5.5.1三角形内角和定理（3题型基础+能力+创新+易错）-【上好课】2024-2025学年八年级数学上册同步精品课堂（青岛版）

5.5.1三角形内角和定理 题型一 与平行线有关的三角形内角和问题 1．如图，直线，，，则等于（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了三角形内角和、邻补角的运用以及平行线的性质，先由三角形内角和算出，再结合，则同位角相等，得，即可作答． 【详解】解：如图： ∵，， ∴， ∵， ∴， 则， 故选：D． 2．如图，已知，，点，分别在，上，交于点，交的延长线于点，，，求证：． 【答案】见解析 【分析】本题主要考查平行线的判定，涉及到对顶角性质，三角形内角和定理，解题的关键是熟练掌握平行线的判定方法．先根据三角形内角和定理以及对顶角的定义求出，再根据同旁内角互补，直线平行，即可证明结论． 【详解】证明：， ， ， ， ， ， ． 3．如图，，的平分线交于点O，交于点P，且，，求的度数． 【答案】 【分析】此题考查平行线的性质，三角形内角和，先根据三角形内角和求出，再根据角平分线得到，最后根据两直线平行，内错角相等解答即可． 【详解】解：，， ， 平分， ． ∵， ． 4．已知：如图，，直线分别交、于点、，的平分线与的平分线相交于点，求的度数． 【答案】． 【分析】本题考查了平行线的性质、角平分线的定义，由，可知与互补，由角平分线的定义可得，由三角形内角和定理可得，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， 又∵的平分线与的平分线相交于点， ∴，， ∴， ∵， ∴． 题型二 与角平分线有关的三角形内角和问题 1．如图，在三角形中，平分平分，其角平分线相交于D，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了角平分线的定义，三角形内角和定理，理解三角形内角和定理是解题的关键．根据角平分线的定义以及三角形内角和定理即可求得． 【详解】解：，，平分，平分， ， ． 故选：C． 2．如图，、是的外角角平分线，若，则的大小为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】此题主要考查角平分线以及三角形内角和的运用，首先根据三角形内角和与得出，然后根据角平分线的性质得出和的外角和，进而得出，即可得解． 【详解】 、是的外角角平分线 （） 故选：D． 3．如图，是中的平分线，是的外角的平分线，若，则（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据角平分线的定义以及一个三角形的外角等于与它不相邻的两个内角和，可求出的度数，根据补角的定义求出的度数，根据三角形的内角和即可求出的度数，即可求出结果．本题考查了角平分线的定义，三角形的外角性质，三角形内角和性质，难度适中． 【详解】解：是中的平分线，是的外角的平分线，且， ， ， ． ， ， 故选C． 题型三 三角形内角和定理的证明问题 1．在探究证明三角形的内角和定理时，综合实践小组的同学们作了如下四种辅助线，其中不能证明“三角形的内角和是”的是（   ） A．图①过点C作 B．图②作于点D C．图③过上一点D作 D．图④延长到点F，过点C作 【答案】B 【分析】本题主要考查三角形内角和定理的证明，根据平行线的性质，平角的定义即可得解，熟练掌握三角形内角和定理的证明方法，是解决本题的关键． 作出相应的平行线，把三角形的内角进行转化，再根据平角的定义解决此题． 【详解】解：A、由， 得，． 由， 得． 故A不符合题意； B、由于D， 得， 无法证得三角形内角和是． 故B符合题意； C、由， 得，，． 由， 得，， 那么． 由， 得． 故C不符合题意， D、由， 得，． 由， 得． 故D不符合题意； 故选：B． 2．通过学习知道：由观察、实验、归纳、类比、猜想得到的结论还需要通过证明来确认它的正确性，实验的方法能给我们证明提供思路． 例如：在证明“三角形的内角和是”的结论时，如图，有两种实验方法．