数学（上海卷01）-学易金卷：2025年高考第一次模拟考试

………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… 此卷只装订不密封 ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… … 学校：______________姓名：_____________班级：_______________考号：______________________ 2025年高考第一次模拟考试 高三数学（上海卷）01 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分） 1．已知全集，集合，则 ． 2．已知为虚数单位，复数，则复数的虚部为 ． 3．不等式的解集为 ． 4．已知函数，若，则实数 ． 5．已知，且在第二象限，则 ． 6．已知随机变量服从正态分布，若，则 ． 7．直线和的夹角为 ．（用反三角形式表示） 8．已知二项式的展开式中，前三项的二项式系数之和为37，则展开式中的第五项为 ． 9．在中，是边的中点.若，，，则 ． 10．已知抛物线的焦点为F，点P为抛物线上的动点，点M为其准线上的动点．若为边长是4的等边三角形，则此抛物线的方程为 ． 11．上海市奉贤区奉城镇的古建筑万佛阁（图1）的屋檐下常系挂风铃（图2），风吹铃动，悦耳清脆，亦称惊鸟铃，一般一个惊鸟铃由铜铸造而成，由铃身和铃舌组成，为了知道一个惊鸟铃的质量，可以通过计算该惊鸟铃的体积，然后由物理学知识计算出该惊鸟铃的质量，因此我们需要作出一些合理的假设： 假设1：铃身且可近似看作由一个较大的圆锥挖去一个较小的圆锥； 假设2：两圆锥的轴在同一条直线上； 假设3：铃身内部有一个挂铃舌的部位的体积忽略不计． 截面图如下（图3），其中，，，则制作个这样的惊鸟铃的铃身至少需要 千克铜．（铜的密度为）（结果精确到个位） 12．等差数列，，存在正整数，使得，，若集合有4个不同元素，则的可能取值有 个． 二、选择题(本题共有4题，满分18分，第13-14题每题4分，第15-16题每题5分；每题有且只有一个正确选项) 13．“”是“”的（    ） A．充分非必要条件 B．必要非充分条件 C．充要条件 D．非充分非必要条件 14．为了了解高一、高二、高三学生的身体状况，现用分层随机抽样的方法抽出一个容量为1200的样本，三个年级学生数之比依次为，已知高一年级共抽取了240人，则高三年级抽取的人数为（    ） A．240 B．300 C．360 D．400 15．如图，两个共底面的正四棱锥（底面ABCD是正方形，顶点E、F与正方形ABCD的中心的连线与底面ABCD垂直）组成一个八面体，且该八面体的各棱长均相等，则（   ） A．异面直线AE与BC所成的角为 B． C．平面平面CDF D．直线AE与平面BDE所成的角为 16．将曲线()与曲线()合成的曲线记作．设为实数，斜率为的直线与交于两点，为线段的中点，有下列两个结论：①存在，使得点的轨迹总落在某个椭圆上；②存在，使得点的轨迹总落在某条直线上，那么（    ）． A．①②均正确 B．①②均错误 C．①正确，②错误 D．①错误，②正确 三、解答题(本大题共有5题，满分78分，第17-19题每题14分，第20、21题每题18分.) 17．如图，在四棱锥中，底面是边长为1的正方形，，、分别是、的中点. (1)求证：平面； (2)若二面角的大小为，求直线与平面所成角的大小. 18．已知函数． (1)求函数的最小正周期和单调区间； (2)若关于的方程在上有两个不同的实数解，求实数的取值范围． 19．学校为了解学生对“公序良俗”的认知情况，设计了一份调查表，题目分为必答题和选答题．其中必答题是①、②、③共三道题，选答题为④、⑤、⑥、⑦、⑧、⑨、⑩共七道题，被调查者在选答题中自主选择其中道题目回答即可．现从④、⑥、⑧、⑩四个题目中至少选答一道的学生中随机抽取名学生进行调查，他们选答④、⑥、⑧、⑩的题目数及人数统计如表： 选答④、⑥、⑧、⑩的题目数 1道 2道 3道 4道 人数 (1)现规定：同时选答④、⑥、⑧、⑩的学生为“公序良俗”达人．学校还调查了这位学生的性别情况，研究男女生中“公序良俗”达人的大概比例，得到的数据如下表： 性别 “公序良俗”达人 非“公序良俗”达人 总计 男性 女性 总计 请完成上述列联表，并根据小概率值的独立性检验，分析“公序良俗”达人与性别是否有关． (2)从这名学生中任选名，记表示这名学生选答④、⑥、⑧、⑩的题目数之差的绝对值，求随机变量的分布和数学期望． 