专题01 集合与逻辑（选填题热点，八大题型）-2025年高考数学二轮热点题型归纳与变式演练（上海专用）

专题01 集合与逻辑(八大题型) 题型01 集合的概念 1 题型02 集合的关系 1 题型03 集合的运算 2 题型04 集合与函数、不等式 2 题型05 集合的运算（字母运算，含文氏图） 2 题型06 充分必要条件 3 题型07 命题的否定、反证法 4 题型08 集合难点 4 【解题规律·提分快招】 1、元素与集合的关系：属于（ ），不属于（ ）； 2、对于元素与集合的关系，牢牢抓住元素是否在集合内； 3、集合中元素的特性：确定性，互异性，无序性； 4、解决集合中元素的问题特别注意互异性，有时需要分类讨论，或检验； 5、集合的表示方法主要有列举法，描述法，图法等； 6、充分条件、必要条件的两种判定方法： (1)定义法：根据p⇒q，q⇒p进行判断，适用于定义、定理判断性问题； (2)集合法：根据p，q对应的集合之间的包含关系进行判断，多适用于条件中涉及参数范围的推断问题． 7、求参数问题的解题策略： (1)把充分条件、必要条件或充要条件转化为集合之间的关系，然后根据集合之间的关系列出关于参数的不等式(或不等式组)求解； (2)要注意区间端点值的检验． 题型01 集合的概念 【典例1-1】．中国国旗上所有颜色组成的集合为 ． 【典例1-2】．已知集合，若，则 ． 【变式1-1】．已知，则实数 ． 【变式1-2】．若集合，，则用列举法表示集合= 【变式1-3】．已知集合，若，则实数 ． 题型02 集合的关系 【典例2-1】．已知集合，且，则实数的值为 . 【典例2-2】．已知集合，，且，则 ． 【变式2-1】．若集合，，且，则 ． 【变式2-2】．已知集合，，若，则的取值范围是 . 【变式2-3】．若集合，则集合的子集最多有 个. 题型03 集合的运算 【典例3-1】．已知集合，，则 ． 【典例3-2】】．已知集合，，且，则实数 ． 【变式3-1】．已知全集，集合，，则 . 【变式3-2】．若集合，则 . 【变式3-3】．已知集合，集合，若，则实数的取值范围为 . 题型04 集合与函数、不等式 【典例4-1】．已知集合，则（    ） A． B． C． D． 【典例4-2】．设集合，，那么（    ） A． B． C． D． 【变式4-1】．已知集合中有两个元素，则实数m的取值范围是 . 【变式4-2】．已知集合，则（    ） A． B． C． D． 【变式4-3】．设集合，，则 ． 题型05 集合的运算（字母运算，含文氏图） 【典例5-1】．设集合A、B、C均为非空集合，下列命题中为真命题的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【典例5-2】．如图表示图形阴影部分的是（    ） A． B． C． D． 【变式5-1】．已知全集为，非空集合满足.下列各式中，错误的是（    ） A． B． C． D． 【变式5-2】．设是全集的两个子集，，则下列式子成立的是（   ） A． B． C． D． 【变式5-3】．已知全集和集合M、N、P如图所示，则图中阴影部分所表示的集合是（    ） A． B． C． D． 题型06 充分必要条件 【典例6-1】．已知x，，则“”是“”的 条件． 【典例6-2】．设：，：，是的充分条件，则实数m的取值范围是 ． 【变式6-1】．“”是“”的（     ） A．充分非必要条件 B．必要非充分条件 C．充要条件 D．既非充分也非必要条件 【变式6-2】．已知，且是的充分不必要条件，则实数的取值范围是 . 【变式6-3】．已知集合，集合，若“ ”是“”的充分条件，则实数的取值范围是 ． 题型07 命题的否定、反证法 【典例7-1】．已知命题p：任意正数x，恒有，则命题p的否定为 ． 【典例7-2】．已知陈述句：所有的满足性质p，则的否定形式为 ． 【变式7-1】．若要用反证法证明“若，则且”，应假设为 【变式7-2】．用反证法证明“若,则或”时,应假设 . 【变式7-3】．存在，使得的否定形式是（    ） A．存在，使得 B．不存在，使得 C．对任意的 D．对任意的 题型08 集合难点 【典例8-1】．若规定集合的子集为的第个子集，其中，则的第211个子集是 ． 【典例8-2】．设集合为正整数，记为同时满足下列条件的集合的个数：①，②若，则，③若，则，则 【变式8-1】．设、、、、是均含有个元素的集合，且，，记，则中元素个数的最小值是（    ） A． B． C． D． 