压轴专题09 圆锥曲线压轴小题（3类压轴题型）-【常考压轴题】2024-2025学年高二数学压轴题攻略（沪教版2020选择性必修第一册）

压轴专题09 圆锥曲线压轴小题突破 目录 1 2 一．圆锥曲线与向量、圆等知识的交汇问题 2 二．圆锥曲线与三角形“四心”问题 4 三．圆锥曲线在生活中的应用 9 20 一．椭圆的焦点三角形 椭圆上的点P(x0，y0)与两焦点构成的△PF1F2叫作焦点三角形，如图所示，设∠F1PF2＝θ， (1)△PF1F2周长为2a＋2c； (2)|PF1|max＝a＋c，|PF1|min＝a－c； (3)S△F1PF2＝|PF1||PF2|sin θ＝b2tan ＝c|y0|，当|y0|＝b，即点P的位置为短轴端点时，S△F1PF2取最大值，最大值为bc. (4)|PF1|·|PF2|≤＝a2. (5)4c2＝|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1||PF2|cos θ. 2． 双曲线的有关结论 1.离心率e＝＝，e越大，双曲线的“张口”越大. 2.双曲线的焦点到渐近线的距离为b，顶点到渐近线的距离为. 3.同支的焦点弦中最短的为通径，其长为；异支的焦点弦中最短的为实轴，其长为2a. 4.若P是双曲线右支上一点，F1，F2分别为双曲线的左、右焦点，则|PF1|min＝c＋a，|PF2|min＝c－a. 5.焦点三角形的面积：P为双曲线上的点，F1，F2为双曲线的两个焦点，且∠F1PF2＝θ，则△F1PF2的面积为. 6.若渐近线方程为y＝±x，则双曲线方程可设为－＝λ(λ≠0). 7.等轴双曲线⇔e＝⇔渐近线为y＝±x⇔方程x2－y2＝λ(λ≠0). 三．抛物线的有关结论 1.通径：过焦点且垂直于对称轴的弦长等于2p，通径是过焦点最短的弦. 2.抛物线y2＝2px(p>0)上一点P(x0，y0)到焦点F的距离|PF|＝x0＋，也称为抛物线的焦半径. 3.过抛物线y2＝2px(p>0)的焦点的直线交抛物线于A，B两点，则|AB|＝x1＋x2＋p，也称为抛物线的焦点弦. 4.抛物线定义中，如果定点F在直线l上，此时动点的轨迹为过点F且与l垂直的直线. 5.不同的方程中，焦半径公式、焦点弦公式也不相同. 四．解决和圆锥曲线有关的实际问题的思路(数学抽象) (1)通过数学抽象，找出实际问题中涉及的圆锥曲线，将原问题转化为数学问题． (2)确定圆锥曲线的位置及要素，并利用圆锥曲线的方程或几何性质求出数学问题的解． (3)用解得的结果说明原来的实际问题． 1． 圆锥曲线与向量、圆等知识的交汇问题 【例1】（2024·四川成都·三模）已知椭圆的左，右焦点分别是，，点是椭圆上一点，满足，若以点为圆心，为半径的圆与圆，圆都内切，其中，则椭圆的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由两边平方，可得，则， 由已知可得， 由，则 在中，由． 故选：C 【例2】（24-25高三上·湖南长沙·阶段练习）已知､分别为椭圆：的左､右顶点，为椭圆上一动点，，与直线交于，两点，与的外接圆的周长分别为，，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由已知得、，设椭圆上动点， 则利用两点连线的斜率公式可知，， 设直线方程为：，则直线方程为：，根据对称性设， 令得，，即，，则 设与的外接圆的半径分别为，， 由正弦定理得：，， 又， ，当且仅当，即时，等号成立，即的最小值为 故选：A 对点训练 1.（2024·广东深圳·二模）、分别为双曲线的左、右焦点，过的直线与的左、右两支曲线分别交于、两点，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】在双曲线中，，，，则、， 因为直线过点，由图可知，直线的斜率存在且不为零， ，则为直角三角形，可得， 由双曲线的定义可得，所以，， 可得， 联立，解得， 因此，. 故选：C. 2.（2024·山东德州·二模）已知椭圆的左、右焦点分别为、，点在椭圆上，点是圆关于直线对称的曲线上任意一点，若的最小值为，则下列说法正确的是（    ）． A．椭圆的焦距为2 B．曲线过点的切线斜率为 C．若、为椭圆上关于原点对称的异于顶点和点的两点，则直线与斜率之积为 D．的最小值为2 【答案】BC 【解析】圆关于直线对称的曲线为以为圆心，1为半径的圆， 即曲线E的方程为， 由椭圆定义有知， 由图知， ，，椭圆方程为 故焦距，A错误； ，D错误； 设曲线过点的切线斜率为k，则切线方程为， 由圆心到切线方程的距离等于半径有，B正确； 设，， 则， 又都在椭圆上，即，C正确； 故选：BC. 2． 圆锥曲线与三角形“四心”问题 【例3】（2024·四川成都·三模）已知双曲线（，）的左，右焦点分别是，，点是双曲线右支上异于顶点的点，点在直线上，且满足，.