参考公式：，其中．附表见上图． 20．已知点在双曲线的一条渐近线上，为双曲线的左、右焦点且. (1)求双曲线的方程； (2)过点的直线与双曲线恰有一个公共点，求直线的方程； (3)过点的直线与双曲线左右两支分别交于点，求证：. 21．设函数的定义域为D，对于区间，当且仅当函数满足以下①②两个性质中的任意一个时，则称区间是的一个“美好区间”． 性质①：对于任意，都有；性质②：对于任意，都有． (1)已知，．分别判断区间和区间是否为函数的“美好区间”，并说明理由； (2)已知且，若区间是函数的一个“美好区间”，求实数的取值范围； (3)已知函数的定义域为，其图像是一条连续不断的曲线，且对于任意，都有．求证：函数存在“美好区间”，且存在，使得不属于函数的任意一个“美好区间”． 试题 第3页（共6页） 试题 第4页（共6页） 试题 第1页（共6页） 试题 第2页（共6页） 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2025年高考第一次模拟考试 高三数学（上海卷）01 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分） 1．已知全集，集合，则 ． 2．已知为虚数单位，复数，则复数的虚部为 ． 3．不等式的解集为 ． 4．已知函数，若，则实数 ． 5．已知，且在第二象限，则 ． 6．已知随机变量服从正态分布，若，则 ． 7．直线和的夹角为 ．（用反三角形式表示） 8．已知二项式的展开式中，前三项的二项式系数之和为37，则展开式中的第五项为 ． 9．在中，是边的中点.若，，，则 ． 10．已知抛物线的焦点为F，点P为抛物线上的动点，点M为其准线上的动点．若为边长是4的等边三角形，则此抛物线的方程为 ． 11．上海市奉贤区奉城镇的古建筑万佛阁（图1）的屋檐下常系挂风铃（图2），风吹铃动，悦耳清脆，亦称惊鸟铃，一般一个惊鸟铃由铜铸造而成，由铃身和铃舌组成，为了知道一个惊鸟铃的质量，可以通过计算该惊鸟铃的体积，然后由物理学知识计算出该惊鸟铃的质量，因此我们需要作出一些合理的假设： 假设1：铃身且可近似看作由一个较大的圆锥挖去一个较小的圆锥； 假设2：两圆锥的轴在同一条直线上； 假设3：铃身内部有一个挂铃舌的部位的体积忽略不计． 截面图如下（图3），其中，，，则制作个这样的惊鸟铃的铃身至少需要 千克铜．（铜的密度为）（结果精确到个位） 12．等差数列，，存在正整数，使得，，若集合有4个不同元素，则的可能取值有 个． 二、选择题(本题共有4题，满分18分，第13-14题每题4分，第15-16题每题5分；每题有且只有一个正确选项) 13．“”是“”的（    ） A．充分非必要条件 B．必要非充分条件 C．充要条件 D．非充分非必要条件 14．为了了解高一、高二、高三学生的身体状况，现用分层随机抽样的方法抽出一个容量为1200的样本，三个年级学生数之比依次为，已知高一年级共抽取了240人，则高三年级抽取的人数为（    ） A．240 B．300 C．360 D．400 15．如图，两个共底面的正四棱锥（底面ABCD是正方形，顶点E、F与正方形ABCD的中心的连线与底面ABCD垂直）组成一个八面体，且该八面体的各棱长均相等，则（   ） A．异面直线AE与BC所成的角为 B． C．平面平面CDF D．直线AE与平面BDE所成的角为 16．将曲线()与曲线()合成的曲线记作．设为实数，斜率为的直线与交于两点，为线段的中点，有下列两个结论：①存在，使得点的轨迹总落在某个椭圆上；②存在，使得点的轨迹总落在某条直线上，那么（    ）． A．①②均正确 B．①②均错误 C．①正确，②错误 D．①错误，②正确 三、解答题(本大题共有5题，满分78分，第17-19题每题14分，第20、21题每题18分.) 17．如图，在四棱锥中，底面是边长为1的正方形，，、分别是、的中点. (1)求证：平面； (2)若二面角的大小为，求直线与平面所成角的大小. 18．已知函数． (1)求函数的最小正周期和单调区间； (2)若关于的方程在上有两个不同的实数解，求实数的取值范围． 19．学校为了解学生对“公序良俗”的认知情况，设计了一份调查表，题目分为必答题和选答题．其中必答题是①、②、③共三道题，选答题为④、⑤、⑥、⑦、⑧、⑨、⑩共七道题，被调查者在选答题中自主选择其中道题目回答即可．