专题01 相似三角形的常见类型-【帮课堂】2024-2025学年九年级数学下册同步学与练（人教版）

专题01 相似三角形的常见类型 类型一：“A”字型 类型二：“8”字型 类型三：子母型 类型四：摄影定理型 类型五：一线三等角模型 类型六：手拉手模型 类型一：“A”字型 1．如图，在△ABC中，DE∥BC，，则的值为（　　） A． B． C． D．2 【分析】由，可得，证明△ADE∽△ABC，则，然后作答即可． 【解答】解：∵DE∥BC， ∴∠ADE＝∠ABC，∠AED＝∠ACB， ∴△ADE∽△ABC， ∵， ∴， ∴， 故选：B． 2．如图，△ABC是等边三角形，被一矩形所截，AB被截成三等分，EH∥BC，若图中阴影部分的面积是18，则四边形BCGF的面积为（　　） A．16 B．20 C．30 D．40 【分析】由题意可得EH∥BC∥FG，从而推出△AEH∽△AFG，△AFG∽△ABC，再由相似三角形的性质求解即可． 【解答】解：△ABC是等边三角形，被一矩形所截，AB被截成三等分，EH∥BC， ∴EH∥BC∥FG， ∴△AEH∽△AFG，△AFG∽△ABC， ∴AE＝EF＝BF， ∴，， ∴，， ∵图中阴影部分的面积是18，S△AFG﹣S△AEH＝S阴影， ∴， ∴， ∴S四边形BCGF＝S△ABC﹣S△AFG＝54﹣24＝30， 故选：C． 3．如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝4，BC＝3，F为BC上一点，连接AF，M为线段AF上一点，作MN⊥AB，作HM∥AB，若HM＝2MN，则BF的长为（　　） A．0.8 B．1 C．1.2 D．1.5 【分析】设MN＝x，则HM＝2x，延长NM交AC于点D，证明△ADN∽△ACB，从而得到，再证明△DMH∽△DNA，得到，从而得出，，证明△AMN∽△AFB，得出．从而得出，再根据，即可求解． 【解答】解：∵HM＝2MN， 设MN＝x，则HM＝2x， 如图，延长NM交AC于点D， ∵MN⊥AB， ∴∠MNA＝90°， ∴∠DNA＝∠CBA＝90°， ∵∠DAN＝∠CAB， ∴△ADN∽△ACB， ∴，即， ∴， ∵HM∥AB， ∴∠DHM＝∠DAN， ∴△DMH∽△DNA， ∴，即， ∵， ∴， ∴， ∵∠MNA＝FBA，∠MAN＝∠FAB， ∴△AMN∽△AFB， ∴．即． ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 故选：C． 4．如图，在△ABC中，∠C＝∠ADE，AB＝3，AD＝2，AC＝8． （1）求证：△ADE∽△ACB； （2）求AE的长． 【分析】（1）根据两角对应相等的两个三角形相似即可求证； （2）根据相似三角形的性质解答即可求解． 【解答】（1）证明：∵∠A＝∠A，∠ADE＝∠C， ∴△ACB∽△ADE； （2）解：∵△ADE∽△ACB， ∴， 即， ∴． 5．如图，△ABC中，AD是边BC上的高，BC＝60，AD＝40，作矩形EFGH，使它的一边EF在BC上，顶点G，H分别在AC、AB上，AD与的HG交点为M，且矩形长HG是宽HE的3倍． （1）求证：； （2）试求矩形EFGH的周长． 【分析】（1）由矩形的性质可得HG∥EF，即得HG∥BC，AM⊥HG，进而可得△AHG∽△ABC，再根据相似三角形的性质即可求证； （2）设设HE＝x，HG＝3x，由相似三角形的性质可得，解方程求出x即可求解； 【解答】（1）证明：∵四边形HEFG为矩形， ∴EF∥HG， ∴BC∥HG， ∵BC⊥AD， ∴HG⊥AM， ∵HG∥BC， ∴△AHG∽△ABC， ∴； （2）解：设HG＝3x，HE＝x，则MD＝HE＝x， ∵； ∴， 解得， ∴这个矩形EFGH的周长＝； 类型二：“8”字型 6．如图，AB∥CD，AC，BD相交于点E，AE＝1，EC＝2，则△ABE与△CED的周长比是（　　） A．1：2 B．1：4 C．1：3 D．1：9 【分析】利用平行线证明三角形相似，得到相似三角形的周长比等于对应边的比求解即可． 【解答】解：∵AB∥CD， ∴∠B＝∠D，∠A＝∠C， ∴△EAB∽△ECD， ∴， ∵AE＝1，EC＝2， ∴， ∴△ABE与△CED的周长比1：2； 故选：A． 