【变式8-2】．是正整数集的子集，满足：，并有如下性质：若、，则，其中表示不超过实数的最大整数，则的非空子集个数为 ． 【变式8-3】．已知集合是由某些正整数组成的集合，且满足：若，则当且仅当其中且，或其中且.现有如下两个命题: ①；②集合.则下列选项中正确的是（    ） A．①是真命题， ②是真命题； B．①是真命题， ②是假命题 C．①是假命题， ②是真命题； D．①是假命题， ②是假命题. 一、填空题 1．（2024·上海奉贤·一模）设全集，集合，则 ． 2．（2024·上海·三模）已知集合，，则 3．（2024高三·上海·专题练习）已知集合，，则 ． 4．（2023·上海长宁·二模）若“”是“”的充分条件，则实数的取值范围为 ． 5．（2024·上海普陀·二模）已知，设集合，集合，若，则 . 6．（15-16高一上·上海·期中）集合，集合，则 ． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题01 集合与逻辑(八大题型) 题型01 集合的概念 1 题型02 集合的关系 2 题型03 集合的运算 3 题型04 集合与函数、不等式 5 题型05 集合的运算（字母运算，含文氏图） 6 题型06 充分必要条件 8 题型07 命题的否定、反证法 10 题型08 集合难点 11 【解题规律·提分快招】 1、元素与集合的关系：属于（ ），不属于（ ）； 2、对于元素与集合的关系，牢牢抓住元素是否在集合内； 3、集合中元素的特性：确定性，互异性，无序性； 4、解决集合中元素的问题特别注意互异性，有时需要分类讨论，或检验； 5、集合的表示方法主要有列举法，描述法，图法等； 6、充分条件、必要条件的两种判定方法： (1)定义法：根据p⇒q，q⇒p进行判断，适用于定义、定理判断性问题； (2)集合法：根据p，q对应的集合之间的包含关系进行判断，多适用于条件中涉及参数范围的推断问题． 7、求参数问题的解题策略： (1)把充分条件、必要条件或充要条件转化为集合之间的关系，然后根据集合之间的关系列出关于参数的不等式(或不等式组)求解； (2)要注意区间端点值的检验． 题型01 集合的概念 【典例1-1】．中国国旗上所有颜色组成的集合为 ． 【答案】{红,黄}； 【分析】根据集合的定义即可求解. 【解析】中国国旗上所有颜色组成的集合为红,黄． 故答案为：红，黄． 【典例1-2】．已知集合，若，则 ． 【答案】 【分析】根据题意结合元素与集合之间的关系结合集合的互异性分析求解. 【解析】因为，且， 则或，解得. 故答案为：. 【变式1-1】．已知，则实数 ． 【答案】 【分析】直接根据求解即可. 【解析】， ， 解得. 故答案为：. 【变式1-2】．若集合，，则用列举法表示集合= 【答案】 【分析】根据题意，分析集合A可得A中的元素，将其元素代入y＝x2+1中，计算可得y的值，即可得B的元素，用列举法表示即可得答案． 【解析】根据题意，A＝{﹣2，﹣1，0，1，2}， 对于集合B＝{y|y＝x2+1，x∈A}， 当x＝±2时，y＝5， 当x＝±1时，y＝2， 当x＝0时，y＝1； 故答案为 【点睛】本题考查集合的表示方法，注意集合B中x所取的值为A中的元素且必须用列举法表示． 【变式1-3】．已知集合，若，则实数 ． 【答案】 【分析】利用元素与集合的关系可得出关于的等式，解之即可. 【解析】因为集合，若，则，解得. 故答案为：. 题型02 集合的关系 【典例2-1】．已知集合，且，则实数的值为 . 【答案】 【分析】根据给定条件，利用元素与集合的关系，结合集合元素的性质求解即得. 【解析】由集合，且，得或，解得或， 当时，，符合题意， 当时，且，与集合元素的互异性矛盾， 所以实数的值为0. 故答案为： 【典例2-2】．已知集合，，且，则 ． 【答案】 【分析】利用集合间的基本关系及元素与集合的关系计算即可. 【解析】由题意，，且，可知，所以. 故答案为： 【变式2-1】．若集合，，且，则 ． 【答案】0 【分析】利用两个集合相等结合集合元素的互异性求解即可. 【解析】因为集合，所以解得或， 当时不满足集合元素互异性的要求舍去， 当时，， 故答案为：0 【变式2-2】．已知集合，，若，则的取值范围是 . 【答案】 【分析】由列不等式求的取值范围， 【解析】∵集合，，， ∴. ∴的取值范围是. 故答案为：. 【变式2-3】．若集合，则集合的子集最多有 个. 【答案】128 【分析】先求出集合，再求集合的子集个数. 【解析】集合， 所以， 则集合的子集个数有个. 