第05讲 一元一次不等式（组）（讲练）（思维导图+11种题型（含6种解题技巧））-【上好课】2025年中考数学一轮复习讲练测（安徽专用）

第二章 方程（组）与不等式（组） 第05讲 一元一次不等式（组）（5~8分） （思维导图+4考点+2命题点11种题型（含6种解题技巧）） 试卷第1页，共3页 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！50 学科网（北京）股份有限公司 01考情透视·目标导航 02知识导图·思维引航 03考点突破·考法探究 考点一 不等式及不等式的性质 考点二 一元一次不等式 考点三 一元一次不等式组 考点四 一次不等式（组）的实际应用 04题型精研·考向洞悉 命题点一 不等式及不等式的性质 ►题型01 不等式的性质 ►题型02 不等式的解集的含义 命题点二 一元一次不等式（组）的概念与解法 ►题型01 求一元一次不等式的解集 ►题型02 求一元一次不等式的整数解 ►题型03 在数轴上表示不等式的解集 ►题型04 求不等式组的解集 ►题型05 求一元一次不等式组的整数解 ►题型06 由一元一次不等式组的解集求参数 命题点三 一次不等式（组）的实际应用 ►题型01 方案选择问题 ►题型02 销售、利润问题 05分层训练·巩固提升 基础巩固 能力提升 01考情透视·目标导航 考点要求 新课标要求 考查频次 命题预测 不等式及不等式的性质 结合具体问题，了解不等式的意义，探索不等式的基本性质 10年2考 一元一次不等式（组）这一考点在安徽中考数学中属于较为简单的一类考点，在中考，不等式及不等式的性质主要以选择题或填空题形式考查，比较简单；一元一次不等式（组）的解法多以填空题或者计算题的形式考查，有时会与方程或方程组结合考查列方程或不等式（组）的实际应用常以应用题的形式出现； 对于一元一次不等式（组）的复习，需要学生熟练掌握不等式的基本性质、一元一次不等式（组）的解法、列方程或不等式（组）的步骤等考点. 一元一次不等式 能解数字系数的一元一次不等式，并能在数轴上表示出解集 10年6考 一元一次不等式组 会用数轴确定两个一元一次不等式组成的不等式组的解集 10年3考 一元一次不等式（组）的实际应用 能根据具体问题中的数量关系，列出一元一次不等式，解决简单的问题. 10年2考 02知识导图·思维引航 03考点突破·考法探究 考点一 不等式及不等式的性质 1.正负数的概念：大于0的数叫做正数.正数前面加上符号“-”的数叫负数.负数前面的负号“-”不能省 一、不等式的相关概念 不等式的定义：用不等号“＞”、“≥”、“＜”、“≤”或“≠”表示不等关系的式子，叫做不等式. 不等式的解：使不等式成立的未知数的值，叫做不等式的解. 不等式的解集：一个含有未知数的不等式的所有解，组成这个不等式的解集. 不等式的解集的表示方法：①用不等式表示；②用数轴表示. 解不等式的概念：求不等式的解集的过程，叫做解不等式. 二、不等式的性质 基本性质1 若a>b，则a±c > b±c 若a<b，则a±c < b±c 基本性质2 若a>b,c>0，则ac>bc（或） 基本性质3 若a>b,c<0，则ac<bc（或） 1. 方程与不等式的区别：方程表示的是相等关系，不等式表示的是不等关系. 2. 常见的不等号有：≠，>，≥，<，≤五种. 3. 用数轴表示不等式的解集：大于向右，小于向左，有等号画实心圆点，无等号画空心圆点. 4. 不等式的解与不等式的解集的区别与联系： 1）不等式的解是指满足这个不等式的未知数的某个值. 2）不等式的解集是指满足这个不等式的未知数的所有的值. 3）不等式的所有解组成了这个不等式的解集，不等式的解集中包括这个不等式的每一个解. 5. 在列不等式时，要注意抓住问题中的一些关键词语，如：不小于，至少，大于、不高于、不低于等. 同时要根据关键词准确地选用不等号．另外，对一些实际问题的提示还要注意结合实际． 6. 运用不等式的性质的注意事项： 1）不等式两边都要参与运算，并且是作同一种运算． 2）不等式两边加或减，乘或除以的数一定是同一个数或同一个式子． 3）不等式两边不能同时除以0，即0不能作除数或分母． 4） 运用不等式的性质进行不等式变形时,要特别注意性质2和性质3的区别,在乘(或除以)同一个数时,必须先弄清楚这个数是正数还是负数,如果是负数,不等号要改变方向. 考点二 一元一次不等式 一元一次不等式的概念:不等式的左右两边都是整式，只含有一个未知数并且未知数的最高次数是1，像这样的不等式叫一元一次不等式. 一元一次不等式的一般形式：或. 步骤 具体做法 依据 注意事项 去分母 在不等式两边都乘以各分母的最小公倍数 不等式性质2、3 1）不要漏乘不含分母的项； 2）当分母中含有小数时，先将小数化成整数，再去分母. 3）如果分子是多项式，去分母后要加括号. 去括号 先去小括号，再去中括号，最后去大括号 分配律 去括号法则 1) 去括号时，括号前的数要乘括号内的每一项; 2) 括号前面是负数时,去掉括号后,括号内各项都要变号； 3）括号前面是正数时,去掉括号后,括号内各项都不变号. 移项 把含有未知数的项移到不等式左边，其它项都移到不等式右边 不等式性质1 1）移项时不要漏项; 2）将不等式中的项从一边移到另一边要变号.而在不等式同一边改变项的位置时不变号. 合并同类项 把不等式变为或的形式 合并同类项法则 1）不要漏项； 2）系数的符号处理要得当. 系数化为1 将不等式两边都除以未知数系数a，得到不等式的解 不等式性质2、3 1)不等式两边都除以未知数系数; 2)当系数为负数，不等号的方向发生改变. 1. 一元一次不等式满足的条件：①不等式的左右两边都是整式；②只含有一个未知数；③未知数的最高次数是1. 2. 进行“去分母”和“系数化为1”时，要根据不等号两边同乘以（或除以）的数的正负，决定是否改变不等号的方向，若不能确定该数的正负，则要分正、负两种情况讨论． 3. 在解一元一次不等式时,上述的五个步骤不一定都能用到,并且也不一定按照自上而下的顺序,要根据不等式的形式灵活安排求解步骤. 与一元一次不等式的特殊解有关的解题方法： 类型一 求一元一次不等式特殊解的方法 解决此类问题的关键：正确求出不等式的解集，再根据题目要求求出其特殊解．可以借助数轴进行数形结合，得到需要的值，进而非常容易的解决问题． 类型二 已知一元一次不等式解集（整数解）求字母的取值． 解决此类问题的关键：先把题目中除未知数外的字母当作常数看待解不等式，再根据题目中的限制条件得到有关字母的代数式，最后解代数式即可得到答案． 考点三 一元一次不等式组 一元一次不等式组的概念：一般地，关于同一未知数的几个一元一次不等式合在一起，组成一元一次不等式组． 一元一次不等式组的解集：几个一元一次不等式的解集的公共部分，叫做由它们所组成的不等式组的解集． 不等式组解集的确定有两种方法： （1）数轴法：在数轴上找出各不等式解集的公共部分，这个公共部分就是不等式组的解集. （2）口诀法：大大取大，小小取小，大小、小大中间找，大大、小小取不了． 解一元一次不等式组的一般步骤： （1）求出不等式组中各不等式的解集. （2）将各不等式的解决在数轴上表示出来. （3）在数轴上找出各不等式解集的公共部分，这个公共部分就是不等式组的解集. 1. 在求不等式组的解集的过程中，通常是利用数轴来表示不等式组的解集的. 2. 利用数轴表示不等式组解集时，要把几个不等式的解集都表示出来，不能仅画公共部分. 考点四 一次不等式（组）的实际应用 一元一次不等式（组）的应用题的关键语句： 1）列不等式解应用题需要以“至少”、“最多”、“不超过”、“不低于”等词来体现问题中的不等关系，因此，建立不等式要善于从“关键词”中挖掘其内涵． 2）对一些实际问题的提示还要注意结合实际.有些不等关系隐含于生活常识中,如小王用50元去买单价为6元的笔记本.设买x本，求x的取值范围时,其问题中就隐含着所花钱数不能超过50元.由此可得出不等式 6x≤50. 用一元一次不等式（组）解决实际问题的步骤： 审：理解并找出实际问题中的等量关系; 设：用代数式表示实际问题中的基础数据; 列：找到所列代数式中的等量关系，以此为依据列出方程; 解：求解方程; 验：考虑求出的解是否具有实际意义; 答：实际问题的答案. 1.在解决实际应用问题时，关键是找对不等关系，根据不等关系列出不等式或不等式组； 2.有时题目中并不含有不等关系，而需要同学们根据生活常识列出不等式； 3.对所求的不等式的解集或解进行检验，看是否符合题意或实际情况。 04题型精研·考向洞悉 命题点一 不等式及不等式的性质 ☛题型01 不等式的性质 例1．（2024·安徽·中考真题）已知实数a，b满足，，则下列判断正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴，选项B错误，不符合题意； ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，选项A错误，不符合题意； ∵，， ∴，， ∴，选项C正确，符合题意； ∵，， ∴，， ∴，选项D错误，不符合题意； 故选：C 在利用不等式的基本性质进行变形时，要特别注意不等号两边都乘以或除以一个负数的时候，不等号要变号 1．（2024·安徽滁州·二模）已知实数a，b，c，其中且满足，，则下列结论不正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】解：∵， ∴， ∴， ∴，故B正确； ∵， ∴，即， ∴；故A正确； ∴；故C正确； ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴，故D错误； 故选D． 