若，则双曲线的离心率为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】C 【解析】因为，所以是的角平分线， 又因为点在直线上，且在双曲线中，点是双曲线右支上异于顶点的点， 则的内切圆圆心在直线上，即点是的内心， 如图，作出，并分别延长、、至点、、，使得， ，，可知为的重心， 设，，，由重心性质可得， 即， 又为的内心，所以， 因为，所以，，则， 所以双曲线的离心率. 故选：C. 【例4】（24-25高三下·江苏·阶段练习）过抛物线上点M作抛物线的两条切线，，切点分别为P，Q，若的重心为，则 . 【答案】 【解析】设， ， 设过点M的直线方程为①， 与联立得， 即②， 由相切得，即 则， （分别表示，斜率的倒数）， 由于方程②，则其根为， 当时，，当 时，， 的重心为 ③， 而 ④， 联立③④得． 对点训练 1．（24-25高三上·浙江·阶段练习）已知，，是第一象限内的点，且满足，若是的内心，是的重心，记与的面积分别为，，则（    ） A． B． C． D．与大小不确定 【答案】B 【解析】因为，所以的轨迹是椭圆在第一象限内的部分，如图所示：    因为是的内心，设内切圆的半径为， 所以，所以，所以， 又因为是的重心，所以， 所以， 所以， 故选：B. 2．平面直角坐标系中，双曲线的渐近线与抛物线交于点.若的垂心为的焦点，则的离心率为 【答案】 【解析】设 所在的直线方程为 ,则 所在的直线方程为, 解方程组 得： ，所以点 的坐标为 , 抛物线的焦点 的坐标为: .因为是 的垂心，所以 , 所以， . 所以， . 3． 圆锥曲线在生活中的应用 【例5】(2024·湛江质检)根据圆锥曲线的光学性质：从双曲线的一个焦点发出的光线，经双曲线反射后，反射光线的反向延长线过双曲线的另一个焦点．由此可得，过双曲线上任意一点的切线，平分该点与两焦点连线的夹角．请解决下面问题：已知F1，F2分别是双曲线C：x2－＝1的左、右焦点，若从点F2发出的光线经双曲线右支上的点A(x0,2)反射后，反射光线为射线AM，则∠F2AM的角平分线所在的直线的斜率为(　　) A．－ B．－ C. D. 【答案】B 【解析】由已知可得A(x0,2)在第一象限， 将点A的坐标代入双曲线方程可得x－＝1， 解得x0＝，所以A(，2)， 又由双曲线的方程可得a＝1，b＝， 所以c＝，则F2(，0)， 所以|AF2|＝2，且点A，F2都在直线x＝上， 又|OF1|＝|OF2|＝， 所以tan∠F1AF2＝＝＝， 所以∠F1AF2＝60°， 设∠F2AM的角平分线为AN， 则∠F2AN＝(180°－60°)×＝60°， 所以∠F2AM的角平分成所在的直线AN的倾斜角为150°， 所以直线的斜率为tan 150°＝－. 【例6】（2024·莆田华侨中学模拟预测）第24届冬奥会，是中国历史上第一次举办的冬季奥运会，国家体育场(鸟巢)成为北京冬奥会开、闭幕式的场馆．国家体育场“鸟巢”的钢结构鸟瞰图如图1，内外两圈的钢骨架是离心率相同的椭圆，若由外层椭圆长轴一端点A和短轴一端点B分别向内层椭圆引切线AC，BD(如图2)，且两切线斜率之积等于－，则椭圆的离心率为(　　) 图1　　　　　　　　　图2 A. B. C. D. 【答案】B 【解析】若内层椭圆方程为＋＝1(a>b>0)，由离心率相同，可设外层椭圆方程为 ＋＝1(m>1)， ∴A(－ma,0)，B(0，mb)， 设切线AC为y＝k1(x＋ma)， 切线BD为y＝k2x＋mb， ∴ 整理得(a2k＋b2)x2＋2ma3kx＋m2a4k－a2b2＝0， 由Δ＝0知 (2ma3k)2－4(a2k＋b2)(m2a4k－a2b2)＝0， 整理得k＝·， 同理 可得k＝·(m2－1)， ∴(k1k2)2＝＝，即＝， 故e＝＝＝. 【解题技巧】圆锥曲线的光学性质、新定义问题、圆锥曲线的应用等内容在高考占一席之地．研究圆锥曲线的光学性质、新定义问题、圆锥曲线的应用等相关问题，体现出数学的应用性． 对点训练 1.（2024·德州市教育科学研究院二模）如图所示，椭圆有这样的光学性质：从椭圆的一个焦点出发的光线，经椭圆反射后，反射光线经过椭圆的另一个焦点．根据椭圆的光学性质解决下题：已知曲线C的方程为x2＋4y2＝4，其左、右焦点分别是F1，F2，直线l与椭圆C切于点P，且|PF1|＝1，过点P且与直线l垂直的直线l′与椭圆长轴交于点M，则|F1M|∶|F2M|等于(　　) A.∶ B．1∶ C．1∶3 D．1∶ 【答案】C 【解析】由椭圆的光学性质得直线l′平分∠F1PF2， 因为＝ ＝＝， 由|PF1|＝1，|PF1|＋|PF2|＝4得|PF2|＝3， 故|F1M|∶|F2M|＝1∶3. 2.（2024·东北育才学校二模）一个工业凹槽的轴截面是双曲线的一部分，它的方程是y2－x2＝1，y∈[1,10]，在凹槽内放入一个清洁钢球(规则的球体)，要求清洁钢球能擦净凹槽的最底部，则清洁钢球的最大半径为(　　) A．1 B．2 C．3 D．