第04讲 一次方程与方程组（讲练）（思维导图+18种题型（含11种解题技巧））-【上好课】2025年中考数学一轮复习讲练测（安徽专用）

第二章 方程（组）与不等式（组） 第04讲 一次方程与方程组（8分） （思维导图+3考点+3命题点18种题型（含11种解题技巧）） 试卷第1页，共3页 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！28 学科网（北京）股份有限公司 01考情透视·目标导航 02知识导图·思维引航 03考点突破·考法探究 考点一 一元一次方程 考点二 二元一次方程（组） 考点三 一次方程（组）的应用 04题型精研·考向洞悉 命题点一 一次方程（组）的概念 ►题型01 已知方程的解求参数或代数式的值 ►题型02 等式基本性质的应用 ►题型03 判断是否是二元一次方程组的解 ►题型04 已知二元一次方程组的解求参数或代数式的值 命题点二 解方程或方程组 ►题型01 解一元一次方程合并同类项与移项 ►题型02 解一元一次方程去括号 ►题型03 解一元一次方程去分母 ►题型04 代入消元法解二元一次方程组 ►题型05 加减消元法解二元一次方程组 ►题型06 整体法求代数式的值 ►题型07 整体思想解二元一次方程组中的应用 命题点三 列方程（组）解应用题 ►题型01 配套问题 ►题型02 工程问题 ►题型03 销售盈亏问题 ►题型04 方案选择问题 ►题型05 和差倍分问题 ►题型06 行程问题 ►题型07 古代问题 05分层训练·巩固提升 基础巩固 能力提升 01考情透视·目标导航 考点要求 新课标要求 考查频次 命题预测 一元一次方程 理解等式的基本性质，能解一元一次方程。 10年6考 一次方程与方程组这一考点在安徽中考数学中属于较为简单的一类考点，在中考，一元一次方程的考查主要以应用题形式考查，比较简单；在选择和填空题中考查较少，有时也会以规律探究的形式进行考查；二元一次方程（组）与一元一次方程类似考查方式以列方程解应用题为主要考查方式；总体的考查难度较小. 对于一次方程的复习，需要学生熟练掌握等式的基本性质以及一次方程（组）的解法，列方程解应用题的步骤. 二元一次方程（组） 掌握消元法，能解二元一次方程组 能解简单的三元一次方程组[选学] 10年4考 一次方程（组）的应用 利用一次方程求解实际问题 近10年连续考查 02知识导图·思维引航 03考点突破·考法探究 考点一 一元一次方程 1.方程的概念：含有未知数的等式。 2.方程的解：能够使方程两边相等的未知数的值称为方程的解。 3.解方程：求未知数的值的过程称为解方程。 4.等式的基本性质： 基本性质1：等式两边同时加上或者减去同一个数或式子，所得结果仍相等。 基本性质2：等式两边同时乘以或除以同一个不为0的数，所得结果仍相等。 5.一元一次方程：只含有一个未知数，未知数的次数为1的整式方程。 6.解一元一次方程： （1）去分母：方程两边同时乘以分母的最小公倍数。 （2）去括号：利用乘法分配律，进行去括号。 （3）移项：利用等式的基本性质1，将方程中含有未知数的项移到等号的左边，把不含未知数的项移到等号的右侧。 （4）合并同类项：移项后分别对含有未知数的项与不含未知数的项进行合并同类项； （5）系数化为1：利用等式的两边同时除以未知数的系数。 1.利用等式的性质进行变形时，等式两边都要参加运算，而且是同一种运算. 2.运用等式的性质2时，等式两边不能同时除以0，因为0不能作除数或分母. 3.在去分母时，不要漏乘整数项； 4.在去分母时，分子是多项式的在去分母后，分子要加括号； 5.在移项时要注意改变符号； 6. 对于分母中含有小数的一元一次方程．当分母中含有一位小数时，含分母项的分子、分母都乘10，化分母中的小数为整数；当分母中含有两位小数时，含分母项的分子、分母都乘100，化分母中的小数为整数． 考点二 二元一次方程组 1.二元一次方程的定义：方程含有两个未知数，并且含有未知数的项的次数都是1，像这样的方程叫做二元一次方程. 2.构成二元一次方程的条件： (1)方程中含有两个未知数，即未知数的系数不能为0. (2)含未知数的项的次数是1,而不是未知数的次数是1. (3)二元一次方程是整式方程，即等式的两边必须都是整式(分母中不含有未知数). 3.二元一次方程组的定义：方程组中有两个未知数，含有每个未知数的项的次数都是1,并且一共有两个方程，像这样的方程组叫做二元一次方程组. （1）方程组的各方程中，相同的字母表示同一个量. （2）二元一次方程组不一定由两个二元一次方程构成； （3）二元一次方程组中的各个方程必须是整式。 4.二元一次方程的解：使二元一次方程两边的值相等的两个未知数的值，叫做二元一次方程的解. 5.二元一次方程的解的个数：一般情况下，一个二元一次方程有无数个解. 6.二元一次方程的解的检验 检验一组数是不是某个二元一次方程的解时，可将这组数代入到方程中，若这组数满足该方程(即使方程左右两边相等)，就说这组数是该二元一次方程的解.否则，不是该二元一次方程的解. 7.一元方程的解也叫做方程的根，但是二元方程和方程组的解只能叫解，不能叫根. 8.二元一次方程组的解：二元一次方程组的两个方程的公共解，叫做二元一次方程组的解. 9.二元一次方程组的解的检验 检验一组数是不是某个二元一次方程组的解时，可将这组数代入方程组中的每个方程，只有当这组数满足其中所有的方程时，才能说这组数是此方程组的解. 10.代入消元法解二元一次方程组 （1）消元思想：二元一次方程组中有两个未知数，如果消去其中一个未知数，那么就把二元一次方程组转化为我们熟悉的一元一次方程.我们就可以先求出一个未知数，然后再求另一个未知数，这种将未知数的个数由多转化为少、逐一解决的思想，叫做消元思想. （2）代入消元法：把二元一次方程组中一个方程的未知数用含另一个未知数的式子表示出来，再代入另一个方程，实现消元，进而求得这个二元一次方程组的解.这种方法叫做代入消元法，简称代入法. 11.加减消元法解二元一次方程组 当二元一次方程组的两个方程中同一个未知数的系数相等或相反时，把这两个方程的两边分别相加或相减，就能消去这个未知数，得到一个一元一次方程.这种方法叫做加减消元法，简称加减法. 1.用代入法解二元一次方程组的一般步骤 ①变形：用含一个未知数的式子表示另一个未知数得到方程，变成y=ax+b或x=ay+b的形式； ②代入：将y=ax+b或x=ay+b代入另一个方程，消去一个未知数，从而将另一个方程变为一元一次方程； ③求解：解这个一元一次方程，求出x或y的值； ④回代：将已求出的x或y的值代入方程组中的任意一个方程或y=ax+b或x=ay+b,求出另一个未知数。 ⑤写解：把求得的两个未知数的值用大括号联立起来，这样就得到二元一次方程组的解。 2.用加减法解二元一次方程组的步骤 ①变形：将方程组中的方程化为有一个未知数系数的绝对值相等的形式；选准消元对象：当某个未知数的系数相等或互为相反数或有倍数关系时，选择消去该元较简单； ②加减：根据其系数特点将变形后的两个方程相加或相减，得到一元一次方程；尽量避免出现未知数的系数为负数的情况； ③求解：解这个一元一次方程，求出一个未知数的值 ④回代：把求得的一个未知数的值代入原方程组中较简单的一个方程，求出另一个未知数的值； ⑤写解：把求得的两个未知数的值用大括号联立起来，这样就得到二元一次方程组的解。 3.解二元一次方程组的方法选择： ①当方程组中某一个未知数的系数是1或者-1时，选用代入消元法； ②当方程组中某一个方程的常数项为0时，选用代入消元法； ③当方程组中同一个未知数的系数相同或互为相反数时，选用加减消元法； ④当两个方程中同一个未知数的系数成整数倍关系时，选用加减消元法． 1.二元一次方程有无数个解，满足二元一次方程使得方程左右相等都是这个方程的解，但并不是说任意一对数值就是它的解. 2.在二元一次方程中，给定其中一个未知数的值，就可以通过解一元一次方程的方法求出另一个未知数的值. 3.二元一次方程组的“二元”和“一次”都是针对整个方程组而言的，组成方程组的各个方程不必同时含有两个未知数，这两个一次方程不一定都是二元一次方程，但这两个一次方程必须只含有两个未知数. 4.解二元一次方程组的基本思想是消元，即将二元一次方程组转化为一元一次方程． 点三 一次方程（组）的实际应用 1.列方程（组）解应用题的步骤： 审：理解并找出实际问题中的等量关系; 设：用代数式表示实际问题中的基础数据; 列：找到所列代数式中的等量关系，以此为依据列出方程; 解：求解方程; 验：考虑求出的解是否具有实际意义; 答：实际问题的答案. 2.常见的应用题类型 （1）和差倍分问题：基本量、基本数量关系：增长量=原有量×增长率，现有量=原有量+增长量，现有量=原有量-降低量. （2）行程问题 ①相向问题：寻找相等关系的方法：甲走的路程+乙走的路程=两地距离. ②追及问题：寻找相等关系的方法有两种情况：第一，同地不同时出发：前者走的路程=追者走 的路程；第二，同时不同地出发：前者走的路程十两者相距距离=追者走的路程. ③航行问题 基本量、基本数量关系：路程=速度×时间，顺水速度=静水速度+水流速度，逆水速度=静水速度一水流速度. （3）调配问题：寻找相等关系的方法：抓住劳动力调配后，从甲处人数与乙处人数间的关系去考虑. （4）工程问题、基本数量关系：把总工作量看作单1：工作总量=工作时间×工作效率；相等关系：各部分工作量之和等于1. （5）利润问题：基本量、基本数量关系：利润=售价一成本(进利润价),利润率成本(进价) （6）数字问题 ①寻找等量关系的方法：抓住数字间和新数、原数之间的关系，常需设间接未知数. ②基本量、基本数量关系：设一个两位数的十位上的数字分别为位上的数字和个a和b,则这个两位数可以表示为10a+b. （7）增长率问题：增长量=原有量×增长率原有量=现有量一增长量现有量=原有量×(1+增长率) （8）储蓄问题 ①利息=本金×利率×时间. ②本息和=本金十利息=本金十本金×利率×时间. （9）营销问题： ①利润=售价一进价. ②售价=进价×(1+利润率)100% ③打m折应为：售价×m% 1.根据题意找出题目中的数量关系； 2.用字母表示出关键的量； 3.根据数量关系列出代数式并进行化简。 1.在列代数式时要注意代数式的书写规则； 2.列代数式时，题目条件中如果有单位，所列代数式必须要带单位； 3.所列代数式如果是多项式，在带单位时必须加上括号。 04题型精研·考向洞悉 命题点一 一次方程（组）的概念 ☛题型01 已知方程的解，求参数会代数式的值 例1．（2023·浙江绍兴·中考真题）若关于x的方程所有的根都是比1小的正数．则实数m的取值范围是 ． 1.根据方程解的含义将方程的解代入方程中，求出参数的值或者参数的范围； 2.将参数的值或者参数满足的条件代入所求代数式中进行求解或者使用整体代换的思想求解； 1．（2024·内蒙古·二模）若是关于的一元一次方程的解，则的值是 ． 2．（2024·四川雅安·三模）已知是关于x的一元一次方程的解，则的值是 ． 3．（2024·贵州贵阳·二模）已知关于的方程的解是，则的值为 ． 4．（2024·内蒙古包头·模拟预测）已知是方程的解，则代数式的值为 ． ☛题型02 等式基本性质的应用 例2．（2024·贵州·中考真题）小红学习了等式的性质后，在甲、乙两台天平的左右两边分别放入“■”“●”“▲”三种物体，如图所示，天平都保持平衡．若设“■”与“●”的质量分别为x，y，则下列关系式正确的是（    ） A． B． C． D． 在使用等式的基本性质2解题时，要注意两边都乘以或除以的一定是不为0的数或式子，在不能确定某个数或式子是否为0时，两边不能同时乘以或除以该数或式子。。 1．（2024·江苏苏州·一模）若，则= ． 2．（2024·山东潍坊·模拟预测）已知等式，则下列等式中成立的是（      ） A． B． C． D． 3．（2024·安徽·模拟预测）已知实数a、b、c满足，则下列命题为假命题的是（    ） A．当时， B．当时， C．当时， D．当时， 4．（2024·四川广安·模拟预测）幻方，相传最早见于我国的“洛书”，如图1的洛书，每一行、每一列以及每条斜对角线上的点数之和都相等，转换为数字如图2所示，它是一种三阶幻方．根据三阶幻方规则，由图3中已知数求出的值为（    ） A． B．3 C． D．2 ☛题型03 判断是否是二元一次方程组的解 例3．（2023·江苏无锡·中考真题）下列4组数中，不是二元一次方程的解是（    ） A． B． C． D． 1.直接代入法：可以将选项中的未知数的值带入方程组中，检验是否满足方程； 2.部分代入，即将选项中的两个未知数的值，只带入一个进行运算，求出另一个未知数的值，再与选项进行对比； 1．（2024·山东滨州·一模）下列四组数中，不是二元一次方程的解的是（    ） A． B． C． D． 2．（2022·天津滨海新·一模）方程组的解是（   ） A． B． C． D． 