7．如图，AB∥CD，AD∥BC，AE与CD交于点O，CO＝2OD，若BE＝18，则AD＝（　　） A．2 B．3 C．4 D．6 【分析】首先证明四边形ABCD是平行四边形，得AD＝BC，再证明△AOD∽△EOC，得，进而可以解决问题． 【解答】解：∵AB∥CD，AD∥BC，AE与CD交于点O，CO＝2OD， ∴四边形ABCD是平行四边形， ∴AD＝BC， ∵AD∥BE， ∴△AOD∽△EOC， ∴， ∴CE＝2AD， ∵BE＝18， ∴BC+CE＝AD+2AD＝3AD＝18， ∴AD＝6， 故选：D． 8．在平行四边形ABCD中，，则S△ANM：S△AND为（　　） A．1：3 B．1：4 C．1：5 D．2：5 【分析】首先根据四边形ABCD是平行四边形，可知△AMN∽△CMD，所以可得：AN：DC＝MN：MD，根据，可得MN：MD＝1：5，当△ANM和△AMD分别以NM、DM为底边时，它们的高相同，可知它们的面积比等于底边的比，从而可求结果． 【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB∥CD，AB＝CD， ∴△AMN∽△CMD， ∴AN：DC＝MN：MD， ∵AN＝NB，AN+NB＝AB， ∴AN：AB＝1：4， ∴AN：DC＝1：4， ∴AN：DC＝MN：MD＝1：4， ∴NM：ND＝1：5， ∴S△ANM：S△AND＝1：5． 故选：C． 9．如图，在菱形ABCD中，点E在边AD上（不与点A，D重合），射线BE与射线CD交于点F． （1）若AB＝3，DE＝1，则DF＝　　； （2）求证：CD2＝AE•CF． 【分析】（1）由四边形ABCD是菱形，可得△DEF∽△CBF，故，可解得DF的长为； （2）由AB∥CD，可证△ABE∽△CFB，有 ，从而推导出CD2＝AE•CF． 【解答】（1）解：四边形ABCD是菱形， ∴AD∥BC，AB＝AD＝BC＝CD＝3， ∴△DEF∽△CBF， ∴， ∵DE＝1， ∴， 解得DF＝； 故答案为：； （2）证明：AB∥CD， ∴∠ABE＝∠F， ∵∠A＝∠C， ∴△ABE∽△CFB， ∴， ∵AB＝BC＝CD， ∴CD2＝AE•CF． 10．如图，四边形ABCD为平行四边形，E为边AD上一点，连接AC、BE，它们相交于点F，且∠ACB＝∠ABE． （1）求证：AE2＝EF•BE； （2）若AE＝2，EF＝1，CF＝4，求AF的长． 【分析】（1）根据两角对应相等两三角形相似证明即可； （2）利用相似三角形的性质求出EB＝4，再利用平行线分线段成比例定理求解． 【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD∥BC， ∴∠EAF＝∠ACB， ∵∠ACB＝∠ABE， ∴∠EAF＝∠ABE， ∵∠AEF＝∠AEB， ∴△AEF∽△BEA， ∴＝， ∴AE2＝EF•BE； （2）解：∵AE2＝EF•EB，AE＝2，EF＝1， ∴EB＝4， ∴FB＝EB﹣EF＝4﹣1＝3， ∵AE∥CB， ∴＝， ∴＝， ∴AF＝． 类型三：子母型 11．如图，在△ABC中，D为AB上一点，∠ADC＝∠ACB，则下列不能表示△ACD和△ABC相似比的是（　　） A． B． C． D． 【分析】根据∠ADC＝∠ACB，∠A为公共角得出△ACD∽△ABC，再根据相似三角形的对应边成比例得出，即可进行判断． 【解答】解：∵∠ADC＝∠ACB，∠A为公共角， ∴△ACD∽△ABC， ∴， 故不能表示△ACD和△ABC的相似比， 故选：A． 12．如图，D是△ABC的边BC上一点，已知AB＝4，AD＝2，∠DAC＝∠B，AC＝3，则BC的长为（　　） A．5 B．6 C．7 D．8 【分析】先证出△ACD∽△BCA，得到，代入数值计算即可． 【解答】解：已知AB＝4，AD＝2，∠DAC＝∠B，∠C＝∠C，AC＝3， ∴△ACD∽△BCA， ∴，即， 解得：BC＝6， 故选：B． 13．如图，点D是△ABC边AC的上一点，且∠ABD＝∠C． （1）求证：△ABD∽△ACB； （2）如果AD＝1，AC＝4，求AB的值． 【分析】（1）由∠A＝∠A，∠ABD＝∠C即可证明相似； （2）由相似三角形的对应边成比例，代入数据即可求解． 