专题02 等式与不等式(选填题热点，十大题型)-2025年高考数学二轮热点题型归纳与变式演练（上海专用）

专题02 等式与不等式(十大题型) 题型01 不等式的性质及应用 1 题型02 不等式的解集 2 题型03 一元二次不等式 2 题型04 恒成立问题 2 题型05 绝对值三角不等式 3 题型06 平均值不等式 3 题型07 平均值不等式的应用 3 题型08 集合、函数、不等式综合 4 题型09 不等式的实际应用 4 题型10 不等式难点分析 5 【解题规律·提分快招】 1、比较大小的常用方法 (1)作差法：①作差；②变形；③定号；④得出结论． (2)作商法：①作商；②变形；③判断商与1的大小关系；④得出结论． (3)构造函数，利用函数的单调性比较大小． 2、平均值不等式 (1)前提：“一正”“二定”“三相等”． (2)要根据式子的特征灵活变形，配凑出积、和为常数的形式，然后再利用基本不等式． (3)条件最值的求解通常有三种方法：一是配凑法；二是将条件灵活变形，利用常数“1”代换的方法；三是消元法． 3、对含参的不等式，应对参数进行分类讨论，常见的分类有 (1)根据二次项系数为正、负及零进行分类． (2)根据判别式Δ与0的关系判断根的个数． (3)有两个根时，有时还需根据两根的大小进行讨论． 4、恒成立问题求参数的范围的解题策略 (1)弄清楚自变量、参数．一般情况下，求谁的范围，谁就是参数． (2)一元二次不等式在R上恒成立，可用判别式Δ，一元二次不等式在给定区间上恒成立，不能用判别式Δ，一般分离参数求最值或分类讨论． 题型01 不等式的性质及应用 【典例1-1】．给出下列命题：①若，则；②若，则；③对于正数若，则．其中真命题的序号是 ． 【典例1-2】．设，，，，求的取值范围是 ． 【变式1-1】．若、、，，则下列不等式中成立的是（    ） A． B． C． D． 【变式1-2】．已知，，，，则与的大小关系为 . 【变式1-3】．正实数、满足：，则的取值范围为 . 题型02 不等式的解集 【典例2-1】．已知，则不等式的解集为 ． 【典例2-2】．不等式的解集为 ． 【变式2-1】．设，则不等式的解集为 . 【变式2-2】．不等式 的解集为 【变式2-3】．设，方程的解集是 ． 题型03 一元二次不等式 【典例3-1】．不等式的解集为，则的值是 ． 【典例3-2】．已知方程的两个根为，则 ． 【变式3-1】．关于的一元二次不等式的解集为空集的充要条件为 ． 【变式3-2】．已知函数的图像如图所示，则不等式的解集是 .    【变式3-3】．不等式的解集为集合A，不等式的解集为集合B，则 . 题型04 恒成立问题 【典例4-1】．若对任意实数，不等式恒成立，则实数的取值范围为 . 【典例4-2】．若命题“对任意的，都有”为假命题，则实数的取值范围为 . 【变式4-1】．关于的不等式在上有解，则实数的取值范围是 . 【变式4-2】．若对关于的不等式对一切任意都成立，则实数的取值范围是 . 【变式4-3】．对任意，为正实数，式子恒成立，则实数的取值范围是 ． 题型05 绝对值三角不等式 【典例5-1】．关于的不等式的解集为，则实数的取值范围是 . 【典例5-2】．若对于任意的实数，恒成立，则实数的取值范围为 . 【变式5-1】．存在实数使得不等式成立，则实数的取值范围为 . 【变式5-2】．若对任意，均有，则实数a的取值范围为 ． 【变式5-3】．已知，且有最小值6，则实数的取值范围为 . 题型06 平均值不等式 【典例6-1】．两正数a与b的几何平均值为2，则与的算术平均值的最小值为 ． 【典例6-2】．已知正数，满足则的最大值为 . 【变式6-1】．已知，，且，则的最小值为 . 【变式6-2】．已知，，，则的最小值为 【变式6-3】．已知，，，则的最小值为 . 题型07 平均值不等式应用 【典例7-1】．在下列关于实数的四个不等式中，恒成立的是 ．（请填入全部正确的序号） ①；②；③；④． 【典例7-2】．设，则的最小值为 ． 【变式7-1】．已知，则下列结论不恒成立的是（    ） A． B． C． D． 【变式7-2】．已知，，．求的最大值（    ） A． B． C．5 D．2 【变式7-3】．