5.5.2三角形内角和定理（3题型基础+能力+创新+易错）-【上好课】2024-2025学年八年级数学上册同步精品课堂（青岛版）

5.5.2三角形内角和定理 题型一 直角三角形性质定理的应用 1．在中，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了直角三角形的性质，熟记直角三角形的两锐角互余是解题的关键． 根据直角三角形的两锐角互余计算即可． 【详解】解：在中，， 则， ∵， ∴． 故选：B ． 2．如图，中，，以点A为圆心，适当长为半径画弧，交于点E，交于点F．再分别以点E，F为圆心，大于的长为半径画弧，两弧在的内部相交于点P；画 射 线，与相交于点D，则的大小为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查基本作图，直角三角形两锐角互余以及三角形外角的性质，由直角三角形两锐角互余可求出，由作图得，由三角形的外角的性质可得，故可得答案． 【详解】解：∵， ∴， 由作图知，平分， ∴， ∵， ∴， 故选：B． 3．如图，直线于点A，若，则的度数 ． 【答案】/58度 【分析】本题主要考查了平行线的性质，垂线，直角三角形的性质等知识点，由平行线的性质可得，根据垂直定义可得，根据直角三角形的两个锐角互余即可解答，熟练掌握平行线的性质，直角三角形的性质是解决此题的关键． 【详解】∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 4．如图，在中，，，点在边上，将沿折叠，使得点落在边上的点处，则的度数为 ．    【答案】/度 【分析】本题考查了折叠的性质、直角三角形的特征及三角形外角的性质，根据直角三角形的特征得，再根据折叠的性质得，再根据三角形的外角的性质即可求解，熟练掌握基础知识是解题的关键． 【详解】解：，， ， 沿折叠得到， ， 是的一个外角， ， 故答案为：． 题型二 直角三角形判定定理的应用 1．在下列条件：①；②；③；④中，能确定为直角三角形的条件有（   ） A．5个 B．4个 C．3个 D．2个 【答案】D 【分析】本题主要考查了直角三角形的定义，三角形内角和定理等知识点，熟知三角形的内角和等于是解答此题的关键． 根据直角三角形的判定和三角形内角和定理逐项判断即可． 【详解】解：①不能确定为直角三角形，故①不符合题意； ②∵，， ∴，，， ∴为直角三角形，故②符合题意； ③设， ∵， ∴，解得：， ∴，，， ∴是直角三角形，故③符合题意； ④设， ∵， ∴，解得：， ∴，，， ∴不是直角三角形，故④符合题意； 综上，正确的有②③共2个． 故选D． 2．如图1，在中，，D是上一点，且；    (1)求证：； (2)如图2，若平分，交于点F，交于E．求证：； (3)在（2）的条件下，若，求的度数；（用含的代数式表示） (4)如图3，若E为上一点，交于点F，，，，的面积分别为，且，则 ．（仅填结果） 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3) (4)3 【分析】（1）根据直角三角形两锐角互余可得，然后求出，从而得到，再根据垂直的定义证明即可 （2）根据角平分线的定义可得，再根据直角三角形两锐角互余可得从而得到，再根据对顶角相等可得然后等量代换即可得证 （3）根据角平分线定义表示出，从而表示出，利用邻补角即可求出结果； （4）根据等高的三角形的面积的比等于底边的比求出和，然后根据计算即可得解． 【详解】（1）证明：， ， ， ， ， ； （2）平分， ， ， ， ， ； （3）平分， ， ， ， ， ， ； （4），， ， ，， ， 故答案为：3． 【点睛】本题考查了直角三角形两锐角互余的性质，有两个锐角互余的三角形是直角三角形，角平分线的定义，三角形外角性质，对顶角相等，邻补角的求解，利用等高的三角形的面积的比等于底边的比求出和是解题的关键． 3．如图，在中，D为上一点，，． (1)判断的形状； (2)判断是否与垂直． 