3．（2024·江苏无锡·一模）请写出一个解为的二元一次方程组 ． ☛题型04 已知二元一次方程组的解求参数或代数式的值 例4．（2024·江苏宿迁·中考真题）若关于x、y的二元一次方程组的解是，则关于x、y的方程组的解是 ． 将二元一次方程组的解代入含参数的方程组中得到一个新的关于参数的二元一次方程组，求解这个方程组，可以求出参数的值 1．（2024·广东河源·一模）已知是二元一次方程组的解，则的值为 ． 2．（2024·湖北荆州·一模）已知是二元一次方程组的解，则的立方根为 ． 3．（2024·河南漯河·一模）若关于，的二元一次方程组的解为，则的值为 ． 4．（2024·广东中山·模拟预测）已知是方程组的解，求代数式的值． 命题点二 解方程与方程组 ☛题型01 解一元一次方程合并同类项与移项 例1．（2024·海南·中考真题）若代数式的值为5，则x等于（    ） A．8 B． C．2 D． 将移项从等号的一边移到等号的另一边时，要注意改变符号，即原来是正号的变为负号，原来是负号的变为正号。 1．（2024·四川攀枝花·模拟预测）下列各数中，是方程的解的是（    ） A． B． C． D．和 2．（2024·辽宁·模拟预测）在解方程时，经过移项后的式子为（    ） A． B． C． D． 3．（2024·广西·模拟预测）一元一次方程的解是 ． 4．（2024·河北邯郸·模拟预测）若代数式与的值相等，则 ． ☛题型02 解一元一次方程去括号 例2．（2024·广西柳州·三模）解方程：． 1.去括号时，看括号前的符号，如果是正号直接把括号去掉，原括号里的各项不改变符号；如果括号前是负号，在把负号和括号去掉的同时，改变原括号里各项的符号； 2.括号前有系数时，则运用乘法分配律进行去括号，即用括号前的系数（包括符号）分别乘以括号内的每一项（包括符号）；去括号时要注意符号的处理，切勿出错。 1．（2023·河北沧州·模拟预测）下列是解一元一次方程的步骤： 其中说法错误的是(    ) A．①步的依据是乘法分配律 B．②步的依据是等式的性质1 C．③步的依据是加法结合律 D．④步的依据是等式的性质2 2．（2023·四川达州·模拟预测）一元一次方程的解是 ． 3．（2024·陕西西安·模拟预测）解方程： 4．（2023·广东广州·一模）解一元一次方程： ☛题型03 解一元一次方程去分母 例3．（2024·甘肃陇南·三模）方程的解为（    ） A． B． C． D． 去分母时要注意： （1）不要漏乘整数项。 （2）分子是多项式的，在分母后要加括号，避免符号出现错误。 （3）分子分母中含有小数时，先利用分数的基本性质将分子分母中的小数化成整数，再去分母。注意区分分数的基本性质与等式的基本性质。 1．（2023·吉林·二模）解一元一次方程的一般步骤包括：去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化1等．将一元一次方程去分母，得（    ） A． B． C． D． 2．（2024·广东广州·一模）解方程：． 3．（2024·浙江台州·二模）以下是亮亮解方程的解答过程． 解：去分母，得． 移项，得． 合并同类项，得． 亮亮的解答过程是否有错误？如果有错误，写出正确的解答过程． 4．（2024·宁夏吴忠·一模）以下是小明解方程的解答过程． 解：去分母，得第一步 去括号，得第二步 移项，得第三步 合并同类项，得第四步 (1)以上过程中是从第______步开始出错的． (2)第一问中出现错误的原因____________． (3)写出这个方程的正确解答过程． ☛题型04 代入消元法解二元一次方程组 例4．（2024·广西·模拟预测）解二元一次方程组： 1.先根据一个方程，用一个未知数表示另一个未知数，再带入第2个方程，将二元一次方程转化为一元一次方程； 2.解一元一次方程，并将一元一次方程的解代入原方程组中任意一个二元一次方程中，求出另一个未知数； 1．（2024·山东枣庄·一模）已知x，y满足方程组，则无论m取何值，x，y恒有关系式是（   ） A． B． C． D． 2．（2024·河南焦作·一模）方程组的解为 ． 3．（2024·广西南宁·二模）解方程组：． 4．（2024·广东广州·三模）解下列方程组：； ☛题型05 加减消元法解二元一次方程组 例5．（2024·贵州贵阳·一模）（1）计算：； （2）下面是小颖同学解方程组的部分过程： 解：令， ①－②，得， … 上述解法中，使用的方法是________(填“代入消元法”或“加减消元法”)，并请你选择不同于题中的方法解该方程组． 1.先观察方程组中的两个方程的系数，同一个未知数的系数相同时，可将两个二元一次方程相减，消去一个未知数，转化为一个一元一次方程，进行求解； 2.当同一个未知数的系数是相反数时，可以将两个二元一次方程相加，进而消去一个未知数，转化为一个一元一次方程进行求解； 3.当相同未知数的系数存在倍数关系或有最小公倍数时，可以选择对原二元一次方程组进行变形，例如乘以某个系数，进而是的相同未知数的系数相等或互为相反数，再进行消元。 1．（2024·湖南长沙·模拟预测）已知关于x，y的二元一次方程组 ，则的值为（      ） A．12 B．9 C．6 D．4 2．（2024·青海·一模）方程组的解满足．则 ． 3．（2024·上海青浦·三模）方程组的解为 ． 4．（2024·广东·模拟预测）解方程组： (1) (2) ☛题型06 整体法求代数式的值 例6．（2022·湖北随州·中考真题）已知二元一次方程组，则的值为 ． 已知二元一次方程组求关于未知数的代数式的值时，不要盲目的求解二元一次方程组，可以对二元一次方程组进行观察，对两个二元一次方程进行简单的相加或相减，看是否能够得到所求代数式，进而运用整体思想进行求解。 1．（2024·河南信阳·三模）已知二元一次方程组，则的值为 ． 2．已知，满足，则 ． 3．（2023·江苏盐城·模拟预测）已知，，则代数式的值为 ． 4．（2023·江苏镇江·二模）已知二元一次方程组，则代数式 ☛题型07 整体思想解二元一次方程组中的应用 例7．（2024·山东临沂·二模）已知关于x，y的方程组的解是则关于x，y的方程组的解是（   ） A． B． C． D． 已知一个含参数的二元一次方程组的解，求另一个含参数的二元一次方程组的解时，不必盲目对参数进行求解，可以先观察方程的系数，如果相同未知数的系数相等或所有的参数都相等时，那么这两个方程组是同解方程组，值得注意的是未知数的形式有所不同，考生要注意区分。 1．（2024·黑龙江大庆·二模）若方程组 的解是 ，则方程组 的解是（     ） A． B． C． D． 2．（2023·浙江·模拟预测）已知关于x、y的二元一次方程组的解为，则关于x，y的方程组的解为（    ） A． B． C． D． 3．（2022·浙江·二模）我们知道二元一次方程组的解是．现给出另一个二元一次方程组，它的解是（　　） A． B． C． D． 命题点三 列方程（组）解应用题 ☛题型01 配套问题 例1．（2024·陕西西安·模拟预测）曾经，家具、家电、服装被称为外贸出口的“老三样”，如今，以电动汽车、锂电池、太阳能电池为代表的“新三样”走俏海外．某太阳能光伏组件车间有名工人，每人每天可以生产个甲零件或个乙零件，个甲零件要配个乙零件，为使每天生产的两种型号的零件刚好配套，应安排生产甲零件和乙零件的工人各多少名？ 列方程（组）解应用题的关键是找到等量关系，有的题目只含有一个等量关系，主要用于列方程；有的题目可能会有两个甚至多个等量关系，可以用来列方程组，也可以利用一个等量关系设未知数，用另一个等量关系列方程。 1．（2023·四川巴中·中考真题）某学校课后兴趣小组在开展手工制作活动中，美术老师要求用14张卡纸制作圆柱体包装盒，准备把这些卡纸分成两部分，一部分做侧面，另一部分做底面．已知每张卡纸可以裁出2个侧面，或者裁出3个底面，如果1个侧面和2个底面可以做成一个包装盒，这些卡纸最多可以做成包装盒的个数为（    ） A．6 B．8 C．12 D．16 2．（2024·广东深圳·三模）粽子作为中国历史文化积淀最深厚的传统食品之一，传播甚远，最初是用来是祭祀祖先神灵的贡品．某家庭制作的粽子礼盒每份由6个蛋黄肉粽和4个碱水粽组成．用1千克糯米可做24个蛋黄肉粽或16个碱水粽，现要用6千克糯米制作粽子，设用x千克糯米制作蛋黄肉粽，恰好使制作的蛋黄肉粽和碱水粽配套，则可列方程为（　　） A． B． C． D． 3．（2024·山西长治·模拟预测）某木材加工厂制作桌子的车间有14名工人，每名工人每小时可以加工10张桌面或30条桌腿．1张桌面需要配4条桌腿，为使每小时加工的桌面和桌腿刚好配套，该车间应安排 名工人加工桌腿． 4．（2024·山东聊城·一模）在纸盒制作的劳动实践课上，对规格是的原材料板材进行裁剪得到A型长方形纸板和B型正方形纸板，为了避免材料浪费，每张原材料板材先裁得3张的纸板条，每张纸板条又恰好可以裁得3张A型长方形纸板或5张B型正方形纸板，如图1所示．（单位：cm） (1)每张原材料板材可以裁得A型纸板______张或裁得B型纸板______张； (2)现有130张原材料板材全部裁剪（每张原材料板材只能一种裁法）得到A型与B型纸板当侧面和底面，做成如图2所示的竖式有盖长方体纸盒（1个长方体纸盒需要4个侧面和2个底面，接缝忽略不计），问：怎样裁剪才能使剪出的A，B型纸板恰好用完？能做多少个纸盒？ ☛题型02 工程问题 例2．（2019·安徽·中考真题）为实施乡村振兴战略，解决某山区老百姓出行难的问题，当地政府决定修建一条高速公路.其中一段长为146米的山体隧道贯穿工程由甲乙两个工程队负责施工.甲工程队独立工作2天后，乙工程队加入，两工程队又联合工作了1天，这3天共掘进26米.已知甲工程队每天比乙工程队多掘进2米，按此速度完成这项隧道贯穿工程，甲乙两个工程队还需联合工作多少天？ 1．（2024·安徽·一模）某水果加工基地加工一批水果，原计划8天完成任务，在完成一半任务时，受天气降温的影响，每天加工的水果比原计划少5吨，最后完成全部任务用了10天，问该水果加工基地加工的这批水果一共有多少吨？ 2．（2023·安徽合肥·二模）整理一批图书，如果由一个人单独做要用，现先安排一部分人用整理，随后又增加5人和他们一起又做了，恰好完成整理工作，假设每个人的工作效率相同，那么一共安排整理的人员有多少？ 3．（2023·安徽滁州·二模）巴川河是铜梁的母亲河，为打造巴川河风光带，现有一段长为米的河道整治任务由、两个工程队先后接力完成；工程队每天整治米，工程队每天整治米，共用时天． (1)求、两工程队分别整治河道多少天？（用二元一次方程组解答） (2)若工程队整改一米的工费为元，工程队整改一米的工费为元，求完成整治河道时，这两工程队的工费共是多少？ 4．（2024·陕西西安·模拟预测）为加强新农村建设，某地方政府准备在甲村和乙村之间修建一条公路．已知A工程队单独完成此工程需要5个月，B工程队单独完成此工程需要10个月．若A，B两工程队合作2个月后，再由B工程队单独完成剩余部分，则B工程队还需要几个月才能完成？ ☛题型03 销售盈亏问题 例3．（2020·安徽·中考真题）某超市有线上和线下两种销售方式．与2019年4月份相比．该超市2020年4月份销售总额增长其中线上销售额增长．线下销售额增长， 设2019年4月份的销售总额为元．线上销售额为元，请用含的代数式表示2020年4月份的线下销售额(直接在表格中填写结果)； 求2020年4月份线上销售额与当月销售总额的比值． 1．（2024·安徽蚌埠·三模）某超市恰好用元购进甲、乙两种商品，其中乙种商品的件数比甲种商品件数的少件．求该超市购进甲、乙两种商品的数量． 商品类型 甲 乙 进价（元/件） 20 30 2．（2024·安徽安庆·三模）春节期间，贺岁影片《热辣滚烫》的上映，不仅受到了许多观众的欢迎，还带火了拳击瘦身等健身经济，掀起了一股拳击热，某体育用品专卖店抓住商机，推出，两种拳击手套，每双种拳击手套的成本为元，每双种拳击手套的成本为元，每双种拳击手套的售价比每双种拳击手套的售价少元，卖双种拳击手套的利润和卖双种拳击手套的利润相同，求每双两种拳击手套的售价． 3．（2024·安徽合肥·二模）某超市有线下和线上两种销售方式，去年计划实现总销售利润200万元，经过努力，实际总销售利润为225万元，其中线下销售利润比原计划增长，线上销售利润比原计划增长，则该超市去年实际完成线下销售利润、线上销售利润各多少万元？ 4．（2024·安徽宿州·一模）2023年，某包田大户种植两种水稻，分别是粳稻和杂交水稻，种植粳稻投资万元，种植杂交水稻投资万元，年底分别挣得和的利润． (1)2023年，该包田大户总利润是______万元；（用含的代数式表示） (2)2024年，该包田大户预投资60万元用于种植这两种水稻，已知两种水稻利润之和是，若2024年与2023年两种水稻利润率相同，求2024年该包田大户对种植粳稻和杂交水稻分别投资的金额． ☛题型04方案选择问题 例4．