函数 在 上的最大值和最小值的乘积为 题型08 集合、函数、不等式综合 【典例8-1】．设集合，，则 ． 【典例8-2】．已知集合，，则 ． 【变式8-1】．已知集合，，则 . 【变式8-2】．已知不等式的解集为，则函数的单调递增区间为 . 【变式8-3】．已知函数的值域为，若关于的不等式的解集为，则实数的值为 ． 题型09 不等式的实际应用 【典例9-1】．某小学开展劳动教育，欲在围墙边用栅栏围城一个2平方米的矩形植物种植园，矩形的一条边为围墙，如图．则至少需要 米栅栏． 【典例9-2】．已知某产品的总成本C（单位：元）与年产量Q（单位：件）之间的关系为．设该产品年产量为Q时的平均成本为（单位：元/件），则的最小值是 ； 【变式9-1】．某茶农打算在自己的茶园建造一个容积为500立方米的长方体无盖蓄水池，要求池底面的长和宽之和为20米．若每平方米的池底面造价是池侧壁的两倍，则为了使蓄水池的造价最低，蓄水池的高应该为 米． 【变式9-2】．如图，有一壁画，最高点处离地面6m，最低点处离地面3.5m.若从离地高2m的处观赏它，则离墙 m时，视角最大. 【变式9-3】．2023年“国际进口博览会”即将在上海举行，现要在场馆入口布置一个大型立体花卉景观，景观的框架由中空钢管搭建的而成，外型是由若干个小正方体叠加而成的大正方体，已知搭建此立体花卉景观的脚手架钢管安装呈现东-西、南-北、上-下的网络状，每三根钢管相交处需要焊接，这些焊接点（小正方体的顶点）称为格点，相邻焊接点之间的距离都为1米（即每个小正方体的棱长都为1米），若以互相垂直的三条钢管为轴建立空间直角坐标系，现要在一个格点处接入水源，并在下述6个格点：，，，，，处安装喷淋，使6处喷淋与水源接入口所排水管的总长度最小，则此时水管总长度的最小值为 米（水管必须在连通的钢管内部穿行，不计各接头处的水管损耗）． 题型10 不等式难点分析 【典例10-1】．设二次函数，若函数的值域为，且，则的取值范围为 . 【典例10-2】．当且仅当（其中）时，函数的图像在函数图像的下方，则的取值范围为 . 【变式10-1】．已知正实数a，b满足，则的最小值为（    ） A． B．3 C． D． 【变式10-2】．关于的方程有三个不同的实根，则的最小值为（    ） A． B． C． D．0 【变式10-3】．已知，，若，则对此不等式描述正 确的是 A．若，则至少存在一个以为边长的等边三角形 B．若，则对任意满足不等式的都存在以为边长的三角形 C．若，则对任意满足不等式的都存在以为边长的三角形 D．若，则对满足不等式的不存在以为边长的直角三角形 一、填空题 1．（2024·上海奉贤·三模）若，则有最大值为 ． 2．（2024·上海浦东新·三模）已知全集，集合，则 . 3．（2024·上海·三模）已知集合，，则 ． 4．（2024·上海普陀·二模）若实数，满足，则的最小值为 . 5．（2024·上海闵行·三模）早在西元前6世纪，毕达哥拉斯学派已经知道算术中项，几何中项以及调和中项，毕达哥拉斯学派哲学家阿契塔在《论音乐》中定义了上述三类中项，其中算术中项，几何中项的定义与今天大致相同.若，则的最小值为 . 6．（2024·上海金山·二模）已知平面向量、、满足：，，则的最小值为 ． 7．（2023·上海崇明·一模）已知正实数满足则当 取得最小值时， 8．（2024·上海·一模）已实数满足，则的取值范围是 ． 二、单选题 9．（2023·上海浦东新·模拟预测），，，，且，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 10．（2021·上海黄浦·二模）已知是正实数，的三边长为，点是边(与点不重合)上任一点，且.  若不等式恒成立，则实数的取值范围是（    ）. A． B． C． D． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题02 等式与不等式(十大题型) 题型01 不等式的性质及应用 1 题型02 不等式的解集 3 题型03 一元二次不等式 5 题型04 恒成立问题 6 题型05 绝对值三角不等式 9 题型06 平均值不等式 11 题型07 平均值不等式的应用 13 题型08 集合、函数、不等式综合 15 题型09 不等式的实际应用 17 题型10 不等式难点分析 20 【解题规律·提分快招】 1、比较大小的常用方法 (1)作差法：①作差；②变形；③定号；④得出结论． (2)作商法：①作商；②变形；③判断商与1的大小关系；④得出结论． (3)构造函数，利用函数的单调性比较大小． 