【解答】（1）证明：∵∠A＝∠A，∠ABD＝∠C， ∴△ABD∽△ACB； （2）解：∵△ABD∽△ACB， ∴， ∵AD＝1，AC＝4， ∴， 解得：AB＝2（负值舍去）． 14．如图，△ABC中，AD平分∠BAC，E是AD上一点，∠B＝∠ACE． （1）求证：△ABD∽△ACE． （2）已知，AD＝15，试求DE的长． 【分析】（1）根据角平分线的定义得到∠BAD＝∠CAD，再根据∠B＝∠ACE，于是得到结论； （2）根据△ABD∽△ACE得到，可求得AE的值，由DE＝AD﹣AE即可得到结论． 【解答】（1）证明：∵AD平分∠BAC， ∴∠BAD＝∠CAD， ∵∠B＝∠ACE， ∴△ABD∽△ACE； （2）解：∵△ABD∽△ACE， ∴，即， 解得AE＝6， ∴DE＝AD﹣AE＝15﹣6＝9． 15．如图，在△ABC中，D是BC边上一点，且满足AD＝AB，∠ADE＝∠C． （1）求证：△ADE∽△ACD； （2）若，且AE＝4，求AB的长． 【分析】（1）根据∠ADE＝∠C，∠A为公共角，即可证明△ADE∽△ACD； （2）根据可得，进而得到，由（1）知△ADE∽△ACD，可得，求出，再根据AD＝AB，即可得出结果． 【解答】（1）证明：∵∠ADE＝∠C，∠A＝∠A， ∴△ADE∽△ACD； （2）解：∵， ∴， ∴， 由（1）知△ADE∽△ACD， ∴＝， ∵AE＝4， ∴＝， ∴， ∵AD＝AB， ∴． 类型四：摄影定理型 16．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB，垂足为D，如果AD＝2，BD＝1，那么线段CD的长为　　． 【分析】首先证△ACD∽△CBD，然后根据相似三角形的对应边成比例求出CD的长即可． 【解答】解：∵∠ACD＝∠B＝90°﹣∠A， 又∠ADC＝∠CDB＝90°， ∴△ACD∽△CBD， ∴， ∴CD2＝AD•BD＝2×1＝2， ∴， 故答案为：． 17．如图，Rt△ABC中，∠ABC＝90°，BD⊥AC，垂足为D，AE平分∠BAC，分别交BD，BC于点F，E．若AB：BC＝3：4，则BF：FD为（　　） A．5：3 B．5：4 C．4：3 D．2：1 【分析】设AB＝3x，BC＝4x，根据勾股定理得到AC＝＝5x，根据相似三角形的性质得到AD＝x，根据等腰三角形的性质得到BE＝BF，根据相似三角形的性质即可得到结论． 【解答】解：∵AB：BC＝3：4， ∴设AB＝3x，BC＝4x， ∵∠ABC＝90°， ∴AC＝＝5x， ∵BD⊥AC， ∴∠ADB＝∠ABC＝90°， ∵∠BAD＝∠CAB， ∴△ABD∽△ACB， ∴， ∴＝， ∴AD＝x， ∵AE平分∠BAC， ∴∠BAF＝∠DAF， ∴∠AEB＝∠AFD， ∵∠AFD＝∠BFE， ∴∠BEF＝∠BFE， ∴BE＝BF， ∵∠ABE＝∠ADF＝90°， ∠BAE＝∠DAF， ∴△ABE∽△ADF， ∴， ∴＝＝， 方法二：∵AB：BC＝3：4， ∴设AB＝3x，BC＝4x， ∵∠ABC＝90°， ∴AC＝＝5x， ∵BD⊥AC， ∴∠ADB＝∠ABC＝90°， ∵∠BAD＝∠CAB， ∴△ABD∽△ACB， ∴， ∴＝， ∴AD＝x，过FH⊥AB于H， ∵AE是∠BAC的平分线，FD⊥AC， ∴FH＝FD， ∵sin∠ABD＝， ∴＝． 故选：A． 18．如图，在矩形ABCD中，E是AD边的中点，BE⊥AC，垂足为F，连接DF，分析下列四个结论，①△AEF∽△CAB，②CF＝2AF；③CD＝CF；．其中正确的结论有（　　） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【分析】①根据矩形的性质可证明∠ACB＝∠EAF，∠ABC＝∠AFE＝90°，即可证明结论正确；②根据AD∥BC可证明△AEF∽△CBF，利用相似三角形的性质即可证明结论正确；③过点D作DM∥BE，分别交BC，AC于点M，N，可证明四边形BEDM平行四边形，则BM＝CM，进一步可证明DM垂直平分CF，可得结论；④设AE＝a，AB＝b，证明△BAE∽△ADC，并利用相似三角形的性质列方程并求解，即得，根据勾股定理求AC的长，计算的值，即可判断结论是否正确． 