（2024·安徽合肥·二模）2024年5月3日，嫦娥六号探测器准确进入地月转移轨道，发射任务取得圆满成功，有两个旅游团去某航天科技馆参观，第一个旅游团有15名成人和10名儿童，共花费门票850元；第二个旅游团有40名成人和50名儿童，由于人数较多，成人票打八折，儿童票打六折，共花费2030元．求成人票和儿童票每张原价多少元？ 1．（2023·安徽淮北·一模）李明在某商场购买甲乙两种商品若干次（每次甲，乙两种商品都购买），其中前两次按标价购买，第三次购买时，甲，乙两种商品同时打折，三次购买甲，乙两种商品的数量和费用情况如表所示： 购买甲商品的数量 购买乙商品的数量 购买总费用 第一次 6 4 880 第二次 4 6 920 第三次 9 8 912 (1)求甲、乙两种商品的标价各是多少元？ (2)若李明第三次购买时，甲、乙两种商品的折扣相同，则商场是打几折出售这两种商品的？ 2．（2023·安徽·二模）为了抓住世博会商机，某商店决定购进A、B两种世博会纪念品，若购进A种纪念品10件，B种纪念品5件，需要2000元；若购进A种纪念品5件，B种纪念品3件，需要1050元． (1)购进A、B两种纪念品每件各需多少钱？ (2)若该商店决定拿出4000元全部用来购进这两种纪念品，其中各纪念品至少购进12件，那么该商店有哪些进货方案？ 3．（2023·安徽宿州·一模）2022年7月，河南安阳等地遭遇特大暴雨袭击，暴雨中有房屋倒塌，道路被冲毁，车辆被冲走．灾情发生后，全国各地纷纷援助．合肥某公司筹集了一批物资，准备运往灾区，计划租用甲、乙两种型号的货车，在每辆货车都满载的情况下，若租用30辆甲型货车和50辆乙型货车可装载1500箱物资；若租用20辆甲型货车和60辆乙型货车可装载1400箱物资．求出甲、乙两种型号的货车每辆分别可装载多少箱物资？ 4．（2023·安徽合肥·一模）国家“双减”政策实施后，某校开展了丰富多彩的社团活动．某班同学报名参加书法和围棋两个社团，班长为参加社团的同学去商场购买毛笔和围棋，已知购买5支毛笔和12副围棋共花费315元，购买8支毛笔和6副围棋共花费240元，求每支毛笔和每副围棋的单价各多少元． ☛题型05 和差倍分问题 例5．（2024·安徽阜阳·一模）在“践行垃圾分类，助力双碳目标”主题班会结束后，刘华和小燕子一起收集了一些废电池，刘华说：“我比你多收集了7 节废电池．”小燕子说：“如果你给我8 节废电池，那么我的废电池节数就是你的2倍．”如果他们说的都是真的，那么刘华和小燕子分别收集了多少节废电池？ 1．（2024·安徽合肥·一模）道路积雪，现有28人参与清扫，需要3人扫雪并配合1人运雪，应安排多少人扫雪，多少人运雪？ 2．（2022·安徽·模拟预测）为方便学生接种疫苗，卫健委安排甲、乙两支医疗队去某校开展专场接种，甲队比乙队每小时多接种50人，乙队的接种速度是甲队的．已知该校共有2100名学生参加接种，按照此速度，全部接种完毕需要多长时间？ 3．（2022·安徽合肥·三模）随着第24届北京冬奥会和冬残奥会的顺利召开，“冰墩墩”和“雪容融”成了名副其实的国民顶流．奥林匹克官方旗舰店预售“冰墩墩”和“雪容融”小挂件，若定购3个“冰墩墩”和2个“雪容融”小挂件共需支付360元，若定购2个“冰墩墩”和3个“雪容融”小挂件共需支付370元．“冰墩墩”和“雪容融”小挂件单价各是多少元？ 4．（2024·湖南株洲·模拟预测）某学校课后服务开展有声有色，这个学期因更多的学生选择足球和篮球班，学校计划购进若干个足球和篮球．已知篮球和足球的单价相差30元，且购买4个足球的费用与购买3个篮球的费用相同，求每个篮球和足球价格分别是多少元？ ☛题型06 行程问题 例6．（2024·安徽六安·三模）《九章算术》中有一问题，“今有善行者一百步，不善行者六十步，今不善行者先行一百 步，善行者追之．问：几何步几之？”其意思是：有一个善于走路的人和一个不善于走路的人．善于走路的人走100步的同时，不善于走路的人只能走60步，现在不善于走路的人先走100步，善于走路的人追他，需要走多少步才能追上他？ 1．（2024·安徽安庆·一模）近年来，跑步运动已经成为全民参与的重要体育活动，越来越多的人加入到跑步运动中．某跑步爱好者在一次跑步中，先按原计划10千米/时的平均速度跑了一半的路程，后因各种因素影响，平均速度下降了，并以此速度跑完了后半程．这样总用时比原计划多用了15分钟，求他此次跑步的总路程． 2．（2024·广东梅州·一模）周末，小明和他的爸爸来到环形运动场进行跑步锻炼，绕环运动场一圈的路程为400米． (1)若两人同时同起点相向而跑，则经过36秒后首次相遇；若两人同时同起点同向而跑，则经过180秒后，爸爸首次从后面又追上小明，问小明和他的爸爸的速度各为多少？ (2)假设爸爸的速度是6米/秒，小明的速度是5米/秒，两人进行400米赛跑，同时同起点同向出发，等爸爸跑到半圈时，故意降速为4米/秒，按此继续比赛，小明能否在400米终点前追上爸爸，如果能，求追上时距离终点还有多少米；如果不能，请说明理由． 3．（2024·云南·一模）某城市出租车起步价行驶的最远路程为3千米，超过3千米的部分按每千米另收费，甲说：“我乘这种出租车走了5千米，付了9元”；乙说：“我乘这种出租车走了7千米，付了12元”．请你算一算这种出租车的起步价是多少元？以及超过3千米后，每千米的车费是多少元？ 4．（2024·贵州黔东南·二模）小芳早上出门赶到距家的学校上学．已知小芳的速度是，她刚出门，妈妈想起昨晚班主任在家长群发通知，今天学生在家上网课，网课开始，于是妈妈立即以的速度跑出门去追小芳，并且在途中追上了她，小芳立即和妈妈以的速度走回家 (1)妈妈追上小芳用了多长时间？ (2)小芳是否能赶在网课开始前进入网课直播间上课？ ☛题型07古代问题 例7．（2024·安徽六安·模拟预测）《孙子算经》中记载：“今有三人共车，二车空；二人共车，九人步．问人和车各几何？”其大意是：“今有若干人乘车，每人乘一车，最终剩余辆空车；若每人同乘一车，最终剩下人因无车可乘而步行，问有多少人，多少辆车？”试求有多少人，多少辆车． 1．（2024·安徽合肥·模拟预测）《九章算术》是中国传统数学最重要的著作之一，书中记载：“今有人共买羊，人出五，不足四十五；人出七，不足三，问人数、羊价各几何？”其大意是：今有人合伙买羊，若每人出五钱，还差四十五钱；若每人出七钱，还差三钱．问合伙人数和羊价各是多少？ 2．（2023·安徽淮南·二模）中国古代数学著作《算法统宗》中有这样一段记载，“三百七十八里关；初日健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关．”其大意是；有人要去某关口，路程为378里，第一天健步行走，从第二天起，由于脚痛，每天走的路程都为前一天的一半，一共走了六天才到关口，求此人第一和第六这两天共走的路程． 3．（2024·安徽合肥·一模）我国古代有一道著名的数学题，原文如下：甲，乙二人隔溪牧羊，甲云得乙羊九只，多乙一倍正当；乙云得甲羊九只，两人羊数一样．甲，乙羊各几何？译文为：甲，乙两人在小河边放羊，甲说：如果你给我9只羊，那么我的羊的数量比你的多1倍；乙说：如果你给我9只羊，我们俩的羊就一样多了，问甲、乙两人各有多少只羊？ 4．（2024·安徽合肥·一模）《九章算术》是中国传统数学重要的著作，奠定了中国传统数学的基本框架．其中《盈不足》名记载了一道数学问题： “今有共买物，人出六，赢二； 人出五，不足三．问人数、物价各几何?译文：“今有人合伙购物，每人出钱，会多出钱； 每人出钱，又差钱．问人数、物价各多少? ”请解答上述问题． 05分层训练·巩固提升 基础巩固 一、单选题 1．（2024·吉林长春·一模）已知，下列式子不一定成立的是（    ） A． B． C． D． 2．（2024·河北保定·二模）如图，天平两次均处在平衡状态．设“▲”的质量为a，“★”的质量为b，则a与b的大小关系为（    ） A． B． C． D．无法确定 3．（2024·河南周口·三模）方程组的解x，y的值互为相反数，则a的值是（    ） A．1 B． C． D．2 4．（2024·广东佛山·三模）小明做作业时发现方程已被墨水污染：电话询问老师后知道：方程的解且被墨水遮盖的是一个常数．则该常数是（    ） A． B． C． D． 5．（2024·江苏无锡·一模）若是关于x的方程的解，则m的值是（    ） A． B． C．2 D．3 6．（2024·贵州毕节·三模）已知关于x，y的二元一次方程组的解也是方程的解，则k的值为（   ） A． B． C．2 D．无法计算 7．（2024·江苏扬州·三模）设是从，0，3这三个数中取值的一列数，若，，则（    ） A．154 B．155 C．156 D．157 8．（2023·四川南充·中考真题）关于x，y的方程组的解满足，则的值是（    ） A．1 B．2 C．4 D．8 9．（2024·辽宁·模拟预测）学校组织植树活动，已知在甲处植树的有人，在乙处植树的有人现调人去支援，使在甲处植树的人数是乙处植树人数的倍，问应调往甲、乙两处各多少人？设应调往甲处人，则所列方程正确的是（   ）． A． B． C． D． 10．（2024·四川成都·二模）我国古代数学著作《九章算术》有题如下：“今有五雀、六燕，集称之衡，雀俱重，燕俱轻．一雀一燕交而处，衡适平；并燕、雀重一斤．问燕、雀一枚各重几何？”其大意是：现在有5只雀和6只燕，用秤来称它们，发现雀比较重，燕比较轻．将一只雀和一只燕交换位置，重量相等；5只雀和6只燕的重量为一斤．问每只雀和每只燕各重多少斤？设每只雀为x斤，每只燕为y斤，则可列方程组为（　　） A． B． C． D． 二、填空题 11．（2024·四川绵阳·三模）如果方程组的解也是方程的一个解，则的值为 ． 12．（2024·广东深圳·三模）已知关于x的方程有实数根，则a的取值范围是 13．（2024·甘肃武威·二模）已知，则 ． 14．（2024·浙江温州·模拟预测）已知二元一次方程组，则的值为 ． 15．（2024·山东菏泽·三模）若关于x， y的方程组 的解满足， 则的值为 ． 16．（2024·宁夏银川·二模）由于王亮在实验室做实验时，没有找到天平称取实验所需药品的质量，于是利用杠杆原理制作天平称取药品的质量（杠杆原理：动力动力臂阻力阻力臂）．如图1，当天平左盘放置质量为克的物品时，右盘中放置克砝码天平平衡；如图2，将待称量药品放在右盘后，左盘放置克砝码，才可使天平再次平衡，则该药品质量是 克． 三、解答题 17．（2024·四川攀枝花·模拟预测）解下列方程： (1)． (2)． 18．（2024·浙江·模拟预测）解方程或方程组： (1) (2) 19．（2024·四川攀枝花·模拟预测）有一火车以每分钟600米的速度要过完第一、第二两座铁桥，过第二铁桥比过第一铁桥需多5秒，又知第二铁桥的长度比第一铁桥长度的2倍短50米，试求各铁桥的长．（火车长度不计） 20．（2024·山东临沂·模拟预测）如图1是长方形菜园长，宽 ．中间种植区域是长方形，且长是宽的2倍．四周过道部分的宽度相等，如图2为了实现6个小组种植区域均匀分配，现将种植区域分割成大小相等的6垄长方形菜地，垄与垄之间的间距相等，每垄菜地的长比宽多．设过道宽度为，求每垄菜地的长与宽． 21．（2024·宁夏银川·模拟预测）以下是圆圆解方程的解答过程． 解：去分母，得 去括号，得 移项，合并同类项，得． (1)圆圆的解答过程是否有错误？如果有错误，写出正确的解答过程； (2)请尝试解方程． 22．（2024·湖北十堰·一模）随着“低碳生活，绿色出行”理念的普及，新能源汽车正逐渐成为人们喜爱的交通工具，某汽车销售公司计划购进一批新能源汽车进行销售，据了解，3辆型汽车，2辆型汽车的进价共计95万元；2辆型汽车，3辆 型汽车的进价共计80万元．求，两种型号的汽车每辆进价分别为多少万元？ 23．（2024·安徽六安·模拟预测）某鞋业专卖店购进甲、乙两种款式的篮球鞋，甲种篮球鞋进价元/双，售价元/双；乙种篮球鞋进价元/双，售价元/双．该专卖店用元购进这两种篮球鞋并全部售出，获得的总利润为元，求该专卖店购进甲、乙两种篮球鞋各多少双． 24．（2024·安徽·三模）甲、乙两组各有若干人，若从甲组调2人至乙组，则甲、乙两组人数相同，若将甲组人数的三分之一调入乙组，则甲、乙两组的人数比为，求甲、乙两组原来各有多少人． 能力提升 1．（2022·江西赣州·二模）若实数x,y满足，则的值是（    ） A． B． C． D． 2．（2022·四川绵阳·二模）若整数x，y满足方程组，且，，则m的最大值为（    ） A．0 B．-1 C．-2 D．-3 3．（2024·江苏连云港·三模）母亲节前夕，某店主从厂家购进，两种礼盒，已知，两种礼盒的单价比为，单价和为元． (1)求，两种礼盒的单价分别是多少元？ (2)该店主购进这两种礼盒恰好用去元，且购进种礼盒最多个，种礼盒的数量不超过种礼盒数量的倍，共有几种进货方案？ 4．（2023·黑龙江·三模）某手机经销商计划同时购进甲乙两种型号手机，若购进2部甲型号手机和5部乙型号手机，共需要资金6000元；若购进3部甲型号手机和2部乙型号手机，共需要资金4600元． (1)求甲、乙型号手机每部进价各为多少元； (2)该店预计用不少于1.78万元且不多于1.92万元的资金购进这两种型号手机共20部，请问有多少种进货方案？ (3)若甲型号手机的售价为1500元，乙型号手机的售价为1450元，为了促销，公司决定每售出一台乙型号手机．返还顾客现金a元，甲型号手机售价不变，要使（2）中购进的手机全部售完，每种方案获利相同，求a的值． 5．（22-23七年级下·浙江杭州·阶段练习）为了防治“新型冠状病毒”，小明妈妈准备购买医用口罩和洗手液用于家庭防护，若医用口罩买个，洗手液买6瓶，则需元；若医口罩买个，洗手液买4瓶，则需元． (1)求医用口罩和洗手液的单价； (2)小明妈妈准备了元，除购买医用口罩和洗手液外，还需增加购买单价为3元的口罩a个，医用口罩和口罩共个，购买洗手液b瓶，钱恰好全用完，小明的妈妈一共有几种购买方案？ $$第二章 方程（组）与不等式（组） 第04讲 一次方程与方程组（8分） （思维导图+3考点+3命题点18种题型（含11种解题技巧）） 试卷第1页，共3页 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！64 学科网（北京）股份有限公司 01考情透视·目标导航 02知识导图·思维引航 03考点突破·考法探究 考点一 一元一次方程 考点二 二元一次方程（组） 考点三 一次方程（组）的应用 04题型精研·考向洞悉 命题点一 一次方程（组）的概念 ►题型01 已知方程的解求参数或代数式的值 ►题型02 等式基本性质的应用 ►题型03 判断是否是二元一次方程组的解 ►题型04 已知二元一次方程组的解求参数或代数式的值 命题点二 解方程或方程组 ►题型01 解一元一次方程合并同类项与移项 ►题型02 解一元一次方程去括号 ►题型03 解一元一次方程去分母 ►题型04 代入消元法解二元一次方程组 ►题型05 加减消元法解二元一次方程组 ►题型06 整体法求代数式的值 ►题型07 整体思想解二元一次方程组中的应用 命题点三 列方程（组）解应用题 ►题型01 配套问题 ►题型02 工程问题 ►题型03 销售盈亏问题 ►题型04 方案选择问题 ►题型05 和差倍分问题 ►题型06 行程问题 ►题型07 古代问题 05分层训练·巩固提升 基础巩固 能力提升 01考情透视·目标导航 考点要求 新课标要求 考查频次 命题预测 一元一次方程 理解等式的基本性质，能解一元一次方程。 10年6考 一次方程与方程组这一考点在安徽中考数学中属于较为简单的一类考点，在中考，一元一次方程的考查主要以应用题形式考查，比较简单；在选择和填空题中考查较少，有时也会以规律探究的形式进行考查；二元一次方程（组）与一元一次方程类似考查方式以列方程解应用题为主要考查方式；总体的考查难度较小. 对于一次方程的复习，需要学生熟练掌握等式的基本性质以及一次方程（组）的解法，列方程解应用题的步骤. 二元一次方程（组） 掌握消元法，能解二元一次方程组 能解简单的三元一次方程组[选学] 10年4考 一次方程（组）的应用 利用一次方程求解实际问题 近10年连续考查 02知识导图·思维引航 03考点突破·考法探究 考点一 一元一次方程 1.方程的概念：含有未知数的等式。 2.方程的解：能够使方程两边相等的未知数的值称为方程的解。 3.解方程：求未知数的值的过程称为解方程。 4.等式的基本性质： 基本性质1：等式两边同时加上或者减去同一个数或式子，所得结果仍相等。 基本性质2：等式两边同时乘以或除以同一个不为0的数，所得结果仍相等。 5.一元一次方程：只含有一个未知数，未知数的次数为1的整式方程。 6.解一元一次方程： （1）去分母：方程两边同时乘以分母的最小公倍数。 （2）去括号：利用乘法分配律，进行去括号。 （3）移项：利用等式的基本性质1，将方程中含有未知数的项移到等号的左边，把不含未知数的项移到等号的右侧。 （4）合并同类项：移项后分别对含有未知数的项与不含未知数的项进行合并同类项； （5）系数化为1：利用等式的两边同时除以未知数的系数。 1.利用等式的性质进行变形时，等式两边都要参加运算，而且是同一种运算. 2.运用等式的性质2时，等式两边不能同时除以0，因为0不能作除数或分母. 3.在去分母时，不要漏乘整数项； 4.在去分母时，分子是多项式的在去分母后，分子要加括号； 5.在移项时要注意改变符号； 6. 对于分母中含有小数的一元一次方程．当分母中含有一位小数时，含分母项的分子、分母都乘10，化分母中的小数为整数；当分母中含有两位小数时，含分母项的分子、分母都乘100，化分母中的小数为整数． 考点二 二元一次方程组 1.二元一次方程的定义：方程含有两个未知数，并且含有未知数的项的次数都是1，像这样的方程叫做二元一次方程. 2.构成二元一次方程的条件： (1)方程中含有两个未知数，即未知数的系数不能为0. (2)含未知数的项的次数是1,而不是未知数的次数是1. (3)二元一次方程是整式方程，即等式的两边必须都是整式(分母中不含有未知数). 3.二元一次方程组的定义：方程组中有两个未知数，含有每个未知数的项的次数都是1,并且一共有两个方程，像这样的方程组叫做二元一次方程组. （1）方程组的各方程中，相同的字母表示同一个量. （2）二元一次方程组不一定由两个二元一次方程构成； （3）二元一次方程组中的各个方程必须是整式。 4.二元一次方程的解：使二元一次方程两边的值相等的两个未知数的值，叫做二元一次方程的解. 5.二元一次方程的解的个数：一般情况下，一个二元一次方程有无数个解. 6.二元一次方程的解的检验 检验一组数是不是某个二元一次方程的解时，可将这组数代入到方程中，若这组数满足该方程(即使方程左右两边相等)，就说这组数是该二元一次方程的解.否则，不是该二元一次方程的解. 7.一元方程的解也叫做方程的根，但是二元方程和方程组的解只能叫解，不能叫根. 8.二元一次方程组的解：二元一次方程组的两个方程的公共解，叫做二元一次方程组的解. 9.二元一次方程组的解的检验 检验一组数是不是某个二元一次方程组的解时，可将这组数代入方程组中的每个方程，只有当这组数满足其中所有的方程时，才能说这组数是此方程组的解. 10.代入消元法解二元一次方程组 （1）消元思想：二元一次方程组中有两个未知数，如果消去其中一个未知数，那么就把二元一次方程组转化为我们熟悉的一元一次方程.我们就可以先求出一个未知数，然后再求另一个未知数，这种将未知数的个数由多转化为少、逐一解决的思想，叫做消元思想. （2）代入消元法：把二元一次方程组中一个方程的未知数用含另一个未知数的式子表示出来，再代入另一个方程，实现消元，进而求得这个二元一次方程组的解.这种方法叫做代入消元法，简称代入法. 11.加减消元法解二元一次方程组 当二元一次方程组的两个方程中同一个未知数的系数相等或相反时，把这两个方程的两边分别相加或相减，就能消去这个未知数，得到一个一元一次方程.这种方法叫做加减消元法，简称加减法. 1.用代入法解二元一次方程组的一般步骤 ①变形：用含一个未知数的式子表示另一个未知数得到方程，变成y=ax+b或x=ay+b的形式； ②代入：将y=ax+b或x=ay+b代入另一个方程，消去一个未知数，从而将另一个方程变为一元一次方程； ③求解：解这个一元一次方程，求出x或y的值； ④回代：将已求出的x或y的值代入方程组中的任意一个方程或y=ax+b或x=ay+b,求出另一个未知数。 ⑤写解：把求得的两个未知数的值用大括号联立起来，这样就得到二元一次方程组的解。 2.用加减法解二元一次方程组的步骤 ①变形：将方程组中的方程化为有一个未知数系数的绝对值相等的形式；选准消元对象：当某个未知数的系数相等或互为相反数或有倍数关系时，选择消去该元较简单； ②加减：根据其系数特点将变形后的两个方程相加或相减，得到一元一次方程；尽量避免出现未知数的系数为负数的情况； ③求解：解这个一元一次方程，求出一个未知数的值 ④回代：把求得的一个未知数的值代入原方程组中较简单的一个方程，求出另一个未知数的值； ⑤写解：把求得的两个未知数的值用大括号联立起来，这样就得到二元一次方程组的解。 3.解二元一次方程组的方法选择： ①当方程组中某一个未知数的系数是1或者-1时，选用代入消元法； ②当方程组中某一个方程的常数项为0时，选用代入消元法； ③当方程组中同一个未知数的系数相同或互为相反数时，选用加减消元法； ④当两个方程中同一个未知数的系数成整数倍关系时，选用加减消元法． 1.二元一次方程有无数个解，满足二元一次方程使得方程左右相等都是这个方程的解，但并不是说任意一对数值就是它的解. 2.在二元一次方程中，给定其中一个未知数的值，就可以通过解一元一次方程的方法求出另一个未知数的值. 3.二元一次方程组的“二元”和“一次”都是针对整个方程组而言的，组成方程组的各个方程不必同时含有两个未知数，这两个一次方程不一定都是二元一次方程，但这两个一次方程必须只含有两个未知数. 4.解二元一次方程组的基本思想是消元，即将二元一次方程组转化为一元一次方程． 考点三 一次方程（组）的实际应用 1.列方程（组）解应用题的步骤： 审：理解并找出实际问题中的等量关系; 设：用代数式表示实际问题中的基础数据; 列：找到所列代数式中的等量关系，以此为依据列出方程; 解：求解方程; 验：考虑求出的解是否具有实际意义; 答：实际问题的答案. 2.常见的应用题类型 （1）和差倍分问题：基本量、基本数量关系：增长量=原有量×增长率，现有量=原有量+增长量，现有量=原有量-降低量. （2）行程问题 ①相向问题：寻找相等关系的方法：甲走的路程+乙走的路程=两地距离. ②追及问题：寻找相等关系的方法有两种情况：第一，同地不同时出发：前者走的路程=追者走 的路程；第二，同时不同地出发：前者走的路程十两者相距距离=追者走的路程. ③航行问题 基本量、基本数量关系：路程=速度×时间，顺水速度=静水速度+水流速度，逆水速度=静水速度一水流速度. （3）调配问题：寻找相等关系的方法：抓住劳动力调配后，从甲处人数与乙处人数间的关系去考虑. （4）工程问题、基本数量关系：把总工作量看作单1：工作总量=工作时间×工作效率；相等关系：各部分工作量之和等于1. （5）利润问题：基本量、基本数量关系：利润=售价一成本(进利润价),利润率成本(进价) （6）数字问题 ①寻找等量关系的方法：抓住数字间和新数、原数之间的关系，常需设间接未知数. ②基本量、基本数量关系：设一个两位数的十位上的数字分别为位上的数字和个a和b,则这个两位数可以表示为10a+b. （7）增长率问题：增长量=原有量×增长率原有量=现有量一增长量现有量=原有量×(1+增长率) （8）储蓄问题 ①利息=本金×利率×时间. ②本息和=本金十利息=本金十本金×利率×时间. （9）营销问题： ①利润=售价一进价. ②售价=进价×(1+利润率)100% ③打m折应为：售价×m% 1.根据题意找出题目中的数量关系； 2.用字母表示出关键的量； 3.根据数量关系列出代数式并进行化简。 1.在列代数式时要注意代数式的书写规则； 2.列代数式时，题目条件中如果有单位，所列代数式必须要带单位； 3.所列代数式如果是多项式，在带单位时必须加上括号。 04题型精研·考向洞悉 命题点一 一次方程（组）的概念 ☛题型01 已知方程的解，求参数会代数式的值 例1．（2023·浙江绍兴·中考真题）若关于x的方程所有的根都是比1小的正数．则实数m的取值范围是 ． 【答案】或 【解析】解：当时，． 当时，可得，解得：，符合题意； 当时，可得，解得：，不符合题意； 当时， ，则 ∴． ∵关于x的方程的所有根都是比1小的正实数， ∴，解得：，，解得：，即． 综上可得，实数m的取值范围是或． 故答案为：或． 1.根据方程解的含义将方程的解代入方程中，求出参数的值或者参数的范围； 2.将参数的值或者参数满足的条件代入所求代数式中进行求解或者使用整体代换的思想求解； 1．（2024·内蒙古·二模）若是关于的一元一次方程的解，则的值是 ． 【答案】6 【解析】把代入关于x的一元一次方程得： ， ∴ ， 故答案为：6． 2．（2024·四川雅安·三模）已知是关于x的一元一次方程的解，则的值是 ． 【答案】2024 【解析】解：∵是关于x的一元一次方程的解， ∴， 整理得， ∴ ． 故答案为：2024． 3．（2024·贵州贵阳·二模）已知关于的方程的解是，则的值为 ． 【答案】 【解析】解：把代入方程中得： ， ， 故答案为：． 4．（2024·内蒙古包头·模拟预测）已知是方程的解，则代数式的值为 ． 【答案】 【解析】解：把代入方程中，得， 解得：， 把代入中， 则原式 ． 