2、平均值不等式 (1)前提：“一正”“二定”“三相等”． (2)要根据式子的特征灵活变形，配凑出积、和为常数的形式，然后再利用基本不等式． (3)条件最值的求解通常有三种方法：一是配凑法；二是将条件灵活变形，利用常数“1”代换的方法；三是消元法． 3、对含参的不等式，应对参数进行分类讨论，常见的分类有 (1)根据二次项系数为正、负及零进行分类． (2)根据判别式Δ与0的关系判断根的个数． (3)有两个根时，有时还需根据两根的大小进行讨论． 4、恒成立问题求参数的范围的解题策略 (1)弄清楚自变量、参数．一般情况下，求谁的范围，谁就是参数． (2)一元二次不等式在R上恒成立，可用判别式Δ，一元二次不等式在给定区间上恒成立，不能用判别式Δ，一般分离参数求最值或分类讨论． 题型01 不等式的性质及应用 【典例1-1】．给出下列命题：①若，则；②若，则；③对于正数若，则．其中真命题的序号是 ． 【答案】①③ 【分析】利用特殊值、不等式的性质、差比较法等知识对选项进行分析，从而确定正确答案. 【解析】①若，则，所以①正确. ②若，如， 则，所以②错误. ③正数若，则， ，所以，所以③正确. 故答案为：①③ 【典例1-2】．设，，，，求的取值范围是 ． 【答案】 【分析】把用和表示，然后由不等式的性质得出结论． 【解析】令， 则，解得. ∵，， ∴． 即， 所以的取值范围是 故答案为：. 【变式1-1】．若、、，，则下列不等式中成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由不等式的性质和反例即可判断. 【解析】对于AB：取，满足，显然，不成立，错误； 对于C：因为，所以，正确； 对于D：取，显然不成立，错误， 故选：C 【变式1-2】．已知，，，，则与的大小关系为 . 【答案】 【分析】用作差法比较代数式大小即可. 【解析】 ，即 故答案为：. 【点睛】本题主要考查比较代数式大小，利用作差法是常用手段，属于基础题. 【变式1-3】．正实数、满足：，则的取值范围为 . 【答案】 【分析】令，可得到，即得，即可求得答案. 【解析】由题意知正实数、满足：， 令，则，所以， 即，则，故， 则的取值范围为， 故答案为： 题型02 不等式的解集 【典例2-1】．已知，则不等式的解集为 ． 【答案】 【分析】利用二次函数的判别式的符号，判断不等式恒成立. 【解析】因为，所以不等式的解集为. 故答案为：. 【典例2-2】．不等式的解集为 ． 【答案】 【分析】将分式不等式移项通分，解不等式即可 . 【解析】，则. 故不等式解集为. 故答案为：. 【变式2-1】．设，则不等式的解集为 . 【答案】 【分析】根据分式不等式的解法求解即可. 【解析】由可得， 即， 解得或， 所以不等式的解集为， 故答案为： 【变式2-2】．不等式 的解集为 【答案】 【分析】通过移项通分，把分式不等式转化为整式不等式，解一元二次不等式即可. 【解析】由可得，即，即， 解得或. 所以不等式 的解集为. 故答案为：. 【变式2-3】．设，方程的解集是 ． 【答案】 【分析】利用绝对值三角不等式等号的成立条件可求解. 【解析】因为， 又， 当且仅当时，等号成立， 解得， 所以方程的解集是， 故答案为：. 题型03 一元二次不等式 【典例3-1】．不等式的解集为，则的值是 ． 【答案】 【分析】根据题意可得：方程的根为，且，利用韦达定理运算求解. 【解析】由题意可知：方程的根为，且， 则，解得， 所以. 故答案为：. 【典例3-2】．已知方程的两个根为，则 ． 【答案】 【分析】利用一元二次方程求根公式分别求出，从而可求解. 【解析】方程的两个根为，由求根公式可得： ，或，； 当，时，； 当，时，， 综上可得. 故答案为：. 【变式3-1】．关于的一元二次不等式的解集为空集的充要条件为 ． 【答案】 【分析】根据一元二次不等式与二次函数之间的关系，可列不等式. 