现从④、⑥、⑧、⑩四个题目中至少选答一道的学生中随机抽取名学生进行调查，他们选答④、⑥、⑧、⑩的题目数及人数统计如表： 选答④、⑥、⑧、⑩的题目数 1道 2道 3道 4道 人数 (1)现规定：同时选答④、⑥、⑧、⑩的学生为“公序良俗”达人．学校还调查了这位学生的性别情况，研究男女生中“公序良俗”达人的大概比例，得到的数据如下表： 性别 “公序良俗”达人 非“公序良俗”达人 总计 男性 女性 总计 请完成上述列联表，并根据小概率值的独立性检验，分析“公序良俗”达人与性别是否有关． (2)从这名学生中任选名，记表示这名学生选答④、⑥、⑧、⑩的题目数之差的绝对值，求随机变量的分布和数学期望． 参考公式：，其中．附表见上图． 20．已知点在双曲线的一条渐近线上，为双曲线的左、右焦点且. (1)求双曲线的方程； (2)过点的直线与双曲线恰有一个公共点，求直线的方程； (3)过点的直线与双曲线左右两支分别交于点，求证：. 21．设函数的定义域为D，对于区间，当且仅当函数满足以下①②两个性质中的任意一个时，则称区间是的一个“美好区间”． 性质①：对于任意，都有；性质②：对于任意，都有． (1)已知，．分别判断区间和区间是否为函数的“美好区间”，并说明理由； (2)已知且，若区间是函数的一个“美好区间”，求实数的取值范围； (3)已知函数的定义域为，其图像是一条连续不断的曲线，且对于任意，都有．求证：函数存在“美好区间”，且存在，使得不属于函数的任意一个“美好区间”． 2 / 6 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2025年高考第一次模拟考试 高三数学（上海卷）01·参考答案 一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分） 1． 2．/ 3． 4．或 5． 6． 7． 8． 9． 10． 11． 12．4 二、选择题(本题共有4题，满分18分，第13-14题每题4分，第15-16题每题5分；每题有且只有一个正确选项) 13 14 15 16 A C B C 三、解答题(本大题共有5题，满分78分，第17-19题每题14分，第20、21题每题18分.) 17．（1）证明：取线段、的中点分别为、，连接、、， 则 ，， （1分） 又底面是正方形，即 ， 则，即四边形为平行四边形， 则， （4分） 又在平面外，平面， 故平面.   （6分） （2）取线段的中点为点，连接、， 又，底面是边长为的正方形， 则，且，， 又二面角的大小为， 即平面平面， （7分） 又平面，平面平面， 则平面， 则是直线与平面所成角， （9分） 在中，， 即， 故直线与平面所成角的大小为. （14分） 18．（1）， 则函数的最小正周期； （1分） 令，解得 ， 可得函数的单调递增区间为· （3分） 令 ，解得 ， 可得因数的单调递减区间为 ； （6分） （2）由（1）可知，时，在上单调递增，在上单调递减， 当，，由增大到1， 当，，由1减小到， （12分） 若关于的方程在上有两个不同的实数解，则实数的取值范围为 （14分） 19．（1）这100位学生中，“公序良俗”达人有20人，由此补全列联表如下：     性别 “公序良俗”达人 非“公序良俗”达人 总计 男性 13 30 43 女性 7 50 57 总计 20 80 100 （2分） 零假设：“公序良俗”达人与性别无关， 可得， 所以根据小概率值的独立性检验，我们可推断不成立，即认为“公序良俗”达人与性别有关． （6分） （2）由题意，随机变量的可能有，，，， 可得， （7分） ， （8分） ， （9分） ， （10分） 所以的分布列如下： 0 1 2 3 所以数学期望. （14分） 20．（1）设双曲线的渐近线为， 因为点在双曲线的一条渐近线上，所以， 又，故， 又解得，故双曲线的方程为. （4分） （2） 如图，当直线斜率不存在时，，满足题意； （5分） 如图，当斜率存在时，由双曲线的性质结合看图可得， 当直线过点且平行于双曲线的渐近线时，直线与双曲线也只有一个公共点， 此时，， （7分） 此时直线方程为：，即 综上：直线的方程为或. （10分） （3）由题，直线斜率存在， 设直线方程为，即，， 联立，整理得：， 则 由弦长公式： 令，则, 则,，则 （12分） 令,与同正负.，此时，则，即单调递增， 则，且， （13分） 则，使得 则当，即，则单调递减. 当，即，则单调递增. 