小明受实验方法1的启发，形成了证明该结论的思路，写出了已知，求证，并进行了证明，如下： 已知：，，是的三个内角． 求证：． 证明：延长，过点作． ∴，． ∵． ∴． 请你参考小明同学解决问题的方法1的思路，写出实验方法2的证明过程． 【答案】见解析 【分析】本题考查了平行线的性质以及平角的定义，三角形内角和定理的证明；过点A作直线，利用平行线的性质，可得出，结合平角等于，即可证出． 【详解】证明：如图所示， 过点A作直线， ∴，(两直线平行，内错角相等)． ∵(平角的定义)， ∴． 3．【阅读材料】：为了说明“三角形的内角和是”，小明给出了如图所示的四种作辅助线的方法． 方法①：过的顶点C作； 方法②：点P在的边上，过点P作交于点E，交于点F； 方法③：点P在的内部，过点P作交于点E，F，交于点D，G，交于点M，N； 方法④：点P在的外部，过点P作交于点E，F，交于点D，． 【解答问题】： (1)小明的四种作辅助线的方法中，能说明“三角形的内角和是”的是______；（只填写序号） (2)请从你在（1）中填写的方法里选择一种方法，说明“三角形的内角和是”． 【答案】(1)①②③④ (2)见解析 【分析】本题考查了平行线的性质，三角形内角和定理的证明方法． （1）根据辅助线的作法，结合平行线的性质逐个图分析即可； （2）选择方法①，由平行线的性质得，，结合可证． 【详解】（1）解：根据辅助线的作法，结合平行线的性质可知①②③④均能说明“三角形的内角和是”． 故答案为：①②③④； （2）解：选择方法①， 因为 所以，， 所以， 因为， 所以， 所以三角形内角和为． 1．如图，在中，，平分，点 P为线段上一动点，点 Q为边上一动点，当的值最小时，则的度数是（      ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】在上截取，连接，证明，得出，说明，找出当A、P、E在同一直线上，且时，最小，即最小，过点A作于点E，交于点P，根据三角形内角和，求出结果即可． 【详解】解：在上截取，连接，如图所示： ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴当A、P、E在同一直线上，且时，最小，即最小，过点A作于点E，交于点P，如图所示： ∵， ∴， ∴． 故选：A． 【点睛】本题主要考查了角平分线的定义，三角形全等的判定和性质，垂线段最短，三角形内角和定理，直角三角形的性质，找出使最小时点P的位置是解题的关键． 3．已知，点分别在射线上移动（不与点重合），平分平分，直线相交于点． (1)如图，若，试猜想的度数，并直接写出结果； (2)如图，若，问：在点在射线上运动的过程中，的度数是否改变？若不改变，求出其值（用含的式子表示）；若改变，请说明理由； (3)如图，若平分，其他条件不变，问：中的结论是否仍然成立？请说明理由． 【答案】(1)； (2)不改变，； (3)不成立，见解析． 【分析】本题主要考查了角平分线的性质，外角性质和三角形的内角和定理． 首先根据邻补角的定义可知、，根据三角形的内角和定理可得、，从而可求； 仿照可得，所以的度数不改变； 根据三角形外角的性质和三角形内角和定理可得，所以可得中的结论不成立． 【详解】（1）解：如下图所示， 平分平分， ，， 又，， ，， ， ， ， ； （2）的度数不改变， 平分平分， ，， 又，， ， ， ， ， ． （3）解：中的结论不成立． 理由如下： 平分，平分， ，， ． 4．【问题背景】 活动课上，小明利用笔记本的平行格线画平行线进行角的探究，他先在笔记本上画了一条直线分别交两条粗一点的格线，于点，，点在格线上且在点的右侧，动点（不与点，重合）在直线上．直线与格线的一个夹角为，． 【小试牛刀】 （1）如图1，当点在线段上时，若，，求的度数． 【初露锋芒】 （2）如图2，当点在线段的延长线上时，求证：． 【尽显才华】 （3）如图3，分别作和的平分线，并相交于点，若，求的度数． 