故答案为：． ☛题型02 等式基本性质的应用 例2．（2024·贵州·中考真题）小红学习了等式的性质后，在甲、乙两台天平的左右两边分别放入“■”“●”“▲”三种物体，如图所示，天平都保持平衡．若设“■”与“●”的质量分别为x，y，则下列关系式正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】解：设“▲”的质量为a， 由甲图可得，即， 由乙图可得，即， ∴， 故选C． 在使用等式的基本性质2解题时，要注意两边都乘以或除以的一定是不为0的数或式子，在不能确定某个数或式子是否为0时，两边不能同时乘以或除以该数或式子。。 1．（2024·江苏苏州·一模）若，则= ． 【答案】2 【解析】解：，， 故答案为： 2．（2024·山东潍坊·模拟预测）已知等式，则下列等式中成立的是（      ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】解：A．， 等式两边都乘，得，故本选项不符合题意； B．， 等式两边都减去5，得，故本选项符合题意； C．， 等式两边都除以3，得，故本选项不符合题意； D．， 等式两边都加1，得，故本选项不符合题意 故选：B． 3．（2024·安徽·模拟预测）已知实数a、b、c满足，则下列命题为假命题的是（    ） A．当时， B．当时， C．当时， D．当时， 【答案】C 【解析】解：A、∵，， ∴， ∴，即，故A为真命题，不符合题意； B、∵， ∴， ∵， ∴，则，故B为真命题，不符合题意； C、当时， ∵， ∴，则， 当时，b为任意实数， 当时，，解得，故C为假命题，符合题意； D、∵，， ∴， 整理得：， ∴，解得：，故D为真命题，不符合题意； 故选：C． 4．（2024·四川广安·模拟预测）幻方，相传最早见于我国的“洛书”，如图1的洛书，每一行、每一列以及每条斜对角线上的点数之和都相等，转换为数字如图2所示，它是一种三阶幻方．根据三阶幻方规则，由图3中已知数求出的值为（    ） A． B．3 C． D．2 【答案】A 【解析】解：由题意，得：， ∴； 故选：A． ☛题型03 判断是否是二元一次方程组的解 例3．（2023·江苏无锡·中考真题）下列4组数中，不是二元一次方程的解是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】解：A、当时，，则是二元一次方程的解，不合题意；     B、当时，，则是二元一次方程的解    ，不合题意； C、 当时，，则是二元一次方程的解，不合题意； D、当时，，则不是二元一次方程的解，符合题意； 故选：D． 1.直接代入法：可以将选项中的未知数的值带入方程组中，检验是否满足方程； 2.部分代入，即将选项中的两个未知数的值，只带入一个进行运算，求出另一个未知数的值，再与选项进行对比； 1．（2024·山东滨州·一模）下列四组数中，不是二元一次方程的解的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】A、把代入方程，左边右边，所以是方程的解，不符合题意； B、把代入方程，左边＝右边，所以是方程的解，不符合题意； C、把代入方程，左边右边，所以是方程的解，不符合题意； D、把代入方程，左边右边，所以不是方程的解，符合题意． 故选：D． 2．（2022·天津滨海新·一模）方程组的解是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】解：∵7+2=9,7-2×2=3 ∴ 故选：D． 3．（2024·江苏无锡·一模）请写出一个解为的二元一次方程组 ． 【答案】（答案不唯一） 【解析】 解：根据题意得：． 故答案为：（答案不唯一） ☛题型04 已知二元一次方程组的解求参数或代数式的值 例4．（2024·江苏宿迁·中考真题）若关于x、y的二元一次方程组的解是，则关于x、y的方程组的解是 ． 【答案】 【解析】解：把代入，得：， ∵， ∴，即：， ，得：， ∵方程组有解， ∴， ∴， 把代入①，得：，解得：； ∴方程组的解集为：； 故答案为：． 将二元一次方程组的解代入含参数的方程组中得到一个新的关于参数的二元一次方程组，求解这个方程组，可以求出参数的值 1．（2024·广东河源·一模）已知是二元一次方程组的解，则的值为 ． 【答案】7 【解析】解：将代入原方程组得， 得：， ∴的值为7． 故答案为：7． 2．（2024·湖北荆州·一模）已知是二元一次方程组的解，则的立方根为 ． 【答案】 【解析】解：是二元一次方程组的解， ， 解得：， ， 的立方根为， 故答案为：． 3．（2024·河南漯河·一模）若关于，的二元一次方程组的解为，则的值为 ． 【答案】 【解析】解：∵关于，的二元一次方程组的解为， ∴，解得：， ∴， 故答案为：． 4．（2024·广东中山·模拟预测）已知是方程组的解，求代数式的值． 【答案】8 【解析】解：依题意得方程组， ①②得， ∴， 把代入①得； 则． 命题点二 解方程与方程组 ☛题型01 解一元一次方程合并同类项与移项 例1．（2024·海南·中考真题）若代数式的值为5，则x等于（    ） A．8 B． C．2 D． 【答案】A 【解析】解：∵代数式的值为5， ∴， 解得， 故选：A． 将移项从等号的一边移到等号的另一边时，要注意改变符号，即原来是正号的变为负号，原来是负号的变为正号。 1．（2024·四川攀枝花·模拟预测）下列各数中，是方程的解的是（    ） A． B． C． D．和 【答案】B 【解析】解：， 移项得：， 合并同类项得：， 系数化1，得， 故选：B． 2．（2024·辽宁·模拟预测）在解方程时，经过移项后的式子为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】解：， 移项得， 化简得， 故选：A． 3．（2024·广西·模拟预测）一元一次方程的解是 ． 【答案】 【解析】解：∵， ∴． 故答案为：． 4．（2024·河北邯郸·模拟预测）若代数式与的值相等，则 ． 【答案】1 【解析】解：∵代数式与的值相同， ∴．， 移项得， 合并同类项得， 系数化成1得： 故答案为：1． ☛题型02 解一元一次方程去括号 例2．（2024·广西柳州·三模）解方程：． 【答案】 【解析】解：去括号，得， 移项，得， 合并同类项，得， 系数化为1，得． 1.去括号时，看括号前的符号，如果是正号直接把括号去掉，原括号里的各项不改变符号；如果括号前是负号，在把负号和括号去掉的同时，改变原括号里各项的符号； 2.括号前有系数时，则运用乘法分配律进行去括号，即用括号前的系数（包括符号）分别乘以括号内的每一项（包括符号）；去括号时要注意符号的处理，切勿出错。 1．（2023·河北沧州·模拟预测）下列是解一元一次方程的步骤： 其中说法错误的是(    ) A．①步的依据是乘法分配律 B．②步的依据是等式的性质1 C．③步的依据是加法结合律 D．④步的依据是等式的性质2 【答案】C 【解析】解：解一元一次方程的步骤：， ①步的依据是乘法分配律，说法正确； ②步的依据是等式的性质1，说法正确； ③步的依据是合并同类项的法则，原说法错误； ④步的依据是等式的性质2，说法正确． 故选：C． 2．（2023·四川达州·模拟预测）一元一次方程的解是 ． 【答案】 【解析】解：去括号，可得：， 移项，可得：， 合并同类项，可得：， 系数化为1，可得：． 故答案为：． 3．（2024·陕西西安·模拟预测）解方程： 【答案】 【解析】解： 去括号得：， 移项得：， 合并同类项得：， 系数化为1得：． 4．（2023·广东广州·一模）解一元一次方程： 【答案】 【解析】解：去括号得：， 移项、合并同类项得：， 系数化为1得：， 即方程的解为：． ☛题型03 解一元一次方程去分母 例3．（2024·甘肃陇南·三模）方程的解为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】解： ， ， ， ， ， 故选：． 去分母时要注意： （1）不要漏乘整数项。 （2）分子是多项式的，在分母后要加括号，避免符号出现错误。 （3）分子分母中含有小数时，先利用分数的基本性质将分子分母中的小数化成整数，再去分母。注意区分分数的基本性质与等式的基本性质。 1．（2023·吉林·二模）解一元一次方程的一般步骤包括：去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化1等．将一元一次方程去分母，得（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】解：将一元一次方程去分母，得．故选：A 2．（2024·广东广州·一模）解方程：． 【答案】 【解析】解：， 去分母得，， 移项得，， 解得：． 3．（2024·浙江台州·二模）以下是亮亮解方程的解答过程． 解：去分母，得． 移项，得． 合并同类项，得． 亮亮的解答过程是否有错误？如果有错误，写出正确的解答过程． 【答案】亮亮的解答过程有错误，解答过程见解析 【解析】解：亮亮的解答过程有错误． 正确的解答过程： 去分母，得：， 移项，得：， 合并同类项，得：． 4．（2024·宁夏吴忠·一模）以下是小明解方程的解答过程． 解：去分母，得第一步 去括号，得第二步 移项，得第三步 合并同类项，得第四步 (1)以上过程中是从第______步开始出错的． (2)第一问中出现错误的原因____________． (3)写出这个方程的正确解答过程． 【答案】(1)一 (2)去分母的时候方程右边没有乘以6 (3)，过程见解析 【解析】（1）解：观察解题过程可知，以上过程中是从第一步开始出错的，原因是在去分母的时候方程右边没有乘以6； 故答案为：一； （2）解：由（1）得出现错误的原因为去分母的时候方程右边没有乘以6， 故答案为：去分母的时候方程右边没有乘以6； （3）解： 去分母得：， 去括号得：， 移项得：， 合并同类项得：． ☛题型04 代入消元法解二元一次方程组 例4．（2024·广西·模拟预测）解二元一次方程组： 【答案】 【解析】解：， 将②化为③， 将③代入①得 解得：， 将代入③得，， ∴二元一次方程组的解为； 1.先根据一个方程，用一个未知数表示另一个未知数，再带入第2个方程，将二元一次方程转化为一元一次方程； 2.解一元一次方程，并将一元一次方程的解代入原方程组中任意一个二元一次方程中，求出另一个未知数； 1．（2024·山东枣庄·一模）已知x，y满足方程组，则无论m取何值，x，y恒有关系式是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】解：， 把②代入①，得：， 即， 故选：C． 2．（2024·河南焦作·一模）方程组的解为 ． 【答案】 【解析】解： 由①得：③， 将③代入②得：， 解得：， 将代入①得： ∴原方程组的解为：， 故答案为： 3．（2024·广西南宁·二模）解方程组：． 【答案】 【解析】解： 将②代入①得：， 解得：， 将代入②得：， ∴原方程组的解为：． 4．（2024·广东广州·三模）解下列方程组：； 【答案】 【解析】解：， 把代入得：， 解得：， 把代入得：， 则方程组的解为． ☛题型05 加减消元法解二元一次方程组 例5．（2024·贵州贵阳·一模）（1）计算：； （2）下面是小颖同学解方程组的部分过程： 解：令， ①－②，得， … 上述解法中，使用的方法是________(填“代入消元法”或“加减消元法”)，并请你选择不同于题中的方法解该方程组． 【答案】（1）；（2）加减消元法；选择代入消元法解析式见详解， 【解析】解：（1） ； （2）根据题意，①－②，得，消去未知数， ∴运用的是加减消元法， 故答案为：加减消元法； 选择代入消元法解析， 由①得，， 将③代入②，得， 去括号、移项、合并同类项，得， 解得， 将代入③，得， ∴原方程组的解为 1.先观察方程组中的两个方程的系数，同一个未知数的系数相同时，可将两个二元一次方程相减，消去一个未知数，转化为一个一元一次方程，进行求解； 2.当同一个未知数的系数是相反数时，可以将两个二元一次方程相加，进而消去一个未知数，转化为一个一元一次方程进行求解； 3.当相同未知数的系数存在倍数关系或有最小公倍数时，可以选择对原二元一次方程组进行变形，例如乘以某个系数，进而是的相同未知数的系数相等或互为相反数，再进行消元。 1．（2024·湖南长沙·模拟预测）已知关于x，y的二元一次方程组 ，则的值为（      ） A．12 B．9 C．6 D．4 【答案】C 【解析】解：， ，得：； 故选C． 2．（2024·青海·一模）方程组的解满足．则 ． 【答案】 【解析】解：， 解得：， ∵方程组的解满足， ∴， ∴． 故答案为：． 3．（2024·上海青浦·三模）方程组的解为 ． 