故答案为:128. 【点睛】本题考查集合子集的个数，掌握当集合中有个元素时，子集的个数为，属于基础题. 题型03 集合的运算 【典例3-1】．已知集合，，则 ． 【答案】 【分析】找出集合A与集合B的公共元素，即可确定出交集． 【解析】因为集合，， 所以. 故答案为：. 【典例3-2】．已知集合，，且，则实数 ． 【答案】 【分析】根据集合中元素的互异性求的值. 【解析】，或，由互异性，. 故答案为：． 【变式3-1】．已知全集，集合，，则 . 【答案】 【分析】将集合化简，即可得到，再由交集的运算，即可得到结果. 【解析】因为，则或， 且，所以. 故答案为： 【变式3-2】．若集合，则 . 【答案】 【分析】 根据集合的交运算进行运算即可. 【解析】, 故答案为：. 【变式3-3】．已知集合，集合，若，则实数的取值范围为 . 【答案】 【分析】由题意分集合是否为空集进行讨论，结合，列出相应的不等式（组），从而即可得解. 【解析】集合，集合，且， 若，则，即，此时满足，即满足题意； 若，则，即，此时若要使得， 则还需或，解得或， 注意到此时，从而此时满足题意的的范围为或； 综上所述，实数的取值范围为. 故答案为： . 题型04 集合与函数、不等式 【典例4-1】．已知集合，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】验证集合中的元素，是否是集合中元素，即可求. 【解析】因为，所以，，所以，，所以， 所以. 故选：C 【典例4-2】．设集合，，那么（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】变形表达式为相同的形式，利用集合间的关系，比较可得. 【解析】由题意得， 即是的奇数倍构成的集合， ， 即是的整数倍构成的集合， 所以. 故选：. 【变式4-1】．已知集合中有两个元素，则实数m的取值范围是 . 【答案】 【分析】由题意可知：有2个不同的实数根，利用判别式列式求解即可. 【解析】由题意可知：有2个不同的实数根， 则，解得且， 所以实数m的取值范围是. 故答案为：. 【变式4-2】．已知集合，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】首先求集合，再求. 【解析】，即，得， 即，且, 所以. 故选：D 【变式4-3】．设集合，，则 ． 【答案】{1} 【分析】分别求解出集合和集合，根据交集定义求得结果. 【解析】，     故答案为： 【点睛】本题考查集合运算中的交集运算，涉及到一元二次方程和对数不等式的求解，属于基础题. 题型05 集合的运算（字母运算，含文氏图） 【典例5-1】．设集合A、B、C均为非空集合，下列命题中为真命题的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】C 【分析】关于这几个命题真假的判断，真命题可以根据集合的运算和运算法则证明，如果命题是假命题，则可以举反例． 【解析】对于A， ，当时，结论不成立，则A错误； 对于B, ，当时，结论不成立，则B错误； 对于C，因为，，所以， 又，所以，则，则C正确； 对于D，，当时，结论不成立，则D错误； 故选：C 【典例5-2】．如图表示图形阴影部分的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由韦恩图可以看出，阴影部分中的元素满足“是B的元素且C的元素，或是A的元素”，由韦恩图与集合之间的关系可得答案． 【解析】图中阴影部分表示元素满足：是A中的元素，或者是B与C的公共元素 故可以表示为，也可以表示为：. 故选：B． 【变式5-1】．已知全集为，非空集合满足.下列各式中，错误的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据非空集合、子集的知识求得正确答案. 【解析】依题意，全集为，非空集合满足， 所以、、、， 所以ABD选项正确， C选项错误 故选： C 【变式5-2】．设是全集的两个子集，，则下列式子成立的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据子集、补集、并集、交集的知识来求得正确答案. 【解析】依题意，是全集的两个子集，， A选项，，所以A选项错误. B选项，，所以B选项错误. C选项，，所以C选项正确. D选项，，所以D选项错误. 故选：C 【变式5-3】．