第五章一元一次方程（单元重点综合测试B卷，北师大版2024）-2024-2025学年七年级数学上册单元速记•巧练（陕西专用）

第五章 一元一次方程（单元重点综合测试B卷） （考试时间：120分钟；满分：120分） 姓名___________ 班级_________ 考号_______________________ 一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 一、单选题 1．下列式子中，是方程的是（   ） A． B． C． D． 2．根据等式的基本性质，下列变形正确的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 3．已知是方程的解，则的值是（   ） A．3 B．2 C． D． 4．关于x的一元一次方程的解为，则的值为（　　） A．3 B．2 C．1 D．0 5．如图是一个正方体表面的展开图，若正方体相对的面上的数字互为相反数，则的值为（   ） A．2 B． C．4 D． 6．整理一批图书，由一个人做要小时完成，现在计划由一部分人先做小时，再增加人和他们一起做小时，完成这项工作的，假设每个人的工作效率相同，具体先安排人工作，则列方程正确的是（   ） A． B． C． D． 7．周末，小朵陪妈妈一起去看电影，因为她进得早，离电影开场还有一段时间，她便在6号厅仔细看了一下，发现6号厅的座位设置有一定规律，部分数据如表所示： 排数x 1 2 3 … 座位数y 26 29 32 … 小朵数了一下自己和妈妈所在那一排的座位数，恰好是38个座位，则小朵和妈妈所在的排数是（    ） A．5 B．7 C．8 D．9 8．如图1所示的是某月的月历，嘉淇用“”字形框在月历上框出四个数字，将该“”字形框上下左右移动，且一定要框住月历中的四个日期．若四个日期如图2所示，则关于m，n的值分别为（    ） A． B． C． D． 二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分）请把答案直接填写在横线上 9．在①，②，③，④中，是一元一次方程的有 个． 10．数轴上A､B两点表示的数分别是和1，点C到点A的距离是点C到点B的距离的2倍，则点C表示的数是 ． 11．《九章算术》是我国古代的一本数学专著，共收有246个数学问题，分为九章．其中记载了这样一个数学问题：今有甲发长安，五日至齐，乙发齐，七日至长安．今乙发已先二日，甲仍发长安．同几何日相逢？译文：甲从长安出发，5日到齐国．乙从齐国出发，7日到长安，现乙先出发2日，甲才从长安出发．问甲经过多少日与乙相逢？设甲经过x日与乙相逢，可列方程为 ． 12．一张宽的长方形纸条有蓝色和白色两面，小颖折该纸条得到如图所示的图形，已知图中四个蓝色的梯形是一模一样的，则原来的长方形纸条长度为 ．      13．如图，长方形中，，．点从点出发，沿匀速运动；点从点出发，沿的路径匀速运动．两点同时出发，在点处首次相遇后，点的运动速度每秒提高了，并沿的路径匀速运动；点保持速度不变，继续沿原路径匀速运动．某一时刻两点在长方形某一边上的点处第二次相遇．若点的速度为．在点相遇后、两点沿原来的方向继续前进．又经历了99次相遇后停止运动，此时两点停在长方形边上的 处． 三、解答题（本大题共13小题，共81分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 14．（5分）解方程： 15．（5分）解方程：． 16．（5分）如图，若要使得图中平面展开图折叠成正方体后，相对面上的两个数之和为5，求的值．    17．（5分）当x取何值时，代数式与的值互为相反数？ 18．（5分）小慧解方程的过程如下： 解：去分母，得…① 去括号，得…② 移项，得…③ 合并同类项，得…④ 两边同除以，得…⑤ (1)小慧从第_______步开始出现错误． (2)请写出正确的解答过程． 