2．（2024·安徽合肥·二模）已知实数a，b满足：，，则下列结论不正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】解：A．把代入，得，解得：，故该选项正确， B．∵，∴，∴，即，故该选项正确， C．，∵，∴，即，故该选项正确． D．把变形为：，∵，，∴，，∴，即故该选项错误． 故选：D． 3．（2024·安徽安庆·二模）已知非零实数a，b，c满足：，，则下列结论正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】解：由，得．代入中，得，则，A选项错误； 由，可得．代入中，可得：，B选项错误； 由于，则，C选项错误； 由于，则，D选项正确； 故选：D 4．（2024·安徽合肥·二模）若实数a，b，c满足，，则下列结论中正确的是（    ） A．， B．， C． ， D．， 【答案】A 【解析】∵， ∴，， ∵， ∴ ∴， ∴． 故选A． ☛题型02 不等式的解集的含义 例2．（2023·吉林白城·模拟预测）下列说法正确的是（　　） A．不等式的解是 B．不等式的解是 C．是不等式的一个解 D．是不等式的一个解 【答案】D 【解析】解：A、不是不等式的解，故本选项不符合题意； B、不等式的解是所有小于0的数，故本选项不符合题意； C、不满足，故本选项不符合题意； D、是不等式的一个解，故本选项符合题意． 故选：D． 判断未知数的值是否是不等式的解集的方法： （1）求出不等式的解集，看所给未知数的值是否在所求解集内。 （2）可以将未知数的值代入不等式中，看是否能够使不等式成立。 1.（2024·浙江嘉兴·三模）若， 则下列各式成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】解： 解得： A. ，解得：，当时，该不等式成立，故该选项符合题意； B. ，解得：，不成立，故该选项不符合题意； C. ，解得：，不成立，故该选项不符合题意；     D. ，解得：，不成立，故该选项不符合题意； 故选：C． 2．（2023·广东东莞·一模）下列数值中，不是不等式的解的是(　　) A． B． C． D． 【答案】D 【解析】解：移项得，， 所以，不是不等式的解集的是． 故选：D． 3．（2023·河北保定·三模）下列说法正确的是（    ） A．是不等式的一个解 B．不是不等式的解 C．不等式的解只有 D．不等式的解集是 【答案】A 【解析】解：A、不等式的解集为，则是不等式的一个解，故本选项正确，符合题意； B、是不等式的解，故本选项错误，不符合题意； C、不等式的解集是，解有无数多个，故本选项错误，不符合题意； D、不等式的解集是，故本选项错误，不符合题意； 故选：A 4．（2023·广东佛山·一模）在，，，，这五个数中，是不等式解的共有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】D 【解析】解： 解得 ∴在，，，，这五个数中，是不等式的解为，，，，共4个 故选：D． 命题点二 一元一次不等式（组）的概念与解法 ☛题型01 求一元一次不等式的解集 例1．（2022·安徽·中考真题）不等式的解集为 ． 【答案】 【解析】解： 去分母，得x-3≥2， 移项，得x≥2+3， 合并同类项，系数化1，得，x≥5， 故答案为：x≥5． 1.在去分母时要注意两点： ①不要漏乘整数项； ②去括号时，分子是多项式时，要加括号； ③利用不等式的性质3去分母时，注意要变号。 2.移项时不等式中的某一项从不等号的一边移到不等号的另一边时，要进行变号； 3.系数化为1时，若不等号两边都乘以或除以一个负数时，不等号要变号。 1．（2024·安徽合肥·三模）不等式的解集为 ． 【答案】 【解析】解：， 两边乘以2得，， 两边同时减去2得，， 两边乘以得，． 故答案为：． 2．（2024·安徽·三模）解不等式： 【答案】 【解析】解：， ， ． 3．（2024·安徽合肥·三模）解不等式：． 【答案】 【解析】解：去分母，得：， 移项及合并同类项，得：， 系数化为1，得：． 4．（2024·安徽·模拟预测）解不等式：． 【答案】 【解析】解：， 去分母得：， 去括号得：， 移项、合并同类项得：， 系数化为1得：． ☛题型02 求一元一次不等式的整数解 例2．（2024·安徽六安·模拟预测）关于的不等式的最大整数解为 ． 【答案】2 【解析】解： 所以满足的最大整数为2； 故答案为：2． 1.先根据不等式的基本性质，求出不等式的解集； 2.在解集范围内找出符合条件的整数解； 1．（2023·安徽芜湖·二模）不等式的正整数解有 个． 【答案】2 【解析】解：∵， ∴， ∴正整数解是：1，2；共2个， 故答案为：2 2．（2024·江苏盐城·中考真题）求不等式的正整数解． 【答案】，． 【解析】解：去分母得，， 去括号得，， 移项得，， 合并同类项得，， 系数化为得，， ∴不等式的正整数解为，． 3．（2024·陕西商洛·模拟预测）求不等式的正整数解． 【答案】正整数解为1，2 【解析】解：， ， ， ， ， ， 该不等式的正整数解：2，1． 4．（2024·陕西西安·模拟预测）解不等式，并写出其所有的负整数解． 【答案】， 【解析】去分母，得：， 移项、合并同类项，得：， 系数化为1，得：， 故其所有负整数解为：，． ☛题型03 在数轴上表示不等式的解集 例3．（2023·安徽·中考真题）在数轴上表示不等式的解集，正确的是（   ） A．   B．     C．       D．      【答案】A 【解析】解： 解得：， 数轴上表示不等式的解集        故选：A． 1.在数轴上表示不等式的解集时，先求出不等式的解集； 2.带等号的用实心表示，不带等号的用空心表示； 3.大于右转，小于左转。 1．（2024·安徽淮北·三模）在数轴上表示不等式的解集，正确的是（    ） A．   B．   C．   D．   【答案】A 【解析】解：去括号，得 解得， 在数轴上表示为：    故选：A． 2．（2024·安徽滁州·模拟预测）解不等式：，并把它的解集在数轴上表示出来． 【答案】，见解析 【解析】解： 去分母，得 去括号，得 移项，得 合并同类项，得 解集在数轴上表示如下：    3．（2024·安徽合肥·三模）解不等式，并把它的解集表示在数轴上． 【答案】，数轴表示见解析 【解析】解： 去分母得：， 去括号得， 移项得：， 合并得：， 系数化为得：， 在数轴上表示为： 4．（2024·安徽芜湖·三模）解不等式，并把解集在数轴上表示出来． 【答案】，见解析 【解析】解：， ， ， 解得， 解集在数轴上表示如下： ☛题型04 求不等式组的解集 例4．（2024·安徽合肥·二模）在数轴上表示不等式组的解集，正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】解：解不等式组得，， 所以不等式组的解集应为． 在数轴上表示不等式组的解集为B， 故选：B． 1.分别求出每个不等式的解集 2.根据同大取大，同小取小，大小小大取中间，大大小小无解来确定不等式组的解集； 3.当不等式组由3个以上的不等式组成时，在求出每个不等式的解集后，先确定不等号相同的不等式的解集。 1．（2024·安徽阜阳·三模）不等式组中，不等式组的解集在数轴上表示正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】解：解不等式组，得：， ∴不等式组的解集为：， 在数轴上表示如图： ； 故选B． 2．（2024·安徽合肥·二模）解不等式组：，并将解集在数轴上表示出来． 【答案】，数轴见详解 【解析】解：∵， ∴解不等式①，得， 解不等式，②，得， ∴不等式组的解集为， 画数轴表示如下： ． 3．（2024·安徽滁州·二模）解不等式组，并把解集在数轴上表示出来． 【答案】．数轴见解析 【解析】解： 由①得：，解得：， 由②得：， 所以不等式组的解集为：． 解集在数轴上表示如图： ． 4．（2024·安徽滁州·一模）解不等式组：并将解集在数轴上表示出来． 【答案】，见解析 【解析】解：， 由①得：， 由②得：， 不等式组的解集为． ☛题型05 求一元一次不等式组的整数解 例5．（2024·安徽合肥·三模）不等式组的最小整数解为（    ） A．0 B． C．1 D．3 【答案】A 【解析】 解不等式①得， 解不等式②得， ∴不等式组的解集为：． ∴最小整数解为0． 故选：A． 先确定不等式组的解集，在解集范围内，找出符合条件的整数解； 1．（2024·安徽·一模）若关于x的一元一次不等式组有且仅有4个整数解，且关于y的分式方程的解是非负整数，则满足条件的所有整数a的值之积为（ ） A．0 B． C． D．8 【答案】C 【解析】解：解不等式组，得， 不等式组有且仅有4个整数解， 不等式组的4个整数解为4，3，2，1， ， ， 解分式方程，得， 为非负整数， 且， 分式的解是非负整数， 可取， 当时，，符合题意； 当时，，不符合题意； 当时，，符合题意； 当时，，不符合题意； 当时，，符合题意， 所有满足条件的只有， 所有整数a的值之积是， 故选：C． 2．