5.5.1三角形内角和定理（同步课件）-【上好课】2024-2025学年八年级数学上册同步精品课堂（青岛版）

课堂导入 1.在以前我们学习了关于三角形内角和的一个结论，你能用文字语言叙述一下吗？ 三角形三个内角的和等于1800 2.这个结论是通过什么方法得到的呢？ 通过试验得到的结论不一定正确，则如何证明它的正确性呢？ 5.5 三角形内角和定理 第五章 几何证明初步 青岛版八年级数学上册 第 一 课 时 学习目标 1 2 3 经历证明“三角形内角和定理”的过程，体会证明中辅助线的作用. 探究用多种方法证明三角形内角和定理，体会解决问题的多样性. 会证明三角形内角和定理的两个推论，知道什么叫推论. 交流与发现 证明：三角形的三个内角的和等于180° 1.问题呈现 A B C 已知： 求证： 如图，∠A，∠B，∠C是△ABC的三个内角. ∠A+∠B+∠C=180° 2.探究之路 （1）显然只根据这个图形，我们无法解决这个问题. 这样就需要在原图上添加一些线来帮助我们解决问题，则如何添加呢？ （2）大家回忆一下以前用试验方法探究这个结论的过程： 三角形内角和等于180° 平行 （3）这一试验过程对于证明上述命题有什么启发吗？ A B C D E （4）根据上面的思路，你能写出证明过程吗？ A B C 证明：过点A作BC的平行线DE D E ∵DE∥BC ∴∠C=∠CAE,∠B=∠BAD ∵∠BAC+∠CAE+∠BAD=180° ∴∠BAC+∠C+∠B=180° 3.类比思考 辅助线 注意： 辅助线通常画成虚线 除了这种添加辅助线的方法外，你还有其它添加的方法吗？（合作探究） 成果展示 证明: 作BC的延长线CD，过点C作射线CE//AB， ∴∠1＝∠Ａ ∠2＝∠Ｂ ∵∠1+∠2+∠ＡＣＢ＝180° ∴∠Ａ+∠Ｂ+∠ＡＣＢ＝180° A B C 1 2 D E 方 法 一 A B C D 证明: 过点A作射线AD//BC， ∴∠1＝∠B ∠DAC+∠C=180° ∵∠DAC=∠1+∠BAC ∴∠1+∠ＢAC+∠Ｃ＝180° ∴∠B+∠ＢAC+∠Ｃ＝180° 方 法 二 1 证明: 过BC上一点M作MD//AC，ME//AB ∵ME//AB ∴∠EMC＝∠B ∵MD//AC ∴∠C=∠DMB ∵∠BDM=∠DME,∠BDM=∠A ∴∠DME=∠A ∵∠DMB+DME+∠EMC＝180° ∴∠B+∠ＢAC+∠Ｃ＝180° 方 法 三 A B C D E M 添加辅助线，可构造新图形，形成新关系，找到联系已知与未知的桥梁，从而把问题解决，但辅助线的添法没有一定的规律，要根据需要而定,平时做题时要注意总结. 学习小心得 新知生成 三角形三个内角的和等于180° 三角形内角和定理 A B C ∵∠A∠B∠C是三角形的三个内角 ∴∠A+∠B+∠C=180° 学习小心得 在实际运用中，三角形内角和定理经常被当作已知条件去使用. 4.结论应用 ∵∠ACD+ ∠ACB=180° ∵∠A+ ∠B+ ∠ACB=180° ∴∠A+ ∠B= ∠ACD ∴∠ACD =180°－∠ACB ∴∠A+ ∠B =180°－∠ACB A B C D 已知如图∠ACD是△ABC的一个外角，由三角形内角和定理能推出∠ACD与∠A，∠B之间有怎样的数量关系吗？ ∴∠ACD＞∠A，∠ACD＞∠B 新知生成 三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和. 三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角. 推论1： 推论2： 由基本事实或定理直接推出的真命题叫做推论，推论可以作为定理使用. A B C D ∵∠ACD是△ABC的一个外角 ∴∠ACD=∠A+∠B ∵∠ACD是△ABC的一个外角 ∴∠ACD＞∠A，∠ACD＞∠B 课堂练习 360 ° 1.计算下列多边形的内角和 （1）如图，四边形ABCD是一个任意四边形。 则∠A＋∠B＋∠C＋∠D = （2）如图，四边形ABCDE是一个五四边形。 则∠A＋∠B＋∠C＋∠D+∠E = 540 ° （3）如图，四边形ABCDEF是一个六边形。 则∠A＋∠B＋∠C＋∠D+∠E+∠F = 720 ° (4)由上面的计算你能得出n边形的内角和等于多少度吗？证明你的猜想. 从n边形的顶点A1出发，可作(n-3)条对角线，这(n-3)条对角线把n边形分成（n-2)个三角形，因此n边形的内角和等于这（n-2)个三角形内角和相加，即n边形的内角和=（n-2)180°. 2.求证：n边形的外角和等于360° 由于n边形的每个顶点处的一个内角与一个外角恰好构成一个平角，因此n边形的外角和应等于n个180°减去n边形的内角和，所以n边形的外角和=180°n-（n-2）180°=360° B A C D 3.如图，在△ABC中，∠ABC的平分线与∠ACB的平分线交于点D.你发现∠BDC与∠A的度数之间有怎样的大小关系？证明你的结论. ∠BDC=90°+∠A 4.如图，求证： ∠A ＋ ∠B ＋ ∠C = ∠BDC 5.求：∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E 180° 思路点拨：作射线AO,然后利用外角的性质可证. 课堂小结 你的收获是…… 你的疑惑是…… 你的建议是…… 课堂检测 3.如图，AD与BC交于点O 求证： ∠A ＋ ∠B ＝ ∠C ＋ ∠D 1.如图，∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E ＋∠ F＋∠G= 540° 思路点拨：利用外角的性质可证. B A C D E 2.在△ABC中，∠ABC的平分线与∠ACB的外角平分线交于点E，∠A=60°，则∠= 30° 课下作业 必做题： （1）课本174页习题5.5第4题 （2）课本175页习题5.5第9题 选做题：课本174页习题5.5第10题 $$