【解答】解：在矩形ABCD中，E是AD边的中点，BE⊥AC，垂足为F， ∴AD∥BC，∠ABC＝90°，AD＝BC，∠ABC＝∠AFE＝90°， ∴∠ACB＝∠EAF， ∴△AEF∽△CAB， ∴①正确； ∵AD∥BC， ∴△AEF∽△CBF， ∴， ∵E是AD边的中点， ∴， ∴CF＝2AF， ∴②正确； 如图，过点D作DM∥BE，分别交BC，AC于点M，N， 则四边形BEDM平行四边形， ∴， ∴BM＝CM， ∴CN＝NF， ∵BE⊥AC， ∴DM⊥AC， ∴DM垂直平分CF， ∴DF＝DC， ∴③错误； 设AE＝a，AB＝b，则AD＝2a， ∵∠BAE＝90°， ∴∠BAF+∠DAC＝90°， ∵BE⊥AC， ∴∠BAF+∠ABE＝90°， ∴∠ABE＝∠DAC， ∵∠BAE＝∠ADC＝90°， ∴△BAE∽△ADC， ∴， ∴， ∴， 即， ∴， ∴④错误； 故选：C． 19．如图，已知：Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD是斜边AB上的中线，过点A作AE⊥CD于点H，AE交CB于点E．求证：AC2＝CE•BC． 【分析】证明△ACE∽△BCA，根据相似三角形的性质可得结论． 【解答】证明：∠ACB＝90°，CD是斜边AB上的中线， ∴CD＝AB＝AD， ∴∠CAD＝∠ACD． ∵AE⊥CD于点H， ∴∠AHC＝90°， ∴∠CAH+∠ACD＝90°， 又Rt△ABC中，∠B+∠CAD＝90°， ∴∠CAH＝∠B． ∵∠ACB＝∠ACB， ∴△ACE∽△BCA， ∴， ∴AC2＝CE•BC． 20．已知：如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D为边AB上一点，过点B作BE⊥CD，垂足为点E，延长BE交边AC于点F． （1）当D为AB的中点时，求证：； （2）当F为AC中点时，连结AE，求证：AE•FC＝EF•AB． 【分析】（1）先根据斜边上的中线性质得到DA＝DC＝DB，则∠DAC＝∠1，再证明△ABC∽△BCE，利用相似三角形的性质得到＝，接着证明△FCE＝△FBC，根据相似三角形的性质得到＝，则利用等量代换得到＝，然后根据比例的性质得到结论； （2）先由△FCE＝△FBC得到FC：FB＝FE＝FC，用AF代换FC得到FA：FB＝FE：FA，接着证明△FAE∽△FBA，根据相似三角形的性质得到AE：AB＝EF：AF，然后利用比例的性质和AF＝CF得到结论． 【解答】证明：（1）∵∠ACB＝90°，D为AB的中点， ∴DA＝DC＝DB， ∴∠DAC＝∠1， ∵BE⊥CD， ∴∠CEB＝∠CEF＝90°， ∵∠1+∠3＝90°，∠2+∠3＝90°， ∴∠1＝∠2， ∴∠DAC＝∠2， ∵∠ACB＝∠BEC，∠BAC＝∠2， ∴△ABC∽△BCE， ∴＝， ∵∠1＝∠2，∠EFC＝∠CFB， ∴△FCE＝△FBC， ∴＝， ∴＝， ∴＝； （2）∵△FCE＝△FBC， ∴FC：FB＝FE：FC， ∵F为AC中点时， ∴FC＝FA， ∴FA：FB＝FE：FA， ∵∠AFE＝∠BFA， ∴△FAE∽△FBA， ∴AE：AB＝EF：AF， ∴AE•AF＝EF•AB， ∵AF＝CF， ∴AE•CF＝EF•AB． 类型五：一线三等角模型 21．如图，△ABC是等边三角形，点D、E分别在BC、AC上，且∠ADE＝60°，AB＝9，BD＝3，则CE的长等于（　　） A．1 B． C． D．2 【分析】通过△ABD∽△DCE，可得，即可求解． 【解答】解：∵△ABC是等边三角形， ∴AB＝BC＝9，∠ABC＝∠ACB＝60°， ∵BD＝3， ∴CD＝6， ∵∠ADC＝∠ABC+∠BAD＝∠ADE+∠CDE， ∴∠BAD＝∠CDE， ∴△ABD∽△DCE， ∴， ∴＝， ∴CE＝2， 故选：D． 22．如图，在△ABC中，AB＝AC＝6，D在BC边上，∠ADE＝∠B，CD＝4，若△ABD的面积等于6，则△CDE的面积为（　　） A． B．3 C． D．6 【分析】首先根据等腰三角形的性质及三角形外角的性质，可证得△ABD∽△DCE，再根据相似三角形的面积之比等于相似比的平方进行求解即可． 【解答】解：∵AB＝AC＝6， ∴∠B＝∠C， ∵∠ADE＝∠B，∠ADC＝∠B+∠BAD＝∠ADE+∠CDE， ∴∠BAD＝∠CDE， ∴△ABD∽△DCE． ∴， ∵△ABD的面积等于6， ∴△CDE的面积为：， 故选：A． 