【解析】由题意知，二次函数开口向上，且与轴最多有一个交点， 则. 故答案为：. 【变式3-2】．已知函数的图像如图所示，则不等式的解集是 .    【答案】 【分析】由题意可知：方程的两根为，且，利用韦达定理可得，代入求解即可. 【解析】由题意可知：方程的两根为，且， 可得，整理得， 则不等式即为， 且，可得，解得， 所以不等式的解集是. 故答案为：. 【变式3-3】．不等式的解集为集合A，不等式的解集为集合B，则 . 【答案】 【分析】解不等式求出集合，再利用交集的定义求出结果. 【解析】不等式，解得或，即， 不等式，解得，即， 所以. 故答案为： 题型04 恒成立问题 【典例4-1】．若对任意实数，不等式恒成立，则实数的取值范围为 . 【答案】 【分析】只需将恒成立问题转化为最值问题即可求出参数的取值范围. 【解析】对任意实数，不等式恒成立， 等价于时，， 所以即. 故答案为： 【典例4-2】．若命题“对任意的，都有”为假命题，则实数的取值范围为 . 【答案】 【分析】根据“存在，”为真命题，讨论，，求解. 【解析】命题“对任意的，都有”为假命题， 则“存在，”为真命题， 当时，满足； 当时，满足； 当时，需，解得； 综上：. 故答案为： 【变式4-1】．关于的不等式在上有解，则实数的取值范围是 . 【答案】 【分析】根据题意将不等式转化为在能成立即可，再由二次函数性质求出即可得的取值范围是. 【解析】由不等式以及可得， 依题意可知即可， 令， 又，由可得， 利用二次函数性质可知，即可得； 即实数的取值范围是. 故答案为： 【变式4-2】．若对关于的不等式对一切任意都成立，则实数的取值范围是 . 【答案】 【分析】分和两种情况，结合二次函数分析求解. 【解析】当时，则符合题意； 当时，可得，解得； 综上所述：实数的取值范围是. 故答案为：. 【变式4-3】．对任意，为正实数，式子恒成立，则实数的取值范围是 ． 【答案】 【分析】利用换元法，将原不等式转化为恒成立，然后通过的取值范围，求得的取值范围. 【解析】由于，所以， 可化为， 由于，所以， 令，则恒成立， 其中，而， 所以. 对，只需， 对，由，且. 综上所述，实数的取值范围是. 故答案为： 【点睛】求解的绝对值不等式，可转化为来进行求解. 题型05 绝对值三角不等式 【典例5-1】．关于的不等式的解集为，则实数的取值范围是 . 【答案】 【分析】由绝对值的几何意义可得，根据不等式的解集为R可知不等式在R上恒成立，则，解之即可求解. 【解析】令，得， 由绝对值的几何意义知， 表示数轴上的数2对应的点到原点的距离与数a对应的点到原点的距离之和， 则， 即的最小值为，又不等式的解集为R， 所以不等式在R上恒成立， 有， 当时，显然成立， 当时，有，解得， 即实数a的取值范围为. 故答案为： 【典例5-2】．若对于任意的实数，恒成立，则实数的取值范围为 . 【答案】 【分析】根据绝对值三角不等式求得的最小值，由此列不等式来求得的取值范围. 【解析】， 当且仅当时等号成立， 所以，解得 故答案为： 【变式5-1】．存在实数使得不等式成立，则实数的取值范围为 . 【答案】 【分析】根据题意，将问题转化为，代入计算，即可得到结果. 【解析】由题意可得 又， 当且仅当时，即时，等号成立， 所以， 即实数的取值范围为. 故答案为： 【变式5-2】．若对任意，均有，则实数a的取值范围为 ． 【答案】 【分析】由绝对值三角不等式可得在恒成立，即有或在恒成立，分别求解即可得答案. 【解析】解：因为在绝对值三角不等式中，当同号时有， 又因为， 所以在恒成立， 所以或在恒成立， 即有或在恒成立， 由，解得， 由，解得， 综上所述实数a的取值范围为. 故答案为： 【变式5-3】．已知，且有最小值6，则实数的取值范围为 . 【答案】 【分析】根据绝对值三角不等式等号成立的条件列不等式，结合三角函数的值域求得的取值范围. 【解析】， 当且仅当时等号成立， ，解得， 由于，故可设， 所以， 所以，解得， 所以的取值范围是. 故答案为： 题型06 平均值不等式 【典例6-1】．两正数a与b的几何平均值为2，则与的算术平均值的最小值为 ． 【答案】4 【分析】根据题意结合重要不等式运算求解即可. 