则在出取得最小值,且， 故 即，原命题得证. （18分） 21．（1）区间和区间都是函数的“美好区间”，理由如下： 由， 当时，，所以区间是函数的“美好区间” 当时，，不是的子集， 所以区间不是函数的“美好区间” （4分） （2）记， 若区间是函数的一个“美好区间”，则或 由，可得， 所以当或时，，则的单调递增区间为：，； 当时，，则的单调递增区间为：， 且，，，得到在的大致图像如下： （5分） (i)当时，在区间上单调递减，且， 所以，则，即对于任意，都有，满足性质②, 故当时，区间是函数的一个“美好区间”； （6分） (ii)当，在区间上单调递减，在上单调递增，此时， 所以，，则当时，区间不是函数的一个“美好区间”； （7分） (iii)当时，在区间上单调递减，在上单调递增，且，此时， 所以，，则当时，区间不是函数的一个“美好区间”； （8分） (iv)当时，在区间上单调递减，在上单调递增，且，此时， 因为，则要使区间是函数的一个“美好区间”，则，即， 构造函数， 则， 由于，所以恒成立，则在区间上单调递增， 所以，则，不满足题意， 故当时，区间不是函数的一个“美好区间”， 综上，实数的取值范围是 （10分） （3）对于任意区间，记， 因为对于任意，都有， 所以在区间上单调递减，故， 因为，即的长度大于的长度，故不满足性质①， 所以若为的“美好区间”必满足性质②，即， 即只需要或， 由显然不恒成立，所以存在常数使得， 如果，取，则区间满足性质②； 如果，取，则区间满足性质②； 综上，函数一定存在“美好区间”； 记，则的图象连续不断，下证明有零点， 由于在上单调递减，则在上是减函数，记 若，则是的零点； 若，则，记，， 由零点存在定理，可知存在，使得； 若，则，记，， 由零点存在定理，可知存在，使得； 综上，有零点，即， 因为所有“美好区间”都满足性质②，故，否则与性质②矛盾； 即存在，使得不属于函数的任意一个“美好区间”，证毕. （18分） 2 / 8 学科网（北京）股份有限公司 $$ 数 学 第 1 页（共 6 页） 数 学 第 2 页（共 6 页） 数 学 第 3 页（共 6 页） 学 校 __ __ __ __ __ __ __ __ __ 班 级 __ __ __ __ __ __ __ __ __ 姓 名 __ __ __ __ __ __ __ __ __ 准 考 证 号 __ __ __ __ __ __ __ __ __ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ 密 ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ 封 ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ 线 ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 2025 年高考第一次模拟考试 高三数学（上海卷）01·答题卡 姓名： 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 一、填空题（本大题共有 12 题，满分 54 分，第 1-6 题每题 4 分，第 7-12 题每题 5 分） 1．____________________ 2．____________________ 3．____________________ 4．____________________ 5．____________________ 6．____________________ 7．____________________ 8．____________________ 9．____________________ 10．____________________ 11．____________________ 12．____________________ 二、选择题(本题共有 4 题，满分 18 分，第 13-14 题每题 4 分，第 15-16 题每题 5 分；每题有且只有一个正确选项) 13 [A] [B] [C] [D] 14 [A] [B] [C] [D] 15 [A] [B] [C] [D] 16 [A] [B] [C] [D] 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 三、解答题(本大题共有 5 题，满分 78 分，第 17-19 题每题 14 分，第 20、 21 题每题 18 分.) 17．