【答案】(1)是直角三角形 (2) 【分析】本题考查了直角三角形的性质，三角形内角和定理，垂直的定义，熟练掌握三角形内角和定理是解题的关键，（1）证出即可得到结论，（2）求出，可得出． 【详解】（1）解：是直角三角形，理由如下： ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴是直角三角形． （2）解：，理由如下： ∵，， ∴， ∴， ∴． 1．如图，在中，高交于点，若的面积为，则的长为 ． 【答案】 【分析】本题考查全等三角形证判定及性质，直角三角形的判定，三角形面积公式等，熟练掌握全等三角形证判定及性质是解题的关键．以为边，点为顶点作，延长与交于点，先通过角度等量代换证明，再依据全等三角形证明，进而利用三角形面积公式即可求解． 【详解】解：如图，以为边，点为顶点作，延长与交于点， 则， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵是的高， ∴， ∴ ∵，， ∴（）， ∴． ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 2．在一个支架的横杆点处用一根绳悬挂一个小球，小球可以摆动，如图，表示小球静止时的位置，当小球从摆到位置时，过点作于点，当小球摆到位置时，与恰好垂直，过点作于点，测得，则的长为 ． 【答案】6 【分析】本题考查了全等三角形的判定及性质、直角三角形的特征，根据直角三角形的特征及可得，进而可得，再根据即可求解，熟练掌握全等三角形的判定及性质是解题的关键． 【详解】解：和是由摆动得到， ， ， ， ，， ， ，， ， 在和中， ， ， ， ， ， 故答案为：6． 3．如图1， 已知中， ，；是过的一条直线，且在 ，的异侧，于 ，于 ． (1)试说明： ． (2)若直线绕点旋转到图位置时 ， 其余条件不变， 问与，的关系如何？ 请直接写出关系式； (3)在（2）的条件下， 当 ，时， 直接写出四边形的面积． 【答案】(1)见解析； (2)； (3)． 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定和性质、直角三角形的性质、解决本题的关键是根据直角三角形的两个锐角互余找到角之间的相等关系从而证明三角形全等． （1）根据垂直定义可知，根据直角三角形的两个锐角互余可得，利用可证，根据全等三角形对应边相等可证； （2）仿照（1）可证，根据全等三角形对应边相等可证； （3）由（2）可知，利用梯形的面积公式可求四边形的面积． 【详解】（1）证明：如图所示， 于 ，于 ， ， ， 又， ， ， 在和中， ， ，， ； （2）解：， 理由如下： 如图所示， 于 ，于 ， ， ， 又， ， ， 在和中， ， ，， ； （3）解： 当 ，时，， 四边形的面积为． 1．如图，在中，，是经过点的一条线段，于点，于点，．    (1)求证：； 证明过程： ， ， ________（同角的余角相等） 在和中， （   ） (2)若，，求的长． 【答案】(1)，，， (2) 【分析】（1）由直角三角形的两个锐角互余可得，进而可得，然后利用即可得出结论，据此补全证明过程即可； （2）由（1）可得，利用全等三角形的性质可得，，然后根据即可求出的长． 【详解】（1）证明：，， ，， ， 在和中， ， ， 故答案为：，，，； （2）解：由（1）可得：， ，， ， 的长为． 【点睛】本题主要考查了直角三角形的两个锐角互余，等式的性质，全等三角形的判定与性质，线段的和与差等知识点，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键． 2．在一个三角形中，如果一个角是另一个角的2倍，这样的三角形我们称之为“智慧三角形”．比如：三个内角分别为，，的三角形是“智慧三角形”．如图，，在射线上找一点，过点作交于点，以为端点作射线，交线段于点． (1) ； (2)若．求证：为“智慧三角形”； (3)当为“智慧三角形”时，请求出的度数． 【答案】(1)50 (2)为“智慧三角形” (3)的度数为或或或 【分析】本题考查了三角形内角和定理和外角性质，角的和差，直角三角形两锐角互余，理解题意并运用分类讨论思想解答是解题的关键． （1）根据直角三角形两锐角互余即可求解； （2）求出的度数，得到，据此即可证明； （3）由可得，再分，，，，和六种情况解答即可求解． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵， ∴； 故答案为：50； （2）证明：∵，， ∴ ∴   ∴为“智慧三角形” （3）解：分情况讨论：①当时，，， ∴； ②当时，，，故舍去； ③当时，，故舍去； ④当时，， ∴； ⑤当时，，； ⑥当时，， ∴； 综上所述，的度数为或或或 3．在一个三角形中，如果一个角是另一个角的3倍，这样的三角形我们称之为“灵动三角形”．例如，三个内角分别为的三角形是“灵动三角形”； 三个内角分别为的三角形也是“灵动三角形”等等．如图，在射线上找一点A，过点A作于点A，交于点B，以A为端点作射线AD、交线段于点 C规定 (1)_____（填“是”或“不是”） 灵动三角形； (2)若 则____（填“是”或“不是”） 灵动三角形； (3)当为“灵动三角形”时，求的度数（不满足题意的情况解答时不用讨论）． 【答案】(1)是 (2)是 (3)或或 【分析】（1）根据，得到，结合定义判定是灵动三角形； （2）根据，得到，结合结合定义判定是 灵动三角形； （3）根据，得到，分类计算解答即可． 本题考查了三角形内角和定理，互余性质，分类思想，正确理解新定义，熟练掌握三角形内角和定理是解题的关键． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵ ∴， ∵， ∴是灵动三角形， 故答案为：是． （2）解：∵， ∴， ∵ ∴， ∵ 且， ∴是灵动三角形， 故答案为：是． （3）解：∵， ∴， ∵ ∴， ∵是灵动三角形，， ∴， 当时，， ∴； 当时，， ∴， ∴， ∴， ∴； 当时，， ∴， ∴， ∴， ∴，不符合题意，舍去， 当时，， ∴， ∴； 综上所述，的度数为或或． 1．如图，的高线相交于点F，连接，下列说法不一定正确的是（   ） A．为的高线 B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了三角形的高、角平分线的性质、直角三角形的性质等知识点，理解相关性质成为解题的关键． 运用三角形的高、角平分线的性质、直角三角形的性质逐项判定即可解答． 【详解】解：A． 为边上的高线，故A选项正确，不符合题意； B．由三角形三条边上的高线交于一点，则为边上的高线的一部分，即，故B选项正确，不符合题意； C．当为的角平分线时，；故C选项错误，符合题意； D．由题意可知：，由和对顶角，即可得，故D选项正确，不符合题意． 故选C． 2．如图，在中，，是高线，是角平分线，是中线，则下列说法中错误的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了三角形的角平分线、中线和高线，直角三角形两锐角互余，余角的性质，熟练掌握三角形的角平分线、中线和高线的性质，是解题的关键．根据三角形中线的定义可以判断；根据同角的余角相等可以判断；根据角平分线的性质得出，根据和中，，但、边上的高相等，即可得出答案． 【详解】解：A.∵是中线， ∴，故A正确，不符合题意； B.∵为边上的高， ∴， ∵， ∴， ∴，故B正确，不符合题意； C.∵是角平分线， ∴，故C正确，不符合题意； D.∵和中，，但、边上的高相等， ∴，故D错误，符合题意． 故选：D． 3．下列条件：①；②；③；④；⑤，其中能确定是直角三角形的条件有（    ） A．5个 B．4个 C．3个 D．2个 【答案】C 【分析】本题考查了直角三角形的判定，三角形的内角和定理，掌握三角形的内角和是和有两个角互余的三角形是直角三角形是解题的关键；根据直角三角形的判定，三角形的内角和定理逐项计算判定即可。 【详解】解：①，， ， ， 是直角三角形， 故本选项符合题意； ②， ， 是直角三角形， 故本选项符合题意； ③， ， 是直角三角形， 故本选项符合题意； ④，， ， 不是直角三角形， 故本选项不符合题意； ⑤， 设，则， ， ， 解得：， ， 不是直角三角形， 故本选项不符合题意； 能确定是直角三角形的条件有①②③，共有个， 故选：． 