19．（5分）随着科技的发展，人工智能已经应用于多个行业．某电器商场销售一款智能扫地机器人，若将该款扫地机器人按成本价提高后标价，再打八折销售，售价为4160元．售出该款扫地机器人一个是盈利还是亏损？盈利或亏损多少元？（列一元一次方程解） 20．（5分）古代劳动人民在实际生活中有这样一个问题：“耠（huō）子耧（lóu）六十三，百根腿地里钻，两者各几何？”其大意为：耠子和耧共有63个，共有100条腿，问有多少个耠子，多少个耧？（已知一个耠子有一条腿，一个耧有两条腿） 21．（6分）12月4日为全国法制宣传日，阳光中学组织4名学生参加法制知识竞赛，共设20道选择题，各题分值相同，每题必答，如表记录了其中2名参赛学生的得分情况．根据以下信息，请你解答下列问题： 参赛者 答对题数 答错题数 得分 小宇 20 0 100 小辰 16 4 72 (1)答对一题得________分，答错一题得________分； (2)若参赛学生小浩得了65分，他答对了几道题？答错了几道题？ 22．（7分）已知，． (1)当时，求x的值； (2)当A与B互为相反数时，求x的值． 23．（7分）布鲁纳的发现学习论认为学习是一个积极主动的过程，学习者不是被动接受知识，而是主动的获取知识．某个班级的数学探究活动课上，主持人给出了下列的探究任务． 任务一：自主探究 定义：若，则称与是关于整数的“平衡数”；比如3与是关于的“平衡数”，2与8是关于10的“平衡数”． （1）填空：与8是关于______的“平衡数”． 任务二：合作交流 （2）现有与（为常数），且与始终是整数的“平衡数”，与取值无关，求的值． 24．（8分）将连续的奇数1，3，5，7，9…排成如图所示的数表，记表示第行第个数，如，表示第3行第2个数是27． (1) ． (2)若将数表中的字形框上下左右移动，当字形框中的四个数之和等于288时，求出四个数中的最大数． (3)用含的代数式表示 ． 25．（8分）如图，甲、乙两个长方体容器放置在同一水平桌面上，容器甲的底面积为，高为；容器乙的底面积为，高为．容器甲中盛满水，容器乙中没有水，现从容器甲向容器乙匀速注水，每分钟注水．    (1)容器甲中水位的高度每分钟下降______，容器乙中水位的高度每分钟上升______； (2)从容器甲开始注水起，经过多长时间，两个容器中水位的高度相差? 26．（10分）【综合探究】：如图1，一副三角板如图所示放置在直线上，，，，．三角板的顶点与另一个三角板的顶点重合在点O处，三角板的边与直线重合，三角板其它的边都在直线的上方． 【实践探究】： （1）如图2，若三角板不动，将三角板绕点O以每秒的速度按顺时针方向旋转一周，经过t秒时，三角板的边恰好分． ①此时_____秒； ②此时___________； 【解决问题】： （2）如图2，在（1）的条件下，边恰好平分时，同一时刻三角板开始也绕点O以每秒的速度按相同方向旋转，那么再经过多长时间边与边第一次重合？（如图3）请说明理由； 【拓展研究】： （3）如图3，在（2）的条件下，当边与边第一次重合时，两个三角板同时按顺时针方向再次转动一周后停止，请问两个三角板再次转动后，经过多少秒，边恰好平分？请说明理由． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！18 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第五章 一元一次方程（单元重点综合测试B卷） （考试时间：120分钟；满分：120分） 姓名___________ 班级_________ 考号_______________________ 一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 一、单选题 1．