（14 分） 18．（14 分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 准考证号 贴条形码区 注 意 事 项 1．答题前，考生先将自己的姓名、准 考证号填写清楚，并认真检查监考 员所粘贴的条形码。 2．选择题必须用 2B 铅笔填涂；非选 择题必须用 0.5mm 黑色签字笔答 题，不得用铅笔或圆珠笔答题；字 体工整、笔迹清晰。 3．请按题号顺序在各题目的答题区域 内作答，超出区域书写的答案无 效；在草稿纸、试题卷上答题无效。 4．保持卡面清洁，不要折叠、不要弄 破。 5．正确填涂 缺考标记 数 学 第 4 页（共 6 页） 数 学 第 5 页（共 6 页） 数 学 第 6 页（共 6 页） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 19．（14 分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 20．（18 分） 21．（18 分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ( ) ( 学校 __________________班级__________________姓名__________________准考证号__________________ ﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍ 密 ﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍ 封 ﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍ 线 ﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍ ) ( ) 2025年高考第一次模拟考试 高三数学（上海卷）01·答题卡 姓名： ( 注 意 事 项 1 ．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，并认真检查监考员所粘贴的条形码。 2 ． 选择题必须用 2B 铅笔填涂；非选择题必须用 0.5mm 黑色签字笔答题，不得用铅笔或圆珠笔答题；字体工整、笔迹清晰。 3 ．请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。 4 ．保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 5 ．正确填涂 缺考标记 ) ( 贴条形码区 ) ( 准考证号 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 ) ( 一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分） 1 ． ____________________ 2 ． ____________________ 3． ____________________ 4 ． ____________________ 5． __ __________________ 6 ． ____________________ 7． ____________________ 8 ． ____________________ 9． ____________________ 10 ． ____________________ 11． ____________________ 12 ． ____________________ 二、选择题(本题共有4题，满分18分，第13-14题每题4分，第15-16题每题5分；每题有且只有一个正确选项) 1 3 [A] [B] [C] [D] 14 [A] [B] [C] [D] 15 [A] [B] [C] [D] 16 [A] [B] [C] [D] ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 三、解答题(本大题共有5题，满分78分，第17-19题每题14分，第20、21题每题18分.) 17． （14分） ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 18．