2.5 【答案】A 【解析】清洁钢球能擦净凹槽的最底部时，轴截面如图所示， 圆心在双曲线的对称轴上，且圆与双曲线的顶点相切，设半径为r，圆心为(0，r＋1)， 圆的方程为x2＋(y－r－1)2＝r2， 代入双曲线方程y2－x2＝1， 得y2－(r＋1)y＋r＝0，∴y＝1或y＝r， 要使清洁钢球到达底部，即r≤1. 1．(2024·遵义模拟)双曲线－＝1上一点P到右焦点F2的距离为6，F1为左焦点，则∠F1PF2的角平分线与x轴交点坐标为(　　) A．(－1,0) B．(0,0) C．(1,0) D．(2,0) 【答案】D 【解析】设交点为D(x,0)，用面积法＝，化简可得角平分线定理＝，由双曲线定义知|PF1|＝2a＋|PF2|＝6＋6＝12，所以交点到左焦点距离是其到右焦点距离的2倍，因为左焦点(－6,0)，右焦点(6,0)，所以x＋6＝2(6－x)，解得x＝2. 2．（2024·芜湖市教育局模拟预测）天文学家开普勒的行星运动定律可表述为：绕同一中心天体的所有行星的椭圆轨道的长半轴a的三次方跟它的公转周期T的二次方的比值都相等，即＝k，k＝，其中M为中心天体质量，G为引力常量，已知地球绕以太阳为中心天体的椭圆轨道的长半轴长约为1.5亿千米，地球的公转周期为1年，距离太阳最远的冥王星绕以太阳为中心天体的椭圆轨道的长半轴长约为60亿千米，取≈3.1，则冥王星的公转周期约为(　　) A．157年 B．220年 C．248年 D．256年 【答案】C 【解析】设地球椭圆轨道的长半轴为a1，公转周期为T1.冥王星椭圆轨道的长半轴为a2，公转周期为T2. 则两式相除并化简得 T＝×T＝×1＝6 400×10， 所以T2＝80≈80×3.1＝248(年)． 3．(2024·东三省四市联考)已知直线x＋y＝a与圆x2＋y2＝4交于A，B两点，O为坐标原点，|＋|＝·|－|，则实数a的值为(　　) A．±2 B．± C．± D．± 【答案】D 【解析】由|＋|＝|－|得， (＋)2＝3(－)2， 又O为圆x2＋y2＝4的圆心， 则||＝||＝2， 所以·＝2， 所以||||cos∠AOB＝2， 即cos∠AOB＝， 所以∠AOB＝， 所以△AOB为等边三角形， 则O到直线x＋y＝a的距离为d＝， 即d＝＝，解得a＝±. 4．(2024·郑州模拟)已知A，B是椭圆＋＝1(a>b>0)长轴的两个端点，P，Q是椭圆上关于x轴对称的两点，直线AP，BQ的斜率分别为k1，k2(k1k2≠0)．若椭圆的离心率为，则|k1|＋|k2|的最小值为(　　) A．1 B. C. D. 【答案】B 【解析】设点P(x0，y0)，则由椭圆的对称性知Q(x0，－y0)， 不妨令y0>0，A(－a,0)，B(a,0)， 则k1＝，k2＝， 显然有－a<x0<a， 则|k1|＋|k2|＝＋＝， 因为椭圆的离心率为， 即e2＝＝＝1－＝，即a＝b， ＋＝1⇒x＝2b2－2y， 则|k1|＋|k2|＝＝， 因为0<y0≤b， 所以|k1|＋|k2|＝≥＝， 当且仅当y0＝b时取“＝”， 即|k1|＋|k2|的最小值为. 5．（2024·山东枣庄·一模）已知在平面直角坐标系Oxy中，点F1，F2分别为双曲线C：－y2＝1(a>0)的左、右焦点，点M在双曲线C的左支上，MF2与双曲线C的一条渐近线交于点D，且D为MF2的中点，点I为△OMF2的外心，若O，I，D三点共线，则双曲线C的离心率为(　　) A. B．3 C. D．5 【答案】C 【解析】不妨设点M在第二象限，设M(m，n)，F2(c,0)， 由D为MF2的中点，O，I，D三点共线知直线OD垂直平分MF2，则OD：y＝x， 故有＝－a，且·n＝·，解得m＝，n＝， 将M，即M， 代入双曲线的方程可得－＝1，化简可得c2＝5a2， 即e＝，点M在第三象限时，同理可得e＝. 6．（24-25高二上·河南·期中）已知是椭圆的一个焦点，是的上顶点，BF的延长线交于点，若，则的离心率是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】 不妨设是椭圆的左焦点，是的右焦点，的焦距为2c，连接， 则，又，所以. 在中，由余弦定理得， 所以，即， 所以，故选D. 7．（24-25高二上·山西晋城·期中）已知双曲线：（，）的左、右焦点分别为，，以为直径的圆和的渐近线在第一象限交于点，若与另一条渐近线平行，则双曲线的渐近线方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由题意，, 又为的中点，所以在△中，． 如图所示，设与平行的渐近线交于点，即，, 由双曲线的对称性可知，所以，所以． 因此为等边三角形，即， 可得直线的斜率为，则的渐近线方程为． 故选：. 8．（24-25高二上·黑龙江·期中）已知椭圆与双曲线有公共的焦点、，是和的一个公共点，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由椭圆的定义得, ∴，即①， 由双曲线的定义得, ∴，即②， 由①②解得， 又由题意知，，可得， ∴，而， ∴，则， 又∵为的中点， ∴. 