【解析】因为两正数a与b的几何平均值为2，所以，所以， 因为，所以与的算术平均值最小值为4． 故答案为：4． 【典例6-2】．已知正数，满足则的最大值为 . 【答案】/ 【分析】由得，代入，利用基本不等式即可求. 【解析】因为，所以， 因为，为正数，故，所以， 所以， 当且仅当即，此时，取到最大值为. 故答案为： 【变式6-1】．已知，，且，则的最小值为 . 【答案】2 【分析】利用消元法结合基本不等式计算即可. 【解析】由，即， 所以， 当且仅当时取得最小值. 故答案为：2 【变式6-2】．已知，，，则的最小值为 【答案】9 【分析】将转化为，再由展开后利用基本不等式，即可求出的最小值. 【解析】因为，，，则， 所以， 当且仅当，即时，等号成立， 所以的最小值为9. 故答案为：9. 【变式6-3】．已知，，，则的最小值为 . 【答案】4 【分析】由对数运算性质化简得，借助“”的代换由基本不等式求最值可得. 【解析】由可得，，即， 因为，， 由， 当且仅当时等号成立，即当时，取得最小值为4. 故答案为：. 题型07 平均值不等式应用 【典例7-1】．在下列关于实数的四个不等式中，恒成立的是 ．（请填入全部正确的序号） ①；②；③；④． 【答案】②③④ 【分析】取特值可判断①；作差法可判断②④；要证即证可判断③. 【解析】对于①，取，故①错误； 对于②，，故②正确； 对于③，当，要证，即证， 即，即证， 而恒成立， 当时，，所以，故③正确. 对于④，，所以，故④正确. 故答案为：②③④. 【典例7-2】．设，则的最小值为 ． 【答案】/ 【分析】变形后用基本不等式即可求解 【解析】， 当且仅当即时取等 故答案为： 【变式7-1】．已知，则下列结论不恒成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用特殊值、绝对值不等式、基本不等式等知识对选项进行分析，从而确定正确答案. 【解析】A选项，当时，，所以A选项错误. B选项，， 所以，所以B选项正确. C选项，， 当且仅当时等号成立，所以C选项正确. D选项， ， 当且仅当时等号成立，所以D选项正确. 故选：A 【变式7-2】．已知，，．求的最大值（    ） A． B． C．5 D．2 【答案】B 【分析】由基本不等式和题目条件得到，求出的最大值. 【解析】因为，，由基本不等式得， 故，解得， 当且仅当时，等号成立， 故的最大值为. 故选：B 【变式7-3】．函数 在 上的最大值和最小值的乘积为 【答案】/ 【分析】令，化简，令，利用对勾函数的性质求解最值即可. 【解析】令，，∵，∴， ∴， 令， 由对勾函数的性质可知，函数在上为减函数，在上为增函数， ∵， ∴ ∴函数 在 上的最大值和最小值分别为， ∴函数 在 上的最大值和最小值的乘积为． 故答案为：． 题型08 集合、函数、不等式综合 【典例8-1】．设集合，，则 ． 【答案】 【分析】利用一元二次不等式的解法与对数函数的定义域化简结合A,B，再由交集的定义可得结果 【解析】集合， ， 所以． 故答案为：. 【典例8-2】．已知集合，，则 ． 【答案】 【分析】分别求出集合和集合，再求交集即可. 【解析】集合为不等式的解集， ，解得， ∴， 集合为函数的定义域， 由解得， ∴， ∴. 故答案为：. 【变式8-1】．已知集合，，则 . 【答案】 【分析】通过解一元二次不等式，求解函数值域，结合，，用列举法表示集合，再结合补集的定义，即得解 【解析】由题意，，又 又 由于，又 故 故答案为： 【变式8-2】．已知不等式的解集为，则函数的单调递增区间为 . 【答案】 【分析】根据不等式的解集可知一元二次不等式所对应的一元二次方程的根，利用韦达定理可求出，的值，再根据复合函数求单调区间的方法，得出单调递增区间. 【解析】解：因为不等式的解集为， 所以和为方程的两根且， 所以，解得， 则， 令，解得， 所以函数的定义域为， 因为的单调递增区间为 ，在定义域上单调递增， 所以的增区间为（开闭均正确）. 故答案为：. 【变式8-3】．已知函数的值域为，若关于的不等式的解集为，则实数的值为 ． 【答案】 【解析】由题意可得，然后求出不等式的解，结合已知条件可得出关于的方程，进而可求得的值. 