（14分） ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 19．（14分） ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 20．（18分） ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 21．（18分） ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) 数 学 第4页（共6页） 数 学 第5页（共6页） 数 学 第6页（共6页） 数 学 第1页（共6页） 数 学 第2页（共6页） 数 学 第3页（共6页） 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2025年高考第一次模拟考试 高三数学（上海卷）01·全解全析 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分） 1．已知全集，集合，则 ． 【答案】 【解析】因为，， 所以. 故答案为：. 2．已知为虚数单位，复数，则复数的虚部为 ． 【答案】/ 【解析】， 所以复数的虚部为. 故答案为：. 3．不等式的解集为 ． 【答案】 【解析】不等式可化为， 即，解得， 所以原不等式的解集为． 故答案为： 4．已知函数，若，则实数 ． 【答案】或 【解析】若，则，解得：；若，则，解得：； 综上所述：或. 故答案为：或. 5．已知，且在第二象限，则 ． 【答案】 【解析】因为，且在第二象限， 所以， 所以， 所以， 故答案为： 6．已知随机变量服从正态分布，若，则 ． 【答案】 【解析】解法一：. 解法二：. 故答案为： 7．直线和的夹角为 ．（用反三角形式表示） 【答案】 【解析】易知的斜率为，设其倾斜角为，可得； 又易知的倾斜角为， 因此所求夹角为， 易知，因此. 故答案为： 8．已知二项式的展开式中，前三项的二项式系数之和为37，则展开式中的第五项为 ． 【答案】 【解析】解：已知二项式的展开式中， 前三项的二项式系数之和为，则， 故展开式中的第五项为， 9．在中，是边的中点.若，，，则 ． 【答案】 【解析】如图所示， 由题意得，因为，，， 所以由余弦定理，线段AB与AC的夹角余弦值为：， 所以， 又D是BC中点，所以， 所以. 故答案为：. 10．已知抛物线的焦点为F，点P为抛物线上的动点，点M为其准线上的动点．若为边长是4的等边三角形，则此抛物线的方程为 ． 【答案】 【解析】因为为等边三角形，则， 由抛物线的定义得PM垂直于抛物线的准线， 设，则点， 又由焦点，是等边三角形，所以， 解得，因此抛物线方程为. 故答案为：. 11．上海市奉贤区奉城镇的古建筑万佛阁（图1）的屋檐下常系挂风铃（图2），风吹铃动，悦耳清脆，亦称惊鸟铃，一般一个惊鸟铃由铜铸造而成，由铃身和铃舌组成，为了知道一个惊鸟铃的质量，可以通过计算该惊鸟铃的体积，然后由物理学知识计算出该惊鸟铃的质量，因此我们需要作出一些合理的假设： 假设1：铃身且可近似看作由一个较大的圆锥挖去一个较小的圆锥； 假设2：两圆锥的轴在同一条直线上； 假设3：铃身内部有一个挂铃舌的部位的体积忽略不计． 截面图如下（图3），其中，，，则制作个这样的惊鸟铃的铃身至少需要 千克铜．（铜的密度为）（结果精确到个位） 【答案】 【解析】由题意可知，圆锥的底面半径为，高为， 圆锥的底面半径为，高为， 因为， 所以，制作个这样的惊鸟铃的铃身至少需要千克铜. 故答案为：. 12．等差数列，，存在正整数，使得，，若集合有4个不同元素，则的可能取值有 个． 【答案】4 【解析】设等差数列的首项为，公差为，则，， 由题意，存在正整数，使得，又集合有4个不同元素，得， 当时，，即， ，或（舍）， ，取，则，在单位圆上的4个等分点可取到4个不同的正弦值，即集合可取4个不同元素； 当，，即， ，在单位圆上的5个等分点不可能取到4个不同的正弦值，故舍去； 同理可得：当，，，集合可取4个不同元素； 当时，，单位圆上至少9个等分点取4个不同的正弦值，必有至少3个相等的正弦值，不符合集合的元素互异性，故不可取应舍去. 故答案：4. 2、 选择题(本题共有4题，满分18分，第13-14题每题4分，第15-16题每题5分；每题有且只有一个正确选项) 13．