（2024·安徽合肥·一模）不等式组的正整数解可以是（   ） A．3 B．5 C．6 D．7 【答案】B 【解析】解：， 由不等式①，得， 由不等式②，得， 故原不等式组的解集是， ∴该不等式组的正整数解是4，5． 故选B． 3．（2024·安徽·三模）解不等式：，并写出符合条件的正整数解． 【答案】，1，2，3，4，5 【解析】解：， 去分母，得：， 去括号，得：， ∴， 解得：， ∴符合条件的正整数有：1，2，3，4，5． 4．（2023·安徽滁州·二模）解不等式（组）：，并求出的整数解． 【答案】；的整数解为，，，， 【解析】解： 解不等式，得 ， 解不等式，得，， 不等式组的解集为， 则的整数解为，，，，． ☛题型06 由一元一次不等式组的解集求参数 例6．（2023·四川乐山·模拟预测）若关于的不等式组有且只有两个整数解，求的取值范围． 【答案】 【解析】解：， 解不等式①得：， 解不等式②得：， 关于的不等式组有且只有两个整数解， 不等式组的解集为， 不等式组只有两个整数解，则它们是，0， ， 解得：， 故的取值范围为． 1.先用参数表示出不等式组的解集； 2.根据整数解的数量确定参数的范围； 3.在确定端点处是否要带等号时，可以先假设带等号，判断端点是否在解集中，再看解集中是否需要该端点。 1．（2024·湖北·模拟预测）若关于x的一元一次不等式组的解集是，则m的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】解：解不等式得， 解不等式得， ∵解集是， ∴， 解得， 故选D． 2．（2024·江苏南通·二模）若存在，使的值同时大于和的值，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】解：依题得：， 解得， 则要使题中条件成立，， 解得． 故选：． 3．（2023·山东德州·一模）不等式组的整数解共有是5个，那么的取值范围是 ． 【答案】 【解析】解：由不等式组得：， ∴不等式组的解集为， ∵不等式组的整数解有5个， ∴， 解得：． 故答案为：． 4．（2024·河南驻马店·模拟预测）若关于的不等式组有且仅有两个整数解，则的取值范围为 ． 【答案】 【解析】解：依题得：有且仅有两个整数解， 则整数解为，， ． 故答案为：． 命题点三 一次不等式（组）的实际应用 ☛题型01 方案选择问题 例1．（2023·湖南岳阳·模拟预测）为全面实施乡村振兴战略，我市某居民村在开展“宜居乡村”建设中，决定购买大，小两款盆景对村里的主干道进行美化改造，根据园艺场报价：若订购大盆景2盆，小盆景3盆，报价240元；若订购大盆景4盆，小盆景5盆，报价440元． (1)求大，小两款盆景的单价各是多少元？ (2)该居民村共筹集资金4000元用于订购这两款盆景，在订购了50盆小盆景后，至多还可订购多少盆大盆景？ 【答案】(1)大款盆景的单价是60元，小款盆景的单价是40元 (2)至多还可订购33盆大种盆景 【解析】（1）解：设大款盆景的单价是x元，小款盆景的单价是y元， 由题意得：， 解得：， 答：大款盆景的单价是60元，小款盆景的单价是40元； （2）解：设还可订购a盆大盆景， 由题意得：， 解得：， 盆景的数量为正整数， 的最大值为33， 答：至多还可订购33盆大种盆景． 1．（2024·湖南长沙·模拟预测）为提高学生综合素养，我市某中学拟组织学生进行红色之旅研学活动，相关组织老师发现：若按原计划租用可坐乘客45人的种客车若干辆，则有30人将没有座位；若租用可坐乘客60人的种客车，则比原计划可少租6辆，且恰好坐满． (1)求本次红色之旅研学活动共有多少人参加？原计划租用种客车多少辆？ (2)若该校更改计划，同时租用、两种客车共25辆，要求种客车不超过7辆，且座位有剩余，则有哪些租车方案？ (3)在（2）的条件下，若种客车租金每辆300元，种客车租金为每辆220元，应该怎样租车才最合算？ 【答案】(1)1200人；26辆 (2)方案1： B种：6辆，A种：19辆；方案2：B种：7辆，A种客：18辆 (3)B种：6辆，A种：19辆 【解析】（1）解：设原计划租用A种客车x辆，则这次研学去了人， 根据题意得：， 解得：， ∴． 答：原计划租用4种客车26辆，这次研学去了1200人； （2）解：设租用B种客车y辆，则租用A种客车辆， 根据题意得：， 解得：， 又∵y为正整数， ∴y可以为6，7，     ∴该学校共有2种租车方案， 方案1：租用6辆B种客车，19辆A种客车； 方案2：租用7辆B种客车，18辆A种客车； （3）解：选择方案1的总租金为（元）； 选择方案2的总租金为（元）． ∵， ∴租用6辆B种客车，19辆A种客车最合算． 2．（2024·贵州黔东南·一模）“快乐村超，活力四射”，榕江某村超产品制造商制作村超小摆件、蜡染背心、民族服饰，其中制作小摆件的数量是民族服饰数量的5倍，制造商制作每件产品所需时间和利润如下表： 产品 民族服饰 小摆件 蜡染背心 制作一件产品所需时间（小时） 1 制作一件产品所获利润（元） 20 3 10 (1)若制作三种产品共计需要25小时，所获利润为450元，求制作小摆件、蜡染背心和民族服饰的数量； (2)若制造商所获利润为700元，且三种产品均有制作，求制作三种产品总量的最小值． 【答案】(1)制作民族服饰数量10件，小摆件数量50件，蜡染背心数量10件； (2)制作三种产品总量的最小值为75件． 【解析】（1）解：设制作民族服饰数量为件，蜡染背心数量为件，则小摆件数量为件， 由题意得：， 解得：， 答：制作民族服饰数量10件，小摆件数量50件，蜡染背心数量10件； （2）解：设制作三种产品总量为件，民族服饰数量件，则小摆件数量件，蜡染背心数量件， 由题意得：， 解得：， ， 解得：， ，是整数， 的最小值为2， 是的一次函数， ， 随的增加而增加， 三种产品均有制作，且，均为正整数， 当时，有最小值，则， 答：制作三种产品总量的最小值为75件． 3．（2024·山东东营·模拟预测）5G具有高速率、低时延、高可靠性等特点，是新一代信息技术发展方向和数字经济的重要基础设施，5G将开启令人振奋的全新机遇，为世界相互连接、计算和沟通方式带来超越想象的变革，中国的5G规模领先世界．某科技公司试生产了两批A，B两种5G通信设备，经市场调查研究，将A，B两种设备的售价分别定为3500元、2800元．两批试生产的设备情况及相应的生产成本统计如下表： A设备（单位：台） B设备（单位：台） 总生产成本（单位：元） 第一批 10 5 35000 第二批 15 10 57500 (1)A，B两种设备平均每台的成本分别为多少元？ (2)因核心科技材料供不应求，该公司计划正式生产A，B两种设备共100台，若A设备数量不超过B设备数量的3倍，并且B设备数量不超过30台，一共有多少种生产方案？哪种生产方案能获得最大利润？ 【答案】(1)，两种设备平均每件的成本分别为2500，2000元． (2)生产设备75台，设备25台时，能获得最大利润． 【解析】（1）设，两种设备平均每台的成本分别为，元， 由题意得， 解得， 答：，两种设备平均每件的成本分别为2500，2000元． （2）设公司计划正式生产设备台，则生产设备台， 由题意得， 解得， 是整数， ，71，72，73，74，75， 一共有6种生产方案． 由（1）知，，两种设备平均每件的利润分别为1000，800元． 设备平均每件的利润1000元大于设备平均每件的利润800元， 当，， 即生产设备75台，设备25台时，能获得最大利润． 4．（2024·四川德阳·模拟预测）为推进城乡教育均衡发展，我市某公益组织决定向某偏远乡镇学校的教育事业提供大力支持．他们精心准备了一批书籍和实验器材，共计360套，其中书籍的数量比实验器材多了120套，以更好地满足学生的阅读需求． (1)求这批物资中书籍和实验器材各有多少套？ (2)为了将这些书籍和实验器材安全、高效地运送到目的地，该公益组织计划同时租用甲、乙两种型号的货车共8辆．每辆甲种货车最多可装书籍40套和实验器材10套，每辆乙种货车最多可装书籍30套和实验器材20套．请问他们有哪几种租车方案？ (3)在（2）的条件下，已知甲种型号的货车每辆需付运费1000元，而乙种型号的货车每辆需付运费900元．请你帮助该组织推荐一种能使运费最少的租车方案，并求最少运费是多少元？ 【答案】(1)240套；120套 (2)4种；方案见解析 (3)租甲种型号的车1辆，乙种型号的车7辆；7300元 【解析】（1）解：设书籍和实验器材分别为x、y套． 根据题意得：， 解得：， 故书籍和实验器材分别为240套，120套． （2）解：设安排甲型号的货车a辆，则安排乙型号的货车辆． 根据题意得： 解得：， 又∵a取整数， ∴，2，3，4 ，6，5，4， ∴共有4种方案，如下： 方案一：甲1辆，乙7辆； 方案二：甲2辆，乙6辆； 方案三：甲3辆，乙5辆； 方案四：甲4辆，乙4辆； （3）解：方案一所需运费：（元）， 方案二所需运费：（元）， 方案三所需运费：（元）， 方案四所需运费：（元）， 故推荐选择方案一，租甲种型号的车1辆，乙种型号的车7辆时，所付运费最少，最少运费是7300元． ☛题型02 销售、利润问题 例2．（2024·湖南娄底·模拟预测）2023年1月8日电，我国首次散船进口巴西玉米，标志着巴西玉米输华走廊正式打通，对加强中巴农业合作、维护全球农业供应链安全稳定等产生积极深远影响． (1)今年8月，我国从巴西和美国进口玉米共100万吨，用去227500万元，若从巴西进口玉米2500元/吨，从美国进口玉米2000元/吨，则8月份从两国各进口玉米多少万吨？ (2)若我国计划11月份需从巴西和美国进口玉米共160万吨，从巴西进口玉米总量不少于从美国进口玉米总量，且总费用不超过380000万元，再以2830元／吨的价格全部售出，问从巴西进口多少玉米才能获得最大利润，最大利润是多少？ 【答案】(1)从巴西进口玉米55万吨，从美国进口玉米45万吨 (2)从巴西进口80万吨玉米才能获得最大利润，最大利润是92800万元 【解析】（1）解：设从巴西进口玉米x万吨，从美国进口玉米y万吨， 根据题意，得 ， 解得， 答：从巴西进口玉米55万吨，从美国进口玉米45万吨； （2）解：设从巴西进口玉米m万吨，从美国进口玉米万吨， 根据题意，得， 解得， 设利润为w万元， 则， ∵， ∴w随m的增大而减小， ∴当时，w有最大值，最大值为， ∴从巴西进口80万吨玉米才能获得最大利润，最大利润是92800万元． 1．（2024·贵州遵义·二模）贵州出产的茶叶品种众多，畅销各地，茶产业是农民增加收入的一种重要途径．某县重点推出了A，B两种品牌茶叶，已知某商店购买1盒A茶叶和1盒B茶叶共用540元，购买2盒A茶叶和3盒B茶叶共用1340元． (1)购买A，B两种茶叶的单价各是多少元？ (2)该店计划用不超过27800元购买A，B两种茶叶共100盒，且A的数量不低于B数量的，若两种茶叶的售价均为每盒350元，该店如何安排进货，使销售完两种茶叶获得利润最大，并求这个最大利润． 【答案】(1)280元和260元 (2)购进B产品40盒，购进A产品60盒，获得利润最大，最大利润7800元 【解析】（1）解：设A，B两种产品的购进单价分别为x元，y元． 由题意列方程组： 解得 ． 答：A，B两种产品的购进单价分别为280元和260元． （2）解：设购进B产品m盒， 则购进A产品盒． 由题可知： ， 解得．   设利润为w， 则 ， 即， ∵当时， w随m的增大而增大， ∴当时， 利润w最大 7800元． 答：购进B产品40盒，购进A产品60盒，获得利润最大， 最大利润7800元． 2．（2024·宁夏银川·一模）随着梦天实验舱的顺利发射，我国空间站完成了在轨组装，为了庆祝这令人激动的时刻，某校开展了关于空间站的科学知识问答竞赛．为了奖励在竞赛中表现优异的学生，学校准备一次性购买A，B两种航天器模型作为奖品．已知购买1个A模型和1个B模型共需139元；购买3个A模型和2个B模型共需356元． (1)求A模型和B模型的单价； (2)根据学校的实际情况，需一次性购买A模型和B模型共20个，但要求购买A模型的数量多于12个，且不超过B模型的3倍．请你给出一种费用最少的方案，并求出该方案所需的费用． 【答案】(1)1个A模型的价格为78元，1个B模型的价格为61元． (2)购买A模型13个，B模型7个，费用最少，该方案所需的费用为元． 【解析】（1）解：设1个A模型的价格为x元，1个B模型的价格为y元， 依题意得：， 解得：． 答：1个A模型的价格为78元，1个B模型的价格为61元． （2）设购买A模型m个，则购买B模型个， 依题意得：， 解得：． 又∵m为整数，∴m可以为，∴共有3种购买方案， 方案1：购买A模型13个，B模型7个，所需费用为（元）； 方案2：购买A模型14个，B模型6个，所需费用为（元）； 方案3：购买A模型15个，B模型5个，所需费用为（元）． ∵， ∴方案1购买A模型15个，B模型5个费用最少，最少费用为元． 3．（2024·河南新乡·模拟预测）某校要购置一批饮水机，选定了A，B两种款式．通过调研得知：购买2台A 款饮水机和1台B款饮水机共需1000元，购买3台A款饮水机和2台B款饮水机共需1700元． (1)求A，B两款饮水机的单价各多少元． (2)若该学校准备购买A，B两款饮水机共30台（每款至少购置5台），要求总费用不超过10000元，则对购买A款饮水机在数量上有什么要求？说明理由． (3)在（2）的购买方案下，若甲、乙两商店以同样价格出售这两款饮水机，同时又各自推出不同的优惠方案：在甲商店购买A款饮水机按单价的收费，B款饮水机不优惠；在乙商店购买A款饮水机不优惠，但购买B款饮水机按单价的收费．问学校选择哪家商店购买饮水机花费较少？ 【答案】(1)A款饮水机的单价元，B款饮水机的单价元 (2)购买A款饮水机最少台，最多台 (3)学校选择甲商店购买饮水机花费较少 【解析】（1）解：设A款饮水机的单价元，B款饮水机的单价元，由题意得 ， 解得：， 答：A款饮水机的单价元，B款饮水机的单价元； （2）解：设购买A款饮水机台，由题意得 ， 解得：， 购买A款饮水机最少台，最多台； （3）解：设购买A款饮水机台，由题意得 甲商店的费用： ， 乙商店的费用： ， ， ， ， 故学校选择甲商店购买饮水机花费较少． 4．（2024·湖南长沙·模拟预测）长沙地铁“七号线”正在进行修建，现有大量的残土需要运输．某车队有载重量为吨、吨的卡车共辆，全部车辆运输一次可以运输吨残土． (1)求该车队有载重量吨、吨的卡车各多少辆？ (2)随着工程的进展，该车队需要一次运输残土不低于吨，不超过吨，为了完成任务，该车队准备新购进这两种卡车共辆，若载重量为吨、吨的卡车购买价格分别为万元每台和万元每台．请问哪种购车方案总花费最少？最少花费是多少？ 【答案】(1)辆，辆 (2)购进载重量吨的卡车辆、载重量吨的卡车辆总花费最少，最少花费是万元． 【解析】（1）解：设该车队有载重量吨的卡车辆，则有载重量吨的卡车辆， 根据题意得：， 解得：， （辆）， 该车队有载重量吨的卡车辆，有载重量吨的卡车辆； （2）设新购进载重量吨的卡车辆，则新购进载重量吨的卡车辆， 根据题意得：， 解得：， 设新购进这两种卡车总花费万元，则， ﹣3＜0， 随的增大而减小， ， 当时，的值最小，，此时（辆）， 新购进载重量吨的卡车辆、载重量吨的卡车辆总花费最少，最少花费是万元． 05分层训练·巩固提升 基础巩固 一、单选题 1．（2024·吉林长春·模拟预测）是下列哪个不等式的一个解（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】解：A．，解得：，故此选项不符合题意； B．，解得：，故此选项不符合题意； C．，解得：，故此选项不符合题意； D．，解得：，故此选项符合题意． 故选：D． 2．（2023·云南红河·一模）关于的不等式，下列说法正确的是（    ） A．解集为 B．解集为 C．解集为取任何实数 D．无论取何值，不等式肯定有解 【答案】D 【解析】解：， 当时，不等式的解集为， 当时，不等式的解集为， 当时，为任意实数， 故选：D． 3．（2024·山东·模拟预测）若点关于坐标原点中心对称的点Q在第四象限，则m的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】解：由题知，点关于坐标原点中心对称的点Q的坐标为， 点Q在第四象限， ， 解得， 故选：D． 4．（2024·湖南长沙·模拟预测）若，，是某三角形的三边长，则可取的最大整数为（   ） A．10 B．9 C．8 D．7 【答案】C 【解析】解：∵，，是某三角形的三边长， ∴， 即：， ∴可取的最大整数为 故选：C． 5．若关于的不等式组有且只有2个整数解，且关于的方程的解是负整数，则符合条件的所有整数的和是（   ） A．33 B．28 C．27 D．22 【答案】D 【解析】解：解不等式得：， 解不等式得：， ∴， ∵关于的不等式组有且只有2个整数解， ∴， ∴， 解方程得：， ∵关于的方程的解是负整数， ∴或或或或或， ∴或或或或或， ∴符合条件的所有整数为和， ∵， ∴符合条件的所有整数的和是， 故选：D． 6．（2024·内蒙古兴安盟·二模）若关于x的不等式组的解集为，则m的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】解：解不等式得， 解不等式得：． 不等式组的解集为， ． 解得：． 故选：D 7．（2024·河北邯郸·三模）在三个盘子中，分别装有n个苹果（），先从左边的盘子中拿出两个苹果放入中间的盘子中，之后又从右边的盘子中拿出一个苹果放入中间的盘子中，最后从中间盘子中拿出一些苹果放入右边的盘子中，使中间盘子的苹果个数恰好是右边盘子的苹果个数，这时中间盘子中苹果的个数为（  ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】D 【解析】本题主要考查了整式的计算，设最后从中间盘子中拿出个苹果放入右边的盘子中， 第一次：左边盘子苹果个，中边盘子苹果个，右边盘子苹果个， 第二次：左边盘子苹果个，中边盘子苹果个，右边盘子苹果个， 第三次：左边盘子苹果个，中边盘子苹果个，右边盘子苹果．个， 根据题意有：， 解得：， 则最后中间盘子苹果的个数为：， ∵， ∴， 故选：D． 8．（2024·河北张家口·三模）如图，一个容量为的杯子中装有的水，先将颗相同的小玻璃球放入这个杯中后，总体积变为，接着依次放入个相同的小铁块，直到放入第个后，发现有水溢出．若每个小玻璃球的体积是，每个小铁块的体积是，则（    ） A． B． C．杯子中仅放入个小铁块，水一定会溢出 D．