第27章 培优专题12：与相似三角形有关的热点、难点问题&培优专题13：求比值及证明比例式或等积式的技巧-【同行学案】2025-2026学年九年级下册数学学练测（人教版）

培优专题12：与相似三角形 探究一：平移问题中的相似三角形 1.[一题多解]如图，将等边△ABC沿BC方向 平移得到△A1B1C1.若BC=3,S△PB,c=√3， 则BB1= B B 探究二：旋转问题中的相似三角形 2.(常德中考)如图①，在Rt△ABC中，∠ABC =90°，AB=8,BC=6,D是AB上一点，且 AD=2,过点D作DE∥BC交AC于E,将 △ADE绕A点顺时针旋转到图②的位置，连 接BD,EC,则图②中 B CE的值为 ⑦ ② 探究三：折叠问题中的相似三角形 3.如图，在△ABC中，∠C=90°，BC=12,点 D,E分别在AB,AC上，将△ABC沿DE折 叠，使点A落在点A'处.若A'为CE的中点， 则折痕DE的长为( ) 视频讲解 A.3 B.4 C.5 D.6 探究四：平行线所夹的三角形相似 4.如图，直线11，l2,…,l6是一组等距的平行线， 过直线11上的点A作两条直线，分别与直线 L3,L6相交于点B,E,C,F.若BC=3,则EF 第二十七章相似☑ 有关的热点、难点问题探究 数 的长是 素 养 能 5.[几何直观]如图，一副三角板叠放，则△AOB 与△DOC的面积之比为 D 309 何直观 4 45°X0 间观 理 探究五：等高三角形与相似三角形的面积比 能力 6.(绥化中考)如图，在□ABCD中，AC,BD相 交于点O,E是OA的中点，连接BE并延长 交AD于点F,已知S△AF=4,则下列结论： ①5=：@5ae=86,@Swm=12, 1 ④△AEF∽△ACD.其中一定正确的 是( 识 视频讲解 A.①②③④ B.①④ C.②③④ D.①②③ 7.如图，在矩形ABCD中，F是DC上一点， BFLAC.垂足为点E,0-△CBF的面 积为S1,△AEB的面积为S2,则 的位等行 做神龙题得好成绩（55 同行学案学练测 数学九年级下RJ 培优专题13：求比值及证明比例式或等积式的技巧 学 技巧一：构造平行线求比值 技巧三：利用两次相似证明比例式或等积式 1.如图，已知点F在AB上，且AF:BF=1:2, 3.如图，在△ABC中，AD和BG是△ABC的 D是BC延长线上一点，BC:CD=2:1,连 高，连接GD,求证：CG·AB=CB·DG 接FD与AC交于点N,求FN:ND的值. 抽象能力·运算能力 几何直观·空间观念·推理能力 数据观念 技巧二：寻找相似三角形证明比例中项 4.[推理能力]如图，已知EC∥AB,∠EDA 模型观 2.如图，在等边三角形ABC中，BD=CE,BE, =∠ABF. AD相交于点F, (1)求证：四边形ABCD是平行四边形 (1)求证：△ABD≌△BCE. (2)求证：OA2=OE·OF. 应用意识 (2)求证：AE2=EF·BE. 创新意识 56做神龙题得好成绩7.解：(1) ÷品品-号0日△c0G的面积=15× 1 =5. A E B 13.解：(1)如图所示，△A1BC1即为所求.(2)如图所示， (2)等腰直角 △A2B2C2即为所求.(3)P(0,0) 8.B9.D10.4√2π 11.解：(1)如图所示，△A'B'C即为所求」 (2)四边形AA'CC的周长=4十6√2， 34561 B BO C 12.解：(1)四边形GHIJ是正方形.证明：，GJ⊥OA,GH⊥ 培优专题10：解决位似变换问题的规律技巧 GJ,HI⊥OA,.∠GJO=∠JGH=∠JIH=90°，.四边 形GHIJ是矩形.，四边形CDEF是正方形，CD边与矩 1.B2.(-1,2)或1，-2)3(-2，号)4 形GHIJ的IJ边在同一条直线上，.FC∥HI,EF∥ 5.(2m,2n)或(-2m,-2n)6.(-2,0)7.(3,4)或(0,4) OF FC GH,△FOCO△HOI,△EFOn△GHO,OH-, 8.(1347,0)[解析]，A2(-1,0),A(1,0),Ag(3,0), A1(5,0),…,.A3m-1(2m-3,0).2024=3X675-1, OF EF.FC EF OiGn心m=GCm又：FC=EF,·HI=GH, .A2024的坐标为(1347,0). ∴.四边形GHIJ是正方形.(2)如图，正方形MNGH即 培优专题11：黄金分割 为所求 1.55-5 2.A[解析]，∠B=∠C=36°，.AB=AC,∠BAC=108°. DH垂直平分AB,EG垂直平分AC,∴.DB=DA,EA= EC,·∠B=∠BAD=∠C=∠CAE=36°，∴.