“”是“”的（    ） A．充分非必要条件 B．必要非充分条件 C．充要条件 D．非充分非必要条件 【答案】A 【解析】若，则，当且仅当，即时，等号成立， 所以充分性成立； 若，例如，则，符合题意， 但，即必要性不成立； 综上所述：“”是“”的充分非必要条件. 故选：A. 14．为了了解高一、高二、高三学生的身体状况，现用分层随机抽样的方法抽出一个容量为1200的样本，三个年级学生数之比依次为，已知高一年级共抽取了240人，则高三年级抽取的人数为（    ） A．240 B．300 C．360 D．400 【答案】C 【解析】依题意可得，解得， 所以高三年级抽取的人数为人. 故选：C 15．如图，两个共底面的正四棱锥（底面ABCD是正方形，顶点E、F与正方形ABCD的中心的连线与底面ABCD垂直）组成一个八面体，且该八面体的各棱长均相等，则（   ）    A．异面直线AE与BC所成的角为 B． C．平面平面CDF D．直线AE与平面BDE所成的角为 【答案】B 【解析】因为，所以（或其补角）即为异面直线AE与BC所成的角， 又，所以，即异面直线AE与BC所成的角为，A错误； 连接AC交BD于点O，则点O为正方形的中心，连接EF， 根据正棱锥的性质可知EF必过点O，且平面， 所以，又，，OE，平面ACE， 所以平面，又平面，所以，B正确； 由对称性可知，，所以四边形为平行四边形， 所以，又平面，平面，所以平面， 同理平面，又，AF，平面， 所以平面平面，C错误； 由，，得，在正方形ABCD中，， 又平面，所以平面， 所以即为直线AE与平面所成的角， 设该八面体的棱长为2，则， 所以，所以，D错误. 故选：B.    16．将曲线()与曲线()合成的曲线记作．设为实数，斜率为的直线与交于两点，为线段的中点，有下列两个结论：①存在，使得点的轨迹总落在某个椭圆上；②存在，使得点的轨迹总落在某条直线上，那么（    ）． A．①②均正确 B．①②均错误 C．①正确，②错误 D．①错误，②正确 【答案】C 【解析】设，，，则. 对①，当时，，，易得，故两式相减有，易得此时，故，所以，即.代入可得，所以，故存在，使得点的轨迹总落在椭圆上.故①正确； 对②，， .由题意，若存在，使得点的轨迹总落在某条直线上，则，， 两式相减有，即，又，故，即，又，故若存在，使得点的轨迹总落在某条直线上，则为常数.即为定值，因为分子分母次数不同，故若为定值则恒成立，即，无解.即不存在，使得点的轨迹总落在某条直线上 故选：C 三、解答题(本大题共有5题，满分78分，第17-19题每题14分，第20、21题每题18分.) 17．如图，在四棱锥中，底面是边长为1的正方形，，、分别是、的中点. (1)求证：平面； (2)若二面角的大小为，求直线与平面所成角的大小. 【解析】（1）证明：取线段、的中点分别为、，连接、、， 则 ，， （1分） 又底面是正方形，即 ， 则，即四边形为平行四边形， 则， （4分） 又在平面外，平面， 故平面.   （6分） （2）取线段的中点为点，连接、， 又，底面是边长为的正方形， 则，且，， 又二面角的大小为， 即平面平面， （7分） 又平面，平面平面， 则平面， 则是直线与平面所成角， （9分） 在中，， 即， 故直线与平面所成角的大小为. （14分） 18．已知函数． (1)求函数的最小正周期和单调区间； (2)若关于的方程在上有两个不同的实数解，求实数的取值范围． 【解析】（1）， 则函数的最小正周期； （1分） 令，解得 ， 可得函数的单调递增区间为· （3分） 令 ，解得 ， 可得因数的单调递减区间为 ； （6分） （2）由（1）可知，时，在上单调递增，在上单调递减， 当，，由增大到1， 当，，由1减小到， （12分） 若关于的方程在上有两个不同的实数解，则实数的取值范围为 （14分） 19．学校为了解学生对“公序良俗”的认知情况，设计了一份调查表，题目分为必答题和选答题．其中必答题是①、②、③共三道题，选答题为④、⑤、⑥、⑦、⑧、⑨、⑩共七道题，被调查者在选答题中自主选择其中道题目回答即可．现从④、⑥、⑧、⑩四个题目中至少选答一道的学生中随机抽取名学生进行调查，他们选答④、⑥、⑧、⑩的题目数及人数统计如表： 选答④、⑥、⑧、⑩的题目数 1道 2道 3道 4道 人数 (1)现规定：同时选答④、⑥、⑧、⑩的学生为“公序良俗”达人．