故选：D. 9．（2024高三·全国·专题练习）已知抛物线的焦点为，其准线与轴的交点为，过的直线交该抛物线于两点，且，，则（    ） A．1 B． C．2 D．4 【答案】C 【解析】由题可得，，设，，，， 直线，将直线的方程代入，消去， 得，由，则，． ，，因为，所以， 所以，所以，又，所以， 得（负值舍去）．又，所以． 所以，所以. 故选：C． 10．（24-25高二上·河北石家庄·期中）如图所示，点F是抛物线的焦点，点A，B分别在抛物线及圆的实线部分上运动，且AB总是平行于x轴，则的周长的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】延长AB，设AB交直线与点， 由抛物线定义可知，， 所以的周长为, 又因为，所以， 所以的周长的取值范围是. 故选：D. 11．(2022·济南联考)已知双曲线－＝1(a>0，b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，以OF1为直径的圆与双曲线的一条渐近线交于点M(异于坐标原点O)，若线段MF1交双曲线于点P，且MF2∥OP，则该双曲线的离心率为(　　) A. B. C. D. 【答案】A 【解析】不妨设渐近线的方程为y＝－x， 因为MF2∥OP，O为F1F2的中点， 所以P为MF1的中点， 将直线OM，MF1的方程联立 可得M， 又F1(－c,0)，所以P 即P，又P点在双曲线上， 所以－＝1，解得＝， 所以该双曲线的离心率为. 12．（2022·南京市天印高级中学模拟预测）已知抛物线C：y2＝8x的焦点为F，P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，P3(x3，y3)为抛物线C上的三个动点，其中x1<x2<x3且y2<0，若F为△P1P2P3的重心，记△P1P2P3三边P1P2，P1P3，P2P3的中点到抛物线C的准线的距离分别为d1，d2，d3，且满足d1＋d3＝2d2，则P1P3所在直线的斜率为(　　) A．1 B. C．2 D．3 【答案】C 【解析】由题意知d1＝＋2； d2＝＋2；d3＝＋2， 代入d1＋d3＝2d2中， 得到x1＋2x2＋x3＝2(x1＋x3)， 即2x2＝x1＋x3. 又F为△P1P2P3的重心， 则有＝2，＝0， 即2x2＝6－x2，得x2＝2，y2＝－4， 因此有y1＋y3＝4， 所以P1P3所在直线的斜率为 k＝＝＝2. 13．（多选）已知为坐标原点，经过点且斜率为的直线与双曲线相交于不同的两点，，则（       ） A．若时，则 B．对任意的，存在直线使得 C．对任意的，存在直线使得 D．对任意的，存在直线使得 【答案】AD 【解析】由题意，直线为， 与双曲线联立得：，易知且. 若，则为的中点，所以，可得，A正确； 由，即， 结合可得，解得或，D正确，BC错误，故选AD. 14.（多选）（2022·山东临沂·三模）2022年4月16日9时56分，神舟十三号返回舱成功着陆，返回舱是宇航员返回地球的座舱，返回舱的轴截面可近似看作是由半圆和半椭圆组成的“曲圆”，如图在平面直角坐标系中半圆的圆心在坐标原点，半圆所在的圆过椭圆的焦点，椭圆的短轴与半圆的直径重合，下半圆与y轴交于点G．若过原点O的直线与上半椭圆交于点A，与下半圆交于点B，则（       ） A．椭圆的长轴长为 B．线段AB长度的取值范围是 C．面积的最小值是4 D．的周长为 【答案】ABD 【解析】由题知，椭圆中的几何量，得，则，A正确； ，由椭圆性质可知，所以，B正确； 记，则 取，则，C错误； 由椭圆定义知，，所以的周长，D正确. 故选：ABD 15．(多选)(2022·沧州模拟)设F1，F2同时为椭圆C1：＋＝1(a>b>0)与双曲线C2：－＝1(a1>0，b1>0)的左、右焦点，设椭圆C1与双曲线C2在第一象限内交于点M，椭圆C1与双曲线C2的离心率分别为e1，e2，O为坐标原点，若(　　) A．|F1F2|＝2|MO|，则＋＝ B．|F1F2|＝2|MO|，则＋＝2 C．|F1F2|＝4|MF2|，则e1e2的取值范围是 D．|F1F2|＝4|MF2|，则e1e2的取值范围是 【答案】BD 【解析】　如图，设|MF1|＝m，|MF2|＝n，焦距为2c，由椭圆定义可得m＋n＝2a， 由双曲线定义可得m－n＝2a1，解得m＝a＋a1，n＝a－a1， 当|F1F2|＝2|MO|时，则∠F1MF2＝90°， 所以m2＋n2＝4c2，即a2＋a＝2c2， 由离心率的公式可得＋＝2，故B正确； 当|F1F2|＝4|MF2|时，可得n＝c，即a－a1＝c，可得－＝， 由0<e1<1，可得>1，可得>， 即1<e2<2，则e1e2＝， 可设2＋e2＝t(3<t<4)，则＝＝2， 由f(t)＝t＋－4在(3,4)上单调递增，可得f(t)∈， 则e1e2∈，故D正确． 