【答案】 【解析】解：， 由得：， 解得：， 把代入得：， 解得：， ∴原方程组的解为． 故答案为： 4．（2024·广东·模拟预测）解方程组： (1) (2) 【答案】(1)(2) 【解析】（1）解：， ，， 解得， 把代入①，， 解得， ∴原方程组的解是； （2）解：， 化简方程组可得，， 得，， 解得， 将代入②，得， ∴方程组的解为． ☛题型06 整体法求代数式的值 例6．（2022·湖北随州·中考真题）已知二元一次方程组，则的值为 ． 【答案】1 【解析】原方程组为， 由②-①得． 故答案为：1． 已知二元一次方程组求关于未知数的代数式的值时，不要盲目的求解二元一次方程组，可以对二元一次方程组进行观察，对两个二元一次方程进行简单的相加或相减，看是否能够得到所求代数式，进而运用整体思想进行求解。 1．（2024·河南信阳·三模）已知二元一次方程组，则的值为 ． 【答案】2 【解析】解： ，得 ∴ 故答案为：2． 2．已知，满足，则 ． 【答案】3 【解析】解：， 由得：， ∴． 故答案为：3 3．（2023·江苏盐城·模拟预测）已知，，则代数式的值为 ． 【答案】 【解析】解：①，②， 得：， ， ， ， 故答案为： 4．（2023·江苏镇江·二模）已知二元一次方程组，则代数式 【答案】6 【解析】解：两个方程相减，得，即， 两边同时除以2，得． 故答案为：6． ☛题型07 整体思想解二元一次方程组中的应用 例7．（2024·山东临沂·二模）已知关于x，y的方程组的解是则关于x，y的方程组的解是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】∵方程组的解是， ∵方程组可化为， 的解是，即， 故选：B． 已知一个含参数的二元一次方程组的解，求另一个含参数的二元一次方程组的解时，不必盲目对参数进行求解，可以先观察方程的系数，如果相同未知数的系数相等或所有的参数都相等时，那么这两个方程组是同解方程组，值得注意的是未知数的形式有所不同，考生要注意区分。 1．（2024·黑龙江大庆·二模）若方程组 的解是 ，则方程组 的解是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】解：方程组化为：， 方程组的解是， 方程组中， 解得：， 即方程组的解是． 故选：D 2．（2023·浙江·模拟预测）已知关于x、y的二元一次方程组的解为，则关于x，y的方程组的解为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】解：∵关于x、y的二元一次方程组的解为， ∴关于x，y的方程组的解为， ∴， 故选A． 3．（2022·浙江·二模）我们知道二元一次方程组的解是．现给出另一个二元一次方程组，它的解是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】解：在二元一次方程组中，令， 则， ∵二元一次方程组的解是， ∴， ∴， 解得：． 故选C． 命题点三 列方程（组）解应用题 ☛题型01 配套问题 例1．（2024·陕西西安·模拟预测）曾经，家具、家电、服装被称为外贸出口的“老三样”，如今，以电动汽车、锂电池、太阳能电池为代表的“新三样”走俏海外．某太阳能光伏组件车间有名工人，每人每天可以生产个甲零件或个乙零件，个甲零件要配个乙零件，为使每天生产的两种型号的零件刚好配套，应安排生产甲零件和乙零件的工人各多少名？ 【答案】应安排生产甲型零件的工人名,生产乙型零件的工人名 【解析】解：设应安排生产甲型零件的工人名；生产乙型零件的工人名， 由题意得：， 解得：， ， 应安排生产甲型零件的工人名,生产乙型零件的工人名． 列方程（组）解应用题的关键是找到等量关系，有的题目只含有一个等量关系，主要用于列方程；有的题目可能会有两个甚至多个等量关系，可以用来列方程组，也可以利用一个等量关系设未知数，用另一个等量关系列方程。 1．（2023·四川巴中·中考真题）某学校课后兴趣小组在开展手工制作活动中，美术老师要求用14张卡纸制作圆柱体包装盒，准备把这些卡纸分成两部分，一部分做侧面，另一部分做底面．已知每张卡纸可以裁出2个侧面，或者裁出3个底面，如果1个侧面和2个底面可以做成一个包装盒，这些卡纸最多可以做成包装盒的个数为（    ） A．6 B．8 C．12 D．16 【答案】C 【解析】解：设用x张白卡纸做侧面，用y张白卡纸做底面， 由题意得，． 解得． ， 答：这些卡纸最多可以做成包装盒的个数为12个． 故选：C． 2．（2024·广东深圳·三模）粽子作为中国历史文化积淀最深厚的传统食品之一，传播甚远，最初是用来是祭祀祖先神灵的贡品．某家庭制作的粽子礼盒每份由6个蛋黄肉粽和4个碱水粽组成．用1千克糯米可做24个蛋黄肉粽或16个碱水粽，现要用6千克糯米制作粽子，设用x千克糯米制作蛋黄肉粽，恰好使制作的蛋黄肉粽和碱水粽配套，则可列方程为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】解：设用x千克糯米制作蛋黄肉粽，则用千克糯米制作碱水粽， 根据题意得． 故选：B． 3．（2024·山西长治·模拟预测）某木材加工厂制作桌子的车间有14名工人，每名工人每小时可以加工10张桌面或30条桌腿．1张桌面需要配4条桌腿，为使每小时加工的桌面和桌腿刚好配套，该车间应安排 名工人加工桌腿． 【答案】8 【解析】设该车间应安排名工人加工桌腿，则安排名工人加工桌面， 根据题意得：， 解得：， 该车间应安排8名工人加工桌腿． 故答案为：8． 4．（2024·山东聊城·一模）在纸盒制作的劳动实践课上，对规格是的原材料板材进行裁剪得到A型长方形纸板和B型正方形纸板，为了避免材料浪费，每张原材料板材先裁得3张的纸板条，每张纸板条又恰好可以裁得3张A型长方形纸板或5张B型正方形纸板，如图1所示．（单位：cm） (1)每张原材料板材可以裁得A型纸板______张或裁得B型纸板______张； (2)现有130张原材料板材全部裁剪（每张原材料板材只能一种裁法）得到A型与B型纸板当侧面和底面，做成如图2所示的竖式有盖长方体纸盒（1个长方体纸盒需要4个侧面和2个底面，接缝忽略不计），问：怎样裁剪才能使剪出的A，B型纸板恰好用完？能做多少个纸盒？ 【答案】(1)9，15 (2)用100张原材料板材裁剪A型纸板，用30张原材料板材裁剪B型纸板，能做225个纸盒 【解析】（1）解：根据题意，每张原材料板材可裁得3张的纸板条，每张纸板条又恰好可以裁得3张型长方形纸板或5张型正方形纸板， 每张原材料板材可以裁得型纸板（张，每张原材料板材可以裁得型纸板（张； 故答案为：9，15； （2）解：设用张原材料板材裁剪型纸板，则用张原材料板材裁剪型纸板， 根据题意得：， 解得， ， ， 用100张原材料板材裁剪型纸板，用30张原材料板材裁剪型纸板，能做225个纸盒． ☛题型02 工程问题 例2．（2019·安徽·中考真题）为实施乡村振兴战略，解决某山区老百姓出行难的问题，当地政府决定修建一条高速公路.其中一段长为146米的山体隧道贯穿工程由甲乙两个工程队负责施工.甲工程队独立工作2天后，乙工程队加入，两工程队又联合工作了1天，这3天共掘进26米.已知甲工程队每天比乙工程队多掘进2米，按此速度完成这项隧道贯穿工程，甲乙两个工程队还需联合工作多少天？ 【答案】甲乙两个工程队还需联合工作10天. 【解析】解：设甲工程队每天掘进x米，则乙工程队每天掘进（x-2）米， 由题意得2x+（x+x-2）=26，解得x=7，所以乙工程队每天掘进5米， （天） 答：甲乙两个工程队还需联合工作10天 1．（2024·安徽·一模）某水果加工基地加工一批水果，原计划8天完成任务，在完成一半任务时，受天气降温的影响，每天加工的水果比原计划少5吨，最后完成全部任务用了10天，问该水果加工基地加工的这批水果一共有多少吨？ 【答案】120吨 【解析】解：设这批水果一共有x吨，根据题意，得： ， 解得. 答：该水果加工基地加工的这批水果一共有120吨． 2．（2023·安徽合肥·二模）整理一批图书，如果由一个人单独做要用，现先安排一部分人用整理，随后又增加5人和他们一起又做了，恰好完成整理工作，假设每个人的工作效率相同，那么一共安排整理的人员有多少？ 【答案】8 【解析】解：设先安排整理的人员是人． 由题意得： 解得： 答：一共安排整理的人员有8人． 3．（2023·安徽滁州·二模）巴川河是铜梁的母亲河，为打造巴川河风光带，现有一段长为米的河道整治任务由、两个工程队先后接力完成；工程队每天整治米，工程队每天整治米，共用时天． (1)求、两工程队分别整治河道多少天？（用二元一次方程组解答） (2)若工程队整改一米的工费为元，工程队整改一米的工费为元，求完成整治河道时，这两工程队的工费共是多少？ 【答案】(1)工程队整治河道天，工程队整治河道天 (2)元 【解析】（1）解：设工程队整治河道天，工程队整治河道天， 根据题意得：， 解得：． 答：工程队整治河道天，工程队整治河道天； （2）解：根据题意得： 元． 答：完成整治河道时，这两工程队的工费共是元． 4．（2024·陕西西安·模拟预测）为加强新农村建设，某地方政府准备在甲村和乙村之间修建一条公路．已知A工程队单独完成此工程需要5个月，B工程队单独完成此工程需要10个月．若A，B两工程队合作2个月后，再由B工程队单独完成剩余部分，则B工程队还需要几个月才能完成？ 【答案】B工程队还需要4个月才能完成 【解析】解：设B工程队还需要x个月才能完成， 由题意得，， 解得， 答：B工程队还需要4个月才能完成． ☛题型03 销售盈亏问题 例3．（2020·安徽·中考真题）某超市有线上和线下两种销售方式．与2019年4月份相比．该超市2020年4月份销售总额增长其中线上销售额增长．线下销售额增长， 设2019年4月份的销售总额为元．线上销售额为元，请用含的代数式表示2020年4月份的线下销售额(直接在表格中填写结果)； 求2020年4月份线上销售额与当月销售总额的比值． 【答案】； 【解析】解：年线下销售额为元， 故答案为：． 由题意得： 2020年4月份线上销售额与当月销售总额的比值为： 答：2020年4月份线上销售额与当月销售总额的比值为： 1．（2024·安徽蚌埠·三模）某超市恰好用元购进甲、乙两种商品，其中乙种商品的件数比甲种商品件数的少件．求该超市购进甲、乙两种商品的数量． 商品类型 甲 乙 进价（元/件） 20 30 【答案】购进甲商品件，乙商品件． 【解析】解：设购进甲商品件，则购进乙商品为件，由题意可得： ， 解得，， ， 答：购进甲商品件，乙商品件． 2．（2024·安徽安庆·三模）春节期间，贺岁影片《热辣滚烫》的上映，不仅受到了许多观众的欢迎，还带火了拳击瘦身等健身经济，掀起了一股拳击热，某体育用品专卖店抓住商机，推出，两种拳击手套，每双种拳击手套的成本为元，每双种拳击手套的成本为元，每双种拳击手套的售价比每双种拳击手套的售价少元，卖双种拳击手套的利润和卖双种拳击手套的利润相同，求每双两种拳击手套的售价． 【答案】每双种拳击手套的售价为元，每双种拳击手套的售价为元． 【解析】解：设每双种拳击手套的售价为元，则每双种拳击手套的售价为元， 由题意得， 解得， ∴， 答：每双种拳击手套的售价为元，每双种拳击手套的售价为元． 3．（2024·安徽合肥·二模）某超市有线下和线上两种销售方式，去年计划实现总销售利润200万元，经过努力，实际总销售利润为225万元，其中线下销售利润比原计划增长，线上销售利润比原计划增长，则该超市去年实际完成线下销售利润、线上销售利润各多少万元？ 【答案】该超市去年实际完成线下销售利润52.5万元，线上销售利润172.5万元 【解析】解：设去年计划完成线下销售利润x万元，线上销售利润y万元， 根据题意得，解得， ∴万元，万元． 答：该超市去年实际完成线下销售利润52.5万元，线上销售利润172.5万元． 4．（2024·安徽宿州·一模）2023年，某包田大户种植两种水稻，分别是粳稻和杂交水稻，种植粳稻投资万元，种植杂交水稻投资万元，年底分别挣得和的利润． (1)2023年，该包田大户总利润是______万元；（用含的代数式表示） (2)2024年，该包田大户预投资60万元用于种植这两种水稻，已知两种水稻利润之和是，若2024年与2023年两种水稻利润率相同，求2024年该包田大户对种植粳稻和杂交水稻分别投资的金额． 【答案】(1) (2)2024年该包田大户对种植粳稻和杂交水稻分别投资45万元和15万元． 【解析】（1）由题意，得 该包田大户总利润是万元． 故答案为：； （2）设2024年该包田大户对种植粳稻和杂交水稻分别投资x万元和y万元，由题意，得 ， 解得 ． 答：2024年该包田大户对种植粳稻和杂交水稻分别投资45万元和15万元． ☛题型04方案选择问题 例4．