a2bcm为七次单项式，则m的值为　　　　　　． 12、观察下列各式： ﹣a，a2，﹣a3，a4，﹣a5，a6，… （1）写出第2020个和2021个单项式； （2）写出第n个单项式． 课堂小结 通过本节课的学习，学生应该掌握代数式的定义，并能辨别代数式.掌握代数式的书写规则，能根据实际情况列代数式，并能解释代数式的实际意义，课后需要通过大量的练习来巩固课上所学的知识，真正做到学以致用。 拓展延伸 基础 【练习1】 1、三个连续整数中，n是最大的一个，这三个数的和为 ． 2、“比a的3倍大1的数”用代数式表示为 ． 3、设甲数为a，乙数为b，则： （1）甲、乙两数的平方和为 （2）甲、乙两数和的平方为 （3）甲、乙两数差的平方为 （4）甲、乙两数的平方差为 （5）甲、乙两数和的平方与甲、乙两数差的平方的和为 4、下列说法中，正确的是（　　） 　 A．﹣x2的系数是 B． πa2的系数是 　 C．3ab2的系数是3a D． xy2的系数是 5、整式﹣0.3x2y，0，，，，﹣2a2b3c中是单项式的个数有（　　 ） 　 A．2个 B． 3个 C． 4个 D． 5个 6、指出下列多项式的项和次数： （1）；（2）． 巩固 1、如果a，b互为相反数，c，d互为倒数，x的绝对值是1，求代数式 的值． 2、下列各式中，哪些是代数式，哪些不是代数式？ （1）；（2）a；（3）26+38；（4）s=vt；（5）a²+2ab+b²；（6）；（7）2+3=5；（8）3a＞4b；（9）5n+2；（10）2（x-y）+3 3、某服装店新开张，第一天销售服装a件，第二天比第一天多销售12件，第三天的销售量是第二天的2倍少10件，则第三天销售了（ ） A．（2a+2）件 B．（2a+24）件 C．（2a+10）件 D．（2a+14）件 4、某年起泉州市区居民生活用水开始实行阶梯式计量水价，据了解，此次实行的阶梯式计量水价分为三级（如下表所示）： 例：若某用户这年6月份的用水量为35吨，按三级计算则应交水费为： 20×1.65+（30-20）×2.48+（35-30）×3.30=74.3（元） （1）如果小东家这年6月份的用水量为20吨，则需缴交水费多少元？ （2）如果小明家这年7月份的用水量为吨，水价要按两级计算，则小明家该月应缴交水费多少元？（用含的代数式表示，并化简） （3）若一用户这年7月份的应缴水费90.8元，则该户人家7月份的用水多少吨？ 5、如图，四边形ABCD与四边形CEFG是两个边长分别为a、b的正方形． （1）用a、b的代数式表示三角形BGF的面积； （2）当a＝4cm，b＝6cm时，求阴影部分的面积． 6、多项式 如果该二项式的次数为4次，则m为____,如果多项式只有二项，则m为___. 7、单项式-a2b3c（ ） A.系数是0次数是3 B.系数是1次数是5 C.系数是-1次数是6 D.系数是1次数是6 拔高 1、如图一张边长为20cm 的正方形硬纸板，把它的四个角都剪去一个边长为acm的小正方形，然后把它折 成一个无盖的长方体，请回答下列问题： （1）请用含有a的代数式表示无盖长方体的体积V；（正确列出式子即可，不必化简） （2）如果剪去的小正方形边长按整数值依次变化，即分别取1cm，2cm，3cm， ，10cm时，折成的无盖长方体盒子的容积分别是多少？请完成下表： a（cm） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 V（cm3） 324 512 500 384 252 128 36 0 （3）根据表格回答，当a取什么正整数时，容积V的值最大？ 2、“囧”（jiǒng）是近时期网络流行语，像一个人脸郁闷的神情．如图所示，一张边长为20的正方形的纸片，剪去两个一样的小直角三角形和一个长方形得到一个“囧”字图案（阴影部分）．设剪去的小长方形长和宽分别为x、y，剪去的两个小直角三角形的两直角边长也分别为x、y． （1）用含有x、y的代数式表示下图中“囧”的面积； （2）当y＝6，x＝8时，求此时“囧”的面积． 3、某单位在二月份准备组织部分员工到北京旅游，现联系了甲、乙两家旅行社，两家旅行社报价均为2000元/人，两家旅行社同时都对10人以上的团体推出了优惠举措：甲旅行社对每位员工七五折优惠；而乙旅行社是免去一位带队管理员工的费用，其余员工八折优惠． (1)如果设参加旅游的员工共有a(a)人，则甲旅行社的费用为 元，乙旅行社的费用为 元；(用含a的代数式表示，并化简．) (2)假如这个单位现组织包括管理员工在内的共20名员工到北京旅游，该单位选择哪一家旅行社比较优惠？请说明理由； (3)如果计划在二月份外出旅游七天，设最中间一天的日期为m． ①这七天的日期之和为 ；(用含m的代数式表示，并化简.) ②假如这七天的日期之和为63的倍数，则他们可能于二月几号出发?(写出所有符合条件的可能性，并写出简单的计算过程.) 4、已知多项式：x10﹣x9y+x8y2…﹣xy9+y10 （1）该多项式有什么特点和规律； （2）按规律写出多项式的第六项，并指出它的次数和系数； （3）这个多项式是几次几项式？ 5、观察下列一串单项式的特点：xy，﹣2x2y，4x3y，﹣8x4y，16x5y，… （1）按此规律写出第9个单项式； （2）试猜想第N个单项式为多少？它的系数和次数分别是多少？ 学科网（北京）股份有限公司 $$