杯子中仅放入个小玻璃球，水一定不会溢出 【答案】D 【解析】解：∵体积变为，接着依次放入个相同的小铁块，直到放入第个后，发现有水溢出， ∴，故项错误； ∴， ∵装有的水，先将颗相同的小玻璃球放入这个杯中后，总体积变为， ∴， ∴ ∴，故项错误； ∵， ∴取时，， ∴杯子中仅放入个小铁块，水不一定会溢出，故项错误； ∵ ∴ ∴杯子中仅放入个小玻璃球，水一定不会溢出故项正确； 故选：． 二、填空题 9．（2023·辽宁沈阳·二模）不等式组的解集为 ． 【答案】 【解析】解：， 解不等式得，， 解不等式得，， ∴不等式组的解集为， 故答案为：． 10．（2024·广东·模拟预测）关于x，y的方程组的解满足，则n的取值范围是 ． 【答案】 【解析】解：， ，得， ∵， ∴， ∴． 故答案为：． 11．（2023·吉林长春·模拟预测）若关于x的方程：有实数根，则k的最大整数值为 ． 【答案】2 【解析】解：关于的一元二次方程有实数根， 解得． 所以满足的最大整数值为2． 故答案为：2． 12．（2024·重庆·模拟预测）若关于x的一元一次不等式组的解集为，且关于y的分式方程有非负数解，则所有满足条件的整数a的值之和是 ． 【答案】 【解析】解：∵ ， 解不等式①得：； 解不等式②得， ∵不等式组的解集为， ∴， 解得； ∵， 去分母得：， 整理，得， ∵方程有非负数整数解， ∴， ∴， ∵时，是方程的增根， 此时，无意义，舍去， ∴且 ∴符合题意的整数a的值为， ∴符合条件的所有整数a的和是， 故答案为：． 三、解答题 13．（2024·湖北武汉·模拟预测）求不等式组的最大整数解． 【答案】 【解析】解： 由①得， 由②得， ∴， ∴不等式组的最大整数解为． 14．（2024·广东·模拟预测）解不等式组并求它的所有的非负整数解的和． 【答案】，3 【解析】解：， 解不等式，得， 解不等式，得， 则不等式组的解集为， 不等式组的非负整数解有：， 不等式组的非负整数解的和为． 15．（2024·河北·模拟预测）现有单价为10元和5元的笔记本共15本，总金额不足95元，根据此信息，小强列出不完整的不等式：　　　　．根据小强所列的不等式，解答以下问题． (1)请写出未知数x表示的意义． (2)单价为10元的笔记本的本数有最大值还是最小值？请判断并求出这个值． 【答案】(1)x表示单价为5元的笔记本的本数 (2)单价为10元的笔记本的本数有最大值，这个值为3 【解析】（1）解∶根据题意，x表示单价为5元的笔记本的本数； （2）解：最大值，由题意，得， 解得， ∵x为正整数， ∴x有最小值，最小值为12， ∴有最大值，最大值为3， 即单价为10元的笔记本的本数有最大值，这个值为3． 16．（2024·广东深圳·模拟预测）为改善城市人居环境，某区域原来每天需要处理生活垃圾920吨，刚好被12个A型和10个B型预处置点位进行初筛、压缩等处理．已知一个A型点位比一个B型点位每天多处理7吨生活垃圾． (1)求每个B型点位每天处理生活垃圾的吨数； (2)由于垃圾分类要求提高，在每个点位每天将少处理8吨生活垃圾，同时由于市民环保意识增强，该区域每天需要处理的生活垃圾比原来少10吨．若该区域计划增设A型、B型点位共5个，试问至少需要增设几个A型点位才能当日处理完所有生活垃圾？ 【答案】(1)38吨(2)3个 【解析】（1）解：设每个B型点位每天处理生活垃圾吨，则每个A型点位每天处理生活垃圾吨， 根据题意，得， 解得． 答：每个B型点位每天处理生活垃圾38吨． （2）解：设需要增设个A型点位才能当日处理完所有生活垃圾， 由（1）可知垃圾分类要求提高前，每个A型点位每天处理生活垃圾45吨，则垃圾分类要求提高后，每个A型点位每天处理生活垃圾（吨）； 垃圾分类要求提高前，每个B型点位每天处理生活垃圾38吨，则垃圾分类要求提高后，每个B型点位每天处理生活垃圾（吨）． 根据题意，得， 解得． 是正整数， 符合条件的的最小值为3． 答：至少需要增设3个A型点位才能当日处理完所有生活垃圾． 17．（2024·湖南怀化·模拟预测）某校运动会需购买，两种奖品，若购买种奖品件和种奖品件，共需元；若购买种奖品件和种奖品件，共需元． (1)求、两种奖品的单价各是多少元？ (2)学校计划购买，两种奖品共件，购买费用不超过元，且种奖品的数量不大于种奖品数量的倍，设购买种奖品件，购买费用为元，写出元与件之间的函数关系式求出自变量的取值范围，并确定最少费用的值． 【答案】(1)种奖品的单价为元，种奖品的单价为元； (2)元与件之间的函数关系式是，最少费用的值为 【解析】（1）解：设种奖品的单价为元，种奖品的单价为元， 由题意可得：， 解得， 答：种奖品的单价为元，种奖品的单价为元； （2）解：由题意可得， ， 随的增大而减小， 购买费用不超过元，且种奖品的数量不大于种奖品数量的倍， ， 解得， 当时，取得最小值，此时， 答：元与件之间的函数关系式是，最少费用的值为． 能力提升 18．（2024·重庆·一模）用三个不等式，，中的一个不等式与作为条件，余下的其中一个不等式作为结论组成一个命题，其中能组成真命题的个数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【解析】解：根据题意，一共有6种命题组合， ①若，，则，取，，满足，，但，故该命题是假命题； ②若，，则，∵，，∴，∴，即，故该命题是真命题； ③若，，则，取，，满足，，但，故该命题是假命题； ④若，，则，∵，∴，即，∵，∴，∴，故该命题是真命题； ⑤若，，则，取，，满足，，但，故该命题是假命题； ⑥若，，则，取，，满足，，但，故该命题是假命题， 故真命题一共有2个， 故选：B． 19．（2024·浙江嘉兴·一模）已知，当取最小值时，S的取值范围是 ． 【答案】 【解析】解：， ， ， ， ， ， 当时，取最小值， ， ， ， 故答案为： 20．（2024·四川成都·三模）在平面直角坐标系中给出以下定义：点，点，，，则我们称B是A的“跳跃点”．若二次函数的图象上恰有两个点的“跳跃点”在直线上，则a的取值范围为 ． 【答案】且 【解析】解：设二次函数图象上的两点为点C、D， 题意得点 的“跳跃点”为，将代入， 得：， ∴，则点C在直线上，同理点D也在直线上， 对于二次函数， 令，则， 解得：或， ∴抛物线与x轴交于和， 当时，抛物线与直线的大致图象如图： 直线也经过，设为点D，另一个交点设为点C， 则联立直线和抛物线的表达式得到， 则， 则，解得， 则，而， ∴ ， ∴， 对于，化简为：， 而直线和抛物线在时有两个交点，故 ∴ ∴， ∴且； 当时，如图： 直线不可能与抛物线在时有两个交点，故舍， 综上：且． 21．（2024·浙江杭州·一模）在平面直角坐标系中，点和都在二次函数是常数）的图象上． (1)若，求该二次函数的表达式． (2)若，求b的取值范围． (3)已知点也都在该二次函数图象上，若且，试比较的大小，并说明理由． 【答案】(1) (2) (3)，理由见解析 ，用作差的方法可得到答案． 【解析】（1）解：当时，把和代入得： ， 解得， ∴二次函数的表达式为； （2）解：当时，， 把和代入得：， ， ， 解得， ∴的取值范围是； （3）解：把和代入得： ， ， ， 或， 由得， ， ∴无解， 即无解， 则 且， 把代入， 得：， ， ， ， ． 22．（2024·江西南昌·模拟预测）剪纸是一种镂空艺术，在视觉上给人以透空的感觉和艺术享受，剪纸内容多，寓意广，生活气息浓厚．某商家在春节前夕购进甲、乙两种剪纸装饰套装共60套进行销售，已知购进一套甲种剪纸比购进一套乙种剪纸多10元，购进2套甲种剪纸和3套乙种剪纸共需220元． (1)求这两种剪纸购进时的单价分别为多少元？ (2)设购进甲种剪纸装饰x套()，购买甲、乙两种剪纸装饰共花费y元，求y与x之间的函数关系式； (3)若甲种剪纸的售价为65元/套，乙种剪纸的售价为50元/套，该商家计划购进这批剪纸装饰所花的总费用不超过2800元，要使这批剪纸装饰全部售完时商家能获得最大利润，请你帮助商家设计购进方案，并求出最大利润． 【答案】(1)甲种剪纸装饰套装单价为元，乙种剪纸装饰套装单价为元 (2) (3)甲种剪纸装饰套，乙种剪纸装饰套时，所获利润最大，最大利润为元 【解析】（1）设乙种剪纸装饰套装单价为元，则甲种剪纸装饰套装单价为元，根据题意，得 解得 ， ∴甲种剪纸装饰套装单价为元，乙种剪纸装饰套装单价为元． （2）设购进甲种剪纸装饰套， 则购进乙种剪纸装饰套，购买甲、乙两种剪纸装饰共花费元，根据题意，得 ， 即 ∴与之间的函数关系式为； （3）设甲、乙两种剪纸装饰获得的利润为元，根据题意，得 即 ， ∴随的增大而增大 ∵该商家计划购进这批剪纸装饰所花的总费用不超过元， ，即， 解得， ∵为非负整数 ∴当 时，取最大值，(元)， 此时套， 即商家购进甲种剪纸装饰套，乙种剪纸装饰套时，所获利润最大，最大利润为元． 23．（2024·福建莆田·模拟预测）根据以下素材，探索完成任务一： 如何设计购买方案？ 素材 某校名同学要去参观航天展览馆，已知展览馆分为，，三个场馆，且购买张场馆门票和张场馆门票共需元，购买张场馆门票和张场馆门票共需元．场馆门票为每张元 素材 由于场地原因，要求到场馆参观的人数要少于到B场馆参观的人数，且每位同学只能选择一个场馆参观．参观当天刚好有优惠活动：每购买张场馆门票就赠送张场馆门票． 问题解决 任务 确定场馆门票价格 求场馆和场馆的门票价格． 任务 探究经费的使用 若购买场馆门票赠送的场馆门票刚好够参观场馆的同学使用，求此次购买门票所需总金额的最小值． 任务 拟定购买方案 若参观场馆的同学除了使用掉赠送的门票外，还需购买部分门票，且让去场馆的人数尽量的多，最终购买三种门票共花费了元，请你直接写出购买方案． 