【解析】由题意知， 因为函数的值域为，所以，，可得， 由可知，且有，解得， 所以，，， 所以，，解得. 故答案为：. 【点睛】利用一元二次不等式的解集求参数，一般转化为解集的端点值为对应的一元二次方程的根，可以利用韦达定理或者利用代入法求解. 题型09 不等式的实际应用 【典例9-1】．某小学开展劳动教育，欲在围墙边用栅栏围城一个2平方米的矩形植物种植园，矩形的一条边为围墙，如图．则至少需要 米栅栏． 【答案】 【分析】设矩形植物种植园的宽、长为，由题意结合均值不等式求解即可. 【解析】设矩形植物种植园的宽、长为， 所以， 则，当且仅当“”时取等. 故至少需要米栅栏． 故答案为：． 【典例9-2】．已知某产品的总成本C（单位：元）与年产量Q（单位：件）之间的关系为．设该产品年产量为Q时的平均成本为（单位：元/件），则的最小值是 ； 【答案】60 【分析】根据题意可得，根据基本不等式，即可得答案. 【解析】由题意得， 当且仅当，即当时等号成立． 所以的最小值是60． 故答案为：60 【变式9-1】．某茶农打算在自己的茶园建造一个容积为500立方米的长方体无盖蓄水池，要求池底面的长和宽之和为20米．若每平方米的池底面造价是池侧壁的两倍，则为了使蓄水池的造价最低，蓄水池的高应该为 米． 【答案】5； 【分析】设长方体蓄水池长为，宽为，高为，蓄水池总造价为，由题意可得，然后基本不等式求出的最小值即可． 【解析】设长方体蓄水池长为，宽为，高为， 每平方米池侧壁造价为，蓄水池总造价为， 则由题意可得， ， ， 当且仅当时，取最小值， 即时，取最小值. 故答案为：5． 【变式9-2】．如图，有一壁画，最高点处离地面6m，最低点处离地面3.5m.若从离地高2m的处观赏它，则离墙 m时，视角最大. 【答案】 【分析】直接利用解直角三角形知识，利用差角的公式和基本不等式的应用求出结果． 【解析】解：如图所示，过点作于， 设，则， 当且仅当时，即当，视角最大，故答案为． 【点睛】本题考查的知识要点：三角函数关系式的恒等变换，基本不等式的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力．属于基础题型． 【变式9-3】．2023年“国际进口博览会”即将在上海举行，现要在场馆入口布置一个大型立体花卉景观，景观的框架由中空钢管搭建的而成，外型是由若干个小正方体叠加而成的大正方体，已知搭建此立体花卉景观的脚手架钢管安装呈现东-西、南-北、上-下的网络状，每三根钢管相交处需要焊接，这些焊接点（小正方体的顶点）称为格点，相邻焊接点之间的距离都为1米（即每个小正方体的棱长都为1米），若以互相垂直的三条钢管为轴建立空间直角坐标系，现要在一个格点处接入水源，并在下述6个格点：，，，，，处安装喷淋，使6处喷淋与水源接入口所排水管的总长度最小，则此时水管总长度的最小值为 米（水管必须在连通的钢管内部穿行，不计各接头处的水管损耗）． 【答案】 【分析】问题转化为横、纵、竖三个方向三个函数的最值求解即可.按分段函数零点大小将函数解析式变形，都可转化为三对绝对值的和的最小值问题，利用绝对值的和的几何意义分别求最小值，且能够同时取到等号，再相加可得函数最小值.同理可得另两个函数的最小值，三个函数的最小值相加即得. 【解析】设水源接入口的坐标为， ； ； 则6处喷淋与水源接入口所管的总长度为， ， 当且仅当，即时，等号成立， 故当时，的最小值为； 同理，由零点分段函数最值求法可知， 当时，的最小值为； 当时，的最小值为. 故水管总长度的最小值为（米）. 故答案为：. 题型10 不等式难点分析 【典例10-1】．设二次函数，若函数的值域为，且，则的取值范围为 . 【答案】[1,13] 【分析】根据二次函数的性质和已知条件得到m与n的关系，化简后利用不等式即可求出其范围. 【解析】二次函数f(x)对称轴为， ∵f(x)值域为， ∴且，n＞0. ， ∵ ==== ∴，， ∴∈[1,13]. 故答案为：[1,13]. 【典例10-2】．当且仅当（其中）时，函数的图像在函数图像的下方，则的取值范围为 . 【答案】 【分析】取，得到时，与相切，然后时，得到，然后根据的范围，进一步求得，最后进行计算即可. 