16．(2022·株州模拟)已知双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的右顶点、右焦点分别为A，F，过点A的直线l与C的一条渐近线交于点Q，直线QF与C的一个交点为B，·＝·，且＝4，则双曲线的离心率e为________． 【答案】 【解析】在双曲线C：－＝1(a>0，b>0)中，A(a,0)， 渐近线为y＝±x，设右焦点为F(c,0)， 由·＝·⇔·(＋)＝0， 即·＝0，即⊥，直线l：x＝a， 由双曲线对称性知， 不妨令Q(a，b)，设B(x0，y0)， 则＝(a－x0，b－y0)，＝(a－c，b)， 因为＝4， 则(a－x0，b－y0)＝4(a－c，b)， 解得x0＝4c－3a，y0＝－3b， 即B(4c－3a，－3b)，又点B在双曲线C上， 则有－＝1，即(4e－3)2＝10，解得e＝， 因为e>1，则e＝. 17．（24-25高二上·重庆·期中）已知抛物线，准线为l，过的直线交抛物线于A，B两点，AP垂直l于点P，点C满足，则的最小值为 . 【答案】 【解析】由题设，可设， 联立抛物线得，， 若且，则，，故， 由抛物线定义知，，， 由，所以， 所以， 当且仅当，即时等号成立， 所以的最小值为.    18．（2024·全国·模拟预测）已知双曲线的左焦点为，若双曲线右支上存在点满足（为坐标原点），则双曲线的离心率的取值范围是 ． 【答案】 【解析】设，则， 则， 令， 则在上单调递增，所以当时，， 要使双曲线右支上存在点满足，则. 故，即，又因为，所以双曲线的离心率的取值范围是． 19．（24-25高二上·湖南·期中）已知为抛物线上的任意一点，为其焦点，为圆上的一点，则的最小值为 、 【答案】 【解析】由题意得，取点，设圆的圆心为， 则，所以，又因为， 所以，则， . ，即求得最小值， 设，则， 令. 当时，，即的最小值为.    20．（24-25高二上·福建福州·期中）平面内点满足，其中、，且，则的面积为 . 【答案】 【解析】设，，，则， 由余弦定理可得 ， 所以，可得，所以，， 因为，则，故. 21．（24-25高二上·山东·期中）嫁接是一种营养生殖方式，是植物的人工繁殖方法之一，即把一株植物的枝或芽接在另一株植物的茎或根上，使接在一起的两个部分长成一个完整的植株.已知某段圆柱形的树枝通过利用刀具进行斜辟，形成两个椭圆形截面，如图所示，其中，分别为两个微面椭圆的长轴，且A，C，B，D都位于圆柱的同一个轴微面上，是圆柱微面圆的一条直径，设上、下两个截面椭圆的离心率分别为，，若，，则的值是 . 【答案】 【解析】由题意可知，， 不妨设，则，，，如下图所示： 所以上、下截面椭圆的离心率分别为，， 所以. 22．（2024·胜利一中模拟预测）早在一千多年之前，我国已经把溢流孔技术用于造桥，以减轻桥身重量和水流对桥身的冲击，现设桥拱上有如图所示的4个溢流孔，桥拱和溢流孔轮廓线均为抛物线的一部分，且四个溢流孔轮廓线相同，建立如图所示的平面直角坐标系Oxy，根据图上尺寸，溢流孔ABC所在抛物线的方程为________，溢流孔与桥拱交点A的横坐标为________． 【答案】(x－14)2＝－y　 【解析】设桥拱所在抛物线方程为x2＝－2py，由图可知，曲线经过(20，－5)， 代入方程得202＝－2p×(－5)，解得p＝40， 所以桥拱所在抛物线方程为x2＝－80y. 四个溢流孔轮廓线相同，所以从右往左看， 设第一个抛物线C1：(x－14)2＝－2p′y， 由图知抛物线C1经过点A(20，－5)， 则(20－14)2＝－2p′×(－5)，解得p′＝， 所以C1：(x－14)2＝－y. 点A即桥拱所在抛物线x2＝－80y与 C1：(x－14)2＝－y的交点坐标， 设A(x，y)，7<x<14， 由解得x＝. 所以点A的横坐标为. 23．(2024·江苏七市调研)“康威圆定理”是英国数学家约翰·康威引以为豪的研究成果之一．定理的内容是这样的：如图，△ABC的三条边长分别为BC＝a，AC＝b，AB＝c.延长线段CA至点A1，使得AA1＝a，以此类推得到点A2，B1，B2，C1和C2，那么这六个点共圆，这个圆称为康威圆．已知a＝4，b＝3，c＝5，则由△ABC生成的康威圆的半径为________． 【答案】 【解析】设M是圆心，因为|A1C2|＝|A2B1|＝|B2C1|，因此点M到直线AB，BC，CA的距离相等，从而M是Rt△ABC的内心，作MN⊥AC于N，连接MC2， 则|MN|＝|CN|＝＝1，|NC2|＝1＋5＝6， 所以|MC2|＝＝. 24．(2024·苏州模拟)如图，一个酒杯的内壁的轴截面是抛物线的一部分，杯口宽4 cm，杯深8 cm，称为抛物线酒杯．①在杯口放一个表面积为36π cm2的玻璃球，则球面上的点到杯底的最小距离为________ cm；②在杯内放入一个小的玻璃球，要使球触及酒杯底部，则玻璃球的半径的取值范围为________(单位：cm)． 