△BDA △BAC,:BD-BA BA-BC.又：∠ADC=∠B+∠BAD=72, ∠DAC=∠BAC-∠BAD=72°，∴.∠ADC=∠DAC, 第2课时坐标系中的位似图形 ..CD=CA=BA,.BD BC-CD=BC-BA, 1.B2.C3.184.(4,6)或(-4，-6) 器求和股，可船器， BA BC 2 5.解：(1)图略(2a,2b)(2)12 故A错误；：∠BAC=108°，∠B=∠BAD=∠C 6.C7.D ∠CAE=36°，∴.∠DAE=∠BAC-∠BAD-∠CAE= 82,1或(-2，-1）9(-5，-1)10.（停，-4 36°，即∠DAB=∠DAE=∠CAE=36°，∴.AD,AE将 11.y=8 ∠BAC三等分，故B正确；∠BAE=∠BAD+∠DAE x =72°，∠CAD=∠CAE+∠DAE=72°，∴.∠BAE= 12.5[解析]如图，连接BG.,'□ABCD和□EBFG是以点 I∠B=∠C B为位似中心的位似图形，点D,G,B在同一条直线 ∠CAD.在△ABE和△ACD中，AB=AC 上，FGCD.四边形ABCD是平行四边形，面积为30， ∠BAE=∠CAD ∴.△CDB的面积为15.，FG∥CD,.△BFG∽△BCD, ∴.△ABE≌△ACD(ASA),故C正确；由△ABE≌△ACD ·18·同行学案学练测 可得SAABE=S△ACD,即S△BAD十S△ADE=SACAE十S△ADE, 培优专题13：求比值及证明比例式 ∴SABAD=SACAE.又：DH垂直平分AB,EG垂直平分 或等积式的技巧 AC,SAm=号S60,Sm=号m 1解，如图，过点F作FE/BD,交AC于点E,则瓷-AE SAcr,故D正确. 3.25+24.C A:BF-1:2铝-方ξ-3，即FE 5.解：(1)根据第一步折叠可知，四边形MNCB是正方形，设 BC.BC CD-21CD-BC.FE/BD, 正方形边长为x,根据第二步可知，AC=号x,在△ACB 1 E八FE3BC 2 中，根据勾股定理，得AB=VAC+BC-5 x根据第 NDCD BC ,即FN:ND=2:3. 三步可知.AD-AB-号CD-AD-AC-5 2x, -5矩形DE是黄金矩形(2D …BC c+m-+器6 x一 2 2.证明：(1)：△ABC是等边三角形，∴.AB=BC,∠ABC= ∠C=∠BAC=60°.在△ABD和△BCE中， 5,1,∴矩形MNDE是黄金矩形，. (AB-BC 培优专题12：与相似三角形有关的热点、 ∠ABC=∠C,.∴.△ABD≌△BCE(SAS) BD-CE 难点问题探究 (2),∠ABC=∠BAC,∴.∠ABE+∠CBE=∠BAF+ 1.1[解析]方法1：如图，过点P作PDLB,C于点D.由题 ∠EAF.,△ABD≌△BCE,∴.∠CBE=∠BAF, 意，得△PCB1是等边三角形，设△PCB1的边长是2a,则 ∴∠ABE=∠EAF.'∠AEF=∠BEA,.△ABED BD=CD=a,PD-5a.Sm,c=5,∴2×2aX5a △FAE能-AE=EF,E =√3，解得a=1,.B1C=2,∴.BB1=3-2=1. 3.证明：，在△ABC中，AD和BG是△ABC的高，.∠BGC =∠ADC=90°.又：∠C=∠C,∴.△ADC∽△BGC, 器脚瓷-是又：∠C=∠c,△GC☑ BB D CC △BAC.-即0G·AB=CB·DG 方法2：易知△PCB∽△ACB,且Sa-9Y 4· :S△PB1C 4.证明：(1)：EC∥AB,∴.∠EDA=∠DAB.∠EDA= B C ∠ABF,∴.∠DAB=∠ABF,∴.AD∥BC.:DC∥AB, =3,Sam,e1Sam=4:9,∴BC=2:3,则B,C= .四边形ABCD是平行四边形.(2)，EC∥AB, 2,.BB1=1. △0ABn△0ED÷8t-8 AD/∴△0BFU 2号 [解析]∠ABC=90°，AB=8,BC=6,∴.AC= △0DA8%8器8280A=0E.0 √AB2+BC=√82+6=10.，DE∥BC,∴.△ADE∽ 培优专题14：滚动提升一圆中的 △ABC,小品-怎：将△ADE绕A点顺时针旋转到 相似三角形 图②的位置，.∠DAB=∠EAC,△ADB∽△AEC, 1.(1)证明：如图，连接OC.,1是⊙0的切线，.OC⊥1. .BD AB 8 4 …CE=AC-105 AD⊥L,.OC∥AD,∠CAD=∠ACO=∠CAB. ∠D=∠ACB=90°，∴△ABC∽△ACD.(2)解： 3.B4.7.55.1:36.D7.6 AC=5,CD=4,∠ADC=90°，.AD=√AC2-CD2=