【解析】取,则，当时， 所以可知与相切 当时，可得 所以或（舍，因为为此值时，当时图象不在图象下方） 由，当时， 令， 设两根分别为， 所以 当时， 令 所以 所以 又，所以 故答案为： 【点睛】关键点点睛：本题关键在于对的取值以及分别用来表示. 【变式10-1】．已知正实数a，b满足，则的最小值为（    ） A． B．3 C． D． 【答案】C 【分析】由题设条件有，令则有、，应用基本不等式求范围且恒成立，进而求的范围，即可得结果. 【解析】由，则，且， 所以， 令，则，且， 所以，即，仅当时等号成立， 对于恒成立，仅当，即时等号成立， 综上，若，则， 而，则，只需， 所以，仅当，即时等号成立， 综上，，仅当，即时等号成立. 所以目标式最小值为. 故选：C 【变式10-2】．关于的方程有三个不同的实根，则的最小值为（    ） A． B． C． D．0 【答案】A 【解析】首先去绝对值，问题转化为或，有三个实数根，当时，画出函数的图象，利用数形结合求得，再代入求的最小值. 【解析】由条件可知，方程化简为或， 当时，， 如图，若方程有三个不同的实根，则与直线和共有3个交点，画出函数的图象， 当时，，，得，解得：，或（舍）， ，， 当时，取得最小值， 当时，， 综上可知的最小值是. 故选：A 【点睛】方法点睛：本题考查根据方程实数根的个数求参数的取值范围，一般可采用1.直接法：直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围；（2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数值域问题加以解决；（3）数形结合：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图象，然后观察求解，此时需要根据零点个数合理寻找“临界”情况，特别注意边界值的取舍. 【变式10-3】．已知，，若，则对此不等式描述正 确的是 A．若，则至少存在一个以为边长的等边三角形 B．若，则对任意满足不等式的都存在以为边长的三角形 C．若，则对任意满足不等式的都存在以为边长的三角形 D．若，则对满足不等式的不存在以为边长的直角三角形 【答案】B 【解析】本题可用排除法，由， 对于，若，可得，故不存在这样的错误，排除；对于时，成立，而以为边的三角形不存在，错误，排除；对于时，成立，存在以为边的三角形为直角三角形，故错误，排除故选B. 【 方法点睛】本题主要考查不等式的性质、排除法解选择题，属于难题. 用特例代替题设所给的一般性条件，得出特殊结论，然后对各个选项进行检验，从而做出正确的判断，这种方法叫做特殊法. 若结果为定值，则可采用此法. 特殊法是“小题小做”的重要策略，排除法解答选择题是高中数学一种常见的解题思路和方法，这种方法即可以提高做题速度和效率，又能提高准确性，这种方法主要适合下列题型:(1)求值问题（可将选项逐个验证）；（2）求范围问题（可在选项中取特殊值，逐一排除）；（3）图象问题（可以用函数性质及特殊点排除）；（4）解方程、求解析式、求通项、求前 项和公式问题等等. 一、填空题 1．（2024·上海奉贤·三模）若，则有最大值为 ． 【答案】/0.25 【分析】根据基本不等式即可求解. 【解析】因为，显然当时，取得最大值，所以， 当且仅当时等号成立，所以， 所以有最大值为. 故答案为：. 2．（2024·上海浦东新·三模）已知全集，集合，则 . 【答案】 【分析】先求出集合，然后结合集合的补集运算即可求解. 【解析】,， 则. 故答案为：. 3．（2024·上海·三模）已知集合，，则 ． 【答案】 【分析】首先解绝对值不等式与分式不等式求出集合、，再根据交集的定义计算可得. 【解析】由，即，解得， 所以， 由，即，等价于，解得或， 所以， 所以. 故答案为： 4．（2024·上海普陀·二模）若实数，满足，则的最小值为 . 【答案】 【分析】由已知，，，然后利用基本不等式求解即可. 【解析】因为，，， 所以， 当且仅当，即时等号成立， 所以的最小值为. 故答案为：. 5．（2024·上海闵行·三模）早在西元前6世纪，毕达哥拉斯学派已经知道算术中项，几何中项以及调和中项，毕达哥拉斯学派哲学家阿契塔在《论音乐》中定义了上述三类中项，其中算术中项，几何中项的定义与今天大致相同.