【答案】任务：场馆门票的单价为元，场馆门票的单价为元； 任务：此次购买门票所需总金额的最小值为元； 任务：购买张场馆门票，张场馆门票，张场馆门票或购买张场馆门票，张场馆门票，张场馆门票 【解析】解：任务： 设场馆门票为元，场馆门票为元， 由题意得：， 解得：， 答：场馆门票的单价为元，场馆门票的单价为元； 任务： 设购买场馆门票张，则购买场馆门票张， 依题意，得：， 解得：， 设此次购买门票所需总金额为元， 则， ， 随的增大而减小， ，且为整数， 当时，取得最小值，最小值元， 答：此次购买门票所需总金额的最小值为元； 任务： 设购买场馆门票张，场馆门票张，则购买场馆门票张， 依题意得，， ∴， 又∵均为正整数， ∴或或， 当，时，，符合题意； 当时，，符合题意； 当时，，不合题意，舍去； ∴购买张场馆门票，张场馆门票，张场馆门票或购买张场馆门票，张场馆门票，张场馆门票． $$第二章 方程（组）与不等式（组） 第05讲 一元一次不等式（组）（5~8分） （思维导图+4考点+2命题点11种题型（含6种解题技巧）） 试卷第1页，共3页 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！9 学科网（北京）股份有限公司 01考情透视·目标导航 02知识导图·思维引航 03考点突破·考法探究 考点一 不等式及不等式的性质 考点二 一元一次不等式 考点三 一元一次不等式组 考点四 一次不等式（组）的实际应用 04题型精研·考向洞悉 命题点一 不等式及不等式的性质 ►题型01 不等式的性质 ►题型02 不等式的解集的含义 命题点二 一元一次不等式（组）的概念与解法 ►题型01 求一元一次不等式的解集 ►题型02 求一元一次不等式的整数解 ►题型03 在数轴上表示不等式的解集 ►题型04 求不等式组的解集 ►题型05 求一元一次不等式组的整数解 ►题型06 由一元一次不等式组的解集求参数 命题点三 一次不等式（组）的实际应用 ►题型01 方案选择问题 ►题型02 销售、利润问题 05分层训练·巩固提升 基础巩固 能力提升 01考情透视·目标导航 考点要求 新课标要求 考查频次 命题预测 不等式及不等式的性质 结合具体问题，了解不等式的意义，探索不等式的基本性质 10年2考 一元一次不等式（组）这一考点在安徽中考数学中属于较为简单的一类考点，在中考，不等式及不等式的性质主要以选择题或填空题形式考查，比较简单；一元一次不等式（组）的解法多以填空题或者计算题的形式考查，有时会与方程或方程组结合考查列方程或不等式（组）的实际应用常以应用题的形式出现； 对于一元一次不等式（组）的复习，需要学生熟练掌握不等式的基本性质、一元一次不等式（组）的解法、列方程或不等式（组）的步骤等考点. 一元一次不等式 能解数字系数的一元一次不等式，并能在数轴上表示出解集 10年6考 一元一次不等式组 会用数轴确定两个一元一次不等式组成的不等式组的解集 10年3考 一元一次不等式（组）的实际应用 能根据具体问题中的数量关系，列出一元一次不等式，解决简单的问题. 10年2考 02知识导图·思维引航 03考点突破·考法探究 考点一 不等式及不等式的性质 1.正负数的概念：大于0的数叫做正数.正数前面加上符号“-”的数叫负数.负数前面的负号“-”不能省 一、不等式的相关概念 不等式的定义：用不等号“＞”、“≥”、“＜”、“≤”或“≠”表示不等关系的式子，叫做不等式. 不等式的解：使不等式成立的未知数的值，叫做不等式的解. 不等式的解集：一个含有未知数的不等式的所有解，组成这个不等式的解集. 不等式的解集的表示方法：①用不等式表示；②用数轴表示. 解不等式的概念：求不等式的解集的过程，叫做解不等式. 二、不等式的性质 基本性质1 若a>b，则a±c > b±c 若a<b，则a±c < b±c 基本性质2 若a>b,c>0，则ac>bc（或） 基本性质3 若a>b,c<0，则ac<bc（或） 1. 方程与不等式的区别：方程表示的是相等关系，不等式表示的是不等关系. 2. 常见的不等号有：≠，>，≥，<，≤五种. 3. 用数轴表示不等式的解集：大于向右，小于向左，有等号画实心圆点，无等号画空心圆点. 4. 不等式的解与不等式的解集的区别与联系： 1）不等式的解是指满足这个不等式的未知数的某个值. 2）不等式的解集是指满足这个不等式的未知数的所有的值. 3）不等式的所有解组成了这个不等式的解集，不等式的解集中包括这个不等式的每一个解. 5. 在列不等式时，要注意抓住问题中的一些关键词语，如：不小于，至少，大于、不高于、不低于等. 同时要根据关键词准确地选用不等号．另外，对一些实际问题的提示还要注意结合实际． 6. 运用不等式的性质的注意事项： 1）不等式两边都要参与运算，并且是作同一种运算． 2）不等式两边加或减，乘或除以的数一定是同一个数或同一个式子． 3）不等式两边不能同时除以0，即0不能作除数或分母． 4） 运用不等式的性质进行不等式变形时,要特别注意性质2和性质3的区别,在乘(或除以)同一个数时,必须先弄清楚这个数是正数还是负数,如果是负数,不等号要改变方向. 考点二 一元一次不等式 一元一次不等式的概念:不等式的左右两边都是整式，只含有一个未知数并且未知数的最高次数是1，像这样的不等式叫一元一次不等式. 一元一次不等式的一般形式：或. 步骤 具体做法 依据 注意事项 去分母 在不等式两边都乘以各分母的最小公倍数 不等式性质2、3 1）不要漏乘不含分母的项； 2）当分母中含有小数时，先将小数化成整数，再去分母. 3）如果分子是多项式，去分母后要加括号. 去括号 先去小括号，再去中括号，最后去大括号 分配律 去括号法则 1) 去括号时，括号前的数要乘括号内的每一项; 2) 括号前面是负数时,去掉括号后,括号内各项都要变号； 3）括号前面是正数时,去掉括号后,括号内各项都不变号. 移项 把含有未知数的项移到不等式左边，其它项都移到不等式右边 不等式性质1 1）移项时不要漏项; 2）将不等式中的项从一边移到另一边要变号.而在不等式同一边改变项的位置时不变号. 合并同类项 把不等式变为或的形式 合并同类项法则 1）不要漏项； 2）系数的符号处理要得当. 系数化为1 将不等式两边都除以未知数系数a，得到不等式的解 不等式性质2、3 1)不等式两边都除以未知数系数; 2)当系数为负数，不等号的方向发生改变. 1. 一元一次不等式满足的条件：①不等式的左右两边都是整式；②只含有一个未知数；③未知数的最高次数是1. 2. 进行“去分母”和“系数化为1”时，要根据不等号两边同乘以（或除以）的数的正负，决定是否改变不等号的方向，若不能确定该数的正负，则要分正、负两种情况讨论． 3. 在解一元一次不等式时,上述的五个步骤不一定都能用到,并且也不一定按照自上而下的顺序,要根据不等式的形式灵活安排求解步骤. 与一元一次不等式的特殊解有关的解题方法： 类型一 求一元一次不等式特殊解的方法 解决此类问题的关键：正确求出不等式的解集，再根据题目要求求出其特殊解．可以借助数轴进行数形结合，得到需要的值，进而非常容易的解决问题． 类型二 已知一元一次不等式解集（整数解）求字母的取值． 解决此类问题的关键：先把题目中除未知数外的字母当作常数看待解不等式，再根据题目中的限制条件得到有关字母的代数式，最后解代数式即可得到答案． 点三 一元一次不等式组 一元一次不等式组的概念：一般地，关于同一未知数的几个一元一次不等式合在一起，组成一元一次不等式组． 一元一次不等式组的解集：几个一元一次不等式的解集的公共部分，叫做由它们所组成的不等式组的解集． 不等式组解集的确定有两种方法： （1）数轴法：在数轴上找出各不等式解集的公共部分，这个公共部分就是不等式组的解集. （2）口诀法：大大取大，小小取小，大小、小大中间找，大大、小小取不了． 解一元一次不等式组的一般步骤： （1）求出不等式组中各不等式的解集. （2）将各不等式的解决在数轴上表示出来. （3）在数轴上找出各不等式解集的公共部分，这个公共部分就是不等式组的解集. 1. 在求不等式组的解集的过程中，通常是利用数轴来表示不等式组的解集的. 2. 利用数轴表示不等式组解集时，要把几个不等式的解集都表示出来，不能仅画公共部分. 考点四 一次不等式（组）的实际应用 一元一次不等式（组）的应用题的关键语句： 1）列不等式解应用题需要以“至少”、“最多”、“不超过”、“不低于”等词来体现问题中的不等关系，因此，建立不等式要善于从“关键词”中挖掘其内涵． 2）对一些实际问题的提示还要注意结合实际.有些不等关系隐含于生活常识中,如小王用50元去买单价为6元的笔记本.设买x本，求x的取值范围时,其问题中就隐含着所花钱数不能超过50元.由此可得出不等式 6x≤50. 用一元一次不等式（组）解决实际问题的步骤： 审：理解并找出实际问题中的等量关系; 设：用代数式表示实际问题中的基础数据; 列：找到所列代数式中的等量关系，以此为依据列出方程; 解：求解方程; 验：考虑求出的解是否具有实际意义; 答：实际问题的答案. 1.在解决实际应用问题时，关键是找对不等关系，根据不等关系列出不等式或不等式组； 2.有时题目中并不含有不等关系，而需要同学们根据生活常识列出不等式； 3.对所求的不等式的解集或解进行检验，看是否符合题意或实际情况。 04题型精研·考向洞悉 命题点一 不等式及不等式的性质 ☛题型01 不等式的性质 例1．