23．如图，在△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝8，D是BC边上一动点（不与点B，C重合），∠ADE＝∠B＝α，DE交AC于点E，下列结论：①AD2＝AE•AB；②1.8≤AE＜5；③当时，△ABD≌△DCE；④△DCE为直角三角形时，BD＝4或者6.25．其中正确的结论有（　　）个． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【分析】如图1：在线段DE上取点F，使AF＝AE，连接AF，易证△ABD∽△ADF进而可得AD2＝AB•AE即可判定①；结合①的结论可得，再确定AD的范围为3≤AD＜5，进而得到1.8≤AE＜5，即②正确；分两种情况：当BD＜4时，可证明结论正确，当BD＞4时，结论不成立；故③错误；△DCE为直角三角形，可分两种情况∠CDE＝90°或∠CED＝90°分别讨论求解即可④． 【解答】解：如图1，在线段 DE上取点F，使AF＝AE，连接AF，则∠AFE＝∠AEF ∵AB＝AC， ∴∠B＝∠C， ∵∠ADE＝∠B＝a， ∴∠C＝∠ADE＝a， ∵∠AFE＝∠DAF+∠ADE，∠AEF＝∠C+∠CDE， ∴∠DAF＝∠CDE， ∵∠ADE+∠CDE＝∠B+∠BAD， ∴∠CDE＝∠BAD， ∴∠DAF＝∠BAD， ∴△ABD∽△ADF， ∴，即AD2＝AB•AF ∴AD2＝AB•AE，故①正确； ∴， 当AD⊥BC时，由勾股定理可得：， ∴3≤AD＜5， ∴，即1.8≤AE＜5，故②正确； 如图2，作AH⊥BC于H， ∵AB＝AC＝5， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴BD＝3或BD′＝5，CD＝5或CD′＝3， ∵∠BAD+∠B＝∠ADC＝∠ADE+∠CDE，∠ADE＝∠B＝a， ∴∠BAD＝∠CDE， ∵∠B＝∠C，DC＝AB， ∴△ABD≌△DCE（SAS）， 但△ABD′与△D′CE显然不是全等形，故③不正确； 如图3，AD⊥BC，DE⊥AC， ∴∠ADE+∠DAE＝∠C+∠DAE＝90°， ∴∠ADE＝∠C＝∠B， ∴BD＝4， 如图4，DE⊥BC于D，AH⊥BC于H， ∵∠ADE＝∠C， ∴∠ADH＝∠CAH， ∴△ADH∽△CAH， ∴，即， ∴， ∴，故④正确． 故选C． 24．已知：如图，△ABC是等边三角形，点D、E分别在边BC、AC上，∠ADE＝60°． （1）求证：△ABD∽△DCE； （2）如果AB＝3，EC＝，求DC的长． 【分析】（1）△ABC是等边三角形，得到∠B＝∠C＝60°，AB＝AC，推出∠BAD＝∠CDE，得到△ABD∽△DCE； （2）由△ABD∽△DCE，得到＝，然后代入数值求得结果． 【解答】（1）证明：∵△ABC是等边三角形， ∴∠B＝∠C＝60°，AB＝AC， ∵∠B+∠BAD＝∠ADE+∠CDE，∠B＝∠ADE＝60°， ∴∠BAD＝∠CDE ∴△ABD∽△DCE； （2）解：由（1）证得△ABD∽△DCE， ∴＝， 设CD＝x，则BD＝3﹣x， ∴＝， ∴x＝1或x＝2， ∴DC＝1或DC＝2． 25．如图，在△ABC中，AB＝AC＝6，BC＝8，点D是BC边上的一个动点，点E在AC上，点D在运动过程中始终保持 ∠1＝∠B．设BD的长为x（0＜x＜8）． （1）求证：△DCE∽△ABD； （2）用含x的代数式表示CE的长；当CE＝2时，求x的值； （3）当x为何值时，△ADE为等腰三角形． 【分析】（1）根据等边对等角，可以证得∠B＝∠C，然后根据三角形的外角的性质，证得∠2＝∠3，根据有两个角对应相等的两个三角形相似即可证得； （2）根据相似三角形的对应边的比相等，即可用列方程求得x的值； （3）分三种情况进行讨论，根据相似三角形的性质即可求解． 【解答】解：（1）∵∠ADC＝∠1+∠2＝∠B+∠3，∠1＝∠B， ∴∠2＝∠3． 又∵AB＝AC， ∴∠B＝∠C， ∴△DCE∽△ABD； （2）∵△DCE∽△ABD， ∴＝，即＝， ∴CE＝﹣x2+x， ∵CE＝2， ∴﹣x2+x＝2， 解得：x＝2或6． 