若，则的最小值为 . 【答案】 【分析】令，，结合基本不等式可得，可化为，求二次函数在区间上的最小值即可. 【解析】不妨设，，则，， 所以，当且仅当时取等号， 即，当且仅当时取等号， 所以 ，（） 所以当时，取得最小值. 故答案为： 6．（2024·上海金山·二模）已知平面向量、、满足：，，则的最小值为 ． 【答案】 【分析】根据条件推理得到在方向上的投影数量等于在方向上的投影数量，且等于，，故可以作出图形，设出，将所求转化成关于的函数形式，利用基本不等式即可求得. 【解析】因，由可得， 即在方向上的投影数量等于在方向上的投影数量，且等于， 又由可得，不妨设， 则，，于是， 因，则，因，当且仅当时，等号成立， 即当时，取得最小值. 故答案为：. 【点睛】关键点点睛：解题的关键在于运用向量数量积的定义和投影向量的数量理解的相互关系,设出夹角，将所求化成关于的函数形式. 7．（2023·上海崇明·一模）已知正实数满足则当 取得最小值时， 【答案】 【分析】设出点之间的距离，由基本不等式求出最值，利用点和圆的位置关系确定自变量取值，代入求解即可. 【解析】设点与点之间的距离为，则， 易知的几何意义是点与点之间的距离的平方， 点在以为圆心，半径为的圆上，又，则， 设点与点之间的距离为，则， 故，当且仅当时取等， 此时取得最小值，由点与圆的位置关系得，此时， 代入得，. 故答案为： 【点睛】关键点点睛：本题考查解析几何，解题关键是利用基本不等式找到关于的取值．再利用点与圆的位置关系确定此时也取得最小值，然后将代入目标式，得到所要求的结果即可． 8．（2024·上海·一模）已实数满足，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】确定动点的几何意义，利用直线现圆的位置关系分段讨论，结合几何意义求解即得. 【解析】显然点在圆及内部，直线，直线， 由，得直线与圆相离，且， 由，解得或，即直线与圆交于点， ①当时，即点在直线与圆所围成的小弓形及内部， ， 目标函数，即表示斜率为，纵截距为的平行直线系， 画出直线，平移直线分别到直线， 当过点时，取得最大值，最小， 当过点时，取得最小值，最大， 因此，，从而； ②当时，即点在直线与圆所围成的大弓形及内部（不含直线上的点）， ， 目标函数，即表示斜率为，纵截距为的平行直线系， 画出直线，显直线，平移直线分别到直线，直线与圆分别相切于点， 当过点时，取得最大值，最小，因此， 当过点时，取得最小值，最大，因此， 从而， 所以的取值范围是. 故答案为：    【点睛】方法点睛：求解线性规划问题的一般方法：①准确作出不等式组表示的平面区域，作图时一定要分清虚实线、准确确定区域；②根据目标函数的类型及几何意义结合图形判断目标函数在何处取得最值． 二、单选题 9．（2023·上海浦东新·模拟预测），，，，且，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】利用不等式的基本性质、特殊值法结合充分条件、必要条件的定义判断可得出结论. 【解析】充分性：因为且，由不等式的性质可得，充分性成立； 必要性：取，，，，则成立，且，但”不成立，必要性不成立. 因此，“”是“”的充分不必要条件. 故选：A. 10．（2021·上海黄浦·二模）已知是正实数，的三边长为，点是边(与点不重合)上任一点，且.  若不等式恒成立，则实数的取值范围是（    ）. A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由三点共线得出满足的关系，由这个关系求得的最小值即可得结论． 【解析】由题意， 因为在线段上，所以且． 不等式恒成立，即， ，当且仅当时等号成立，此时，所以的最小值不， 所以． 故选：A． 【点睛】关键点点睛：本题考查向量的线性运算，考查基本不等式求最值，解题关键是由三点共线得出，在用分离参数变形不等式后利用基本不等式求最值得范围． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！23 学科网（北京）股份有限公司 $$