已知全集和集合M、N、P如图所示，则图中阴影部分所表示的集合是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据图可得阴影部分在集合M中，不在集合N、P中，进而可得答案. 【解析】解：根据图可得，阴影部分在集合M中，不在集合N、P中， 则阴影部分所表示的集合是. 故选：B. 题型06 充分必要条件 【典例6-1】．已知x，，则“”是“”的 条件． 【答案】必要不充分 【分析】由已知中，，根据绝对值的性质，分别讨论“”“”，与“”“”，的真假，然后根据充要条件的定义，即可得到答案． 【解析】若，则异号或至少有一个为0，故充分性不成立， 若“”，则，异号，则“”成立， 即“”是“”的必要条件； 即“”是“”的必要不充分条件； 故答案为：必要不充分． 【典例6-2】．设：，：，是的充分条件，则实数m的取值范围是 ． 【答案】 【分析】由是的充分条件，根据对应集合的包含关系，可得实数m的取值范围． 【解析】∵：，：，是的充分条件， 则，则， ∴实数m的取值范围是. 故答案为：． 【变式6-1】．“”是“”的（     ） A．充分非必要条件 B．必要非充分条件 C．充要条件 D．既非充分也非必要条件 【答案】A 【分析】应用作差法，结合充分、必要性定义判断条件间的推出关系即可. 【解析】由，又， 所以，即，充分性成立； 当时，即，显然时成立，必要性不成立. 故“”是“”的充分非必要条件. 故选：A 【变式6-2】．已知，且是的充分不必要条件，则实数的取值范围是 . 【答案】 【分析】根据不等式所表示的集合的关系列出不等式，解出即可. 【解析】，解得，设，， 若是的充分不必要条件，则， 则有，且等号不会同时取到，解得， 则实数的取值范围是. 故答案为：. 【变式6-3】．已知集合，集合，若“ ”是“”的充分条件，则实数的取值范围是 ． 【答案】 【分析】分别求出关于、的不等式，通过”，求出的范围即可． 【解析】解：， 或， 由“”，得， 故答案为：． 【点睛】本题考查了充分必要条件，考查对数函数以及解不等式问题，考查集合的关系，是一道基础题． 题型07 命题的否定、反证法 【典例7-1】．已知命题p：任意正数x，恒有，则命题p的否定为 ． 【答案】存在正数，使 【分析】含有全称量词的否定，改成特称量词即可. 【解析】由全称命题的否定为特称命题知： 存在正数，使. 故答案为：存在正数，使 【典例7-2】．已知陈述句：所有的满足性质p，则的否定形式为 ． 【答案】存在不满足性质p. 【分析】用全称量词命题的否定形式即得结果. 【解析】陈述句是全称量词命题，故其否定形式是： 存在不满足性质p. 故答案为：存在不满足性质p. 【变式7-1】．若要用反证法证明“若，则且”，应假设为 【答案】或 【分析】根据用反证法证明数学命题的方法，应先假设要证命题的否定成立，求得要证命题的否定，可得结果. 【解析】要证命题的结论为且，它的否定为或. 故答案为：或. 【变式7-2】．用反证法证明“若,则或”时,应假设 . 【答案】且 【分析】根据反证法，假设原命题的结论的否定即可. 【解析】“或”的否定为“且”. 故答案为：且 【变式7-3】．存在，使得的否定形式是（    ） A．存在，使得 B．不存在，使得 C．对任意的 D．对任意的 【答案】C 【分析】根据特称命题的否定为全称命题判断即可. 【解析】“存在，使得”的否定形式是“对任意的”. 故选：C 题型08 集合难点 【典例8-1】．若规定集合的子集为的第个子集，其中，则的第211个子集是 ． 【答案】 【分析】正确理解的含义，时，即要先求出满足的，即的第211个子集应含有的元素，计算出，再要求满足的，即的第211个子集应含有的元素，如此类推即得. 【解析】因，则的第211个子集必包含7，此时； 又因则的第211个子集必包含6，此时； 又则的第211个子集必包含4，此时； 又则的第211个子集必包含1；而. 综上所述，的第211个子集是. 故答案为：. 【点睛】关键点点睛：本题解题的关键在于仔细阅读题目所提供的信息，正确理解集合的新定义的含义，将文字语言转化为数学语言. 【典例8-2】．设集合为正整数，记为同时满足下列条件的集合的个数：①，②若，则，③若，则，则 【答案】 【分析】任取偶数，将除以2，若商仍为偶数，再除以，，经过次后，商必为奇数，此时商为，从而，的是否属于，由是否属于确定，求得的表达式，即可求解. 