（2024·安徽·中考真题）已知实数a，b满足，，则下列判断正确的是（    ） A． B． C． D． 在利用不等式的基本性质进行变形时，要特别注意不等号两边都乘以或除以一个负数的时候，不等号要变号 1．（2024·安徽滁州·二模）已知实数a，b，c，其中且满足，，则下列结论不正确的是（    ） A． B． C． D． 2．（2024·安徽合肥·二模）已知实数a，b满足：，，则下列结论不正确的是（   ） A． B． C． D． 3．（2024·安徽安庆·二模）已知非零实数a，b，c满足：，，则下列结论正确的是（   ） A． B． C． D． 4．（2024·安徽合肥·二模）若实数a，b，c满足，，则下列结论中正确的是（    ） A．， B．， C． ， D．， ☛题型02 不等式的解集的含义 例2．（2023·吉林白城·模拟预测）下列说法正确的是（　　） A．不等式的解是 B．不等式的解是 C．是不等式的一个解 D．是不等式的一个解 判断未知数的值是否是不等式的解集的方法： （1）求出不等式的解集，看所给未知数的值是否在所求解集内。 （2）可以将未知数的值代入不等式中，看是否能够使不等式成立。 1.（2024·浙江嘉兴·三模）若， 则下列各式成立的是（    ） A． B． C． D． 2．（2023·广东东莞·一模）下列数值中，不是不等式的解的是(　　) A． B． C． D． 3．（2023·河北保定·三模）下列说法正确的是（    ） A．是不等式的一个解 B．不是不等式的解 C．不等式的解只有 D．不等式的解集是 4．（2023·广东佛山·一模）在，，，，这五个数中，是不等式解的共有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 命题点二 一元一次不等式（组）的概念与解法 ☛题型01 求一元一次不等式的解集 例1．（2022·安徽·中考真题）不等式的解集为 ． 1.在去分母时要注意两点： ①不要漏乘整数项； ②去括号时，分子是多项式时，要加括号； ③利用不等式的性质3去分母时，注意要变号。 2.移项时不等式中的某一项从不等号的一边移到不等号的另一边时，要进行变号； 3.系数化为1时，若不等号两边都乘以或除以一个负数时，不等号要变号。 1．（2024·安徽合肥·三模）不等式的解集为 ． 2．（2024·安徽·三模）解不等式： 3．（2024·安徽合肥·三模）解不等式：． 4．（2024·安徽·模拟预测）解不等式：． ☛题型02 求一元一次不等式的整数解 例2．（2024·安徽六安·模拟预测）关于的不等式的最大整数解为 ． 1.先根据不等式的基本性质，求出不等式的解集； 2.在解集范围内找出符合条件的整数解； 1．（2023·安徽芜湖·二模）不等式的正整数解有 个． 2．（2024·江苏盐城·中考真题）求不等式的正整数解． 3．（2024·陕西商洛·模拟预测）求不等式的正整数解． 4．（2024·陕西西安·模拟预测）解不等式，并写出其所有的负整数解． ☛题型03 在数轴上表示不等式的解集 例3．（2023·安徽·中考真题）在数轴上表示不等式的解集，正确的是（   ） A．   B．     C．       D．      1.在数轴上表示不等式的解集时，先求出不等式的解集； 2.带等号的用实心表示，不带等号的用空心表示； 3.大于右转，小于左转。 1．（2024·安徽淮北·三模）在数轴上表示不等式的解集，正确的是（    ） A．   B．   C．   D．   2．（2024·安徽滁州·模拟预测）解不等式：，并把它的解集在数轴上表示出来． 3．（2024·安徽合肥·三模）解不等式，并把它的解集表示在数轴上． 4．（2024·安徽芜湖·三模）解不等式，并把解集在数轴上表示出来． ☛题型04 求不等式组的解集 例4．（2024·安徽合肥·二模）在数轴上表示不等式组的解集，正确的是（    ） A． B． C． D． 1.分别求出每个不等式的解集 2.根据同大取大，同小取小，大小小大取中间，大大小小无解来确定不等式组的解集； 3.当不等式组由3个以上的不等式组成时，在求出每个不等式的解集后，先确定不等号相同的不等式的解集。 1．（2024·安徽阜阳·三模）不等式组中，不等式组的解集在数轴上表示正确的是（    ） A． B． C． D． 2．（2024·安徽合肥·二模）解不等式组：，并将解集在数轴上表示出来． 3．（2024·安徽滁州·二模）解不等式组，并把解集在数轴上表示出来． 4．（2024·安徽滁州·一模）解不等式组：并将解集在数轴上表示出来． ☛题型05 求一元一次不等式组的整数解 例5．（2024·安徽合肥·三模）不等式组的最小整数解为（    ） A．0 B． C．1 D．3 先确定不等式组的解集，在解集范围内，找出符合条件的整数解； 1．（2024·安徽·一模）若关于x的一元一次不等式组有且仅有4个整数解，且关于y的分式方程的解是非负整数，则满足条件的所有整数a的值之积为（ ） A．0 B． C． D．8 2．（2024·安徽合肥·一模）不等式组的正整数解可以是（   ） A．3 B．5 C．6 D．7 3．（2024·安徽·三模）解不等式：，并写出符合条件的正整数解． 4．（2023·安徽滁州·二模）解不等式（组）：，并求出的整数解． ☛题型06 由一元一次不等式组的解集求参数 例6．（2023·四川乐山·模拟预测）若关于的不等式组有且只有两个整数解，求的取值范围． 1.先用参数表示出不等式组的解集； 2.根据整数解的数量确定参数的范围； 3.在确定端点处是否要带等号时，可以先假设带等号，判断端点是否在解集中，再看解集中是否需要该端点。 1．（2024·湖北·模拟预测）若关于x的一元一次不等式组的解集是，则m的取值范围是（    ） A． B． C． D． 2．（2024·江苏南通·二模）若存在，使的值同时大于和的值，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 3．（2023·山东德州·一模）不等式组的整数解共有是5个，那么的取值范围是 ． 4．（2024·河南驻马店·模拟预测）若关于的不等式组有且仅有两个整数解，则的取值范围为 ． 命题点三 一次不等式（组）的实际应用 ☛题型01 方案选择问题 例1．（2023·湖南岳阳·模拟预测）为全面实施乡村振兴战略，我市某居民村在开展“宜居乡村”建设中，决定购买大，小两款盆景对村里的主干道进行美化改造，根据园艺场报价：若订购大盆景2盆，小盆景3盆，报价240元；若订购大盆景4盆，小盆景5盆，报价440元． (1)求大，小两款盆景的单价各是多少元？ (2)该居民村共筹集资金4000元用于订购这两款盆景，在订购了50盆小盆景后，至多还可订购多少盆大盆景？ 1．（2024·湖南长沙·模拟预测）为提高学生综合素养，我市某中学拟组织学生进行红色之旅研学活动，相关组织老师发现：若按原计划租用可坐乘客45人的种客车若干辆，则有30人将没有座位；若租用可坐乘客60人的种客车，则比原计划可少租6辆，且恰好坐满． (1)求本次红色之旅研学活动共有多少人参加？原计划租用种客车多少辆？ (2)若该校更改计划，同时租用、两种客车共25辆，要求种客车不超过7辆，且座位有剩余，则有哪些租车方案？ (3)在（2）的条件下，若种客车租金每辆300元，种客车租金为每辆220元，应该怎样租车才最合算？ 2．（2024·贵州黔东南·一模）“快乐村超，活力四射”，榕江某村超产品制造商制作村超小摆件、蜡染背心、民族服饰，其中制作小摆件的数量是民族服饰数量的5倍，制造商制作每件产品所需时间和利润如下表： 产品 民族服饰 小摆件 蜡染背心 制作一件产品所需时间（小时） 1 制作一件产品所获利润（元） 20 3 10 (1)若制作三种产品共计需要25小时，所获利润为450元，求制作小摆件、蜡染背心和民族服饰的数量； (2)若制造商所获利润为700元，且三种产品均有制作，求制作三种产品总量的最小值． 3．（2024·山东东营·模拟预测）5G具有高速率、低时延、高可靠性等特点，是新一代信息技术发展方向和数字经济的重要基础设施，5G将开启令人振奋的全新机遇，为世界相互连接、计算和沟通方式带来超越想象的变革，中国的5G规模领先世界．某科技公司试生产了两批A，B两种5G通信设备，经市场调查研究，将A，B两种设备的售价分别定为3500元、2800元．两批试生产的设备情况及相应的生产成本统计如下表： A设备（单位：台） B设备（单位：台） 总生产成本（单位：元） 第一批 10 5 35000 第二批 15 10 57500 (1)A，B两种设备平均每台的成本分别为多少元？ (2)因核心科技材料供不应求，该公司计划正式生产A，B两种设备共100台，若A设备数量不超过B设备数量的3倍，并且B设备数量不超过30台，一共有多少种生产方案？哪种生产方案能获得最大利润？ 4．（2024·四川德阳·模拟预测）为推进城乡教育均衡发展，我市某公益组织决定向某偏远乡镇学校的教育事业提供大力支持．他们精心准备了一批书籍和实验器材，共计360套，其中书籍的数量比实验器材多了120套，以更好地满足学生的阅读需求． (1)求这批物资中书籍和实验器材各有多少套？ (2)为了将这些书籍和实验器材安全、高效地运送到目的地，该公益组织计划同时租用甲、乙两种型号的货车共8辆．每辆甲种货车最多可装书籍40套和实验器材10套，每辆乙种货车最多可装书籍30套和实验器材20套．请问他们有哪几种租车方案？ (3)在（2）的条件下，已知甲种型号的货车每辆需付运费1000元，而乙种型号的货车每辆需付运费900元．