【答案】（1）；（2）见解析；（3）； 【分析】本题考查的是三角形的内角和定理，三角形的外角的性质，平行线的性质； （1）证明，再利用三角形的内角和定理可得答案； （2）证明，再利用三角形的内角和定理可得答案； （3）证明，求解，结合角平分线与三角形的外角的性质可得答案； 【详解】解：（1）∵，， ∴， ∵， ∴； 故答案为：； （2）∵， ∴， ∵，， ∴ （3）∵， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴, ∵, ∴． 1．如图，将一副直角三角板如图放置，使含角的三角板的短直角边和含角的三角板的一条直角边重合，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查三角形内角和及平行线的性质，熟练掌握三角形内角和及平行线的性质是解题的关键；如图，由题意易得，然后根据三角形内角和可进行求解． 【详解】解：如图， 由题意得：， ∴， ∴， ∴； 故选D． 2．已知一张三角形纸片（如图甲），其中．将纸片沿过点的直线折叠，使点落到边上的点处，折痕为（如图乙）．再将纸片沿过点的直线折叠，使点恰好与点重合，折痕为（如图丙）．原三角形纸片中，的大小为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了折叠的性质，等腰三角形的性质，三角形内角和定理，熟练掌握折叠的性质以及等腰三角形的性质是解题的关键．设，由折叠的性质得到，根据三角形外角的性质和等腰三角形的性质得到，再利用三角形内角和定理求出，即可求出答案． 【详解】解：设， 由折叠得：，， ， ， ， ， ， ． 故选：C． 3．请认真阅读下列材料，并完成相应学习任务． 数学课上，在复习《三角形》这一章时，老师提出如下问题：如图1，在中，平分于点．猜想的数量关系，并说明理由． “勤奋小组”没有发现数量关系，也没有解题思路，根据自己探究套路，尝试代入具体的数值求的值，对应值如下： “智慧小组”受到“勤奋小组”的启发，很快发现的数量关系，并给出证明． “创新小组”受到他们的启发，提出如下问题：如图2，在图1的基础上，在的延长线上取一点，过点作于点，其它条件不变．当，时，求度数． 任务一：表格中_______． 任务二：完成老师提出的问题． 任务三：如图2，创新小组提出的问题中，_______． 【答案】任务一：；任务二：，见解析；任务三： 【分析】本题考查了与角平分线有关的三角形的内角和问题，掌握相关结论即可. 任务一：求出，根据平分，求出；根据求出，即可求解；；任务二：参考任务一的求解过程即可；见解析；任务三：求出，根据平分，求出；根据 即可求解； 【详解】解：任务一：∵， ∴； ∵平分， ∴； ∵， ∴， ∴， 故答案为：； 任务二：，理由如下： ∵平分， ∴； 又； ∴； ∵， ∴， ∴， 任务三：∵， ∴； ∵平分， ∴； ∵， ∴，又， ∴， 故答案为： 4．阅读与思考 下面是博学小组研究性学习报告的部分内容，请认真阅读，并完成相应任务． 关于“等角四边形”的研究报告 博学小组 研究对象：等角四边形 研究思路：类比三角形、四边形，按“概念—性质—判定”的路径，由一般到特殊进行研究 研究方法：观察（测量、实验）—猜想—推理证明 研究内容： 【一般概念】只有一组对角相等的四边形叫做等角四边形．如：在四边形中，若，且，则称四边形为等角四边形，记作等角四边形． 【特例研究】如图①，四边形是等角四边形，，则▲____°． 【继续探索】如图②，四边形是等角四边形，平分平分，求证：． 证明：四边形是等角四边形，． 设， 在四边形中，， ． 平分平分， ， …… 任务： (1)直接写出研究报告中“▲”处空缺的内容：________； (2)【继续探索】如图②，四边形是（）等角四边形，平分平分，在的证明过程不太完整，请你补充完整； (3)如图③，已知，点分别在边上．在的内部求作一点，使四边形是等角四边形（要求：用直尺和圆规作图，保留作图痕迹）． 【答案】(1)135 (2)见解析 (3)见解析 【分析】本题主要考查等角四边形的定义的运用，明确等角四边形的定义是解答此题的关键． （1）根据四边形内角和为可求解； （2）设，，求出，再证明得出故可得出绪论； （3）分别以点M，N为圆心，为半径画弧，两弧将于点P，连接，则有，故点P即为所作 【详解】（1）解：∵四边形是等角四边形， ∴， 又 ∴ 故答案为：135； （2）解：证明：四边形是等角四边形， ． 