解这个方程，得x1＝2，x2＝6； （3）①当DA＝DE时，△DCE≌△ABD， ∴DC＝AB＝6，即8﹣x＝6．解得 x＝2． ②当EA＝ED时，∠DAE＝∠1＝∠B＝∠C． ∴△DAC∽△ABC． ∴，即． 解得 x＝． ③当AD＝AE时，点D与点B重合，点E与点C重合，此时x＝0． （或当AD＝AE时，∠1＝∠AED＞∠C， ∵∠1＝∠B＝∠C， ∴AD＝AE情况不成立． 综上所述，当x＝2或x＝时，△ADE为等腰三角形． 类型六：手拉手模型 26．如图，∠B＝∠D，∠BAD＝∠CAE，AB＝3，AD＝5，△ABC的周长为15，则△ADE的周长为（　　） A．20 B．25 C．35 D．30 【分析】证明△ABC∽△ADE，得△ABC的周长：△ADE的周长＝AB：AD＝3：5，进而可以解决问题． 【解答】解：∵∠BAD＝∠CAE， ∴∠BAD+∠CAD＝∠CAE+∠CAD， ∴∠BAC＝∠DAE， ∵∠B＝∠D， ∴△ABC∽△ADE， ∴△ABC的周长：△ADE的周长＝AB：AD＝3：5， ∵△ABC的周长为15， ∴△ADE的周长为25， 故选：B． 27．如图，有公共顶点的正方形ABCD和正方形BFGE如图摆放，其中点G恰在CD边的四等分点（CG＜DG），连结BD．则DH：BH为（　　） A．2：3 B．：2 C．2： D．15：17 【分析】首先设GC＝x，根据G恰在CD边的四等分点及正方形性质推∠BDG＝45°，∠C＝90°，BC＝DC＝4x，根据勾股定理得，BD＝4x，BG＝x，进一步证明△BGH∽△BDG，推比例线段，把x表示的线段代入求出BH＝，再根据线段之差求出DH＝，这样就可以求出DH：BH的值． 【解答】解：连接BG，设GC＝x， ∵G恰在CD边的四等分点， ∴DG＝3x，DC＝4x， ∵四边形ABCD是正方形， ∴∠BDG＝45°，∠C＝90°，BC＝DC＝4x， ∴在Rt△BCD中根据勾股定理得，BD＝4x， 在Rt△BGC中根据勾股定理得，BG＝x， ∵四边形BFGE是正方形， ∴∠BGH＝45°， ∴∠BGH＝∠BDG， ∴∠DBG＝∠GBH， ∴△BGH∽△BDG， ∴＝， ∴＝， ∴BH＝， ∴DH＝BD﹣BH＝4x﹣＝， ∴＝＝． 故选：D． 28．如图，△ABC∽△ADE，∠BAC＝∠DAE＝90°，AB与DE交于点O，AB＝4，AC＝3，F是DE的中点，连接BD，BF，若点E是射线CB上的动点，下列结论：①△AOD∽△FOB，②△BOD∽△EOA，③∠FDB+∠FBE＝90°，④，其中正确的是（　　） A．①②③ B．①③④ C．②③ D．②③④ 【分析】根据△ABC∽△ADE，得∠ADO＝∠EBO，结合对顶角∠AOD＝∠EOB，证明△AOD∽△EOB，推出△BOD∽△EOA，再证明∠DBE＝90°，可得②③正确，根据△ABC∽△ADE，得出，结合直角三角形斜边中线的性质即可判断④正确，据此选择即可． 【解答】解：∵△ABC∽△ADE， ∴∠ADO＝∠EBO， ∵∠AOD＝∠EOB， ∴△AOD∽△EOB， ∴， ∴， ∵∠BOD＝∠AOE， ∴△BOD∽△EOA， 故②正确； ∵△AOD∽△EOB，△BOD∽△EOA， ∴∠ADO＝∠EBO，∠AEO＝∠DBO， ∵∠ADO+∠AEO＝90°， ∴∠DBE＝∠DBO+∠EBO＝90°， ∵DF＝EF， ∴FD＝FB＝FE， ∴∠FDB＝∠FBD， ∴∠FDB+∠FBE＝∠FBD+∠FBE＝90°， 故③正确； 在Rt△ABC中，AB＝4，AC＝3， 由勾股定理得：， ∵△ABC∽△ADE， ∴， ∵， ∴， ∴， 故④正确； ∵∠ADO＝∠OBE， ∴∠ADO≠∠OBF， 根据现有条件无法判断△AOD∽△FOB， 故①错误， 综上所述，正确的是②③④． 故选：D． 29．如图，在△ABC和△AED中，AB•AD＝AC•AE，∠BAD＝∠CAE． （1）求证：△ABC∽△AED； （2）若S△ABC：S△ADE＝4：9，BC＝6，求DE的长． 【分析】（1）首先推导出∠DAE＝∠BAC，再证明＝，得出△ABC∽△ADE； （2）利用S△ABC：S△ADE＝4：9得出两个三角形的相似比，BC：DE＝2：3，代入数据即可得解． 