请你帮助该组织推荐一种能使运费最少的租车方案，并求最少运费是多少元？ ☛题型02 销售、利润问题 例2．（2024·湖南娄底·模拟预测）2023年1月8日电，我国首次散船进口巴西玉米，标志着巴西玉米输华走廊正式打通，对加强中巴农业合作、维护全球农业供应链安全稳定等产生积极深远影响． (1)今年8月，我国从巴西和美国进口玉米共100万吨，用去227500万元，若从巴西进口玉米2500元/吨，从美国进口玉米2000元/吨，则8月份从两国各进口玉米多少万吨？ (2)若我国计划11月份需从巴西和美国进口玉米共160万吨，从巴西进口玉米总量不少于从美国进口玉米总量，且总费用不超过380000万元，再以2830元／吨的价格全部售出，问从巴西进口多少玉米才能获得最大利润，最大利润是多少？ 1．（2024·贵州遵义·二模）贵州出产的茶叶品种众多，畅销各地，茶产业是农民增加收入的一种重要途径．某县重点推出了A，B两种品牌茶叶，已知某商店购买1盒A茶叶和1盒B茶叶共用540元，购买2盒A茶叶和3盒B茶叶共用1340元． (1)购买A，B两种茶叶的单价各是多少元？ (2)该店计划用不超过27800元购买A，B两种茶叶共100盒，且A的数量不低于B数量的，若两种茶叶的售价均为每盒350元，该店如何安排进货，使销售完两种茶叶获得利润最大，并求这个最大利润． 2．（2024·宁夏银川·一模）随着梦天实验舱的顺利发射，我国空间站完成了在轨组装，为了庆祝这令人激动的时刻，某校开展了关于空间站的科学知识问答竞赛．为了奖励在竞赛中表现优异的学生，学校准备一次性购买A，B两种航天器模型作为奖品．已知购买1个A模型和1个B模型共需139元；购买3个A模型和2个B模型共需356元． (1)求A模型和B模型的单价； (2)根据学校的实际情况，需一次性购买A模型和B模型共20个，但要求购买A模型的数量多于12个，且不超过B模型的3倍．请你给出一种费用最少的方案，并求出该方案所需的费用． 3．（2024·河南新乡·模拟预测）某校要购置一批饮水机，选定了A，B两种款式．通过调研得知：购买2台A 款饮水机和1台B款饮水机共需1000元，购买3台A款饮水机和2台B款饮水机共需1700元． (1)求A，B两款饮水机的单价各多少元． (2)若该学校准备购买A，B两款饮水机共30台（每款至少购置5台），要求总费用不超过10000元，则对购买A款饮水机在数量上有什么要求？说明理由． (3)在（2）的购买方案下，若甲、乙两商店以同样价格出售这两款饮水机，同时又各自推出不同的优惠方案：在甲商店购买A款饮水机按单价的收费，B款饮水机不优惠；在乙商店购买A款饮水机不优惠，但购买B款饮水机按单价的收费．问学校选择哪家商店购买饮水机花费较少？ 4．（2024·湖南长沙·模拟预测）长沙地铁“七号线”正在进行修建，现有大量的残土需要运输．某车队有载重量为吨、吨的卡车共辆，全部车辆运输一次可以运输吨残土． (1)求该车队有载重量吨、吨的卡车各多少辆？ (2)随着工程的进展，该车队需要一次运输残土不低于吨，不超过吨，为了完成任务，该车队准备新购进这两种卡车共辆，若载重量为吨、吨的卡车购买价格分别为万元每台和万元每台．请问哪种购车方案总花费最少？最少花费是多少？ 基础巩固 一、单选题 1．（2024·吉林长春·模拟预测）是下列哪个不等式的一个解（    ） A． B． C． D． 2．（2023·云南红河·一模）关于的不等式，下列说法正确的是（    ） A．解集为 B．解集为 C．解集为取任何实数 D．无论取何值，不等式肯定有解 3．（2024·山东·模拟预测）若点关于坐标原点中心对称的点Q在第四象限，则m的取值范围为（    ） A． B． C． D． 4．（2024·湖南长沙·模拟预测）若，，是某三角形的三边长，则可取的最大整数为（   ） A．10 B．9 C．8 D．7 5．若关于的不等式组有且只有2个整数解，且关于的方程的解是负整数，则符合条件的所有整数的和是（   ） A．33 B．28 C．27 D．22 6．（2024·内蒙古兴安盟·二模）若关于x的不等式组的解集为，则m的取值范围是（    ） A． B． C． D． 7．（2024·河北邯郸·三模）在三个盘子中，分别装有n个苹果（），先从左边的盘子中拿出两个苹果放入中间的盘子中，之后又从右边的盘子中拿出一个苹果放入中间的盘子中，最后从中间盘子中拿出一些苹果放入右边的盘子中，使中间盘子的苹果个数恰好是右边盘子的苹果个数，这时中间盘子中苹果的个数为（  ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 8．（2024·河北张家口·三模）如图，一个容量为的杯子中装有的水，先将颗相同的小玻璃球放入这个杯中后，总体积变为，接着依次放入个相同的小铁块，直到放入第个后，发现有水溢出．若每个小玻璃球的体积是，每个小铁块的体积是，则（    ） A． B． C．杯子中仅放入个小铁块，水一定会溢出 D．杯子中仅放入个小玻璃球，水一定不会溢出 二、填空题 9．（2023·辽宁沈阳·二模）不等式组的解集为 ． 10．（2024·广东·模拟预测）关于x，y的方程组的解满足，则n的取值范围是 ． 11．（2023·吉林长春·模拟预测）若关于x的方程：有实数根，则k的最大整数值为 ． 12．（2024·重庆·模拟预测）若关于x的一元一次不等式组的解集为，且关于y的分式方程有非负数解，则所有满足条件的整数a的值之和是 ． 三、解答题 13．（2024·湖北武汉·模拟预测）求不等式组的最大整数解． 14．（2024·广东·模拟预测）解不等式组并求它的所有的非负整数解的和． 15．（2024·河北·模拟预测）现有单价为10元和5元的笔记本共15本，总金额不足95元，根据此信息，小强列出不完整的不等式：　　　　．根据小强所列的不等式，解答以下问题． (1)请写出未知数x表示的意义． (2)单价为10元的笔记本的本数有最大值还是最小值？请判断并求出这个值． 16．（2024·广东深圳·模拟预测）为改善城市人居环境，某区域原来每天需要处理生活垃圾920吨，刚好被12个A型和10个B型预处置点位进行初筛、压缩等处理．已知一个A型点位比一个B型点位每天多处理7吨生活垃圾． (1)求每个B型点位每天处理生活垃圾的吨数； (2)由于垃圾分类要求提高，在每个点位每天将少处理8吨生活垃圾，同时由于市民环保意识增强，该区域每天需要处理的生活垃圾比原来少10吨．若该区域计划增设A型、B型点位共5个，试问至少需要增设几个A型点位才能当日处理完所有生活垃圾？ 17．（2024·湖南怀化·模拟预测）某校运动会需购买，两种奖品，若购买种奖品件和种奖品件，共需元；若购买种奖品件和种奖品件，共需元． (1)求、两种奖品的单价各是多少元？ (2)学校计划购买，两种奖品共件，购买费用不超过元，且种奖品的数量不大于种奖品数量的倍，设购买种奖品件，购买费用为元，写出元与件之间的函数关系式求出自变量的取值范围，并确定最少费用的值． 能力提升 18．（2024·重庆·一模）用三个不等式，，中的一个不等式与作为条件，余下的其中一个不等式作为结论组成一个命题，其中能组成真命题的个数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 19．（2024·浙江嘉兴·一模）已知，当取最小值时，S的取值范围是 ． 20．（2024·四川成都·三模）在平面直角坐标系中给出以下定义：点，点，，，则我们称B是A的“跳跃点”．若二次函数的图象上恰有两个点的“跳跃点”在直线上，则a的取值范围为 ． 21．（2024·浙江杭州·一模）在平面直角坐标系中，点和都在二次函数是常数）的图象上． (1)若，求该二次函数的表达式． (2)若，求b的取值范围． (3)已知点也都在该二次函数图象上，若且，试比较的大小，并说明理由． 22．（2024·江西南昌·模拟预测）剪纸是一种镂空艺术，在视觉上给人以透空的感觉和艺术享受，剪纸内容多，寓意广，生活气息浓厚．某商家在春节前夕购进甲、乙两种剪纸装饰套装共60套进行销售，已知购进一套甲种剪纸比购进一套乙种剪纸多10元，购进2套甲种剪纸和3套乙种剪纸共需220元． (1)求这两种剪纸购进时的单价分别为多少元？ (2)设购进甲种剪纸装饰x套()，购买甲、乙两种剪纸装饰共花费y元，求y与x之间的函数关系式； (3)若甲种剪纸的售价为65元/套，乙种剪纸的售价为50元/套，该商家计划购进这批剪纸装饰所花的总费用不超过2800元，要使这批剪纸装饰全部售完时商家能获得最大利润，请你帮助商家设计购进方案，并求出最大利润． 23．（2024·福建莆田·模拟预测）根据以下素材，探索完成任务一： 如何设计购买方案？ 素材 某校名同学要去参观航天展览馆，已知展览馆分为，，三个场馆，且购买张场馆门票和张场馆门票共需元，购买张场馆门票和张场馆门票共需元．场馆门票为每张元 素材 由于场地原因，要求到场馆参观的人数要少于到B场馆参观的人数，且每位同学只能选择一个场馆参观．参观当天刚好有优惠活动：每购买张场馆门票就赠送张场馆门票． 问题解决 任务 确定场馆门票价格 求场馆和场馆的门票价格． 任务 探究经费的使用 若购买场馆门票赠送的场馆门票刚好够参观场馆的同学使用，求此次购买门票所需总金额的最小值． 任务 拟定购买方案 若参观场馆的同学除了使用掉赠送的门票外，还需购买部分门票，且让去场馆的人数尽量的多，最终购买三种门票共花费了元，请你直接写出购买方案． $$