设， 在四边形中，， ． 平分平分 ， ， 在中，， （3）解：如图所示，点即为所求： 1．在中，，的平分线交于点O，的外角平分线所在直线与的平分线交于点D，与的外角平分线交于点，下列结论：①；②；③；④． 其中所有正确结论的序号是（   ） A．①② B．③④ C．①②④ D．①②③④ 【答案】C 【分析】本题主要考查三角形的内角和定理，角平分线的定义，三角形外角的性质，熟练掌握角平分线的定义和三角形的外角性质，并能进行推理计算是解决问题的关键； 由角平分线的定义可得，再由三角形的内角和定理可求解，即可判定①；由角平分线的定义可得，结合三角形外角的性质可判定②；由三角形外角的性质可得，再利用角平分线的定义及三角形的内角和定理可判定③；利用三角形外角的性质可得，结合可判定④； 【详解】解：，的平分线交于点， ，， ， ， 故①正确，符合题意； 平分， ， ，， ， ， 故②正确，符合题意； 如图， ，，， ， 平分，平分， ，， ， ， ， 故③错误，不符合题意； ， ， ， ， 故④正确，符合题意； 综上正确的有：①②④； 故选：C 2．如图，，与的平分线相交于点G，于点E，F为AC上的一点，且，于点H．下列说法：①；②；③；④若，则．其中正确的有（    ） A．①②③④ B．②③④ C．①③④ D．①②④ 【答案】A 【分析】①中，运用平行线的性质以及三角形的内角和性质列式，化简作答；②中，根据等角的余角相等，得，故；③中，根据三角形的面积公式进行作答；④运用四边形内角和360度以及，得出，再结合角平分线的性质，证明全等，即可作答．此题的综合性较强，运用了平行线的性质、等角的余角相等、四边形的内角和公式、三角形的面积公式、角平分线的概念． 【详解】解：∵ ∴， ∵与的平分线相交于点G， ∴， ∵ ∴； 故①是正确的； ②中，∵ ∴ ∴ 故②是正确的； ， （等底同高）； 故③是正确的； 在四边形中，． 又， 则， 故④是正确的． 故选：A． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！5 学科网（北京）股份有限公司 $$ 5.5.1三角形内角和定理 题型一 与平行线有关的三角形内角和问题 1．如图，直线，，，则等于（　　） A． B． C． D． 2．如图，已知，，点，分别在，上，交于点，交的延长线于点，，，求证：． 3．如图，，的平分线交于点O，交于点P，且，，求的度数． 4．已知：如图，，直线分别交、于点、，的平分线与的平分线相交于点，求的度数． 题型二 与角平分线有关的三角形内角和问题 1．如图，在三角形中，平分平分，其角平分线相交于D，则（    ） A． B． C． D． 2．如图，、是的外角角平分线，若，则的大小为（    ） A． B． C． D． 3．如图，是中的平分线，是的外角的平分线，若，则（　　） A． B． C． D． 题型三 三角形内角和定理的证明问题 1．在探究证明三角形的内角和定理时，综合实践小组的同学们作了如下四种辅助线，其中不能证明“三角形的内角和是”的是（   ） A．图①过点C作 B．图②作于点D C．图③过上一点D作 D．图④延长到点F，过点C作 2．通过学习知道：由观察、实验、归纳、类比、猜想得到的结论还需要通过证明来确认它的正确性，实验的方法能给我们证明提供思路． 例如：在证明“三角形的内角和是”的结论时，如图，有两种实验方法．小明受实验方法1的启发，形成了证明该结论的思路，写出了已知，求证，并进行了证明，如下： 已知：，，是的三个内角． 求证：． 证明：延长，过点作． ∴，． ∵． ∴． 请你参考小明同学解决问题的方法1的思路，写出实验方法2的证明过程． 3．【阅读材料】：为了说明“三角形的内角和是”，小明给出了如图所示的四种作辅助线的方法． 