学校还调查了这位学生的性别情况，研究男女生中“公序良俗”达人的大概比例，得到的数据如下表： 性别 “公序良俗”达人 非“公序良俗”达人 总计 男性 女性 总计 请完成上述列联表，并根据小概率值的独立性检验，分析“公序良俗”达人与性别是否有关． (2)从这名学生中任选名，记表示这名学生选答④、⑥、⑧、⑩的题目数之差的绝对值，求随机变量的分布和数学期望． 参考公式：，其中．附表见上图． 【解析】（1）这100位学生中，“公序良俗”达人有20人，由此补全列联表如下：     性别 “公序良俗”达人 非“公序良俗”达人 总计 男性 13 30 43 女性 7 50 57 总计 20 80 100 （2分） 零假设：“公序良俗”达人与性别无关， 可得， 所以根据小概率值的独立性检验，我们可推断不成立，即认为“公序良俗”达人与性别有关． （6分） （2）由题意，随机变量的可能有，，，， 可得， （7分） ， （8分） ， （9分） ， （10分） 所以的分布列如下： 0 1 2 3 所以数学期望. （14分） 20．已知点在双曲线的一条渐近线上，为双曲线的左、右焦点且. (1)求双曲线的方程； (2)过点的直线与双曲线恰有一个公共点，求直线的方程； (3)过点的直线与双曲线左右两支分别交于点，求证：. 【解析】（1）设双曲线的渐近线为， 因为点在双曲线的一条渐近线上，所以， 又，故， 又解得，故双曲线的方程为. （4分） （2） 如图，当直线斜率不存在时，，满足题意； （5分） 如图，当斜率存在时，由双曲线的性质结合看图可得， 当直线过点且平行于双曲线的渐近线时，直线与双曲线也只有一个公共点， 此时，， （7分） 此时直线方程为：，即 综上：直线的方程为或. （10分） （3）由题，直线斜率存在， 设直线方程为，即，， 联立，整理得：， 则 由弦长公式： 令，则, 则,，则 （12分） 令,与同正负.，此时，则，即单调递增， 则，且， （13分） 则，使得 则当，即，则单调递减. 当，即，则单调递增. 则在出取得最小值,且， 故 即，原命题得证. （18分） 21．设函数的定义域为D，对于区间，当且仅当函数满足以下①②两个性质中的任意一个时，则称区间是的一个“美好区间”． 性质①：对于任意，都有；性质②：对于任意，都有． (1)已知，．分别判断区间和区间是否为函数的“美好区间”，并说明理由； (2)已知且，若区间是函数的一个“美好区间”，求实数的取值范围； (3)已知函数的定义域为，其图像是一条连续不断的曲线，且对于任意，都有．求证：函数存在“美好区间”，且存在，使得不属于函数的任意一个“美好区间”． 【解析】（1）区间和区间都是函数的“美好区间”，理由如下： 由， 当时，，所以区间是函数的“美好区间” 当时，，不是的子集， 所以区间不是函数的“美好区间” （4分） （2）记， 若区间是函数的一个“美好区间”，则或 由，可得， 所以当或时，，则的单调递增区间为：，； 当时，，则的单调递增区间为：， 且，，，得到在的大致图像如下： （5分） (i)当时，在区间上单调递减，且， 所以，则，即对于任意，都有，满足性质②, 故当时，区间是函数的一个“美好区间”； （6分） (ii)当，在区间上单调递减，在上单调递增，此时， 所以，，则当时，区间不是函数的一个“美好区间”； （7分） (iii)当时，在区间上单调递减，在上单调递增，且，此时， 所以，，则当时，区间不是函数的一个“美好区间”； （8分） (iv)当时，在区间上单调递减，在上单调递增，且，此时， 因为，则要使区间是函数的一个“美好区间”，则，即， 构造函数， 则， 由于，所以恒成立，则在区间上单调递增， 所以，则，不满足题意， 故当时，区间不是函数的一个“美好区间”， 综上，实数的取值范围是 （10分） （3）对于任意区间，记， 因为对于任意，都有， 所以在区间上单调递减，故， 因为，即的长度大于的长度，故不满足性质①， 所以若为的“美好区间”必满足性质②，即， 即只需要或， 由显然不恒成立，所以存在常数使得， 如果，取，则区间满足性质②； 如果，取，则区间满足性质②； 综上，函数一定存在“美好区间”； 记，则的图象连续不断，下证明有零点， 由于在上单调递减，则在上是减函数，记 若，则是的零点； 若，则，记，， 由零点存在定理，可知存在，使得； 若，则，记，， 由零点存在定理，可知存在，使得； 综上，有零点，即， 因为所有“美好区间”都满足性质②，故，否则与性质②矛盾； 即存在，使得不属于函数的任意一个“美好区间”，证毕. （18分） 2 / 17 学科网（北京）股份有限公司 $$