下列式子中，是方程的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】判断各式是否是方程 【分析】本题主要考查了方程的定义，“含有未知数的等式叫做方程”，据此可得答案． 【详解】解：根据方程的定义可知，四个选项中只有D选项中的式子是方程， 故选：D． 2．根据等式的基本性质，下列变形正确的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】D 【知识点】等式的性质1、等式的性质2 【分析】本题主要考查等式的性质，掌握等式的性质是解题的关键． 根据等式的性质“等式两边同时加上或减去同一个整式，等式仍然成立；等式两边同时乘以或除以同一个不为0的整式，等式仍然成立；等式两边同时乘方或开方，等式依然成立；”进行判定即可求解． 【详解】解：A、若，则，原变形错误，故本选项不符合题意． B、若，则，原变形错误，故本选项不符合题意． C、若，当不为时，则，原变形错误，故本选项不符合题意． D、若，则，变形正确，故本选项符合题意． 故选：D． 3．已知是方程的解，则的值是（   ） A．3 B．2 C． D． 【答案】C 【知识点】已知方程的解，求参数 【分析】本题考查一元一次方程的解，把代入得到，解方程即可． 【详解】解：把代入得， 解得， 故选：C． 4．关于x的一元一次方程的解为，则的值为（　　） A．3 B．2 C．1 D．0 【答案】C 【知识点】解一元一次方程（一）——合并同类项与移项、已知方程的解，求参数 【分析】本题考查了一元一次方程的定义，解一元一次方程和一元一次方程的解，能求出a、m的值是解此题的关键． 先根据一元一次方程的定义得出，求出a，再把代入方程得出，求出m的值，然后代入求解即可． 【详解】解：∵关于x的方程是一元一次方程 ∴ 解得 ∴方程为 将代入方程得 解得 ∴． 故选：C． 5．如图是一个正方体表面的展开图，若正方体相对的面上的数字互为相反数，则的值为（   ） A．2 B． C．4 D． 【答案】A 【知识点】正方体相对两面上的字、解一元一次方程（一）——合并同类项与移项、相反数的定义 【分析】根据展开图中隔一相对的原则，得到解答即可． 本题考查了正方体展开图中的相对数字问题，相反数，一元一次方程，熟练掌握展开图的意义是解题的关键． 【详解】解：根据题意，得6和相对，和相对， 故， 解得， 故选：A． 6．整理一批图书，由一个人做要小时完成，现在计划由一部分人先做小时，再增加人和他们一起做小时，完成这项工作的，假设每个人的工作效率相同，具体先安排人工作，则列方程正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】工程问题(一元一次方程的应用) 【分析】本题主要考查由实际问题抽象出一元一次方程，准确理解题意是解题的关键．根据题中等量关系列出方程即可． 【详解】解：设应先安排人工作， 根据题意得：一个人做要小时完成，现在计划由一部分人先做小时，工作量为，再增加人和他们一起做小时的工作量为， 故可列式， 故选：B． 7．周末，小朵陪妈妈一起去看电影，因为她进得早，离电影开场还有一段时间，她便在6号厅仔细看了一下，发现6号厅的座位设置有一定规律，部分数据如表所示： 排数x 1 2 3 … 座位数y 26 29 32 … 小朵数了一下自己和妈妈所在那一排的座位数，恰好是38个座位，则小朵和妈妈所在的排数是（    ） A．5 B．7 C．8 D．9 【答案】A 【知识点】其他问题(一元一次方程的应用)、数字类规律探索 【分析】本题考查了规律型——数字变化类，列代数式，找出座位数排列规律是解题的关键．根据表格可知，每排座位都比前一排多3个，按此列出座位数与排数的关系式即可求解． 【详解】解：根据表格可知排数每增加一排，位数就增加3个， 第1排的座位为：个； 第2排的座位为：个； 第3排的座位为：个； …； 第n排的座位数为：， ∴， 解得． 故选：A． 8．