4．在中，为边上的高，，，则的度数为 ． 【答案】或 【分析】本题考查了直角三角形的性质、角的和与差．本题分为锐角三角形和为钝角三角形两种情况，画出相应的图形再根据三角形的高以及直角三角形两锐角互余，由图形中角的和差关系进行计算即可． 【详解】解：如下图所示，当为锐角三角形时， ，， ， ， 又， ； 如下图所示，当为钝角三角形时， ，， ， ， 又， ． 故答案为：或． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！5 学科网（北京）股份有限公司 $$ 5.5.2三角形内角和定理 题型一 直角三角形性质定理的应用 1．在中，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 2．如图，中，，以点A为圆心，适当长为半径画弧，交于点E，交于点F．再分别以点E，F为圆心，大于的长为半径画弧，两弧在的内部相交于点P；画 射 线，与相交于点D，则的大小为（   ） A． B． C． D． 3．如图，直线于点A，若，则的度数 ． 4．如图，在中，，，点在边上，将沿折叠，使得点落在边上的点处，则的度数为 ．    题型二 直角三角形判定定理的应用 1．在下列条件：①；②；③；④中，能确定为直角三角形的条件有（   ） A．5个 B．4个 C．3个 D．2个 2．如图1，在中，，D是上一点，且；    (1)求证：； (2)如图2，若平分，交于点F，交于E．求证：； (3)在（2）的条件下，若，求的度数；（用含的代数式表示） (4)如图3，若E为上一点，交于点F，，，，的面积分别为，且，则 ．（仅填结果） 3．如图，在中，D为上一点，，． (1)判断的形状； (2)判断是否与垂直． 1．如图，在中，高交于点，若的面积为，则的长为 ． 2．在一个支架的横杆点处用一根绳悬挂一个小球，小球可以摆动，如图，表示小球静止时的位置，当小球从摆到位置时，过点作于点，当小球摆到位置时，与恰好垂直，过点作于点，测得，则的长为 ． 3．如图1， 已知中， ，；是过的一条直线，且在 ，的异侧，于 ，于 ． (1)试说明： ． (2)若直线绕点旋转到图位置时 ， 其余条件不变， 问与，的关系如何？ 请直接写出关系式； (3)在（2）的条件下， 当 ，时， 直接写出四边形的面积． 1．如图，在中，，是经过点的一条线段，于点，于点，．    (1)求证：； 证明过程： ， ， ________（同角的余角相等） 在和中， （   ） (2)若，，求的长． 2．在一个三角形中，如果一个角是另一个角的2倍，这样的三角形我们称之为“智慧三角形”．比如：三个内角分别为，，的三角形是“智慧三角形”．如图，，在射线上找一点，过点作交于点，以为端点作射线，交线段于点． (1) ； (2)若．求证：为“智慧三角形”； (3)当为“智慧三角形”时，请求出的度数． 3．在一个三角形中，如果一个角是另一个角的3倍，这样的三角形我们称之为“灵动三角形”．例如，三个内角分别为的三角形是“灵动三角形”； 三个内角分别为的三角形也是“灵动三角形”等等．如图，在射线上找一点A，过点A作于点A，交于点B，以A为端点作射线AD、交线段于点 C规定 (1)_____（填“是”或“不是”） 灵动三角形； (2)若 则____（填“是”或“不是”） 灵动三角形； (3)当为“灵动三角形”时，求的度数（不满足题意的情况解答时不用讨论）． 1．如图，的高线相交于点F，连接，下列说法不一定正确的是（   ） A．为的高线 B． C． D． 2．如图，在中，，是高线，是角平分线，是中线，则下列说法中错误的是（   ） A． B． C． D． 3．下列条件：①；②；③；④；⑤，其中能确定是直角三角形的条件有（    ） A．5个 B．4个 C．3个 D．2个 4．在中，为边上的高，，，则的度数为 ． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！5 学科网（北京）股份有限公司 $$