【答案】6　 【解析】因为杯口放一个表面积为36π cm2的玻璃球，所以球的半径为3 cm， 又因为杯口宽4 cm， 所以如图1所示，|AB|＝4，|C1A|＝|C1B|＝3，C1D⊥AB， 所以|AD|＝|BD|＝2， 所以|C1D|＝＝＝1， 所以|DE|＝2， 又因为杯深8 cm，即|OD|＝8， 故最小距离为|OD|－|DE|＝6， 如图1所示，建立直角坐标系，易知B(2，8)，设抛物线的方程为y＝mx2， 所以将B(2，8)代入，得m＝1，故抛物线方程为y＝x2， 　　　 图1　　　　　　　　　　 图2 当杯内放入一个小的玻璃球，要使球触及酒杯底部，如图2，设玻璃球轴截面所在圆的方程为x2＋(y－r)2＝r2， 依题意，需满足抛物线上的点到圆心的距离大于等于半径恒成立，即≥r， 则有x2(x2＋1－2r)≥0恒成立， 解得1－2r≥0，可得0<r≤. 所以玻璃球的半径的取值范围为 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 压轴专题09 圆锥曲线压轴小题突破 目录 1 2 一．圆锥曲线与向量、圆等知识的交汇问题 2 二．圆锥曲线与三角形“四心”问题 3 三．圆锥曲线在生活中的应用 4 5 一．椭圆的焦点三角形 椭圆上的点P(x0，y0)与两焦点构成的△PF1F2叫作焦点三角形，如图所示，设∠F1PF2＝θ， (1)△PF1F2周长为2a＋2c； (2)|PF1|max＝a＋c，|PF1|min＝a－c； (3)S△F1PF2＝|PF1||PF2|sin θ＝b2tan ＝c|y0|，当|y0|＝b，即点P的位置为短轴端点时，S△F1PF2取最大值，最大值为bc. (4)|PF1|·|PF2|≤＝a2. (5)4c2＝|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1||PF2|cos θ. 2． 双曲线的有关结论 1.离心率e＝＝，e越大，双曲线的“张口”越大. 2.双曲线的焦点到渐近线的距离为b，顶点到渐近线的距离为. 3.同支的焦点弦中最短的为通径，其长为；异支的焦点弦中最短的为实轴，其长为2a. 4.若P是双曲线右支上一点，F1，F2分别为双曲线的左、右焦点，则|PF1|min＝c＋a，|PF2|min＝c－a. 5.焦点三角形的面积：P为双曲线上的点，F1，F2为双曲线的两个焦点，且∠F1PF2＝θ，则△F1PF2的面积为. 6.若渐近线方程为y＝±x，则双曲线方程可设为－＝λ(λ≠0). 7.等轴双曲线⇔e＝⇔渐近线为y＝±x⇔方程x2－y2＝λ(λ≠0). 三．抛物线的有关结论 1.通径：过焦点且垂直于对称轴的弦长等于2p，通径是过焦点最短的弦. 2.抛物线y2＝2px(p>0)上一点P(x0，y0)到焦点F的距离|PF|＝x0＋，也称为抛物线的焦半径. 3.过抛物线y2＝2px(p>0)的焦点的直线交抛物线于A，B两点，则|AB|＝x1＋x2＋p，也称为抛物线的焦点弦. 4.抛物线定义中，如果定点F在直线l上，此时动点的轨迹为过点F且与l垂直的直线. 5.不同的方程中，焦半径公式、焦点弦公式也不相同. 四．解决和圆锥曲线有关的实际问题的思路(数学抽象) (1)通过数学抽象，找出实际问题中涉及的圆锥曲线，将原问题转化为数学问题． (2)确定圆锥曲线的位置及要素，并利用圆锥曲线的方程或几何性质求出数学问题的解． (3)用解得的结果说明原来的实际问题． 1． 圆锥曲线与向量、圆等知识的交汇问题 【例1】（2024·四川成都·三模）已知椭圆的左，右焦点分别是，，点是椭圆上一点，满足，若以点为圆心，为半径的圆与圆，圆都内切，其中，则椭圆的离心率为（    ） A． B． C． D． 【例2】（24-25高三上·湖南长沙·阶段练习）已知､分别为椭圆：的左､右顶点，为椭圆上一动点，，与直线交于，两点，与的外接圆的周长分别为，，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 对点训练 1.（2024·广东深圳·二模）、分别为双曲线的左、右焦点，过的直线与的左、右两支曲线分别交于、两点，若，则（    ） A． B． C． D． 2.（2024·山东德州·二模）已知椭圆的左、右焦点分别为、，点在椭圆上，点是圆关于直线对称的曲线上任意一点，若的最小值为，则下列说法正确的是（    ）． A．椭圆的焦距为2 B．曲线过点的切线斜率为 C．若、为椭圆上关于原点对称的异于顶点和点的两点，则直线与斜率之积为 D．的最小值为2 2． 圆锥曲线与三角形“四心”问题 【例3】（2024·四川成都·三模）已知双曲线（，）的左，右焦点分别是，，点是双曲线右支上异于顶点的点，点在直线上，且满足，.若，则双曲线的离心率为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【例4】（24-25高三下·江苏·阶段练习）过抛物线上点M作抛物线的两条切线，，切点分别为P，Q，若的重心为，则 . 