如图1所示的是某月的月历，嘉淇用“”字形框在月历上框出四个数字，将该“”字形框上下左右移动，且一定要框住月历中的四个日期．若四个日期如图2所示，则关于m，n的值分别为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】日历问题(一元一次方程的应用) 【分析】本题考查一元一次方程的应用，根据图形，可以列出相应的方程，求出m、n的值，是解决问题的关键． 【详解】解：由图可知：，解得：， 则，解得：； 故选：C． 二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分）请把答案直接填写在横线上 9．在①，②，③，④中，是一元一次方程的有 个． 【答案】1 【知识点】一元一次方程的定义 【分析】本题主要考查了一元一次方程的定义，只含有1个未知数，且未知数的次数为1的整式方程叫做一元一次方程，据此可得答案． 【详解】解：①，没有未知数，不是一元一次方程； ②，是一元一次方程； ③，含有两个未知数，不是一元一次方程； ④，不是方程，不是一元一次方程； ∴一元一次方程只有1个， 故答案为：1． 10．数轴上A､B两点表示的数分别是和1，点C到点A的距离是点C到点B的距离的2倍，则点C表示的数是 ． 【答案】0或4/4或0 【知识点】几何问题(一元一次方程的应用)、数轴上两点之间的距离 【分析】本题考查数轴上两点间距离，一元一次方程的应用，解题的关键是掌握数轴上两点间中点公式．设点C表示的数为x，分两种情况：点在A、B两点之间，C在点B的右边时，分别列出方程，解方程即可． 【详解】解：设点C表示的数为x， 点C到点A的距离是点C到点B的距离的2倍， 点在A、B两点之间或点C在点B的右边， 当点在A、B两点之间时，， 解得：； 当C在点B的右边时，， 解得：； 综上分析可知：点C表示的数为0或4． 故答案为：0或4． 11．《九章算术》是我国古代的一本数学专著，共收有246个数学问题，分为九章．其中记载了这样一个数学问题：今有甲发长安，五日至齐，乙发齐，七日至长安．今乙发已先二日，甲仍发长安．同几何日相逢？译文：甲从长安出发，5日到齐国．乙从齐国出发，7日到长安，现乙先出发2日，甲才从长安出发．问甲经过多少日与乙相逢？设甲经过x日与乙相逢，可列方程为 ． 【答案】 【知识点】行程问题(一元一次方程的应用) 【分析】将总路程看作1，甲经过x日与乙相逢，则乙出发日，根据每日的路程和等于，列出方程，即可求解． 【详解】设甲经过x日与乙相逢，则乙出发日，根据题意得， ， 故答案为：． 12．一张宽的长方形纸条有蓝色和白色两面，小颖折该纸条得到如图所示的图形，已知图中四个蓝色的梯形是一模一样的，则原来的长方形纸条长度为 ．      【答案】65 【知识点】几何问题(一元一次方程的应用) 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，找到相等关系是解题的关键．根据“如图摆放时的长度为”列方程求解． 【详解】解：设蓝色梯形的上底为， 则， 解得：， ， 故答案为：65． 13．如图，长方形中，，．点从点出发，沿匀速运动；点从点出发，沿的路径匀速运动．两点同时出发，在点处首次相遇后，点的运动速度每秒提高了，并沿的路径匀速运动；点保持速度不变，继续沿原路径匀速运动．某一时刻两点在长方形某一边上的点处第二次相遇．若点的速度为．在点相遇后、两点沿原来的方向继续前进．又经历了99次相遇后停止运动，此时两点停在长方形边上的 处． 【答案】C 【知识点】行程问题(一元一次方程的应用) 【分析】此题主要考查一元一次方程的应用，根据题意可得点原来的速度为点的速度的一半，求出点P原来的速度； 设经过二者在E处第二次相遇，则，解方程求出相遇时间，再根据每次相遇移动的时间相等，故求出Q点从B开始移动100次后的路程，即可得到终点位置． 