【解析】任取偶数，将除以2， 若商仍为偶数，再除以，，经过次后，商必为奇数，此时商为， 从而，其中为奇数，， 由题意知，若，则等价于为偶数； 若，则等价于为奇数， 所以是否属于，由是否属于确定， 设是中所有奇数的集合，所以是的子集个数， 当为偶数（或奇数）时，中奇数的个数为（或）， 所以，所以. 故答案为：. 【变式8-1】．设、、、、是均含有个元素的集合，且，，记，则中元素个数的最小值是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】设、、、是集合互不相同的元素，分析可知，然后对的取值由小到大进行分析，验证题中的条件是否满足，即可得解. 【解析】解：设、、、是集合互不相同的元素，若，则，不合乎题意. ①假设集合中含有个元素，可设，则， ，这与矛盾； ②假设集合中含有个元素，可设，， ，，，满足题意. 综上所述，集合中元素个数最少为. 故选：A. 【点睛】关键点点睛：本题考查集合元素个数的最值的求解，解题的关键在于对集合元素的个数由小到大进行分类，对集合中的元素进行分析，验证题中条件是否成立即可. 【变式8-2】．是正整数集的子集，满足：，并有如下性质：若、，则，其中表示不超过实数的最大整数，则的非空子集个数为 ． 【答案】 【分析】根据题意，先判断中相邻两数不可能大于等于2，可得2，3，，，从而求出，再根据子集的个数与集合元素个数之间的关系即可得答案． 【解析】由题意可知：若，，则，，，均属于， 而事实上，若，中， 所以， 故，中有正整数， 从而中相邻两数不可能大于等于2， 故2，3，，， 若，，则有，与矛盾， 当时，， 当时，则， 所以，， 所以，2，，， 所以非空子集有个． 故答案为：． 【点睛】新定义题型的特点是：通过给出一个新概念，或约定一种新运算，或给出几个新模型来创设全新的问题情景，要求考生在阅读理解的基础上，依据题目提供的信息，联系所学的知识和方法，实现信息的迁移，达到灵活解题的目的.遇到新定义问题，应耐心读题，分析新定义的特点，弄清新定义的性质，按新定义的要求，“照章办事”，逐条分析、验证、运算，使问题得以解决. 【变式8-3】．已知集合是由某些正整数组成的集合，且满足：若，则当且仅当其中且，或其中且.现有如下两个命题: ①；②集合.则下列选项中正确的是（    ） A．①是真命题， ②是真命题； B．①是真命题， ②是假命题 C．①是假命题， ②是真命题； D．①是假命题， ②是假命题. 【答案】C 【分析】根据集合的定义即可判断①是假命题，根据集合的定义先判断，，再由，有，，且，所以，可判断 ②是真命题. 【解析】因为若，则当且仅当其中且，或其中且， 且集合是由某些正整数组成的集合， 所以，， 因为，满足其中且，所以， 因为，且，，所以，故①是假命题； 记， 当时，，因为，，，所以； 下面讨论元素与集合的关系， 当时，，当时，，，，所以， 当时，，，，所以， 当时，，，，所以，依次类推， 当时，，，，所以， 下面讨论时，集合中元素与集合的关系， 因为，有，，且，所以， 综上所述，，有， 即，故②是真命题. 故选：C. 【点睛】关键点睛：本题解题的关键在于判断，，，，再根据集合的定义求解. 一、填空题 1．（2024·上海奉贤·一模）设全集，集合，则 ． 【答案】 【分析】利用补集的定义可得出结合. 【解析】因为全集，集合，则. 故答案为：. 2．（2024·上海·三模）已知集合，，则 【答案】 【分析】把集合中的元素代入不等式检验可求得. 【解析】当时，，所以， 当时，，所以， 当时，，所以， 所以. 故答案为：. 3．（2024高三·上海·专题练习）已知集合，，则 ． 【答案】 【分析】求出集合、，再根据交集的定义可得． 【解析】由题意，，， ． 故答案为： 4．（2023·上海长宁·二模）若“”是“”的充分条件，则实数的取值范围为 ． 【答案】 【分析】由充分条件定义直接求解即可. 【解析】“”是“”的充分条件，，， 即实数的取值范围为. 故答案为：. 5．（2024·上海普陀·二模）已知，设集合，集合，若，则 . 【答案】2 【分析】根据已知条件，结合交集的定义，讨论或4即可求解． 【解析】集合，集合，，则是的子集， 当时，等式不成立，舍去， 当时，解得，此时，，满足题意， 故． 故答案为：2． 6．（15-16高一上·上海·期中）集合，集合，则 ． 【答案】 【分析】根据给定条件，求出方程组的解即可. 【解析】依题意，由，解得或， 所以. 故答案为： 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 $$