（2024·安徽合肥·二模）2024年5月3日，嫦娥六号探测器准确进入地月转移轨道，发射任务取得圆满成功，有两个旅游团去某航天科技馆参观，第一个旅游团有15名成人和10名儿童，共花费门票850元；第二个旅游团有40名成人和50名儿童，由于人数较多，成人票打八折，儿童票打六折，共花费2030元．求成人票和儿童票每张原价多少元？ 【答案】成人票每张原价40元，儿童票每张原价25元 【解析】解：设成人票每张原价x元，儿童票每张原价y元，由题意得： ， 解得：， 答：成人票每张原价40元，儿童票每张原价25元． 1．（2023·安徽淮北·一模）李明在某商场购买甲乙两种商品若干次（每次甲，乙两种商品都购买），其中前两次按标价购买，第三次购买时，甲，乙两种商品同时打折，三次购买甲，乙两种商品的数量和费用情况如表所示： 购买甲商品的数量 购买乙商品的数量 购买总费用 第一次 6 4 880 第二次 4 6 920 第三次 9 8 912 (1)求甲、乙两种商品的标价各是多少元？ (2)若李明第三次购买时，甲、乙两种商品的折扣相同，则商场是打几折出售这两种商品的？ 【答案】(1)甲商品的标价是80元，乙商品的标价是100元 (2)商场是打6折出售这两种商品的． 【解析】（1）解：设甲商品的标价是元，乙商品的标价是元， 依题意得：， 解得：． 答：甲商品的标价是80元，乙商品的标价是100元； （2）解：设商场是打折出售这两种商品的， 依题意得：， 解得：． 答：商场是打6折出售这两种商品的． 2．（2023·安徽·二模）为了抓住世博会商机，某商店决定购进A、B两种世博会纪念品，若购进A种纪念品10件，B种纪念品5件，需要2000元；若购进A种纪念品5件，B种纪念品3件，需要1050元． (1)购进A、B两种纪念品每件各需多少钱？ (2)若该商店决定拿出4000元全部用来购进这两种纪念品，其中各纪念品至少购进12件，那么该商店有哪些进货方案？ 【答案】(1)购进A种纪念品每件需要150元，购进B种纪念品每件需要100元； (2)该商店共有四种进货方案；方案1，购进A种纪念品12件，B纪念品22件；方案2，购进A种纪念品14件，B纪念品19件；方案3，购进A种纪念品16件，B纪念品16件；方案4，购进A种纪念品18件，B纪念品13件． 【解析】（1）解：设购进A种纪念品每件需要x元，购进B种纪念品每件需要y元， 根据题意得：， 解得：． 答：购进A种纪念品每件需要150元，购进B种纪念品每件需要100元； （2）解：设购进A种纪念品a件，B纪念品b件，正好用完4000元， 根据题意得：， 化简得：，即． ∵a、b均为不小于12的正整数， ∴当时，；当时，；当时，；当时，． 答：该商店共有四种进货方案；方案1，购进A种纪念品12件，B纪念品22件；方案2，购进A种纪念品14件，B纪念品19件；方案3，购进A种纪念品16件，B纪念品16件；方案4，购进A种纪念品18件，B纪念品13件． 3．（2023·安徽宿州·一模）2022年7月，河南安阳等地遭遇特大暴雨袭击，暴雨中有房屋倒塌，道路被冲毁，车辆被冲走．灾情发生后，全国各地纷纷援助．合肥某公司筹集了一批物资，准备运往灾区，计划租用甲、乙两种型号的货车，在每辆货车都满载的情况下，若租用30辆甲型货车和50辆乙型货车可装载1500箱物资；若租用20辆甲型货车和60辆乙型货车可装载1400箱物资．求出甲、乙两种型号的货车每辆分别可装载多少箱物资？ 【答案】甲型货车每辆可装载25箱物资，乙型货车每辆可装载15箱物资 【解析】解：设甲型货车每辆可装载箱物资，乙型货车每辆可装载箱物资，根据题意，得： ， 解得 答：甲型货车每辆可装载25箱物资，乙型货车每辆可装载15箱物资． 4．（2023·安徽合肥·一模）国家“双减”政策实施后，某校开展了丰富多彩的社团活动．某班同学报名参加书法和围棋两个社团，班长为参加社团的同学去商场购买毛笔和围棋，已知购买5支毛笔和12副围棋共花费315元，购买8支毛笔和6副围棋共花费240元，求每支毛笔和每副围棋的单价各多少元． 【答案】每支毛笔的单价为15元，每副围棋的单价为20元． 【解析】解：设每支毛笔的单价为元，每副围棋的单价为元， 根据题意得，解得． 答：每支毛笔的单价为15元，每副围棋的单价为20元． ☛题型05 和差倍分问题 例5．（2024·安徽阜阳·一模）在“践行垃圾分类，助力双碳目标”主题班会结束后，刘华和小燕子一起收集了一些废电池，刘华说：“我比你多收集了7 节废电池．”小燕子说：“如果你给我8 节废电池，那么我的废电池节数就是你的2倍．”如果他们说的都是真的，那么刘华和小燕子分别收集了多少节废电池？ 【答案】刘华和小燕子分别收集了节和节废电池 【解析】解：设刘华收集节废电池，列方程得： ， 解得：， ∴小燕子收集废电池为节， 答：刘华和小燕子分别收集了节和节废电池． 1．（2024·安徽合肥·一模）道路积雪，现有28人参与清扫，需要3人扫雪并配合1人运雪，应安排多少人扫雪，多少人运雪？ 【答案】应安排21人扫雪，7人运雪 【解析】解：设安排人扫雪，则安排人运雪， 根据题意得：， 解得：， ∴（人）． 答：应安排21人扫雪，7人运雪． 2．（2022·安徽·模拟预测）为方便学生接种疫苗，卫健委安排甲、乙两支医疗队去某校开展专场接种，甲队比乙队每小时多接种50人，乙队的接种速度是甲队的．已知该校共有2100名学生参加接种，按照此速度，全部接种完毕需要多长时间？ 【答案】6小时 【解析】解：设甲队每小时接种x人． 根据题意，得，解得， ∴乙队每小时接种人数为， ． 答：全部接种完毕需要6小时． 3．（2022·安徽合肥·三模）随着第24届北京冬奥会和冬残奥会的顺利召开，“冰墩墩”和“雪容融”成了名副其实的国民顶流．奥林匹克官方旗舰店预售“冰墩墩”和“雪容融”小挂件，若定购3个“冰墩墩”和2个“雪容融”小挂件共需支付360元，若定购2个“冰墩墩”和3个“雪容融”小挂件共需支付370元．“冰墩墩”和“雪容融”小挂件单价各是多少元？ 【答案】“冰墩墩”小挂件单价为68元，“雪容融”小挂件单价为78元 【解析】解：设“冰墩墩”小挂件单价为x元，“雪容融”小挂件单价为y元，根据题意得： ， 解得：， 答：“冰墩墩”小挂件单价为68元，“雪容融”小挂件单价为78元． 4．（2024·湖南株洲·模拟预测）某学校课后服务开展有声有色，这个学期因更多的学生选择足球和篮球班，学校计划购进若干个足球和篮球．已知篮球和足球的单价相差30元，且购买4个足球的费用与购买3个篮球的费用相同，求每个篮球和足球价格分别是多少元？ 【答案】120元和90元 【解析】解：设每个篮球的价格为元，每个足球的价格为元， 由题意知篮球的单价高于足球的单价， 则， 解得： 答：每个篮球和足球价格分别是120元和90元． ☛题型06 行程问题 例6．（2024·安徽六安·三模）《九章算术》中有一问题，“今有善行者一百步，不善行者六十步，今不善行者先行一百 步，善行者追之．问：几何步几之？”其意思是：有一个善于走路的人和一个不善于走路的人．善于走路的人走100步的同时，不善于走路的人只能走60步，现在不善于走路的人先走100步，善于走路的人追他，需要走多少步才能追上他？ 【答案】走路快的人要走250步才能追上走路慢的人． 【解析】解：设善于走路的人追上不善于走路的人所用时间为t， 根据题意得：， 解得：， ∴． 答：走路快的人要走250步才能追上走路慢的人． 1．（2024·安徽安庆·一模）近年来，跑步运动已经成为全民参与的重要体育活动，越来越多的人加入到跑步运动中．某跑步爱好者在一次跑步中，先按原计划10千米/时的平均速度跑了一半的路程，后因各种因素影响，平均速度下降了，并以此速度跑完了后半程．这样总用时比原计划多用了15分钟，求他此次跑步的总路程． 【答案】 【解析】解法一：设他此次跑步的原计划用时x小时． 解得： 总路程为 答：他此次跑步的总路程为20km 解法二：设他此次跑步的总路程为x千米，由题意得： 解得 答：他此次跑步的总路程为20千米． 2．（2024·广东梅州·一模）周末，小明和他的爸爸来到环形运动场进行跑步锻炼，绕环运动场一圈的路程为400米． (1)若两人同时同起点相向而跑，则经过36秒后首次相遇；若两人同时同起点同向而跑，则经过180秒后，爸爸首次从后面又追上小明，问小明和他的爸爸的速度各为多少？ (2)假设爸爸的速度是6米/秒，小明的速度是5米/秒，两人进行400米赛跑，同时同起点同向出发，等爸爸跑到半圈时，故意降速为4米/秒，按此继续比赛，小明能否在400米终点前追上爸爸，如果能，求追上时距离终点还有多少米；如果不能，请说明理由． 【答案】(1)小明的速度为，爸爸的速度为 (2)小明能在400米终点前追上爸爸，追上当时距离终点还有 【解析】（1）解：（1）设小明的速度为，爸爸的速度为， 则依题意得：，于是， ，得，即有：， ，得，即有：， 答：小明的速度为，爸爸的速度为． （2）（2）解：结论：小明能在400米终点前追上爸爸，且追上时距离终点还有． 理由：爸爸跑到半圈所用时间为， 此时小明所跑路程为， 爸爸和小明的距离， 因此小明接下来追上爸爸所需时间， 追上时，小明的爸爸总路程， 因此小明能在400米终点前追上爸爸． 追上当时距离终点还有． 3．（2024·云南·一模）某城市出租车起步价行驶的最远路程为3千米，超过3千米的部分按每千米另收费，甲说：“我乘这种出租车走了5千米，付了9元”；乙说：“我乘这种出租车走了7千米，付了12元”．请你算一算这种出租车的起步价是多少元？以及超过3千米后，每千米的车费是多少元？ 【答案】这种出租车的起步价是6元，超过3千米后，每千米的车费是1.5元． 【解析】解：设这种出租车的起步价是元，超过3千米后，每千米的车费是元， 由题意得：， 解得：， 答：这种出租车的起步价是6元，超过3千米后，每千米的车费是1.5元． 4．（2024·贵州黔东南·二模）小芳早上出门赶到距家的学校上学．已知小芳的速度是，她刚出门，妈妈想起昨晚班主任在家长群发通知，今天学生在家上网课，网课开始，于是妈妈立即以的速度跑出门去追小芳，并且在途中追上了她，小芳立即和妈妈以的速度走回家 (1)妈妈追上小芳用了多长时间？ (2)小芳是否能赶在网课开始前进入网课直播间上课？ 【答案】(1) (2)小芳能赶在网课开始前进入网课直播间上课 【解析】（1）解：设妈妈追上小芳用了， 根据题意得：， 解得：． 答：妈妈追上小芳用了； （2）解：妈妈追上小芳时离家的距离为， 小芳返回家所用时间为， ， ，， 小芳能赶在网课开始前进入网课直播间上课． ☛题型07古代问题 例7．（2024·安徽六安·模拟预测）《孙子算经》中记载：“今有三人共车，二车空；二人共车，九人步．问人和车各几何？”其大意是：“今有若干人乘车，每人乘一车，最终剩余辆空车；若每人同乘一车，最终剩下人因无车可乘而步行，问有多少人，多少辆车？”试求有多少人，多少辆车． 【答案】有人，辆车． 【解析】解：设共有辆车， 根据题意得，， 解得， ∴人， 答：有人，辆车． 1．（2024·安徽合肥·模拟预测）《九章算术》是中国传统数学最重要的著作之一，书中记载：“今有人共买羊，人出五，不足四十五；人出七，不足三，问人数、羊价各几何？”其大意是：今有人合伙买羊，若每人出五钱，还差四十五钱；若每人出七钱，还差三钱．问合伙人数和羊价各是多少？ 【答案】21人，150元 【解析】解：设合伙人数为x, 依题意得：，解得：， 则． 答：合伙人数为21，羊价为150钱． 2．（2023·安徽淮南·二模）中国古代数学著作《算法统宗》中有这样一段记载，“三百七十八里关；初日健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关．”其大意是；有人要去某关口，路程为378里，第一天健步行走，从第二天起，由于脚痛，每天走的路程都为前一天的一半，一共走了六天才到关口，求此人第一和第六这两天共走的路程． 【答案】198里 【解析】解：设第六天走的路程为x里，则第五天走的路程为里， 依此往前推，第一天走的路程为里， 依题意，得：， 解得：， ，（里）， 答：此人第一和第六这两天共走了198里． 3．（2024·安徽合肥·一模）我国古代有一道著名的数学题，原文如下：甲，乙二人隔溪牧羊，甲云得乙羊九只，多乙一倍正当；乙云得甲羊九只，两人羊数一样．甲，乙羊各几何？译文为：甲，乙两人在小河边放羊，甲说：如果你给我9只羊，那么我的羊的数量比你的多1倍；乙说：如果你给我9只羊，我们俩的羊就一样多了，问甲、乙两人各有多少只羊？ 【答案】甲有63只羊，乙有45只羊 【解析】解：设甲有只羊，乙有只羊， 根据题意，可得， 解得． 答：甲有63只羊，乙有45只羊． 4．（2024·安徽合肥·一模）《九章算术》是中国传统数学重要的著作，奠定了中国传统数学的基本框架．其中《盈不足》名记载了一道数学问题： “今有共买物，人出六，赢二； 人出五，不足三．问人数、物价各几何?译文：“今有人合伙购物，每人出钱，会多出钱； 每人出钱，又差钱．问人数、物价各多少? ”请解答上述问题． 