【详解】解：∵两点同时出发，在点处首次相遇后，， 点的速度为． ∴点原来的速度为点的速度的一半， ∴点原来的速度为， 设设经过后P、Q在点E第二次相遇相遇， 依题意得， 解得； ∴Q点从B点经过秒到达E点， ∴经过的路程为， ∵， ∴， ∴E点在上，； ∵每次相遇时，P、Q所走的路程之和为长方形的周长，且P、Q速度保持不变， ∴每个相遇的移动时间为秒， ∴Q点移动从B出发，经过100次后的路程为， ， 故Q点移动41圈，又走， ∴由长方形边长可知，点Q在C处， ∴两点停在长方形边上的C处， 故答案为：C． 三、解答题（本大题共13小题，共81分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 14．（5分）解方程： 【答案】 【知识点】解一元一次方程（二）——去括号 【分析】本题考查解一元二次方程．去括号，移项，合并同类项，系数化1，进行求解即可． 【详解】解：去括号，得， 移项，得， 合并同类项，得 系数化为1，得． 15．（5分）解方程：． 【答案】 【知识点】解一元一次方程（三）——去分母 【分析】本题考查解一元一次方程．掌握解一元一次方程的步骤是解题关键．根据解一元一次方程的步骤“去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化为”求解即可． 【详解】解：去分母得：， 去括号得：， 移项得：， 合并得：， 系数化为得：． 16．（5分）如图，若要使得图中平面展开图折叠成正方体后，相对面上的两个数之和为5，求的值．    【答案】． 【知识点】正方体相对两面上的字、解一元一次方程（一）——合并同类项与移项 【分析】根据正方体的表面展开图的特点，由相对面上的两个数之和为5，分别求得x、y、z的值，即可求解． 【详解】解：根据正方体的展开图的特点，x与10相对，y与-2相对，z与3相对， 由题意，， 解得：， ∴， 【点睛】本题考查正方体的展开图、解一元一次方程，熟知正方体展开图的特点，得出x、y、z相对的面是解答的关键． 17．（5分）当x取何值时，代数式与的值互为相反数？ 【答案】 【知识点】解一元一次方程（一）——合并同类项与移项、相反数的定义 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，相反数的定义，掌握互为相反数的两数之和为0是解题关键．根据相反数的定义列出方程，求解即可得到x的值． 【详解】解：代数式与的值互为相反数， ， 解得：． 18．（5分）小慧解方程的过程如下： 解：去分母，得…① 去括号，得…② 移项，得…③ 合并同类项，得…④ 两边同除以，得…⑤ (1)小慧从第_______步开始出现错误． (2)请写出正确的解答过程． 【答案】(1)① (2)见解析 【知识点】解一元一次方程（三）——去分母、等式的性质 【分析】（1）根据等式的性质判断即可． （2）去分母，去括号，移项，合并同类型，系数化为即可． 【详解】（1）①． （2）， 去分母，得， 去括号，得， 移项，得， 合并同类项，得， 两边同除以，得 【点睛】本题主要考查了解一元一次方程，能正确根据等式的性质进行变形是解此题的关键． 19．（5分）随着科技的发展，人工智能已经应用于多个行业．某电器商场销售一款智能扫地机器人，若将该款扫地机器人按成本价提高后标价，再打八折销售，售价为4160元．售出该款扫地机器人一个是盈利还是亏损？盈利或亏损多少元？（列一元一次方程解） 【答案】盈利160元 【知识点】销售盈亏(一元一次方程的应用) 【分析】本题主要考查了一元一次方程的应用，根据题意求出成本价是解题的关键．设该款扫地机器人的成本价是元，根据将该款扫地机器人按成本价提高后标价，再打八折销售，售价为4160元，列出方程，解方程得出成本价为4000元，然后求出结果即可． 【详解】解：设该款扫地机器人的成本价是元， 根据题意，得， 整理，得， 解得， ， （元）， 答：售出该款扫地机器人一个是盈利，盈利160元． 