【解答】（1）证明：∵在△ABC和△ADE中，∠BAD＝∠CAE． ∴∠BAD+∠BAE＝∠CAE+∠BAE， .∴∠DAE＝∠BAC， ∵AB•AD＝AC•AE， ∴＝， ∴△ABC∽△ADE； （2）解：∵△ABC∽△ADE， 又∵S△ABC：S△ADE＝4：9， .∴BC：DE＝2：3， ∵BC＝6， ∴DE＝9． 30．如图，在四边形ABCD中，AC，BD相交于点E，点F在BD上，且∠BAF＝∠DBC，． （1）求证：△ABC∽△AFD； （2）若AD＝2，BC＝5，△ADE的面积为4，求△BCE的面积． 【分析】（1）由∠AFD＝∠ABC，＝，即可得出△ABC∽△AFD； （2）证明△AED∽△BEC，得＝＝，从而可得结论． 【解答】（1）证明：∵∠BAF＝∠DBC， ∴∠BAF+∠ABF＝∠DBC+∠ABF， 即∠AFD＝∠ABC， ∵＝， ∴△ABC∽△AFD； （2）解：由（1）得：△ABC∽△AFD， ∴∠ADE＝∠ACB， ∵∠AED＝∠BEC， ∴△AED∽△BEC， ∵AD＝2，BC＝5， ∴＝＝， ∵S△ADE＝4， ∴S△BCE＝25． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题01 相似三角形的常见类型 类型一：“A”字型 类型二：“8”字型 类型三：子母型 类型四：摄影定理型 类型五：一线三等角模型 类型六：手拉手模型 类型一：“A”字型 1．如图，在△ABC中，DE∥BC，，则的值为（　　） A． B． C． D．2 2．如图，△ABC是等边三角形，被一矩形所截，AB被截成三等分，EH∥BC，若图中阴影部分的面积是18，则四边形BCGF的面积为（　　） A．16 B．20 C．30 D．40 3．如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝4，BC＝3，F为BC上一点，连接AF，M为线段AF上一点，作MN⊥AB，作HM∥AB，若HM＝2MN，则BF的长为（　　） A．0.8 B．1 C．1.2 D．1.5 4．如图，在△ABC中，∠C＝∠ADE，AB＝3，AD＝2，AC＝8． （1）求证：△ADE∽△ACB； （2）求AE的长． 5．如图，△ABC中，AD是边BC上的高，BC＝60，AD＝40，作矩形EFGH，使它的一边EF在BC上，顶点G，H分别在AC、AB上，AD与的HG交点为M，且矩形长HG是宽HE的3倍． （1）求证：； （2）试求矩形EFGH的周长． 类型二：“8”字型 6．如图，AB∥CD，AC，BD相交于点E，AE＝1，EC＝2，则△ABE与△CED的周长比是（　　） A．1：2 B．1：4 C．1：3 D．1：9 7．如图，AB∥CD，AD∥BC，AE与CD交于点O，CO＝2OD，若BE＝18，则AD＝（　　） A．2 B．3 C．4 D．6 8．在平行四边形ABCD中，，则S△ANM：S△AND为（　　） A．1：3 B．1：4 C．1：5 D．2：5 9．如图，在菱形ABCD中，点E在边AD上（不与点A，D重合），射线BE与射线CD交于点F． （1）若AB＝3，DE＝1，则DF＝　 　； （2）求证：CD2＝AE•CF． 10．如图，四边形ABCD为平行四边形，E为边AD上一点，连接AC、BE，它们相交于点F，且∠ACB＝∠ABE． （1）求证：AE2＝EF•BE； （2）若AE＝2，EF＝1，CF＝4，求AF的长． 类型三：子母型 11．如图，在△ABC中，D为AB上一点，∠ADC＝∠ACB，则下列不能表示△ACD和△ABC相似比的是（　　） A． B． C． D． 12．如图，D是△ABC的边BC上一点，已知AB＝4，AD＝2，∠DAC＝∠B，AC＝3，则BC的长为（　　） A．5 B．6 C．7 D．8 13．如图，点D是△ABC边AC的上一点，且∠ABD＝∠C． （1）求证：△ABD∽△ACB； （2）如果AD＝1，AC＝4，求AB的值． 14．如图，△ABC中，AD平分∠BAC，E是AD上一点，∠B＝∠ACE． （1）求证：△ABD∽△ACE． （2）已知，AD＝15，试求DE的长． 15．如图，在△ABC中，D是BC边上一点，且满足AD＝AB，∠ADE＝∠C． （1）求证：△ADE∽△ACD； （2）若，且AE＝4，求AB的长． 