【答案】有人，物价为钱． 【解析】解：设有人，物价为钱， 由题意可得，， 解得， 答：有人，物价为钱． 05分层训练·巩固提升 基础巩固 一、单选题 1．（2024·吉林长春·一模）已知，下列式子不一定成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】解：A、，成立，不符合题意； B、，成立，不符合题意； C、，成立，不符合题意； D、当时，，故式子不一定成立，符合题意， 故选：D． 2．（2024·河北保定·二模）如图，天平两次均处在平衡状态．设“▲”的质量为a，“★”的质量为b，则a与b的大小关系为（    ） A． B． C． D．无法确定 【答案】B 【解析】解：根据图中，在天平两边分别加上“▲”和“★”之后，两边质量相等， 即，故选：B． 3．（2024·河南周口·三模）方程组的解x，y的值互为相反数，则a的值是（    ） A．1 B． C． D．2 【答案】D 【解析】解：方程组 ①+②得：，即， ∵x，y|的值互为相反数， ∴， ∴，解得． 故选：D． 4．（2024·广东佛山·三模）小明做作业时发现方程已被墨水污染：电话询问老师后知道：方程的解且被墨水遮盖的是一个常数．则该常数是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】解：设被污染的常数■是a， 把代入，得：， 解得， 故选A． 5．（2024·江苏无锡·一模）若是关于x的方程的解，则m的值是（    ） A． B． C．2 D．3 【答案】D 【解析】解；把代入方程得：， 解得：， 故选：D． 6．（2024·贵州毕节·三模）已知关于x，y的二元一次方程组的解也是方程的解，则k的值为（   ） A． B． C．2 D．无法计算 【答案】C 【解析】解： 由①②得：， 解得：， 把代入①得：， 解得：， 把，代入， 得：， 解得：， 故选：C 7．（2024·江苏扬州·三模）设是从，0，3这三个数中取值的一列数，若，，则（    ） A．154 B．155 C．156 D．157 【答案】D 【解析】解：设这一列数中有个，个3， 可列， 解得：， ， 故选：D． 8．（2023·四川南充·中考真题）关于x，y的方程组的解满足，则的值是（    ） A．1 B．2 C．4 D．8 【答案】D 【解析】解：法一：， 得， 解得， 将代入，解得， ， ， 得到， ， 法二： 得：，即：， ∵， ∴， ， 故选：D． 9．（2024·辽宁·模拟预测）学校组织植树活动，已知在甲处植树的有人，在乙处植树的有人现调人去支援，使在甲处植树的人数是乙处植树人数的倍，问应调往甲、乙两处各多少人？设应调往甲处人，则所列方程正确的是（   ）． A． B． C． D． 【答案】C 【解析】解：设应调往甲处人， 由题意可得，， 故选：． 10．（2024·四川成都·二模）我国古代数学著作《九章算术》有题如下：“今有五雀、六燕，集称之衡，雀俱重，燕俱轻．一雀一燕交而处，衡适平；并燕、雀重一斤．问燕、雀一枚各重几何？”其大意是：现在有5只雀和6只燕，用秤来称它们，发现雀比较重，燕比较轻．将一只雀和一只燕交换位置，重量相等；5只雀和6只燕的重量为一斤．问每只雀和每只燕各重多少斤？设每只雀为x斤，每只燕为y斤，则可列方程组为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】解：设每只雀重x斤，每只燕重y斤， 根据题意，得， 故选：A． 二、填空题 11．（2024·四川绵阳·三模）如果方程组的解也是方程的一个解，则的值为 ． 【答案】 【解析】解： 把②代入①得，， 解得，， 把代入②得，， ∴， 把代入得， ， 解得， 故答案为： 12．（2024·广东深圳·三模）已知关于x的方程有实数根，则a的取值范围是 【答案】 【解析】解：当，则； 由关于x的方程有实数根， ∴，即得， ∴， ∴a的取值范围为且． 当时为一元一次方程，方程有一根． 综上所知a的取值范围为． 故答案为：． 13．（2024·甘肃武威·二模）已知，则 ． 【答案】 【解析】解：∵， ∴， 解得：， ∴， 故答案为：． 14．（2024·浙江温州·模拟预测）已知二元一次方程组，则的值为 ． 【答案】 【解析】解：， 得：， 故答案为：． 15．（2024·山东菏泽·三模）若关于x， y的方程组 的解满足， 则的值为 ． 【答案】 【解析】解：， 得， ∵， ∴， ∴， ∴ ， ， 故答案为：． 16．（2024·宁夏银川·二模）由于王亮在实验室做实验时，没有找到天平称取实验所需药品的质量，于是利用杠杆原理制作天平称取药品的质量（杠杆原理：动力动力臂阻力阻力臂）．如图1，当天平左盘放置质量为克的物品时，右盘中放置克砝码天平平衡；如图2，将待称量药品放在右盘后，左盘放置克砝码，才可使天平再次平衡，则该药品质量是 克． 【答案】 【解析】解：设该药品质量是克， 由题意得：， 解得：， 故答案为：． 三、解答题 17．（2024·四川攀枝花·模拟预测）解下列方程： (1)． (2)． 【答案】(1) (2) 【解析】（1）解： 去分母得：， 去括号得：， 移项得：， 合并同类项得：， 系数化为1得：； （2）解： 由①得：③， ②③得，， 解得， ②③得，， 解得， 方程组的解是． 18．（2024·浙江·模拟预测）解方程或方程组： (1) (2) 【答案】(1)，(2) 【解析】（1）解： 原方程可变为：， ∴， 则 ∴或 解得， （2） ①＋②得，， 解得，， 把代入①得，， 解得， ∴ 19．（2024·四川攀枝花·模拟预测）有一火车以每分钟600米的速度要过完第一、第二两座铁桥，过第二铁桥比过第一铁桥需多5秒，又知第二铁桥的长度比第一铁桥长度的2倍短50米，试求各铁桥的长．（火车长度不计） 【答案】第一铁桥长100米，第二铁桥长150米 【解析】解：设第一铁桥的长为米，那么第二铁桥的长为米，火车车头在第一铁桥所需的时间为分．火车车头在第二铁桥所需的时间为分． 依题意，可列出方程， 解方程， 得，     ．   答：第一铁桥长100米，第二铁桥长150米． 20．（2024·山东临沂·模拟预测）如图1是长方形菜园长，宽 ．中间种植区域是长方形，且长是宽的2倍．四周过道部分的宽度相等，如图2为了实现6个小组种植区域均匀分配，现将种植区域分割成大小相等的6垄长方形菜地，垄与垄之间的间距相等，每垄菜地的长比宽多．设过道宽度为，求每垄菜地的长与宽． 【答案】每垄菜地宽为，长为． 【解析】解：设过道宽度为，则长方形菜园长，宽； 由题意得，， 解得， ∴，， 设每垄菜地宽为，则长为， ， 解得， 每垄菜地宽为，长为． 21．（2024·宁夏银川·模拟预测）以下是圆圆解方程的解答过程． 解：去分母，得 去括号，得 移项，合并同类项，得． (1)圆圆的解答过程是否有错误？如果有错误，写出正确的解答过程； (2)请尝试解方程． 【答案】(1)有错误，见解析(2) 【解析】（1）解：圆圆的解答过程错误，正确的解答过程如下： ， 去分母，得， 去括号，得， 移项，合并同类项，得； （2）解：， ， 去分母得， 去括号得， 移项得， 合并同类项得， 系数化1得． 22．（2024·湖北十堰·一模）随着“低碳生活，绿色出行”理念的普及，新能源汽车正逐渐成为人们喜爱的交通工具，某汽车销售公司计划购进一批新能源汽车进行销售，据了解，3辆型汽车，2辆型汽车的进价共计95万元；2辆型汽车，3辆 型汽车的进价共计80万元．求，两种型号的汽车每辆进价分别为多少万元？ 【答案】型号的汽车每辆进价为25万元， 型号的汽车每辆进价为10万元 【解析】解：设型号的汽车每辆进价为万元，型号的汽车每辆进价为万元， 根据题意，可得， 解得． 答：型号的汽车每辆进价为25万元， 型号的汽车每辆进价为10万元． 23．（2024·安徽六安·模拟预测）某鞋业专卖店购进甲、乙两种款式的篮球鞋，甲种篮球鞋进价元/双，售价元/双；乙种篮球鞋进价元/双，售价元/双．该专卖店用元购进这两种篮球鞋并全部售出，获得的总利润为元，求该专卖店购进甲、乙两种篮球鞋各多少双． 【答案】该专卖店购进甲种篮球鞋50双，乙种篮球鞋60双 【解析】解：设该专卖店购进甲种篮球鞋双，乙种篮球鞋双． 根据题意， 得 解得 答：该专卖店购进甲种篮球鞋50双，乙种篮球鞋60双． 24．（2024·安徽·三模）甲、乙两组各有若干人，若从甲组调2人至乙组，则甲、乙两组人数相同，若将甲组人数的三分之一调入乙组，则甲、乙两组的人数比为，求甲、乙两组原来各有多少人． 【答案】甲组原有15人、乙组原有11人 【解析】解：设甲组原有x 人、乙组原有y 人， ， 解得：， 答：甲组原有15人、乙组原有11人． 能力提升 1．（2022·江西赣州·二模）若实数x,y满足，则的值是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】根据方程组 ； 得到 ， 从而解得 ； 将以上x和y的值代入， 当= ； 当= ， 当=； 当，=； 故答案为：A 2．（2022·四川绵阳·二模）若整数x，y满足方程组，且，，则m的最大值为（    ） A．0 B．-1 C．-2 D．-3 【答案】B 【解析】解： ①-②得， ， ， ， ， 由①得， 将代入得， ， 关于x的函数图像为开口向下的抛物线，对称轴为， 或时，对应的m值相等， 且x是整数， 或时，m取最大值，最大值， 故选B． 3．（2024·江苏连云港·三模）母亲节前夕，某店主从厂家购进，两种礼盒，已知，两种礼盒的单价比为，单价和为元． (1)求，两种礼盒的单价分别是多少元？ (2)该店主购进这两种礼盒恰好用去元，且购进种礼盒最多个，种礼盒的数量不超过种礼盒数量的倍，共有几种进货方案？ 【答案】(1)种礼盒单价为元，B种礼盒单价为元 (2)共有三种送货方案 【解析】（1）解：设种礼盒单价为元，B种礼盒单价为元， 依据题意：得， 解得． 则，． 答：种礼盒单价为元，B种礼盒单价为元． （2）设购进种礼盒个，种礼盒个， 依据题意，得， 整理，得， 即． ∵， ∴， 解得：， ∵，是整数， ∴的值为，，，的值为，，， 综上可知，共有三种送货方案． 4．（2023·黑龙江·三模）某手机经销商计划同时购进甲乙两种型号手机，若购进2部甲型号手机和5部乙型号手机，共需要资金6000元；若购进3部甲型号手机和2部乙型号手机，共需要资金4600元． (1)求甲、乙型号手机每部进价各为多少元； (2)该店预计用不少于1.78万元且不多于1.92万元的资金购进这两种型号手机共20部，请问有多少种进货方案？ (3)若甲型号手机的售价为1500元，乙型号手机的售价为1450元，为了促销，公司决定每售出一台乙型号手机．返还顾客现金a元，甲型号手机售价不变，要使（2）中购进的手机全部售完，每种方案获利相同，求a的值． 【答案】(1)甲型号手机每部进价为1000元，乙型号手机每部进价为800元． (2)8种 (3)a的值为150． 【解析】（1）设甲型号手机每部进价为x元，乙型号手机每部进价为y元． 依题意，得． 解得． 答：甲型号手机每部进价为1000元，乙型号手机每部进价为800元． （2）设购进甲型号手机m部，则购进乙型号手机部． 依题意，得， 解得． 又m为整数，m可以为9，10，11，12，13，14，15，16． 有8种进货方案． （3）设20部手机全部销售完后获得的总利润相等，则 ． （2）中每种方案获利相同， 利润计算式中不能有含的项， ． ． 答：a的值为150． 5．（22-23七年级下·浙江杭州·阶段练习）为了防治“新型冠状病毒”，小明妈妈准备购买医用口罩和洗手液用于家庭防护，若医用口罩买个，洗手液买6瓶，则需元；若医口罩买个，洗手液买4瓶，则需元． (1)求医用口罩和洗手液的单价； (2)小明妈妈准备了元，除购买医用口罩和洗手液外，还需增加购买单价为3元的口罩a个，医用口罩和口罩共个，购买洗手液b瓶，钱恰好全用完，小明的妈妈一共有几种购买方案？ 【答案】(1)医用口罩和洗手液的单价分别为元和元 (2)小明的妈妈一共有3种购买方案，第一种方案：购买医用口罩个，购买口罩个，购买洗手液瓶；第二种方案：购买医用口罩个，购买口罩个，购买洗手液瓶；第一种方案：购买医用口罩个，购买口罩个，购买洗手液瓶． 【解析】（1）设医用口罩和洗手液的单价分别为x元和y元， 根据题意，有：， 解得：， 即：医用口罩和洗手液的单价分别为元和元； （2）根据题意有：医用口罩的数量为个， 即有：， 即有：， ∵a，b为正整数， ∴是3的倍数， ∴是3的倍数， ∴是可以为3、6、9， 当时，，； 当时，，； 当时，，； 即小明的妈妈一共有3种购买方案， 第一种方案：购买医用口罩个，购买口罩个，购买洗手液瓶； 第二种方案：购买医用口罩个，购买口罩个，购买洗手液瓶； 第一种方案：购买医用口罩个，购买口罩个，购买洗手液瓶． $$