20．（5分）古代劳动人民在实际生活中有这样一个问题：“耠（huō）子耧（lóu）六十三，百根腿地里钻，两者各几何？”其大意为：耠子和耧共有63个，共有100条腿，问有多少个耠子，多少个耧？（已知一个耠子有一条腿，一个耧有两条腿） 【答案】有26个粘子，37个楼 【知识点】其他问题(一元一次方程的应用) 【分析】题目主要考查一元一次方程的应用，设耠子有x个，则耧有 个，根据题意列出方程求解即可． 【详解】解：设耠子有x个，则耧有 个， 根据题意可得， 解得， ， 答：有26个耠子，37个楼． 21．（6分）12月4日为全国法制宣传日，阳光中学组织4名学生参加法制知识竞赛，共设20道选择题，各题分值相同，每题必答，如表记录了其中2名参赛学生的得分情况． 参赛者 答对题数 答错题数 得分 小宇 20 0 100 小辰 16 4 72 根据以上信息，请你解答下列问题： (1)答对一题得________分，答错一题得________分； (2)若参赛学生小浩得了65分，他答对了几道题？答错了几道题？ 【答案】(1)5， (2)答对了15道题，答错了5道题 【知识点】比赛积分(一元一次方程的应用) 【分析】此题考查的是一元一次方程的应用，根据题意列方程求解是解题的关键； （1）根据表格中小宇答对20道得100分可求出答对一道的得分，再根据小辰的答题得分情况即可求出答错一题的得分； （2）设参赛学生答对了x道题，则答错了道题，根据题意列一元一次方程求解即可． 【详解】（1）解：由表格知：答对一题得分，答错一题得分， 故答案为：5，； （2）解：设参赛学生小浩答对了道题，则答错了道题， 根据题意，得：， 解得：， 答错了：道， 答：参赛学生小浩答对了15道题，答错了5道题． 22．（7分）已知，． (1)当时，求x的值； (2)当A与B互为相反数时，求x的值． 【答案】(1) (2) 【知识点】相反数的定义、解一元一次方程（一）——合并同类项与移项、解一元一次方程（三）——去分母 【分析】本题主要考查了解一元一次方程，相反数的定义： （1）根据题意可得方程，解方程即可得到答案； （2）根据互为相反数的两个数的和为0得到，解方程即可得到答案． 【详解】（1）解；∵，， ∴， ∴， 解得． （2）解：∵，，A与B互为相反数， ∴， ∴， 解得． 23．（7分）布鲁纳的发现学习论认为学习是一个积极主动的过程，学习者不是被动接受知识，而是主动的获取知识．某个班级的数学探究活动课上，主持人给出了下列的探究任务． 任务一：自主探究 定义：若，则称与是关于整数的“平衡数”；比如3与是关于的“平衡数”，2与8是关于10的“平衡数”． （1）填空：与8是关于______的“平衡数”． 任务二：合作交流 （2）现有与（为常数），且与始终是整数的“平衡数”，与取值无关，求的值． 【答案】（1）2；（2）6 【知识点】一元一次方程解的综合应用、整式加减中的无关型问题 【分析】（1）根据“平衡数”的定义即可得到答案； （2）根据与的和与取值无关求出，再根据“平衡数”的定义求的值即可． 【详解】解：（1）∵， ∴根据题意，与8是关于2的“平衡数”． 故答案为：2 （2）∵，与取值无关， ∴， 解得， 此时， 即的值为6． 【点睛】此题是新定义运算题，主要考查了整式的加减，解一元一次方程等知识，读懂题意并正确计算是解题的关键． 24．（8分）将连续的奇数1，3，5，7，9…排成如图所示的数表，记表示第行第个数，如，表示第3行第2个数是27． (1) ． (2)若将数表中的字形框上下左右移动，当字形框中的四个数之和等于288时，求出四个数中的最大数． (3)用含的代数式表示 ． 【答案】(1)59 (2)81 (3) 【知识点】数字问题(一元一次方程的应用)、数字类规律探索 【分析】此题考查了数字类规律． （1）根据题意可得即可求出答案； （2）设四个数中最大的数是x，则另外三个数分别是，根据字形框中的四个数之和等于288列出方程，解方程即可得到答案； （3）根据题意可得表示第行第个数，即第个奇数，求出第个奇数即可． 