类型四：摄影定理型 16．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB，垂足为D，如果AD＝2，BD＝1，那么线段CD的长为　 　． 17．如图，Rt△ABC中，∠ABC＝90°，BD⊥AC，垂足为D，AE平分∠BAC，分别交BD，BC于点F，E．若AB：BC＝3：4，则BF：FD为（　　） A．5：3 B．5：4 C．4：3 D．2：1 18．如图，在矩形ABCD中，E是AD边的中点，BE⊥AC，垂足为F，连接DF，分析下列四个结论，①△AEF∽△CAB，②CF＝2AF；③CD＝CF；．其中正确的结论有（　　） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 19．如图，已知：Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD是斜边AB上的中线，过点A作AE⊥CD于点H，AE交CB于点E．求证：AC2＝CE•BC． 20．已知：如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D为边AB上一点，过点B作BE⊥CD，垂足为点E，延长BE交边AC于点F． （1）当D为AB的中点时，求证：； （2）当F为AC中点时，连结AE，求证：AE•FC＝EF•AB． 类型五：一线三等角模型 21．如图，△ABC是等边三角形，点D、E分别在BC、AC上，且∠ADE＝60°，AB＝9，BD＝3，则CE的长等于（　　） A．1 B． C． D．2 22．如图，在△ABC中，AB＝AC＝6，D在BC边上，∠ADE＝∠B，CD＝4，若△ABD的面积等于6，则△CDE的面积为（　　） A． B．3 C． D．6 23．如图，在△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝8，D是BC边上一动点（不与点B，C重合），∠ADE＝∠B＝α，DE交AC于点E，下列结论：①AD2＝AE•AB；②1.8≤AE＜5；③当时，△ABD≌△DCE；④△DCE为直角三角形时，BD＝4或者6.25．其中正确的结论有（　　）个． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 24．已知：如图，△ABC是等边三角形，点D、E分别在边BC、AC上，∠ADE＝60°． （1）求证：△ABD∽△DCE； （2）如果AB＝3，EC＝，求DC的长． 25．如图，在△ABC中，AB＝AC＝6，BC＝8，点D是BC边上的一个动点，点E在AC上，点D在运动过程中始终保持 ∠1＝∠B．设BD的长为x（0＜x＜8）． （1）求证：△DCE∽△ABD； （2）用含x的代数式表示CE的长；当CE＝2时，求x的值； （3）当x为何值时，△ADE为等腰三角形． 类型六：手拉手模型 26．如图，∠B＝∠D，∠BAD＝∠CAE，AB＝3，AD＝5，△ABC的周长为15，则△ADE的周长为（　　） A．20 B．25 C．35 D．30 27．如图，有公共顶点的正方形ABCD和正方形BFGE如图摆放，其中点G恰在CD边的四等分点（CG＜DG），连结BD．则DH：BH为（　　） A．2：3 B．：2 C．2： D．15：17 28．如图，△ABC∽△ADE，∠BAC＝∠DAE＝90°，AB与DE交于点O，AB＝4，AC＝3，F是DE的中点，连接BD，BF，若点E是射线CB上的动点，下列结论：①△AOD∽△FOB，②△BOD∽△EOA，③∠FDB+∠FBE＝90°，④，其中正确的是（　　） A．①②③ B．①③④ C．②③ D．②③④ 29．如图，在△ABC和△AED中，AB•AD＝AC•AE，∠BAD＝∠CAE． （1）求证：△ABC∽△AED； （2）若S△ABC：S△ADE＝4：9，BC＝6，求DE的长． 30．如图，在四边形ABCD中，AC，BD相交于点E，点F在BD上，且∠BAF＝∠DBC，． （1）求证：△ABC∽△AFD； （2）若AD＝2，BC＝5，△ADE的面积为4，求△BCE的面积． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$