对点训练 1．（24-25高三上·浙江·阶段练习）已知，，是第一象限内的点，且满足，若是的内心，是的重心，记与的面积分别为，，则（    ） A． B． C． D．与大小不确定 2．平面直角坐标系中，双曲线的渐近线与抛物线交于点.若的垂心为的焦点，则的离心率为 3． 圆锥曲线在生活中的应用 【例5】(2024·湛江质检)根据圆锥曲线的光学性质：从双曲线的一个焦点发出的光线，经双曲线反射后，反射光线的反向延长线过双曲线的另一个焦点．由此可得，过双曲线上任意一点的切线，平分该点与两焦点连线的夹角．请解决下面问题：已知F1，F2分别是双曲线C：x2－＝1的左、右焦点，若从点F2发出的光线经双曲线右支上的点A(x0,2)反射后，反射光线为射线AM，则∠F2AM的角平分线所在的直线的斜率为(　　) A．－ B．－ C. D. 【例6】（2024·莆田华侨中学模拟预测）第24届冬奥会，是中国历史上第一次举办的冬季奥运会，国家体育场(鸟巢)成为北京冬奥会开、闭幕式的场馆．国家体育场“鸟巢”的钢结构鸟瞰图如图1，内外两圈的钢骨架是离心率相同的椭圆，若由外层椭圆长轴一端点A和短轴一端点B分别向内层椭圆引切线AC，BD(如图2)，且两切线斜率之积等于－，则椭圆的离心率为(　　) 图1　　　　　　　　　图2 A. B. C. D. 【解题技巧】圆锥曲线的光学性质、新定义问题、圆锥曲线的应用等内容在高考占一席之地．研究圆锥曲线的光学性质、新定义问题、圆锥曲线的应用等相关问题，体现出数学的应用性． 对点训练 1.（2024·德州市教育科学研究院二模）如图所示，椭圆有这样的光学性质：从椭圆的一个焦点出发的光线，经椭圆反射后，反射光线经过椭圆的另一个焦点．根据椭圆的光学性质解决下题：已知曲线C的方程为x2＋4y2＝4，其左、右焦点分别是F1，F2，直线l与椭圆C切于点P，且|PF1|＝1，过点P且与直线l垂直的直线l′与椭圆长轴交于点M，则|F1M|∶|F2M|等于(　　) A.∶ B．1∶ C．1∶3 D．1∶ 2.（2024·东北育才学校二模）一个工业凹槽的轴截面是双曲线的一部分，它的方程是y2－x2＝1，y∈[1,10]，在凹槽内放入一个清洁钢球(规则的球体)，要求清洁钢球能擦净凹槽的最底部，则清洁钢球的最大半径为(　　) A．1 B．2 C．3 D．2.5 1．(2024·遵义模拟)双曲线－＝1上一点P到右焦点F2的距离为6，F1为左焦点，则∠F1PF2的角平分线与x轴交点坐标为(　　) A．(－1,0) B．(0,0) C．(1,0) D．(2,0) 2．（2024·芜湖市教育局模拟预测）天文学家开普勒的行星运动定律可表述为：绕同一中心天体的所有行星的椭圆轨道的长半轴a的三次方跟它的公转周期T的二次方的比值都相等，即＝k，k＝，其中M为中心天体质量，G为引力常量，已知地球绕以太阳为中心天体的椭圆轨道的长半轴长约为1.5亿千米，地球的公转周期为1年，距离太阳最远的冥王星绕以太阳为中心天体的椭圆轨道的长半轴长约为60亿千米，取≈3.1，则冥王星的公转周期约为(　　) A．157年 B．220年 C．248年 D．256年 3．(2024·东三省四市联考)已知直线x＋y＝a与圆x2＋y2＝4交于A，B两点，O为坐标原点，|＋|＝·|－|，则实数a的值为(　　) A．±2 B．± C．± D．± 4．(2024·郑州模拟)已知A，B是椭圆＋＝1(a>b>0)长轴的两个端点，P，Q是椭圆上关于x轴对称的两点，直线AP，BQ的斜率分别为k1，k2(k1k2≠0)．若椭圆的离心率为，则|k1|＋|k2|的最小值为(　　) A．1 B. C. D. 5．（2024·山东枣庄·一模）已知在平面直角坐标系Oxy中，点F1，F2分别为双曲线C：－y2＝1(a>0)的左、右焦点，点M在双曲线C的左支上，MF2与双曲线C的一条渐近线交于点D，且D为MF2的中点，点I为△OMF2的外心，若O，I，D三点共线，则双曲线C的离心率为(　　) A. B．3 C. D．5 6．（24-25高二上·河南·期中）已知是椭圆的一个焦点，是的上顶点，BF的延长线交于点，若，则的离心率是（    ） A． B． C． D． 7．（24-25高二上·山西晋城·期中）已知双曲线：（，）的左、右焦点分别为，，以为直径的圆和的渐近线在第一象限交于点，若与另一条渐近线平行，则双曲线的渐近线方程为（   ） A． B． C． D． 8．（24-25高二上·黑龙江·期中）已知椭圆与双曲线有公共的焦点、，是和的一个公共点，则（   ） A． B． C． D． 4．（2024高三·全国·专题练习）已知抛物线的焦点为，其准线与轴的交点为，过的直线交该抛物线于两点，且，，则（    ） A．1 B． C．2 D．4 9．（24-25高二上·河北石家庄·期中）如图所示，点F是抛物线的焦点，点A，B分别在抛物线及圆的实线部分上运动，且AB总是平行于x轴，则的周长的取值范围是（   ） A． B． C． D． 10．