【详解】（1）解：根据题意可得， 故答案为：； （2）设四个数中最大的数是x，则另外三个数分别是， 根据题意得到， 解得， 答：四个数中的最大数是； （3）根据题意可得表示第行第个数，即第个奇数， ∴ 故答案为： 25．（8分）如图，甲、乙两个长方体容器放置在同一水平桌面上，容器甲的底面积为，高为；容器乙的底面积为，高为．容器甲中盛满水，容器乙中没有水，现从容器甲向容器乙匀速注水，每分钟注水．    (1)容器甲中水位的高度每分钟下降______，容器乙中水位的高度每分钟上升______； (2)从容器甲开始注水起，经过多长时间，两个容器中水位的高度相差? 【答案】(1)； (2)分钟或8分钟 【知识点】几何问题(一元一次方程的应用) 【分析】本题考查了容积计算，一元一次方程的应用． (1)根据题意，，，计算即可． (2)设x分钟后，两容器中的水位差为，根据题意，，，分类计算即可． 【详解】（1）根据题意，，， 解得，， 故答案为：，． （2）设x分钟后，两容器中的水位差为，根据题意，，，当时， 解得； 当时， 解得； 故经过分钟或8分钟时，水位差为． 26．（10分）【综合探究】：如图1，一副三角板如图所示放置在直线上，，，，．三角板的顶点与另一个三角板的顶点重合在点O处，三角板的边与直线重合，三角板其它的边都在直线的上方． 【实践探究】： （1）如图2，若三角板不动，将三角板绕点O以每秒的速度按顺时针方向旋转一周，经过t秒时，三角板的边恰好分． ①此时_____秒； ②此时___________； 【解决问题】： （2）如图2，在（1）的条件下，边恰好平分时，同一时刻三角板开始也绕点O以每秒的速度按相同方向旋转，那么再经过多长时间边与边第一次重合？（如图3）请说明理由； 【拓展研究】： （3）如图3，在（2）的条件下，当边与边第一次重合时，两个三角板同时按顺时针方向再次转动一周后停止，请问两个三角板再次转动后，经过多少秒，边恰好平分？请说明理由． 【答案】（1）①5；②，；（2）秒，理由见解析；（3）经过或秒，边恰好平分，理由见解析 【知识点】角平分线的有关计算、角的单位与角度制、几何问题(一元一次方程的应用) 【分析】本题考查了角平分线，角度的转换，一元一次方程的应用．根据题意确定运动过程中的等量关系是解题的关键． （1）①根据，可得，计算求解即可；②由题意知，，计算求解，然后转换成分即可； （2）设再经过秒边与边第一次重合，则转过的角度为，转过的角度为，，依题意得，，计算求解即可； （3）由题意知，旋转一周用时秒，旋转一周用时秒，秒后停止旋转，继续旋转，由题意知，分停止旋转前，停止旋转后两种情况下，边恰好平分，依题意列方程，计算求解即可． 【详解】（1）①解：∵边恰好分， ∴， 依题意得，， 解得，， 故答案为：5； ②解：由题意知，， 故答案为：，； （2）解：再经过秒边与边第一次重合，理由如下： 设再经过秒边与边第一次重合，则转过的角度为，转过的角度为，， 依题意得，， 解得，， ∴再经过秒边与边第一次重合； （3）解：经过或秒，边恰好平分，理由如下： 由题意知，旋转一周用时秒，旋转一周用时秒， ∴秒后停止旋转，继续旋转， 由（2）可知，边与边第一次重合时，， 设经过秒后，边恰好平分， 由题意知，分停止旋转前，停止旋转后两种情况下，边恰好平分， 当停止旋转前，则转过的角度为，转过的角度为，恰好平分时，，如图4， 依题意得，， 解得 ，； 当停止旋转，则转过的角度为，转过的角度为，，，如图5， 依题意得，， 解得，； 综上所述，经过或秒，边恰好平分． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！18 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$