方法①：过的顶点C作； 方法②：点P在的边上，过点P作交于点E，交于点F； 方法③：点P在的内部，过点P作交于点E，F，交于点D，G，交于点M，N； 方法④：点P在的外部，过点P作交于点E，F，交于点D，． 【解答问题】： (1)小明的四种作辅助线的方法中，能说明“三角形的内角和是”的是______；（只填写序号） (2)请从你在（1）中填写的方法里选择一种方法，说明“三角形的内角和是”． 1．如图，在中，，平分，点 P为线段上一动点，点 Q为边上一动点，当的值最小时，则的度数是（      ） A． B． C． D． 3．已知，点分别在射线上移动（不与点重合），平分平分，直线相交于点． (1)如图，若，试猜想的度数，并直接写出结果； (2)如图，若，问：在点在射线上运动的过程中，的度数是否改变？若不改变，求出其值（用含的式子表示）；若改变，请说明理由； (3)如图，若平分，其他条件不变，问：中的结论是否仍然成立？请说明理由． 4．【问题背景】 活动课上，小明利用笔记本的平行格线画平行线进行角的探究，他先在笔记本上画了一条直线分别交两条粗一点的格线，于点，，点在格线上且在点的右侧，动点（不与点，重合）在直线上．直线与格线的一个夹角为，． 【小试牛刀】 （1）如图1，当点在线段上时，若，，求的度数． 【初露锋芒】 （2）如图2，当点在线段的延长线上时，求证：． 【尽显才华】 （3）如图3，分别作和的平分线，并相交于点，若，求的度数． 1．如图，将一副直角三角板如图放置，使含角的三角板的短直角边和含角的三角板的一条直角边重合，则的度数为（   ） A． B． C． D． 2．已知一张三角形纸片（如图甲），其中．将纸片沿过点的直线折叠，使点落到边上的点处，折痕为（如图乙）．再将纸片沿过点的直线折叠，使点恰好与点重合，折痕为（如图丙）．原三角形纸片中，的大小为（    ） A． B． C． D． 3．请认真阅读下列材料，并完成相应学习任务． 数学课上，在复习《三角形》这一章时，老师提出如下问题：如图1，在中，平分于点．猜想的数量关系，并说明理由． “勤奋小组”没有发现数量关系，也没有解题思路，根据自己探究套路，尝试代入具体的数值求的值，对应值如下： “智慧小组”受到“勤奋小组”的启发，很快发现的数量关系，并给出证明． “创新小组”受到他们的启发，提出如下问题：如图2，在图1的基础上，在的延长线上取一点，过点作于点，其它条件不变．当，时，求度数． 任务一：表格中_______． 任务二：完成老师提出的问题． 任务三：如图2，创新小组提出的问题中，_______． 4．阅读与思考 下面是博学小组研究性学习报告的部分内容，请认真阅读，并完成相应任务． 关于“等角四边形”的研究报告 博学小组 研究对象：等角四边形 研究思路：类比三角形、四边形，按“概念—性质—判定”的路径，由一般到特殊进行研究 研究方法：观察（测量、实验）—猜想—推理证明 研究内容： 【一般概念】只有一组对角相等的四边形叫做等角四边形．如：在四边形中，若，且，则称四边形为等角四边形，记作等角四边形． 【特例研究】如图①，四边形是等角四边形，，则▲____°． 【继续探索】如图②，四边形是等角四边形，平分平分，求证：． 证明：四边形是等角四边形，． 设， 在四边形中，， ． 平分平分， ， …… 任务： (1)直接写出研究报告中“▲”处空缺的内容：________； (2)【继续探索】如图②，四边形是（）等角四边形，平分平分，在的证明过程不太完整，请你补充完整； (3)如图③，已知，点分别在边上．在的内部求作一点，使四边形是等角四边形（要求：用直尺和圆规作图，保留作图痕迹）． 1．在中，，的平分线交于点O，的外角平分线所在直线与的平分线交于点D，与的外角平分线交于点，下列结论：①；②；③；④． 其中所有正确结论的序号是（   ） A．①② B．③④ C．①②④ D．①②③④ 2．如图，，与的平分线相交于点G，于点E，F为AC上的一点，且，于点H．下列说法：①；②；③；④若，则．其中正确的有（    ） A．①②③④ B．②③④ C．①③④ D．①②④ 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！5 学科网（北京）股份有限公司 $$