(2022·济南联考)已知双曲线－＝1(a>0，b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，以OF1为直径的圆与双曲线的一条渐近线交于点M(异于坐标原点O)，若线段MF1交双曲线于点P，且MF2∥OP，则该双曲线的离心率为(　　) A. B. C. D. 11．（2022·南京市天印高级中学模拟预测）已知抛物线C：y2＝8x的焦点为F，P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，P3(x3，y3)为抛物线C上的三个动点，其中x1<x2<x3且y2<0，若F为△P1P2P3的重心，记△P1P2P3三边P1P2，P1P3，P2P3的中点到抛物线C的准线的距离分别为d1，d2，d3，且满足d1＋d3＝2d2，则P1P3所在直线的斜率为(　　) A．1 B. C．2 D．3 12．（多选）已知为坐标原点，经过点且斜率为的直线与双曲线相交于不同的两点，，则（       ） A．若时，则 B．对任意的，存在直线使得 C．对任意的，存在直线使得 D．对任意的，存在直线使得 13.（多选）（2022·山东临沂·三模）2022年4月16日9时56分，神舟十三号返回舱成功着陆，返回舱是宇航员返回地球的座舱，返回舱的轴截面可近似看作是由半圆和半椭圆组成的“曲圆”，如图在平面直角坐标系中半圆的圆心在坐标原点，半圆所在的圆过椭圆的焦点，椭圆的短轴与半圆的直径重合，下半圆与y轴交于点G．若过原点O的直线与上半椭圆交于点A，与下半圆交于点B，则（       ） A．椭圆的长轴长为 B．线段AB长度的取值范围是 C．面积的最小值是4 D．的周长为 14．(多选)(2022·沧州模拟)设F1，F2同时为椭圆C1：＋＝1(a>b>0)与双曲线C2：－＝1(a1>0，b1>0)的左、右焦点，设椭圆C1与双曲线C2在第一象限内交于点M，椭圆C1与双曲线C2的离心率分别为e1，e2，O为坐标原点，若(　　) A．|F1F2|＝2|MO|，则＋＝ B．|F1F2|＝2|MO|，则＋＝2 C．|F1F2|＝4|MF2|，则e1e2的取值范围是 D．|F1F2|＝4|MF2|，则e1e2的取值范围是 15．(2022·株州模拟)已知双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的右顶点、右焦点分别为A，F，过点A的直线l与C的一条渐近线交于点Q，直线QF与C的一个交点为B，·＝·，且＝4，则双曲线的离心率e为________． 16．（24-25高二上·重庆·期中）已知抛物线，准线为l，过的直线交抛物线于A，B两点，AP垂直l于点P，点C满足，则的最小值为 . 17．（2024·全国·模拟预测）已知双曲线的左焦点为，若双曲线右支上存在点满足（为坐标原点），则双曲线的离心率的取值范围是 ． 18．（24-25高二上·湖南·期中）已知为抛物线上的任意一点，为其焦点，为圆上的一点，则的最小值为 、 19．（24-25高二上·福建福州·期中）平面内点满足，其中、，且，则的面积为 . 20．（24-25高二上·山东·期中）嫁接是一种营养生殖方式，是植物的人工繁殖方法之一，即把一株植物的枝或芽接在另一株植物的茎或根上，使接在一起的两个部分长成一个完整的植株.已知某段圆柱形的树枝通过利用刀具进行斜辟，形成两个椭圆形截面，如图所示，其中，分别为两个微面椭圆的长轴，且A，C，B，D都位于圆柱的同一个轴微面上，是圆柱微面圆的一条直径，设上、下两个截面椭圆的离心率分别为，，若，，则的值是 . 21．（2024·胜利一中模拟预测）早在一千多年之前，我国已经把溢流孔技术用于造桥，以减轻桥身重量和水流对桥身的冲击，现设桥拱上有如图所示的4个溢流孔，桥拱和溢流孔轮廓线均为抛物线的一部分，且四个溢流孔轮廓线相同，建立如图所示的平面直角坐标系Oxy，根据图上尺寸，溢流孔ABC所在抛物线的方程为________，溢流孔与桥拱交点A的横坐标为________． 22．(2024·江苏七市调研)“康威圆定理”是英国数学家约翰·康威引以为豪的研究成果之一．定理的内容是这样的：如图，△ABC的三条边长分别为BC＝a，AC＝b，AB＝c.延长线段CA至点A1，使得AA1＝a，以此类推得到点A2，B1，B2，C1和C2，那么这六个点共圆，这个圆称为康威圆．已知a＝4，b＝3，c＝5，则由△ABC生成的康威圆的半径为________． 23．(2024·苏州模拟)如图，一个酒杯的内壁的轴截面是抛物线的一部分，杯口宽4 cm，杯深8 cm，称为抛物线酒杯．①在杯口放一个表面积为36π cm2的玻璃球，则球面上的点到杯底的最小距离为________ cm；②在杯内放入一个小的玻璃球，要使球触及酒杯底部，则玻璃球的半径的取值范围为________(单位：cm)． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$